열린집합

위상공간에서 열린집합은 위상수학의 가장 기본적인 개념 중 하나로, 위상을 구성하는 요소 그 자체이다. 위상공간 (X, T)은 집합 X와 그 위에 정의된 위상 T의 순서쌍으로 정의되며, 이때 위상 T는 X의 부분집합들의 모임이다. 이 모임 T에 속하는 집합들을 바로 열린집합이라고 부른다. 즉, 위상공간에서 열린집합의 정의는 "위상 T의 원소"라는 매우 추상적이고 형식적인 방식으로 주어진다.

이러한 정의는 직관적으로 "모든 점이 내점인 집합"이라는 개념과 일치한다. 위상 T에 속하는 집합 U는, U 안의 임의의 점 x에 대하여 x를 포함하는 열린집합이 항상 U 안에 존재하도록 정의되는 근방의 개념을 통해 설명될 수 있다. 따라서 x는 U의 내점이 되며, 이러한 성질을 만족하는 집합 U가 바로 열린집합이다.

위상 T는 다음 세 가지 공리를 만족하는 X의 부분집합족으로 정의된다. 첫째, 공집합과 전체 집합 X는 T에 속한다. 둘째, T에 속하는 집합들의 임의의 합집합은 다시 T에 속한다. 셋째, T에 속하는 집합들의 유한 개의 교집합은 다시 T에 속한다. 이 공리들을 만족하는 T의 원소들이 열린집합이므로, 열린집합들은 자연스럽게 이 세 가지 성질을 갖게 된다. 이는 열린집합의 가장 핵심적인 성질로, 위상의 구조를 결정짓는 기초가 된다.

거리공간에서 열린집합은 거리 함수를 이용해 정의된다. 거리공간 (X, d)에서, 한 점 p를 포함하는 집합 U가 열린집합이라는 것은, p를 중심으로 하는 어떤 반지름 r > 0에 대한 열린 공 B(p; r) = { x ∈ X | d(p, x) < r }가 완전히 U 안에 포함될 때를 말한다. 즉, 집합 U의 모든 점이 U 안에 완전히 포함되는 근방을 가지면 U는 열린집합이다.

이 정의는 유클리드 공간 R^n에서의 직관을 일반화한 것이다. 예를 들어, 실수 집합 R에서의 열린 구간 (a, b)는, 그 안의 임의의 점 p에 대해, r을 p에서 a와 b까지의 거리 중 더 작은 값으로 잡으면, 구간 (p - r, p + r)이 (a, b) 안에 포함되므로 열린집합이다. 반면, 닫힌 구간 [a, b]의 끝점 a는, a를 중심으로 하는 아무리 작은 열린 구간도 [a, b] 바깥으로 벗어나는 점을 포함하게 되므로, a는 내점이 아니다. 따라서 [a, b]는 열린집합이 아니다.

모든 거리공간은 위의 방식으로 정의된 열린집합들의 모임을 위상으로 하여 하나의 위상공간이 된다. 이렇게 얻어진 위상을 그 거리공간 위의 거리 위상이라고 부른다. 따라서, 거리공간에서의 열린집합 정의는 위상공간에서의 일반적인 정의의 한 중요한 특수한 경우에 해당한다.

유클리드 공간에서의 열린집합 정의는 거리공간에서의 정의를 구체화한 것이다. 유클리드 거리를 사용하여, 집합의 모든 점이 그 집합 안에 완전히 포함되는 근방을 가질 때 그 집합을 열린집합이라고 정의한다.

보다 엄밀하게는, 실수 집합 R의 경우, 임의의 점 x가 속하는 집합 U에 대해, x를 중심으로 하고 반지름이 양수 ε인 열린 구간 (x-ε, x+ε)이 완전히 U에 포함되면 U는 실직선 R에서의 열린집합이다. 이를 2차원 유클리드 평면 R^2로 확장하면, 점 p를 중심으로 한 열린 원판이 집합 U에 완전히 포함되는 조건으로 일반화된다. n차원 유클리드 공간 R^n에서는 열린 공의 개념을 사용하여 동일한 방식으로 정의한다.

이러한 정의는 유클리드 공간이 거리공간의 가장 대표적인 예이기 때문에 가능하다. 유클리드 공간에서 정의된 표준 위상은 바로 이러한 열린집합들로 구성된다. 따라서, 유클리드 공간에서 '열린집합'이라는 말은 일반적인 위상적 정의와 일치하면서도, 구체적인 거리와 기하학적 직관(예: 경계선을 포함하지 않는 영역)을 통해 이해할 수 있게 해준다.

위상수학에서 열린집합은 위상을 정의하는 가장 기본적인 개념 중 하나이다. 위상공간은 집합과 그 위에 정의된 열린집합들의 모임으로 구성되며, 이 열린집합들의 모임은 특정한 공리, 즉 '열린집합의 공리'를 만족시켜야 한다.

