SU(3)

SU(3)는 리 군의 하나로, 군론적 관점에서 다음과 같이 정의된다. 이 군은 3x3 복소수 행렬 중 특정 조건을 만족하는 것들의 집합으로 구성된다.

구체적으로, SU(3)는 다음 두 조건을 동시에 만족하는 모든 3x3 행렬 U의 집합이다. 첫째, 행렬 U는 유니터리 행렬이어야 한다. 즉, 그 에르미트 수반 U†와의 곱이 단위 행렬이 되어야 한다(U†U = I). 둘째, 행렬의 행렬식 값이 정확히 1이어야 한다(det U = 1). '특수(Special)'라는 접두사는 바로 이 행렬식이 1이라는 조건을 가리킨다. 이러한 행렬들의 집합은 행렬 곱셈 연산 아래에서 군의 구조를 이룬다.

이 군은 연속군이자 리 군으로, 8개의 실수 매개변수로 완전히 기술될 수 있다. 이는 군의 차원이 8임을 의미하며, 이 차원은 해당 리 대수인 su(3)의 생성원 개수와 일치한다. SU(3) 군의 요소들은 복소수 벡터 공간 C³ 위에서의 선형 변환으로 작용하며, 이 변환은 벡터의 내적과 부피 요소를 보존한다.

군론적 정의는 SU(3)의 대수적 구조를 명확히 하며, 이를 게이지 이론의 게이지 군으로 사용하는 양자색역학이나 쿼크 모형의 근사적 맛깔 대칭을 이해하는 수학적 기초를 제공한다.

SU(3) 군의 리 대수는 su(3)로 표기한다. 이는 군의 항등원 근처에서의 국소적 구조, 즉 무한소 생성원들의 대수를 기술한다. su(3) 리 대수는 3×3 복소수 행렬 중 에르미트 성질(Hermitian)을 갖고 대각합(Trace)이 0인 모든 행렬들의 집합으로 정의된다. 이러한 행렬들은 SU(3) 군의 생성원에 해당한다.

su(3) 리 대수의 차원은 8이다. 이는 SU(3) 군이 8개의 독립적인 실수 매개변수로 기술됨을 의미하며, 따라서 8개의 독립적인 생성원이 존재한다. 물리학에서 이 8개의 생성원은 겔만 행렬이라는 특정한 기저로 표현되는 것이 일반적이다. 이 행렬들은 리 대수의 교환 관계, 즉 리 괄호를 만족시킨다.

su(3)는 단순 리 대수이며, 그 근계는 A₂ 형으로 분류된다. 이는 su(3)의 구조가 쿼크의 세 가지 색깔이나 세 가지 맛깔과 같은 기본 삼중항 표현과 깊이 연관되어 있음을 보여준다. su(3) 리 대수의 표현론은 팔정도와 같은 강입자 분류 체계의 수학적 기초를 제공한다.

양자색역학에서 글루온에 해당하는 8개의 게이지 보손은 바로 이 su(3) 리 대수의 8개 생성원에 대응된다. 따라서 강한 상호작용의 게이지 이론은 본질적으로 su(3) 리 대수에 기반한 게이지 이론이다.

SU(3) 군의 표현론은 이 군이 작용하는 복소 벡터 공간, 즉 표현을 연구하는 분야이다. 가장 기본적인 표현은 정의 표현 또는 기본 표현으로, SU(3)가 3차원 복소 벡터 공간 C³에 행렬 곱으로 자연스럽게 작용하는 표현이다. 이 표현은 쿼크의 색전하나 맛깔을 기술하는 데 핵심적인 역할을 한다. 표현의 차원은 그 공간의 복소수 차원을 의미하며, SU(3)의 표현은 일반적으로 가장 높은 가중치로 분류된다.

