듀레이션 및 볼록성

듀레이션은 채권의 가격이 이자율 변동에 얼마나 민감하게 반응하는지를 측정하는 지표이다. 이는 채권의 만기일까지 발생하는 모든 현금흐름을 받는 데 걸리는 평균 시간을 의미하기도 한다. 따라서 듀레이션은 채권의 이자율 위험을 정량화하는 핵심 도구로 사용된다.

듀레이션의 기본 개념은 각 현금흐름이 발생하는 시점을 그 현금흐름의 현재가치로 가중평균한 것이다. 수식으로 표현하면, 맥컬레이 듀레이션은 각 시점(t)의 현금흐름(CF_t)의 현재가치를 채권의 현재 가격(P)으로 나눈 값에 시점(t)을 곱한 것의 합이다. 이 계산을 통해 '현금흐름을 회수하는 데 걸리는 평균 기간'이라는 직관적인 해석을 얻을 수 있다.

듀레이션 값이 클수록 채권 가격의 이자율 변동에 대한 민감도가 높아진다. 이는 만기가 길거나, 쿠폰 이자율이 낮을수록 듀레이션이 길어지는 특성과 연결된다. 예를 들어, 제로쿠폰채권의 듀레이션은 그 만기와 정확히 일치한다.

듀레이션은 채권의 현금 흐름을 받는 시점의 가중평균으로 계산된다. 가장 기본적인 맥컬레이 듀레이션의 계산 공식은 다음과 같다.

맥컬레이 듀레이션 = Σ [t * (Ct / (1+y)^t)] / Σ [Ct / (1+y)^t]

여기서,

• t는 각 현금 흐름이 발생하는 시점(기간)이다.

• Ct는 시점 t에서 발생하는 현금 흐름(이표 지급액 또는 원금 상환액)이다.

• y는 채권의 만기 수익률이다.

분자 Σ [t * (Ct / (1+y)^t)]는 각 현금 흐름의 현재가치에 그 흐름이 발생하는 시점(t)을 곱한 값의 합이다. 분모 Σ [Ct / (1+y)^t]는 모든 현금 흐름의 현재가치 합, 즉 채권의 현재 가격(P)이다. 따라서 계산은 각 현금 흐름의 현재가치를 가중치로 사용하여 현금 흐름 발생 시점을 가중평균하는 과정이다.

예를 들어, 액면가 100, 표면이율 5%, 만기 3년, 1년마다 이자를 지급하는 채권의 만기 수익률이 5%라면, 그 맥컬레이 듀레이션은 약 2.86년으로 계산된다. 이는 투자 원금을 회수하는 데 평균적으로 2.86년이 걸린다는 의미로 해석할 수 있다.

맥컬레이 듀레이션은 '년' 단위로 표현되며, 수정 듀레이션은 이를 변형하여 이자율 변동에 따른 채권 가격 변동률을 직접 추정하는 데 사용한다. 수정 듀레이션은 맥컬레이 듀레이션을 (1 + y/m)으로 나누어 계산한다. 여기서 m은 1년 중 이표 지급 횟수이다.

맥컬레이 듀레이션은 채권의 현금 흐름이 발생하는 시점까지의 시간을 가중평균한 값이다. 이는 프레더릭 맥컬레이가 1938년에 도입한 개념으로, 채권의 만기까지의 평균 자금 회수 기간을 측정하는 가장 기본적인 듀레이션 지표이다. 맥컬레이 듀레이션은 각 시점에서 발생하는 현금 흐름의 현재가치를 가중치로 사용하여 계산한다.

계산 공식은 다음과 같다. 채권의 만기를 *n*기, *t*시점에서의 현금 흐름을 *CF_t*, 할인율을 *y*라고 할 때, 맥컬레이 듀레이션(*D_Mac*)은 아래와 같이 표현된다[1].

```

D_Mac = [ Σ (t * CF_t / (1+y)^t ) ] / [ Σ (CF_t / (1+y)^t ) ]

```

분모는 채권의 현재 가격(내재가치)이며, 분자는 각 현금 흐름의 발생 시점(*t*)에 그 현재가치를 곱한 값의 합이다. 따라서 이는 시간 가중 현금 흐름의 현재가치 합을 채권 가격으로 나눈 것이다. 예를 들어, 이표채의 경우 쿠폰 지급 시점과 원금 상환 시점이 모두 계산에 포함된다.

맥컬레이 듀레이션의 값은 일반적으로 연 단위로 표현된다. 이 값이 클수록 채권의 평균 자금 회수 기간이 길어지며, 이는 이자율 위험에 더 민감하다는 것을 의미한다. 만기가 같은 채권이라도 쿠폰이 낮을수록, 또는 만기수익률이 낮을수록 맥컬레이 듀레이션은 길어진다. 이 개념은 이후 수정 듀레이션 및 볼록성과 같은 더 정교한 위험 측정 지표의 기초가 되었다.

