비오-사바르 법칙

비오-사바르 법칙은 전류가 흐르는 도선 주위에 생성되는 자기장을 계산하는 기본 법칙이다. 이 법칙의 핵심은 전체 도선에 흐르는 전류가 만드는 자기장을, 도선을 아주 작은 조각(미소 길이 요소)으로 나누어 각 조각이 기여하는 미소 자기장을 모두 더하는(적분하는) 방식으로 구한다는 점이다.

이때, 길이가 미소 길이 \( d\mathbf{l} \) 인 도선 조각을 생각한다. 이 조각에 크기 \( I \) 의 정상 전류가 흐를 때, 이 '미소 전류 요소' \( I d\mathbf{l} \) 가 공간상의 한 점 \( P \) 에 만드는 미소 자기장 \( d\mathbf{B} \) 는 다음과 같이 주어진다.

\[

d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2}

\]

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

• \( \mu_0 \) 는 진공의 투자율이다.

• \( I \) 는 도선을 흐르는 전류의 세기이다.

• \( d\mathbf{l} \) 는 전류가 흐르는 방향을 가리키는 미소 길이 벡터이다.

• \( \mathbf{\hat{r}} \) 는 미소 전류 요소 위치에서 점 \( P \) 를 가리키는 단위 벡터이다.

• \( r \) 는 미소 전류 요소와 점 \( P \) 사이의 거리이다.

• \( \times \) 기호는 벡터곱(외적)을 의미한다.

이 공식은 미소 자기장 \( d\mathbf{B} \) 의 크기가 전류 \( I \) 와 미소 길이 \( dl \) 에 비례하고, 거리 \( r \) 의 제곱에 반비례함을 보여준다. 또한 방향은 벡터곱 \( d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}} \) 에 의해 결정된다. 이는 오른손 법칙으로 설명할 수 있다. 오른손의 집게손가락을 전류 방향(\( d\mathbf{l} \) 방향)으로, 중지를 관측점 방향(\( \mathbf{\hat{r}} \) 방향)으로 향하게 했을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이 미소 자기장 \( d\mathbf{B} \) 의 방향이 된다.

실제 유한한 크기의 도선이 만드는 총 자기장 \( \mathbf{B} \) 는 이 미소 자기장 \( d\mathbf{B} \) 를 도선 전체에 대해 적분하여 얻는다. 따라서 비오-사바르 법칙은 기본적으로 적분 형태로 표현되는 법칙이다.

미소 전류 요소에 의한 자기장 공식을 공간에 분포된 전체 전류에 대해 합산(적분)하여 얻는다. 이는 선 전류, 면 전류, 부피 전류 분포에 따라 각각 선적분, 면적분, 부피적분의 형태로 표현된다.

가장 일반적인 경우, 전류 밀도 J가 공간에 분포할 때, 점 r' 에서의 미소 전류 요소 J(r') dV' 에 의해 관측점 r 에 생기는 미소 자기장 dB는 비오-사바르 법칙에 따라 주어진다. 전체 자기장 B(r) 은 이 모든 기여분을 적분하여 구한다.

여기서 $\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'$는 전류원(source point) $\mathbf{r}'$에서 관측점(field point) $\mathbf{r}$까지의 변위 벡터이며, $R = |\mathbf{R}|$은 그 크기, $\mathbf{\hat{R}} = \mathbf{R}/R$은 단위 벡터이다. $\mu_0$는 진공의 투자율이다. 적분은 전류가 존재하는 모든 공간에 대해 수행된다. 이 적분 형태는 선형 미디어에서 중첩의 원리가 성립할 때 유효하다.

비오-사바르 법칙의 벡터 표현은 미소 전류 요소가 만드는 미소 자기장의 방향과 크기를 명확하게 정의한다. 이 표현은 벡터 외적을 사용하여 전류 요소의 방향과 관측점까지의 위치 벡터 방향 사이의 관계를 직접적으로 포함한다.

