표수
1. 개요
1. 개요
표수는 추상대수학의 환론 및 체론에서 다루는 개념으로, 주어진 환의 특성을 나타내는 가장 작은 양의 정수이다. 기호로는 char(R) 또는 p로 표기한다. 이 개념은 환의 구조를 분류하고, 체의 특성을 구분하며, 다항식 및 방정식 이론을 전개하는 데 주요하게 사용된다.
표수의 값은 0이거나 소수이다. 표수가 0인 체의 대표적인 예는 유리수체, 실수체, 복소수체 등이 있으며, 이들에서는 1을 유한 번 더해서 0이 될 수 없다. 반면, 표수가 소수 p인 체에서는 1을 p번 더하면 0이 된다. 이러한 특성은 환의 연산과 그 위에서 정의된 대수학적 구조에 근본적인 영향을 미친다.
2. 정의
2. 정의
표수는 환의 특성을 나타내는 가장 작은 양의 정수이다. 환 $R$의 표수는 $\operatorname{char}(R)$로 표기하며, $1_R$을 환의 곱셈 항등원이라고 할 때, $n \cdot 1_R = 0$을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 $n$으로 정의된다. 여기서 $n \cdot 1_R$은 $1_R$을 $n$번 더한 것을 의미한다.
만약 그러한 양의 정수가 존재하지 않으면, 즉 $n \cdot 1_R = 0$이 되는 양의 정수 $n$이 없을 때, 그 환의 표수는 0으로 정의한다. 이 정의는 체를 포함한 모든 환론의 기본 개념으로, 환의 구조와 성질을 분류하고 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 특히 체론과 다항식 이론에서 표수의 차이는 방정식의 해법이나 기하학적 성질에 근본적인 영향을 미친다.
3. 표수의 종류
3. 표수의 종류
3.1. 표수 0
3.1. 표수 0
표수 0은 환의 표수가 0인 경우를 가리킨다. 이는 환의 단위원 1에 대해, 1을 유한 번 더했을 때(즉, 1의 정수배) 0이 되는 양의 정수 n이 존재하지 않음을 의미한다. 수학적으로, 모든 양의 정수 n에 대해 n·1 ≠ 0이 성립할 때, 그 환의 표수는 0으로 정의된다.
표수 0인 환의 대표적인 예는 우리에게 익숙한 유리수체, 실수체, 복소수체를 포함한 수 체계들이다. 예를 들어, 정수 1을 아무리 많이 더해도 결코 0이 되지 않는다. 또한, 정수환, 다항식환 등도 표수가 0인 환의 범주에 속한다. 이러한 체들은 특성 0의 체라고도 불리며, 대수학의 여러 분야에서 기본적인 연구 대상이 된다.
표수 0인 체와 표수 p인 체(여기서 p는 소수)는 여러 근본적인 성질에서 차이를 보인다. 예를 들어, 표수 0인 체 위에서 정의된 다항식은 형식적 미분을 했을 때 0이 되는 경우가 상수함수에 한정되는 반면, 표수 p인 체 위에서는 x^p와 같은 다항식을 미분하면 0이 될 수 있다. 이 차이는 갈루아 이론, 대수기하학, 수론 등에서 중요한 결과를 가져온다.
따라서 표수 0의 개념은 환과 체를 그 특성에 따라 분류하는 첫 번째 단계이며, 이후 전개되는 많은 이론의 출발점이 된다. 이 분류는 유한체와 대수적 수체의 연구, 또는 표현론에서 서로 다른 기저(base field)의 특성을 고려할 때 핵심적인 역할을 한다.
3.2. 표수 p (소수)
3.2. 표수 p (소수)
표수 p는 환의 표수가 0이 아닌 경우를 의미하며, 이때 p는 반드시 소수이다. 이는 환의 덧셈군에서 1을 p번 더했을 때 0이 되는 가장 작은 양의 정수 p가 존재함을 뜻한다. 이러한 성질은 환의 구조와 그 위에서 정의된 다항식의 성질에 근본적인 영향을 미친다.
표수가 소수 p인 체는 유한체의 기본적인 예시가 되며, 갈루아 체 이론에서 중요한 역할을 한다. 또한, 표수 p인 체 위에서는 이항 정리가 특이한 형태를 보이는데, (x+y)^p = x^p + y^p와 같은 공식이 성립한다. 이는 프로베니우스 준동형사상의 핵심 성질로 이어진다.
표수가 소수인 체와 표수가 0인 체(예: 유리수 체, 실수 체, 복소수 체)는 여러 대수적 성질에서 현격한 차이를 보인다. 예를 들어, 표수 p 체에서는 다항식의 형식적 미분이 0이 될 수 있으며, 이는 분리 가능 확대 이론을 다룰 때 중요한 요소가 된다.