수정 듀레이션은 맥컬레이 듀레이션을 기반으로 하여, 채권 가격의 이자율 변화에 대한 민감도를 직접적으로 나타내는 지표이다. 맥컬레이 듀레이션이 현금 흐름의 가중평균 만기를 시간 단위로 표현한 것이라면, 수정 듀레이션은 이를 활용해 이자율 변동 1%에 대한 채권 가격의 대략적인 변동률(%)을 계산할 수 있도록 조정한 개념이다.

수정 듀레이션은 맥컬레이 듀레이션을 (1 + 시장 이자율/이표 지급 횟수)로 나누어 계산한다. 일반적인 연간 m회 이표 지급 채권의 경우, 그 공식은 다음과 같다[2].

수정 듀레이션 = 맥컬레이 듀레이션 / (1 + (YTM/m))

여기서 YTM(만기수익률)은 채권의 시장 이자율을 의미한다. 이 계산을 통해 얻은 수정 듀레이션 값은 이자율 변동에 따른 채권 가격 변동률을 근사적으로 추정하는 데 사용된다. 예를 들어, 어떤 채권의 수정 듀레이션이 5년이고 시장 이자율이 1% 상승하면, 해당 채권의 가격은 대략 5% 하락할 것으로 예상할 수 있다. 반대로 이자율이 1% 하락하면 가격은 약 5% 상승할 것으로 예측된다.

수정 듀레이션은 이자율 위험을 정량화하고 관리하는 데 핵심적인 도구로 활용된다. 특히 포트폴리오의 평균 수정 듀레이션을 계산하여 전체 자산의 이자율 민감도를 파악하거나, 면역 전략을 통해 특정 기간의 부채를 충당할 목적으로 포트폴리오의 듀레이션을 조정하는 데 널리 사용된다. 그러나 이 지표는 이자율 변화가 비교적 작을 때만 정확한 근사치를 제공하며, 큰 폭의 이자율 변동에서는 볼록성 효과를 무시하기 때문에 한계를 가진다.

유효 듀레이션은 이자율의 변화가 채권의 현금흐름 자체에 영향을 미치는 경우, 즉 옵션이 내재된 채권이나 부동산담보부증권(MBS)과 같은 내재옵션이 있는 증권의 이자율 위험을 측정하는 지표이다. 맥컬레이 듀레이션이나 수정 듀레이션은 이자율 변화에 따른 현금흐름이 변하지 않는다는 가정 하에 계산되지만, 유효 듀레이션은 현실적인 이자율 변화 시나리오를 적용하여 현금흐름의 변동성을 반영한다.

유효 듀레이션은 다음과 같은 공식으로 계산된다.

> 유효 듀레이션 = (P⁻ - P⁺) / (2 * P₀ * Δy)

여기서 P⁻는 이자율이 소폭 하락(Δy)했을 때의 채권 가격, P⁺는 이자율이 소폭 상승(Δy)했을 때의 채권 가격, P₀는 현재 채권 가격, Δy는 이자율 변화폭을 나타낸다. 이 계산은 내재옵션의 행사 가능성으로 인해 발생하는 현금흐름의 비대칭적 변화를 포착한다.

예를 들어, 상환조기청구권이 있는 부동산담보부증권의 경우, 이자율이 하락하면 조기상환이 증가하여 현금흐름의 기간이 짧아진다. 반대로 이자율이 상승하면 조기상환이 감소하여 현금흐름 기간이 길어진다. 유효 듀레이션은 이러한 비대칭적 반응을 수치화하여, 수정 듀레이션만으로는 측정하기 어려운 위험을 평가하는 데 핵심적인 도구가 된다.

볼록성은 채권 가격과 이자율 간의 관계 곡선의 곡률을 측정하는 지표이다. 이는 듀레이션이 채권 가격의 이자율에 대한 1차 미분(선형 근사)을 제공한다면, 볼록성은 2차 미분에 해당하여 곡선의 휨 정도를 설명한다.

채권 가격과 이자율의 관계는 볼록 관계를 보인다. 이자율이 하락할 때 채권 가격은 상승하지만, 그 상승폭은 듀레이션만으로 예측한 선형 근사치보다 더 크다. 반대로 이자율이 상승할 때 채권 가격의 하락폭은 듀레이션의 예측보다 더 작다. 이 비대칭적인 가격 변동을 정량화한 것이 볼록성이다. 높은 볼록성을 가진 채권은 이자율 변동에 대해 상대적으로 더 유리한 가격 변동을 경험한다[3].

볼록성의 계산은 각 현금흐름의 발생 시점(t)의 가중평균을 통해 이루어진다. 일반적으로 다음 공식으로 계산한다.

이 계산 결과는 숫자로 표현되며, 이 값이 클수록 채권 가격-수익률 곡선의 곡률이 더 크고, 따라서 이자율 변동에 대한 가격 보호 효과가 더 높다고 해석할 수 있다.