미소 전류 요소 \( I d\vec{l} \)가 공간의 한 점 \( P \)에 생성하는 미소 자기장 \( d\vec{B} \)는 다음과 같은 벡터 공식으로 주어진다.

\[

d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}

\]

여기서,

• \( d\vec{B} \)는 점 \( P \)에서의 미소 자기장 벡터이다.

• \( \mu_0 \)는 진공 투자율이다.

• \( I \)는 도선을 흐르는 전류의 세기이다.

• \( d\vec{l} \)는 전류가 흐르는 방향을 가리키는 미소 길이 벡터이다.

• \( \hat{r} \)은 전류 요소에서 점 \( P \)를 향하는 단위 벡터이다.

• \( r \)은 전류 요소로부터 점 \( P \)까지의 거리이다.

이 공식의 핵심은 외적 \( d\vec{l} \times \hat{r} \)이다. 외적의 결과 벡터 \( d\vec{B} \)의 방향은 오른손 법칙에 의해 결정된다. 즉, 오른손의 네 손가락을 \( d\vec{l} \) 방향에서 \( \hat{r} \) 방향으로 감쌀 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이 \( d\vec{B} \)의 방향이 된다. 또한, 외적의 크기는 \( |d\vec{l}| \sin \theta \)로 주어지므로, 최종적인 \( d\vec{B} \)의 크기는 \( dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2} \)가 되어 스칼라 형태의 법칙과 일치한다.

전체 도선에 의해 생성되는 총 자기장 \( \vec{B} \)는 모든 미소 전류 요소의 기여를 벡터 합으로 적분하여 구한다.

\[

\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}

\]

이 적분은 도선의 기하학적 형태에 따라 수행된다. 벡터 표현은 방향 정보를 공식 자체에 내포하고 있어, 복잡한 도선 형태에 대한 자기장의 방향과 크기를 체계적으로 계산하는 데 필수적이다.

비오-사바르 법칙에 따르면, 미소 전류 요소가 공간의 한 점에 생성하는 자기장의 방향은 전류 요소의 방향과 그 점까지의 위치 벡터 방향에 모두 수직이다. 이 방향 관계는 외적 연산을 통해 정확히 결정된다.

구체적으로, 전류 요소의 방향 벡터(dl)와 관측점까지의 위치 벡터(r)를 외적한 벡터(dl × r)의 방향이 바로 그 점에서 자기장(dB)의 방향이다. 이는 오른손 법칙으로 쉽게 기억할 수 있다. 오른손의 검지를 전류의 방향으로, 중지를 위치 벡터의 방향(전류 요소에서 관측점을 향하는 방향)으로 향하게 했을 때, 엄지가 펴지는 방향이 자기장의 방향이 된다.

이러한 방향 관계는 자기장이 전류를 중심으로 한 원형의 자력선을 형성함을 의미한다. 무한히 긴 직선 도선의 경우, 도선을 중심으로 하는 동심원 형태의 자기장이 생성된다. 아래 표는 전류 방향과 생성된 자기장의 방향 관계를 오른손 법칙으로 판단하는 방법을 정리한 것이다.

이 원형의 자기장 방향은 전류가 흐르는 도선 주변 어디에서나 일관되게 적용된다. 즉, 도선의 한쪽에서는 자기장이 종이면 밖으로 나오는 방향이라면, 정반대쪽에서는 종이면 안으로 들어가는 방향이 된다. 이 관계는 앙페르 법칙을 이용한 자기장 계산에서도 동일한 결과를 제공한다.

비오-사바르 법칙에 따르면, 미소 전류 요소가 공간의 한 점에 생성하는 자기장의 크기는 그 점까지의 거리의 제곱에 반비례한다. 이는 쿨롱의 법칙에서 전하가 만드는 전기장의 크기가 거리 제곱에 반비례하는 것과 유사한 형태를 보인다. 따라서 전류 요소에서 멀어질수록 자기장의 세기는 급격히 감소한다.