4. 성질
4. 성질
표수는 환의 구조를 이해하는 데 중요한 정보를 제공한다. 환의 표수가 소수 p이면, 그 환은 정수환 Z를 p로 나눈 몫환 Z/pZ와 유사한 산술적 성질을 가진다. 특히, 체의 경우 표수가 소수 p이면, 그 체의 모든 원소 a에 대해 p번 더한 값(p*a)이 항상 0이 된다. 이는 이항정리와 결합하여 (a+b)^p = a^p + b^p와 같은 흥미로운 공식을 유도하는 데 사용된다.
표수가 0인 환은 유리수체 Q와 관련된 성질을 보인다. 이 경우, 환은 무한개의 서로 다른 정수 배수를 원소로 포함하게 되며, 정수환 Z를 부분환으로 포함할 수 있다. 따라서 표수 0인 체에서는 일반적인 정수에서의 산술이 자유롭게 적용 가능하다. 예를 들어, 1을 계속 더해도 절대 0이 되지 않는다.
표수의 개념은 다항식의 근과 대수적 확대 이론에서 결정적인 역할을 한다. 표수 p인 체 위에서는 다항식의 형식적 미분이 0이 될 수 있으며, 이는 분해불가능 다항식과 완전체의 연구로 이어진다. 또한, 유한체는 반드시 소수 표수를 가지며, 그 크기는 p의 거듭제곱이 된다는 것이 알려져 있다.
5. 예시
5. 예시
체의 표수는 그 체의 연산이 어떻게 작동하는지를 보여주는 중요한 특성이다. 가장 친숙한 체인 유리수 체, 실수 체, 복소수 체의 표수는 0이다. 이는 이러한 체에서 1을 계속 더해도 결코 0이 되지 않음을 의미한다. 예를 들어, 실수에서 1+1+...+1 (n번)이 0이 되는 자연수 n은 존재하지 않는다.
표수가 소수 p인 대표적인 예는 유한체이다. 가장 간단한 유한체는 소수 p에 대해 정수를 p로 나눈 나머지들의 체인 합동 산술 체 Z/pZ이다. 이 체에서는 1을 p번 더하면 0이 된다. 예를 들어, p=3인 체 Z/3Z = {0, 1, 2}에서는 1+1+1 = 3 ≡ 0 (mod 3)이 성립한다. 모든 유한체의 표수는 반드시 어떤 소수 p이며, 그 체의 원소 개수는 p의 거듭제곱(p^n) 형태를 가진다.
표수의 개념은 다항식의 성질에도 영향을 미친다. 표수 0인 체에서는 형식적 미분을 했을 때, 다항식 f(x)가 f'(x)=0을 만족한다면 f(x)는 상수함수이다. 그러나 표수가 소수 p인 체에서는 이 성질이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 표수 p인 체에서 다항식 f(x) = x^p를 생각해보면, 그 미분은 f'(x) = p*x^(p-1) = 0이 되는데, f(x) 자체는 상수함수가 아니다. 이러한 현상은 완전체와 같은 개념을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
6. 관련 개념
6. 관련 개념
표수는 환론과 체론에서 핵심적인 개념으로, 다른 여러 대수적 구조와 성질과 밀접하게 연관되어 있다. 유한체의 구조는 그 표수에 의해 완전히 결정되며, 표수가 소수 p인 유한체의 원소 개수는 p의 거듭제곱 형태를 가진다. 이는 코딩 이론과 암호학에서 유한체를 응용하는 데 중요한 기초가 된다.
다항식 이론에서도 표수의 영향이 나타난다. 표수가 0인 체에서는 형식적 미분을 이용한 다항식의 중근 판정법이 잘 성립하지만, 표수가 소수 p인 체에서는 미분계수가 0이 되는 특이한 현상이 발생할 수 있어 주의가 필요하다. 또한, 페르마의 소정리는 표수 p인 체에서 모든 원소 a에 대해 a^p = a가 성립한다는 사실로 일반화될 수 있다.
표수의 개념은 대수기하학과 정수론으로도 확장된다. 대수적 수체의 대수적 정수환과 유리수체 위에서 정의된 대수다양체를 연구할 때, 그 기저가 되는 체의 표수(보통 0)는 기하적 성질에 영향을 미친다. 한편, 양의 표수를 가진 체 위의 기하학, 즉 양의 표수 대수기하학은 표수 0의 경우와 구별되는 독특한 현상들을 보여주는 중요한 연구 분야이다.