볼록성의 계산은 일반적으로 채권의 현재가치를 이자율에 대해 두 번 미분한 값을 현재가치로 나눈 값으로 정의된다. 수학적으로는 다음 공식으로 표현된다.

\[

볼록성 = \frac{1}{P} \cdot \frac{d^2 P}{d y^2}

\]

여기서 \(P\)는 채권의 현재가치, \(y\)는 수익률을 의미한다. 이 공식은 연속 복리를 가정한 이론적 계산식이다. 실제로 이산적인 현금흐름을 가진 채권의 볼록성은 다음과 같은 근사 공식으로 계산하는 것이 일반적이다.

\[

볼록성 \approx \frac{1}{P \cdot (1+y)^2} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1) \cdot C_t}{(1+y)^t}

\]

이 공식에서 \(C_t\)는 시점 \(t\)에서의 현금흐름(이표 또는 원금), \(n\)은 총 기간, \(y\)는 기간당 수익률을 나타낸다. 원금 상환일이 이표 지급 주기와 일치하지 않는 경우, 계산은 더 복잡해질 수 있다.

볼록성의 계산 결과는 일반적으로 숫자로 표현되며, 이 값은 수정 듀레이션과 함께 사용되어 이자율 변동에 따른 가격 변동을 더 정확히 추정하는 데 활용된다. 계산의 편의를 위해 다음 표는 3년 만기, 연 5% 쿠폰을 지급하고 수익률이 6%인 이표채의 볼록성 계산 예시를 보여준다.

위 표의 값을 공식에 대입하면 다음과 같다.

\[

볼록성 \approx \frac{1}{97.3316 \cdot (1.06)^2} \times 1094.1092 \approx 9.57

\]

이 결과는 이자율이 1%p 변동할 때, 듀레이션만으로 추정한 가격 변동과 실제 가격 변동 사이의 오차를 정량화하는 데 기초 자료로 사용된다.

듀레이션은 채권 가격의 이자율 민감도를 측정하는 주요 지표로 활용된다. 듀레이션 값은 이자율이 1% 변할 때 채권 가격이 대략 몇 % 변할지를 나타낸다[6]. 예를 들어, 수정 듀레이션이 5년인 채권은 시장 이자율이 1%p 상승할 경우, 채권 가격은 약 5% 하락할 것으로 예상할 수 있다. 이는 이자율 위험을 정량화하여 금리 변동에 따른 포트폴리오 가치 변동 폭을 예측하는 데 핵심적인 역할을 한다.

볼록성은 듀레이션만으로 설명되지 않는 가격 변동의 비선형적 관계를 보정하는 역할을 한다. 듀레이션은 이자율 변화에 따른 가격 변동을 선형적으로만 추정하기 때문에, 이자율 변동 폭이 클수록 추정 오차가 커진다. 볼록성은 이자율 상승 시의 가격 하락 폭을 듀레이션 추정치보다 작게, 이자율 하락 시의 가격 상승 폭을 듀레이션 추정치보다 크게 조정하여 더 정확한 위험 측정을 가능하게 한다.

이자율 위험 측정은 단일 채권보다는 포트폴리오 차원에서 더 중요하게 적용된다. 포트폴리오 전체의 듀레이션은 개별 자산 듀레이션의 가중평균으로 계산할 수 있다. 이를 통해 금리 변동이 전체 자산 가치에 미치는 영향을 종합적으로 평가한다. 위험 관리자는 목표 위험 수준을 설정하고, 포트폴리오 듀레이션을 조정하여 해당 위험 노출을 관리한다.

이러한 측정은 은행의 자산-부부 관리, 펀드 운용, 보험회사의 부채 관리 등 다양한 금융 기관의 위험 관리 시스템에서 필수적인 요소로 자리 잡고 있다.

면역 전략은 이자율 위험을 관리하기 위해 듀레이션을 핵심 도구로 사용하는 포트폴리오 관리 기법이다. 이 전략의 기본 목표는 자산과 부채의 현재가치가 이자율 변동에 동일하게 반응하도록 듀레이션을 일치시켜, 순자산가치를 변동에서 보호하는 것이다. 특히 연금 기금이나 보험 회사와 같이 미래에 지급해야 할 명확한 부채 흐름을 가진 기관에서 널리 사용된다.

면역 전략은 일반적으로 맥컬레이 듀레이션을 기준으로 한다. 면역을 성립시키기 위해서는 포트폴리오 자산의 현재가치가 부채의 현재가치와 같아야 하며, 자산의 듀레이션이 부채의 듀레이션과 정확히 일치해야 한다[7]. 또한, 자산의 현금 흐름 분산이 부채의 현금 흐름 분산보다 크도록 해야 하는 부가 조건이 종종 요구된다. 이는 이자율의 작은 변동에 대해서는 자산과 부채 가치의 변화가 상쇄되어 포트폴리오의 가치가 안정되도록 한다.

그러나 이 전략은 몇 가지 중요한 가정에 의존한다는 한계를 가진다. 첫째, 이자율의 변화가 평행 이동한다는 가정이다. 즉, 모든 만기의 이자율이 동일한 양만큼 변한다고 가정하는데, 실제 금리 환경에서는 만기 구조에 따라 변동 폭이 다를 수 있다. 둘째, 이자율 변동이 작을 때만 효과적이다. 큰 금리 변동이 발생하면 볼록성 효과로 인해 듀레이션 매칭만으로는 완전한 면역이 이루어지지 않는다. 따라서 고급 면역 전략에서는 볼록성도 함께 매칭시키려는 시도가 이루어진다.