양자 장론 (QFT)

양자 장론의 핵심은 고전적인 장의 개념을 양자역학적 프레임워크 내에서 재해석하는 것이다. 고전물리학에서 장은 공간의 각 점에 할당된 물리량(예: 전기장의 세기)으로, 연속적인 함수로 기술된다. 예를 들어 맥스웰 방정식은 전자기장의 진화를 결정하는 고전적 장 이론이다. 양자 장론은 이러한 연속적인 장을 양자화하여, 장의 여기(들뜸)가 입자로 해석되는 체계를 구축한다.

양자화의 가장 기본적인 접근법은 정준 양자화이다. 이 방법에서는 먼저 장을 일반화 좌표로 취급하고, 그에 대응하는 일반화 운동량을 정의한다. 그런 다음 이들 장 변수에 대해 정준 교환 관계를 부과하여 양자화를 수행한다. 예를 들어 자유 스칼라 장의 경우, 장 연산자와 운동량 연산자는 시공간에서 동일한 점에서 특정한 교환 관계를 만족시킨다. 이 과정을 통해 장은 연산자가 되며, 푸리에 변환을 통해 장 연산자는 생성 및 소멸 연산자의 합으로 표현된다.

생성 및 소멸 연산자는 파동 벡터와 에너지를 가진 입자 상태를 만들어내거나 없앤다. 따라서 양자화된 장의 기본 여기는 특정 운동량과 에너지를 가진 입자로 인식된다. 예를 들어 전자기장을 양자화하면 그 여기가 광자에 해당한다. 이는 장과 입자의 이중성을 보여주며, 모든 입자는 자신에 해당하는 기초적인 양자장으로 이해될 수 있다.

다양한 종류의 장은 다른 통계를 따르는 입자에 대응한다. 스핀-통계 정리에 따라 정수 스핀을 가진 보손은 교환 관계를 따르는 장으로 양자화되고, 반정수 스핀을 가진 페르미온은 반교환 관계를 따르는 장으로 양자화된다. 이 차이는 입자들의 집단적 행동, 예를 들어 보스-아인슈타인 응집이나 파울리 배타 원리와 같은 현상을 설명하는 근본적 기원이 된다.

리처드 파인만이 1948년에 도입한 경로 적분 공식화는 양자 장론을 기술하는 또 다른 강력한 방법이다. 이 접근법은 양자역학의 고전역학적 극한을 명확히 보여주며, 특히 게이지 이론과 재규격화를 다루는 데 유용하다.

이 공식화의 핵심 아이디어는 양자역학의 확률 진폭이 시스템이 취할 수 있는 모든 가능한 역사(경로)에 대한 가중합(적분)으로 표현된다는 것이다. 구체적으로, 입자가 초기 상태에서 최종 상태로 전이될 확률 진폭은 두 지점을 연결하는 모든 가능한 경로에 대해, 각 경로의 작용에 해당하는 파인만 위상 인자 [2]를 합산(적분)하여 얻어진다. 양자 장론에서는 이 개념이 확장되어, 장의 모든 가능한 구성(장위)에 대한 적분으로 이해된다.

이 방법은 산란 진폭을 계산하는 데 매우 직관적인 도구를 제공한다. 파인만 도표는 경로 적분을 수행할 때 기여하는 각 항을 그림으로 나타낸 것이다. 도표의 각 꼭짓점은 상호작용 항에, 각 선은 전파자에 대응하며, 이들의 조합은 경로 적분의 특정 기여도를 나타낸다. 이 공식화는 정준 양자화 방법과 달리 상대론적 공변성이 명시적으로 유지되며, 게이지 대칭성을 다루는 데에도 유리한 틀을 제공한다.

입자 간의 상호작용을 계산하는 핵심 도구는 산란 진폭이다. 산란 진폭은 초기 상태의 입자들이 상호작용을 거쳐 특정 최종 상태로 산란될 확률 진폭을 제공한다. 이 진폭의 절댓값 제곱은 실제로 관측 가능한 산란 단면적이나 붕괴율과 직접적으로 연결된다.