열린집합의 공리는 다음과 같은 세 가지 조건으로 이루어져 있다. 첫째, 전체 집합 X와 공집합 ∅은 열린집합이다. 둘째, 임의의 개수(무한개를 포함)의 열린집합들의 합집합은 다시 열린집합이다. 셋째, 유한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다. 이 세 가지 공리는 위상의 구조를 결정하는 핵심 규칙으로, 어떤 집합의 모임이 이 조건들을 만족할 때 비로소 위상이라고 부를 수 있다.

이 공리 체계는 거리공간에서의 직관적인 열린집합 개념을 추상화한 것이다. 예를 들어, 유클리드 공간에서 한 점을 완전히 포함하는 작은 열린 공이 항상 존재하는 집합을 열린집합으로 정의했을 때, 이 집합들은 자연스럽게 위의 세 공리를 만족한다. 따라서 열린집합의 공리는 거리 공간의 성질을 일반화하여, 거리를 정의할 수 없는 더 추상적인 공간에서도 '열림'의 개념을 논할 수 있게 해준다.

이 공리를 통해 정의된 위상 구조는 닫힌집합, 내부, 경계와 같은 다양한 위상적 개념들의 기초가 된다. 또한, 위상의 종류(예: 이산 위상, 비이산 위상)에 따라 열린집합의 구성이 달라지며, 이는 공간의 위상적 성질을 결정하는 중요한 요소가 된다.

열린집합은 합집합과 유한 교집합 연산에 대해 닫혀 있다. 구체적으로, 임의의 개수(무한 개를 포함하여)의 열린집합들을 모아 그 합집합을 취하면, 그 결과 집합 역시 항상 열린집합이다. 또한, 유한 개의 열린집합들의 교집합을 취한 결과도 열린집합이 된다. 이 두 성질은 위상공간을 정의하는 데 핵심적인 역할을 하는 열린집합의 공리에 포함된다.

그러나 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수 유클리드 공간에서 각 자연수 n에 대해 열린구간 (-1/n, 1/n)을 생각해 보자. 이 모든 구간들의 교집합은 점 {0} 하나로 이루어진 집합인데, 이는 내점을 갖지 않는 닫힌집합이다. 따라서 열린집합의 연산에 대한 닫힘 성질은 합집합과 교집합에서 서로 다른 조건을 가진다.

이러한 성질은 위상의 구조를 이해하는 데 기본이 된다. 임의의 합집합에 닫혀 있기 때문에, 위상은 매우 풍부한 구조를 만들 수 있다. 반면 유한 교집합에만 닫혀 있기 때문에, 너무 많은 집합이 동시에 열려 있다고 판단되는 상황을 제한하여 위상의 균형을 유지한다. 이 성질들은 열린 덮개의 구성이나 연속함수의 정의와 같은 더 심화된 개념들을 논의할 때 반복적으로 활용된다.

닫힌집합은 열린집합과 쌍을 이루는 기본적인 위상적 개념이다. 위상 공간에서 한 집합의 여집합이 열린집합일 때, 그 집합을 닫힌집합이라고 정의한다. 즉, 위상 공간 (X, T)에서, A ⊂ X에 대해 X \ A ∈ T이면 A는 닫힌집합이다. 이 정의는 열린집합의 공리를 통해 간접적으로 닫힌집합의 성질을 규정하는 방식이다.

닫힌집합은 자신의 모든 극한점을 포함하는 집합으로도 특징지을 수 있다. 이는 거리 공간이나 유클리드 공간에서 직관적으로 이해하기 쉬운 성질이다. 예를 들어, 실수 집합 R에서 닫힌 구간 [a, b]는 양 끝점 a와 b를 포함하며, 이 점들은 구간 안의 수열의 극한이 될 수 있다. 이와 대조적으로, 열린 구간 (a, b)는 끝점 a와 b를 포함하지 않으므로, 그 점들로 수렴하는 수열의 극한값이 집합 밖에 존재할 수 있어 닫힌집합이 아니다.

열린집합과 마찬가지로, 닫힌집합도 몇 가지 중요한 연산에 대해 닫혀 있다. 임의의 개(무한개 포함)의 닫힌집합의 교집합은 항상 닫힌집합이다. 또한, 유한 개의 닫힌집합의 합집합도 닫힌집합이다. 전체 집합 X와 공집합 ∅은 열린집합이기도 하면서 동시에 닫힌집합이기도 한 특별한 예이다.

닫힌집합은 위상 공간의 구조를 이해하는 데 필수적이며, 내부, 폐포, 경계와 같은 다른 위상적 개념들을 정의하는 기초가 된다. 특히, 한 집합의 폐포는 그 집합에 모든 극한점을 추가하여 얻는 가장 작은 닫힌집합으로 정의된다.