거리뿐만 아니라 전류 요소와 관측점을 연결하는 직선 사이의 각도도 자기장 세기에 영향을 미친다. 자기장의 크기는 전류 요소의 방향과 관측점 방향 사이의 각도(θ)의 사인(sin θ) 값에 비례한다. 이는 전류의 흐름 방향에서 수직으로 벗어난 위치에서 자기장이 가장 강하고, 전류의 흐름 방향과 정확히 일직선상에 있는 점에서는 자기장이 0이 됨을 의미한다.

이러한 거리와 각도의 의존성은 비오-사바르 법칙이 장거리 상호작용을 기술하는 역제곱 법칙의 특성을 가지며, 생성된 자기장이 방향성을 가진 벡터장임을 보여준다. 실제 유한한 길이의 도선에 의한 총 자기장은 이러한 미소 요소들의 기여를 적분하여 구하며, 그 결과는 도선의 기하학적 형태에 크게 의존한다.

비오-사바르 법칙을 이용하면 길이가 무한히 긴 직선 도선에 흐르는 정상 전류에 의해 생성되는 자기장을 계산할 수 있다. 이는 가장 기본적이고 중요한 응용 사례 중 하나이다.

도선을 따라 흐르는 전류 I가 있을 때, 도선으로부터 수직 거리 r만큼 떨어진 지점 P에서의 자기장 B의 크기는 다음과 같이 주어진다.

B = (μ₀ I) / (2π r)

여기서 μ₀는 진공의 투자율이다. 자기장의 방향은 오른손 법칙으로 결정된다. 오른손으로 도선을 감싸쥘 때, 엄지손가락이 전류의 방향을 가리키면 나머지 네 손가락이 감기는 방향이 자기장의 방향이 된다. 이는 자기장 선이 도선을 중심으로 한 동심원을 이루고 있음을 의미한다.

이 결과는 실제로 유한한 길이의 직선 도선에 대해서도 도선의 중앙 부근에서 좋은 근사로 성립한다. 또한, 여러 개의 평행한 직선 도선이 서로에게 미치는 자기력을 계산하는 기초가 되며, 앙페르 법칙을 적용하여 동일한 결과를 더 간편하게 유도할 수도 있다.

원형 도선의 중심축 상에서 발생하는 자기장은 비오-사바르 법칙의 대표적인 응용 사례이다. 반지름이 R이고, 일정한 전류 I가 흐르는 단일 원형 고리 도선을 고려할 때, 도선의 중심을 지나며 고리 평면에 수직인 축(중심축) 상의 한 점 P에서의 자기장을 계산할 수 있다. 점 P가 도선의 중심으로부터 거리 x만큼 떨어져 있다고 가정한다.

비오-사바르 법칙의 적분 형태를 적용하여 계산하면, 점 P에서의 자기장 벡터 B의 크기는 다음과 같은 식으로 주어진다.

$$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$$

여기서 $\mu_0$는 진공의 투자율을 나타낸다. 이 자기장의 방향은 오른손 법칙에 따라 결정되며, 원형 도선을 흐르는 전류 방향을 따라 오른손 네 손가락을 감았을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이 중심축 상의 자기장 방향이다. 즉, 도선 평면에 수직인 방향을 따른다.

이 결과로부터 몇 가지 중요한 물리적 의미를 도출할 수 있다. 먼저, 도선의 중심점(x=0)에서 자기장은 최대값 $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$을 가진다. 중심에서 멀어질수록(x가 증가할수록) 자기장의 세기는 급격히 약해지며, 거리 x가 반지름 R에 비해 매우 커지면(x >> R), 자기장은 $B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2x^3}$에 비례하여 감소한다. 이는 쌍극자 자기장의 거리 의존성과 유사한 형태이다.

원형 도선의 자기장 계산은 더 복잡한 구조인 솔레노이드나 토로이드의 자기장을 이해하는 기초가 된다. 또한, 이 원리는 헬름홀츠 코일과 같은 정교한 균일 자기장 발생 장치의 설계에 직접적으로 응용된다[5].