이러한 복잡한 계산을 시각적이고 체계적으로 수행할 수 있게 해주는 방법이 파인먼 도표이다. 리처드 파인먼이 도입한 이 도표는 입자의 생성, 소멸, 상호작용을 선과 꼭짓점으로 표현한다. 예를 들어, 전자와 양전자의 산란(비안힐링 산란) 과정에서, 두 입자는 광자를 교환하며 상호작용한다. 이는 파인먼 도표상에서 두 개의 전자 선이 하나의 광자 선으로 연결된 꼭짓점을 통해 표현된다. 각 선과 꼭짓점에는 수학적 표현(전파 인자, 결합 상수 등)이 할당되어, 전체 도표에 해당하는 수학적 기여분을 계산하는 규칙이 정해져 있다.

산란 진폭은 일반적으로 단일 파인먼 도표가 아닌, 동일한 초기 및 최종 상태를 설명할 수 있는 모든 가능한 도표들의 기여분을 합산하여 얻어진다. 이는 섭동 이론에 기반을 두고 있으며, 결합 상수가 작을수록 더 간단한 도표(루프 수가 적은 도표)의 기여가 지배적이다. 주요 도표의 종류는 다음과 같다.

파인먼 도표는 복잡한 적분 계산을 조직화하는 강력한 도구일 뿐만 아니라, 물리적 과정에 대한 직관적인 이해를 제공한다. 예를 들어, 도표의 루프는 가상 입자의 교환을 통한 중간 과정을 나타내며, 이러한 루프 적분에서는 종종 발산이 나타나 재규격화 과정이 필요하게 된다.

게이지 이론은 양자 장론의 핵심적인 틀을 제공하며, 기본 상호작용 중 세 가지—전자기력, 약력, 강력—를 기술하는 데 사용된다. 이 이론의 핵심은 게이지 대칭성으로, 장의 형태를 변환(게이지 변환)해도 물리적 법칙이 변하지 않는다는 원리이다. 이러한 대칭성은 보손이라 불리는 힘을 매개하는 입자의 존재를 요구하며, 그 성질을 결정한다. 예를 들어, 전자기 상호작용은 U(1) 게이지 대칭성에 기초하며, 그 결과 광자가 매개 입자로 나타난다.

보다 복잡한 비가환 게이지 이론은 약한 상호작용과 강한 상호작용을 설명한다. 약력은 SU(2) 대칭성으로 기술되며, W 보손과 Z 보손을 매개 입자로 가진다. 강력은 SU(3) 대칭성에 기초한 양자 색역학(QCD)으로 설명되며, 여덟 종류의 글루온이 매개 입자 역할을 한다. 이러한 게이지 보손들은 페르미온(예: 쿼크, 렙톤) 사이의 힘을 전달함으로써 모든 물질적 상호작용의 기반을 이룬다.

게이지 이론의 수학적 구조는 라그랑지안 밀도에 게이지 장과 물질 장의 결합항을 포함시킴으로써 구축된다. 이 라그랑지안은 게이지 변환 하에서 불변임을 요구받으며, 이로부터 장의 운동 방정식이 유도된다. 표준 모형에서 게이지 군은 이들 대칭성의 직합인 SU(3) × SU(2) × U(1)로 구성된다. 아래 표는 표준 모형 내 세 가지 기본 상호작용과 대응하는 게이지 이론을 요약한다.

게이지 이론의 성공은 재규격화 가능성과 실험적 예측의 높은 정확성에 있다. 특히, 양자 전기역학(QED)은 역사적으로 가장 정밀하게 검증된 물리 이론 중 하나이다[4]. 게이지 이론의 틀은 표준 모형을 넘어 대통일 이론이나 초대칭 모형과 같은 확장 이론의 기초가 되기도 한다.

힉스 메커니즘은 게이지 이론에서 게이지 보손이 질량을 얻게 하는 자발적 대칭 깨짐의 한 형태이다. 이 메커니즘은 표준 모형에서 약한 상호작용을 매개하는 W 보손과 Z 보손이 질량을 갖는 이유를 설명하는 핵심 이론이다. 피터 힉스를 비롯한 여러 물리학자에 의해 1964년 독립적으로 제안되었으며, 이들의 이름을 따 힉스 장과 힉스 보손이라는 용어가 사용된다.