위상수학에서, 집합의 내부(interior)는 그 집합에 포함된 모든 내점들의 집합으로 정의된다. 즉, 어떤 점이 집합의 내점이라는 것은 그 점을 포함하는 열린집합이 원래 집합의 부분집합으로 존재한다는 것을 의미한다. 따라서 집합의 내부는 그 집합에 포함된 가장 큰 열린집합이라고 할 수 있다.

집합 A의 내부는 보통 Int(A), A°, 또는 A˚와 같은 기호로 표기한다. 위상공간 X의 부분집합 A에 대해, A의 내부는 A에 포함된 모든 열린집합의 합집합과 같다. 이는 내부가 A에 포함된 최대 열린집합임을 보여주는 동등한 정의가 된다. 또한, 내부는 A의 여집합의 폐포의 여집합, 즉 Int(A) = X \ Cl(X \ A)와 같은 관계를 통해 폐포 개념과도 밀접하게 연결된다.

내부 연산은 몇 가지 중요한 성질을 만족시킨다. 예를 들어, 임의의 집합 A에 대해 Int(A) ⊆ A가 성립하며, Int(Int(A)) = Int(A)를 만족하는 멱등법칙을 따른다. 또한, 두 집합 A와 B에 대해 A ⊆ B이면 Int(A) ⊆ Int(B)가 성립한다. 그러나 교집합의 내부는 일반적으로 내부의 교집합과 같지만, 합집합의 내부는 일반적으로 내부의 합집합을 포함하는 관계에 있다.

내부의 개념은 열린집합과 닫힌집합을 구분하고, 집합의 경계를 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다. 어떤 집합이 열린집합인지 여부는 그 집합이 자신의 내부와 정확히 일치하는지, 즉 A = Int(A)인지 확인함으로써 판별할 수 있다. 이와 유사하게, 집합의 폐포는 내부와 경계를 합친 것과 같다는 관계가 성립한다.

경계(boundary)는 위상수학에서 주어진 집합과 그 여집합 사이의 접점을 나타내는 개념이다. 어떤 집합의 경계는 그 집합의 내부(interior)에도 속하지 않고, 집합의 외부(exterior)에도 속하지 않는 점들의 모임으로 정의된다. 즉, 경계 위의 점은 그 점을 포함하는 모든 열린집합이 원래 집합과 그 여집합 모두와 교집합을 가지게 된다.

구체적으로, 위상 공간 X와 그 부분집합 A에 대해, A의 경계 ∂A는 A의 폐포(closure)에서 A의 내부를 뺀 집합, 즉 ∂A = cl(A) \ int(A)로 정의된다. 이는 A의 폐포와 A의 여집합의 폐포의 교집합과도 같다. 경계는 본질적으로 집합의 "가장자리"를 형성하며, 집합이 어디서 끝나는지를 나타낸다.

경계의 중요한 성질 중 하나는 어떤 집합의 경계는 항상 닫힌집합이라는 점이다. 이는 경계가 두 닫힌집합(폐포)의 교집합으로 정의되기 때문이다. 또한, 집합 A가 열린집합이면, 그 경계는 A와 서로소(disjoint)이다. 반대로, A가 닫힌집합이면 그 경계는 A에 포함된다. 예를 들어, 실수선 R에서 열린 구간 (0, 1)의 경계는 두 끝점 {0, 1}로 이루어진 집합이며, 이는 원래 구간과는 겹치지 않는다.

열린 덮개는 위상수학에서 주어진 집합을 완전히 덮는 열린집합들의 모임을 가리킨다. 보다 정확히는, 위상 공간 X의 부분집합 A에 대해, A의 열린 덮개는 A를 포함하는 열린집합들의 집합족이다. 즉, 덮개의 각 원소가 X에서 열린집합이고, 이들의 합집합이 A를 포함할 때 이를 A의 열린 덮개라고 정의한다. 이 개념은 위상 공간의 콤팩트성을 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다.

열린 덮개는 해석학과 위상수학 전반에서 중요한 도구로 활용된다. 특히, 어떤 위상 공간이 콤팩트하다는 것은 그 공간의 모든 열린 덮개가 유한한 부분 덮개를 가진다는 성질로 정의된다. 이는 실수의 닫힌구간에서 성립하는 하이네-보렐 정리와 같은 중요한 정리들의 기초가 된다. 또한, 연속 함수의 성질을 연구하거나 거리 공간의 완비성 등을 논할 때도 열린 덮개가 자주 등장한다.

열린 덮개와 관련된 다른 개념으로는 부분 덮개와 세분이 있다. 부분 덮개는 주어진 열린 덮개에서 일부 열린집합만을 선택해 구성한 새로운 덮개를 의미한다. 세분은 주어진 덮개보다 더 '잘게 쪼갠' 덮개로, 원래 덮개의 각 열린집합이 세분 덮개의 어떤 열린집합에 포함되는 관계를 가진다. 이러한 개념들은 위상적 성질을 더 정밀하게 분석하는 데 사용된다.