솔레노이드의 축상에서의 자기장은 각 원형 고리의 기여를 적분하여 구할 수 있다. 길이가 L이고 반지름이 R이며 단위 길이당 n번 감은 솔레노이드의 축상 한 점에서의 자기장 세기는 다음과 같이 표현된다.

B = (μ₀ n I / 2) (cos θ₁ - cos θ₂)

여기서 θ₁과 θ₂는 축상의 점에서 솔레노이드의 양끝단을 바라볼 때의 각도이다.

무한히 긴 이상적인 솔레노이드의 경우, 내부 자기장은 균일하며 그 세기는 다음과 같다.

B = μ₀ n I

이때 자기장의 방향은 솔레노이드의 축과 평행하며, 오른손 법칙에 따라 전류의 방향에 따라 결정된다. 즉, 오른손으로 솔레노이드를 감싸듯이 손가락을 전류 방향으로 돌렸을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이 자기장의 방향이다.

유한한 길이의 솔레노이드 내부에서 자기장은 완전히 균일하지 않으며, 끝부분에서는 세기가 약해지고 방향도 약간 휜다. 솔레노이드 외부의 자기장은 매우 약하며, 이상적인 무한 솔레노이드의 경우 외부 자기장은 완전히 0이 된다. 이 균일한 자기장 생성 능력 때문에 솔레노이드는 실험실에서 자기장을 만들거나, 전자기석, 유도장치 등 다양한 전자기 장치의 핵심 부품으로 널리 사용된다.

비오-사바르 법칙은 전류가 시간에 따라 변하지 않는 정상 전류 조건에서만 엄밀하게 성립하는 법칙이다. 정상 전류란 전하의 흐름이 시간에 따라 변하지 않는 상태, 즉 전류의 세기와 방향이 일정한 흐름을 의미한다. 이 조건 하에서는 전하 밀도도 시간에 따라 변하지 않으므로 전기장과 자기장이 모두 정상적인 상태가 된다.

정상 전류 조건이 깨지는 대표적인 예는 교류 전류가 흐르는 회로이다. 시간에 따라 전류의 세기와 방향이 변하면 가속 운동을 하는 전하가 발생하고, 이는 시간에 따라 변하는 전기장을 만들어낸다. 이러한 변하는 전기장은 다시 자기장을 생성하는 추가적인 원천이 된다. 이 복잡한 상호작용은 비오-사바르 법칙만으로는 완전히 설명할 수 없으며, 맥스웰 방정식을 포함한 더 일반적인 이론이 필요하다.

따라서 비오-사바르 법칙을 적용할 때는 문제의 상황이 정상 전류 조건을 만족하는지 먼저 확인해야 한다. 대부분의 직류 회로와 전류 분포가 고정된 도체 문제에서는 이 조건이 잘 성립한다. 그러나 고주파 신호가 흐르는 도선이나 급격히 스위치가 켜지거나 꺼지는 과도 현상 등에서는 법칙의 적용에 주의를 기울여야 한다.

비오-사바르 법칙의 적분 형태를 계산할 때, 자기장을 구하려는 점이 전류가 흐르는 경로 위에 정확히 위치하면 적분식의 분모가 0이 되어 특이점이 발생한다. 이는 수학적으로 값이 발산하는 문제를 일으킨다.

이 문제는 물리적으로는 자기장이 무한대가 되는 비현실적인 결과를 의미하지 않는다. 법칙 자체가 미소 전류 요소의 개념을 바탕으로 하기 때문에, 실제 전류 경로는 유한한 단면적을 가지며 점 전류 요소라는 가정이 붕괴되기 때문이다. 따라서 실제 계산에서는 전류가 흐르는 도선의 반지름을 고려하거나, 특이점을 피하는 적분 기법을 사용해야 한다.

이러한 특이점 문제는 비오-사바르 법칙이 미소 전류 요소의 중첩 원리에서 비롯된 근본적인 한계를 보여준다. 그러나 대부분의 공학적 응용에서는 관측점을 도선의 표면에서 약간 떨어진 위치로 설정함으로써 문제를 회피하며, 물리적으로 타당한 결과를 얻을 수 있다.