이 메커니즘의 핵심은 공간 전체에 퍼져 있는 스칼라 장인 힉스 장이 특정한 형태의 퍼텐셜을 가질 때 발생한다. 이 퍼텐셜은 가장 낮은 에너지 상태(진공 기댓값)가 0이 아닌 값을 가지도록 설계되어 있다. 결과적으로 진공은 힉스 장의 0이 아닌 기댓값으로 채워지게 되며, 이 진공과 상호작용하는 게이지 보손은 마치 끈적끈적한 매질을 통과하는 것처럼 효과적으로 질량을 얻게 된다. 이 과정에서 게이지 대칭성은 여전히 이론의 근본 구조에 남아 있지만, 진공 상태의 대칭성은 깨지게 된다[5].

힉스 메커니즘의 예측은 2012년 유럽 입자 물리 연구소(CERN)의 대형 강입자 충돌기(LHC) 실험에서 약 125 GeV/c² 질량을 가진 힉스 보손이 발견되며 실험적으로 확인되었다. 이 발견은 표준 모형의 마지막 핵심 조각을 완성한 것으로 평가받는다. 아래 표는 힉스 메커니즘과 관련된 주요 구성 요소를 정리한 것이다.

양자 장론에서 계산된 물리량, 예를 들어 입자의 질량이나 전하는 종종 무한대의 값을 도출한다. 이는 계산 과정에서 적분이 높은 에너지 영역(짧은 거리 영역)에서 발산하기 때문이다. 이러한 현상을 발산 문제 또는 자기 에너지 문제라고 부른다. 이 문제는 고전적인 전자기학에서 점전하의 자기 에너지가 무한대라는 문제와 유사하지만, 양자 장론에서는 모든 상호작용을 기술하는 과정에서 보편적으로 나타난다.

발산은 일반적으로 계산에 포함된 루프 도표에서 발생한다. 예를 들어, 한 광자가 임시적으로 전자-양전자 쌍으로 변했다가 다시 광자로 돌아오는 과정을 기술하는 도표는 적분을 수행하면 무한대 값을 준다. 이 무한대는 이론이 매우 짧은 거리(또는 매우 높은 에너지)에서의 물리를 제대로 기술하지 못함을 의미한다. 초기 양자 전기역학(QED)은 이 심각한 문제로 인해 발전이 정체되었다.

이 문제를 해결하기 위해 도입된 핵심 방법이 재규격화이다. 재규격화의 기본 아이디어는 이론에 나타나는 '벌거벗은' 매개변수(예: 벌거벗은 질량, 벌거벗은 전하)가 본래 무한대이지만, 이들을 실험적으로 관측되는 유한한 물리량으로 재정의함으로써 무한대를 흡수해 버리는 것이다. 구체적으로, 질량과 전하 같은 매개변수에 대한 '대항항'을 라그랑지안에 도입하여, 벌거벗은 매개변수의 무한대 부분이 루프 도표에서 나오는 무한대와 정확히 상쇄되도록 만든다. 결국 실험적으로 측정되는 것은 이 상쇄 후 남는 유한한 부분이다.

발산의 유형은 그 정도에 따라 분류된다. 표준적인 멱차 세기 분석을 통해 발산이 로그 발산, 2차 발산 등으로 나뉘며, 이는 이론이 재규격화 가능한지 여부를 판단하는 기준이 된다. 표준 모형을 구성하는 게이지 이론인 양자 전기역학과 양자 색역학(QCD)은 재규격화 가능한 이론으로 증명되어, 유한한 예측값을 도출할 수 있는 수학적 토대를 제공했다.

재규규화 군은 재규격화 과정에서 나타나는 척도 변환에 따른 물리적 관측량의 변화를 체계적으로 다루는 이론적 틀이다. 이 군의 흐름 방정식을 통해, 서로 다른 에너지 척도에서의 유효 결합 상수 변화를 추적할 수 있다.

재규격화 군 방정식의 핵심 아이디어는, 이론의 고에너지 단거리 자유도를 적분하여 제거함으로써, 낮은 에너지에서 유효하게 작동하는 새로운 라그랑지안을 얻을 수 있다는 것이다. 이 과정에서 결합 상수, 질량, 장의 파장 인자 등이 재규격화 척도 μ에 따라 달라지며, 이 의존성은 베타 함수로 기술된다. 예를 들어, 결합 상수 g의 베타 함수 β(g) = μ ∂g/∂μ는 결합 상수가 에너지 척도에 따라 어떻게 '흐르는지'를 결정한다.