SU(3) 표현의 분류와 분석에는 젊은 도표와 같은 조합론적 방법이 효과적으로 사용된다. 예를 들어, 기본 표현 3과 그 켤레 표현 3*를 텐서 곱하면 3 ⊗ 3* = 1 ⊕ 8과 같이 분해된다. 여기서 1은 단일항 표현이고, 8은 딸림표현이다. 이 딸림표현은 차원이 8인 표현으로, 양자색역학에서 글루온이 속하는 표현이며, 쿼크 모형에서는 중간자의 팔정도를 설명하는 근거가 된다.

SU(3)의 모든 유한차원 기약 표현은 두 개의 정수 (p, q)로 지표화할 수 있으며, 그 표현의 차원은 공식 (p+1)(q+1)(p+q+2)/2 로 주어진다. 이 공식에 따라 (1,0)은 3, (0,1)은 3*, (1,1)은 8, (3,0)은 10 등 중요한 표현들의 차원을 얻을 수 있다. 이러한 표현론적 구조는 강입자 스펙트럼을 이해하고 새로운 입자를 예측하는 강력한 도구를 제공했다.

양자색역학은 강한 상호작용을 기술하는 게이지 이론이다. 이 이론은 쿼크와 글루온을 기본 구성 요소로 하며, 그 상호작용은 SU(3) 게이지 대칭에 의해 지배된다. 여기서 SU(3)은 색전하의 자유도에 대한 대칭군을 의미하며, 이는 맛깔과 구분되는 개념이다.

쿼크는 세 가지 종류의 색전하, 즉 '빨강', '초록', '파랑' 중 하나를 가진다. SU(3) 대칭은 이 세 색상이 서로 혼합되어도 물리 법칙이 변하지 않음을 의미한다. 이 대칭은 게이지 장인 글루온을 매개로 하여 국소적으로 성립하며, 글루온 자체는 8개의 독립적인 상태를 가져 SU(3) 군의 8차원과 일치한다.

양자색역학의 핵심 특징은 점근적 자유와 색가둠 현상이다. 점근적 자유는 쿼크 사이의 거리가 매우 가까울 때 상호작용이 약해짐을 설명하며, 색가둠은 색전하를 가진 입자(쿼크, 글루온)가 고립된 상태로 관측되지 않고 항상 색중성 상태(중간자, 바리온 등)로만 존재하게 되는 현상을 말한다. 이 모든 현상은 SU(3) 게이지 이론의 결과로 이해된다.

쿼크 모형은 강입자가 쿼크와 반쿼크로 구성되어 있다는 모형이다. 초기에는 위 쿼크, 아래 쿼크, 기묘 쿼크라는 세 가지 맛깔만 알려져 있었다. 이 세 쿼크는 SU(3) 군의 기본 표현을 형성하며, 이 군의 대칭 변환 아래에서 서로 변환될 수 있다. 이 근사적인 대칭성을 '맛깔 SU(3) 대칭'이라고 부른다.

이 대칭성의 틀 안에서, 중입자는 세 개의 쿼크로 구성되며, SU(3) 군의 표현론에 따라 분류된다. 가장 중요한 표현은 팔중항과 십중항이다. 특히, 팔중항에 속하는 8개의 중간자와 8개의 바리온이 실험적으로 관측되었다. 머리 겔만은 이 입자들을 SU(3) 대칭성에 기반하여 체계적으로 배열했는데, 이를 '팔정도'라고 부른다.

팔정도는 입자의 전하와 초전하에 따라 입자들을 대칭적으로 배열한 도표이다. 예를 들어, 가벼운 중간자 팔중항은 파이 중간자, K 중간자, 에타 중간자 등으로 구성된다. 이 체계적인 분류는 오메가 중입자의 존재를 성공적으로 예측하는 계기가 되었으며, 쿼크 모형의 강력한 증거가 되었다.

강한 상호작용은 양자색역학에 의해 기술되며, 그 이론적 근간은 게이지 이론이다. 이 이론에서 강한 상호작용의 힘은 쿼크가 지니는 색전하라는 새로운 양자수에 기반한다. SU(3) 대칭군은 바로 이 색전하 공간에서의 변환 대칭을 기술하는 게이지 군으로서 역할한다. 즉, 세 가지 기저 상태(일반적으로 빨강, 초록, 파랑으로 비유됨)로 표현되는 색깔 공간에서, 상태의 혼합을 기술하는 변환이 SU(3) 군의 원소에 해당한다.