베타 함수의 부호는 이론의 점근적 행동을 결정한다. β(g) < 0 인 경우, 에너지 척도가 증가함에 따라 유효 결합 상수 g가 감소하는데, 이를 점근적 자유성이라 부른다. 양자 색역학의 강한 상호작용이 대표적인 예이다. 반대로 β(g) > 0 이면 고에너지에서 결합 상수가 강해지며, 이는 양자 전기역학에서 관찰된다. 베타 함수가 0이 되는 고정점은 이론의 척도 불변성을 의미하며, 2차 상전이 현상의 임계점과 연결된다.

재규격화 군은 고에너지 입자 물리학에서의 결합 상수 통일 문제부터, 응집 물질 물리학의 임계 현상과 상전이 해석에 이르기까지 광범위하게 응용된다. 이를 통해 서로 다른 물리적 체계 간의 보편적 행동을 이해하는 깊은 통찰을 제공한다.

양자 장론은 현대 입자 물리학의 이론적 기반을 제공하는 핵심 도구이다. 이 이론은 소립자의 생성과 소멸, 그리고 그 상호작용을 통일적으로 기술한다. 특히 표준 모형은 양자 전기역학, 약한 상호작용, 강한 상호작용이라는 세 가지 기본 힘을 게이지 이론의 프레임워크 내에서 기술하는 양자 장론의 완성된 형태이다. 이를 통해 전자, 쿼크, 중성미자 같은 기본 입자와 광자, W 보손, Z 보손, 글루온 같은 게이지 보손의 행동을 정확하게 예측할 수 있다.

입자 물리학에서 양자 장론의 가장 중요한 성과는 실험 결과와의 정밀한 일치이다. 예를 들어, 양자 전기역학은 전자의 자기 모멘트와 수소 원자의 램 이동 같은 미세 효과를 10억 분의 1 수준의 정확도로 계산해낸다. 또한, 페르미 국립 가속기 연구소나 유럽 입자 물리 연구소의 가속기 실험에서 관측된 수많은 소립자와 그 산란 과정은 양자 장론의 계산, 특히 파인먼 도표를 통한 산란 진폭 계산과 놀랍도록 잘 일치한다.

이러한 성공에도 불구하고, 입자 물리학은 양자 장론이 설명하지 못하는 현상에 직면해 있다. 중력의 양자적 기술, 암흑 물질과 암흑 에너지의 정체, 그리고 중성미자 질량의 기원은 표준 모형의 범위를 벗어난다. 따라서 현대 입자 물리학의 최전선 연구는 초대칭 이론이나 끈 이론과 같은 양자 장론을 확장한 새로운 이론들을 탐구하며, 이를 검증할 실험 데이터를 수집하는 데 집중되어 있다.

양자 장론은 고체 물리학과 응집 물질 물리학의 핵심 이론적 틀을 제공한다. 이 분야에서는 수많은 전자와 원자가 집단적으로 상호작용하여 나타나는 거시적 현상을 다루는데, 양자 장론은 이러한 다체계 문제를 효과적으로 기술하는 데 필수적이다. 특히, 준입자와 집단 여기의 개념은 응집 물질 물리학의 언어를 형성한다.

초전도 현상에 대한 BCS 이론은 양자 장론의 성공적인 응용 사례이다. 이 이론은 전자와 격자 진동(포논) 사이의 상호작용을 양자 장론의 프레임워크로 설명하여, 전자 쌍(쿠퍼 쌍)이 보스-아인슈타인 응축을 이루어 저항 없이 흐르는 현상을 규명했다[6]. 유사하게, 양자 홀 효과는 게이지 장과 베리 위상 등의 양자 장론 개념을 통해 이해된다.

재규격화 군 방법론은 상전이와 임계 현상을 연구하는 데 강력한 도구이다. 이 방법을 통해 물질이 상전이 점 근처에서 보이는 보편적인 거동을 이해하고, 다양한 위상을 위상 도표로 분류할 수 있다. 또한, 응집 물질 시스템은 복잡한 게이지 이론을 구현하는 '양자 시뮬레이터' 역할을 하기도 하여, 기본 입자 이론의 난제를 탐구하는 실험장이 되었다.

끈 이론은 양자 장론의 한계를 극복하고 양자 중력을 포함하는 통일 이론을 구축하려는 시도에서 발전했다. 양자 장론은 표준 모형을 통해 세 가지 기본 상호작용을 성공적으로 기술하지만, 중력을 양자화하는 데 심각한 문제[8]에 직면한다. 끈 이론은 기본 구성 요소를 점입자가 아닌 1차원의 진동하는 끈으로 가정함으로써 이러한 문제에 대한 새로운 접근법을 제시한다.

이 연결 관계는 경로 적분 공식화를 확장한 관점에서 명확히 드러난다. 양자 장론에서 입자의 세계선은 시공간 내의 경로로 나타나지만, 끈 이론에서는 세계면이라는 2차원 표면으로 대체된다. 이 세계면 위에서 정의된 2차원 등각 장론은 끈의 역학을 기술하는 핵심 도구가 된다. 특히, 끈의 진동 모드는 다양한 스핀과 질량을 가진 입자로 해석될 수 있으며, 이는 양자 장론에서의 입자 스펙트럼에 대응한다.

특정 한계에서 끈 이론은 기존의 양자 장론을 재생산한다. 예를 들어, 끈이 매우 짧은 거리 척도에서 점입자처럼 행동할 때, 그 저에너지 유효 이론은 초중력이라는 특정한 양자 장론 형태로 나타난다. 또한, AdS/CFT 대응성은 끈 이론이 일어나는 특정 시공간(안티 드 시터르 공간)의 양자 중력 이론이, 그 경계에 존재하는 등각 장론이라는 특수한 양자 장론과 동등하다는 획기적인 발견이다. 이는 양자 장론과 끈 이론이 서로 깊게 연관된, 상이한 현상을 기술하는 동등한 언어일 수 있음을 시사한다.

양자 중력 탐구는 양자 장론의 틀을 중력에 적용하려는 시도에서 비롯된 물리학의 핵심 난제 중 하나이다. 일반 상대성 이론은 중력을 시공간의 곡률로 설명하는 매우 성공적인 고전 이론이지만, 이를 양자화하는 과정에서 기술적, 개념적 어려움에 직면한다. 이 문제를 해결하기 위해 양자 중력을 연구하는 여러 접근법이 제안되었으며, 양자 장론은 그 중 하나의 중요한 토대를 제공한다.

가장 직접적인 접근법은 중력을 매개하는 게이지 보손인 중력자를 포함하는 양자 장론을 구축하는 것이다. 이를 중력의 양자화라고 부른다. 그러나 일반 상대성 이론을 기반으로 한 중력자의 양자화는 재규격화가 불가능한 비재규격화 가능 이론으로 밝혀졌다. 이는 고에너지(짧은 거리) 영역에서 계산이 발산하여 물리적 예측을 할 수 없음을 의미한다. 이 난제는 양자 장론의 표준적인 방법론으로는 중력을 다루기에 한계가 있음을 보여준다.

이러한 한계를 극복하기 위해 등장한 대안적 이론이 끈 이론이다. 끈 이론은 점입자가 아닌 1차원의 끈을 기본 구성 요소로 가정하며, 그 진동 모드가 다양한 입자로 나타난다. 이 이론에서는 중력자가 자연스럽게 스펙트럼에 포함되며, 재규격화 문제를 근본적으로 회피한다. 또한 끈 이론은 양자 장론을 저에너지 유효 이론으로 포함한다는 점에서 밀접한 관련이 있다. 다른 주요 접근법으로는 루프 양자 중력이 있으며, 이는 시공간 자체를 양자화된 네트워크로 기술한다.

양자 중력 탐구는 단일 이론으로 수렴되지 않은 채 활발히 연구 중인 분야이다. 양자 장론의 관점에서 중력을 이해하려는 시도는 여전히 진행 중이며, 암흑 에너지나 블랙홀 열역학과 같은 현상에 대한 통찰을 제공할 것으로 기대된다. 이 탐구는 궁극적으로 표준 모형과 일반 상대성 이론을 통합하는 만물 이론을 향한 중요한 여정이다.