이 게이지 대칭은 로컬 대칭성, 즉 시공간의 각 점마다 독립적으로 SU(3) 변환이 적용될 수 있는 대칭성을 요구한다. 이러한 요구에 따라 도입되는 게이지 장이 글루온이며, 이는 총 8종류가 존재한다. 이 수는 SU(3) 군의 생성원의 개수, 즉 그 리 대수 su(3)의 차원인 8과 일치한다. 글루온은 색전하를 가진 쿼크 사이의 힘을 매개함으로써 강한 상호작용을 일으키는 힘의 전달자이다.

SU(3) 색 대칭은 정확한 대칭성으로 여겨진다. 이는 양자장론의 틀 내에서 게이지 군 SU(3)에 대한 대칭이 깨지지 않음을 의미한다. 이 대칭성의 결과로, 글루온 자신도 색전하를 지녀 다른 글루온과 상호작용할 수 있다는 점이 특징이다. 이는 전자기력을 기술하는 U(1) 게이지 이론과 구별되는 중요한 성질로, 강한 상호작용의 점근적 자유 현상 및 색가둠 현상을 이해하는 데 핵심적이다.

SU(3) 군은 여러 개의 SU(2) 부분군을 포함하고 있다. 이는 SU(3)의 리 대수 su(3)가 여러 개의 su(2) 부분 대수로 분해될 수 있음을 의미한다. 구체적으로, su(3) 대수의 여덟 개의 생성원 중 세 개를 적절히 선택하면, 그들이 su(2) 대수의 교환 관계를 만족하도록 구성할 수 있다.

가장 직관적인 예는 겔만 행렬 중 파울리 행렬과 유사한 구조를 가진 λ1, λ2, λ3를 선택하는 것이다. 이 세 행렬은 정확히 su(2) 대수의 구조를 이루며, 이로부터 대응되는 SU(2) 부분군을 정의할 수 있다. 이 부분군은 SU(3)의 3차원 복소수 표현 공간 내에서 특정한 2차원 부분 공간에 작용한다.

이러한 SU(2) 부분군은 강한 상호작용의 이론인 양자색역학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 색전하 공간에서 특정한 두 색깔(예: 빨강과 녹색) 사이의 변환을 기술하는 데 사용될 수 있다. 이는 글루온 중 세 개가 SU(2) 부분군에 해당하는 게이지 보손으로 해석될 수 있음을 시사한다. 따라서 SU(3)의 전체 대칭성은 이러한 더 작은 SU(2) 대칭성들로 분석될 수 있으며, 이는 군의 구조를 이해하고 물리적 현상을 계산하는 데 유용한 도구가 된다.

SU(3) 군 내에는 여러 개의 U(1) 부분군이 존재한다. 이는 SU(3)의 모든 원소가 행렬식이 1이라는 조건을 만족하는 3×3 유니터리 행렬로 구성되어 있기 때문이다. 일반적으로, SU(3)의 대각 행렬 원소들 중 특정한 조합은 U(1) 아벨 군의 구조를 이루며, 이는 SU(3)의 전체 비아벨적 구조 속에 포함된 아벨 부분군에 해당한다.

가장 대표적인 예는 겔만 행렬 중 λ3와 λ8에 의해 생성되는 부분군이다. 이 두 생성원은 서로 교환 가능하며, 이들이 생성하는 리 대수는 두 개의 U(1) 리 대수의 직합(u(1) ⊕ u(1))과 동형이다. 물리학적으로, 이 부분군은 양자색역학에서 색전하의 두 독립적인 성분, 즉 제3색전하와 제8색전하에 해당하는 대칭을 기술한다. 이는 강한 상호작용의 게이지 군인 SU(3)의 국소 대칭이 8개의 게이지 보손(글루온)을 요구하는 반면, 이 중 두 개는 이 U(1) 부분군들과 연관되어 있다는 점에서 중요하다.

한편, 쿼크 모형의 맛깔 대칭 근사에서 SU(3) 맛깔 군 내에도 U(1) 부분군이 존재한다. 예를 들어, 바리온수 보존과 관련된 U(1)_V 대칭이나, 축벡류 흐름과 연관된 U(1)_A 대칭이 있다. 이러한 U(1) 부분군들은 SU(3)의 완전한 대칭이 깨진 상황에서도 남아있는 또는 근사적으로 남아있는 대칭성을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

겔만 행렬은 SU(3) 리 군의 생성원을 나타내는 3x3 에르미트 행렬 집합이다. 리 대수 su(3)는 8차원이므로, 8개의 독립적인 겔만 행렬이 존재하며, 이들은 교환자 연산 아래에서 대수 구조를 정의한다. 이 행렬들은 머리 겔만에 의해 도입되어 쿼크 모델과 강한 상호작용의 게이지 이론인 양자색역학의 수학적 기초를 제공하는 데 핵심적인 역할을 한다.

겔만 행렬은 일반적으로 λ1부터 λ8까지로 표기되며, 파울리 행렬을 3차원으로 일반화한 형태를 가진다. 이 행렬들은 대각화 가능하며, 대각합이 0이고 서로 직교하는 성질을 가진다. 특히 λ3와 λ8은 서로 가환하며, 이는 SU(3) 카르탕 부분 대수를 구성하여 군의 랭크가 2임을 보여준다. 이러한 생성원들은 리 대수의 구조 상수를 통해 교환 관계를 정의하며, 이 상수들은 군의 완전한 대수적 특성을 결정한다.

물리학에서 이 8개의 생성원은 양자색역학의 게이지 보손인 8종류의 글루온에 직접 대응된다. 각 글루온은 특정한 색전하 조합을 운반하며, 쿼크 사이의 강한 상호작용을 매개한다. 또한, 팔정도로 알려진 경입자 분류 체계는 SU(3) 맛깔 대칭의 근사적 군 표현론을 통해 설명되는데, 이때 입자들이 속하는 다중항은 겔만 행렬로 정의된 생성원들의 작용하에서 변환된다.

글루온은 양자색역학에서 강한 상호작용의 매개체 역할을 하는 게이지 보손이다. SU(3) 색 대칭의 게이지 이론에 따라, 글루온은 색전하를 가진 입자들, 즉 쿼크 사이의 힘을 전달한다. 다른 게이지 보손인 광자나 W 및 Z 보손과 달리, 글루온 자체도 색전하를 지니고 있어 서로 직접적인 상호작용을 할 수 있다는 점이 가장 큰 특징이다. 이로 인해 강한 상호작용은 거리에 따라 약해지지 않고, 오히려 거리가 멀어질수록 강해지는 색가둠 현상을 보인다.

글루온은 총 8종류가 존재하며, 이는 SU(3) 리 군의 생성원 개수인 8과 일치한다. 이 8개의 글루온은 겔만 행렬로 표현되는 SU(3) 리 대수의 생성원에 대응된다. 각 글루온은 한 쌍의 색과 반색을 운반하며, 이를 통해 쿼크의 색 상태를 변경시킨다. 예를 들어, 붉은 색을 가진 쿼크가 푸른 색의 쿼크에게 글루온을 방출하면, 그 쿼크의 색은 변경된다.

글루온의 이러한 자가 상호작용 특성은 양자색역학의 베타 함수가 음의 값을 갖게 만들어, 고에너지(짧은 거리)에서 결합 상수가 작아지는 점근적 자유 현상을 설명한다. 반대로, 낮은 에너지(긴 거리)에서는 결합 상수가 커져 쿼크와 글루온이 단독으로 관측되지 않고 강입자 내부에 갇히게 된다. 글루온만으로 이루어진 복합체인 글루볼의 존재는 이론적으로 예측되었으며, 실험적 탐구가 진행 중이다.