SU(2)

SU(2)는 특수 유니터리 군의 하나로, 2×2 복소수 행렬로 구성된 리 군이다. 구체적으로, SU(2)는 유니터리 행렬이면서 그 행렬식이 1인 모든 행렬의 집합으로 정의된다. 즉, 행렬 U가 SU(2)의 원소가 되기 위해서는 조건 U†U = I (단위행렬)과 det(U) = 1을 동시에 만족해야 한다. 여기서 U†는 U의 켤레 전치를 의미한다.

이 정의를 성분으로 표현하면, SU(2)의 일반적인 원소는 네 개의 복소수 매개변수로 나타낼 수 있다. 그러나 유니터리 조건과 행렬식 조건으로 인해 독립적인 실수 매개변수는 3개이며, 이는 SU(2) 군의 다양체로서의 차원이 3임을 의미한다. 이러한 행렬은 콤팩트하고 단순 연결인 위상적 성질을 가진다.

SU(2)는 가장 간단한 비가환 리 군의 예시 중 하나로, 군 연산으로서의 행렬 곱셈에 대해 닫혀 있고, 역원이 항상 존재한다. 이 군의 구조는 사원수의 단위 집합과 동형이며, 3차원 구 S³와 위상적으로 동일하다는 기하학적 해석을 갖는다. 이 정의는 더 높은 차원의 SU(n) 군으로 자연스럽게 일반화된다.

SU(2)는 리 군의 중요한 예시이다. 리 군은 군의 구조와 매끄러운 다양체의 구조를 동시에 가지는 대상으로, 연속적인 대칭을 기술하는 데 필수적이다. SU(2)는 3차원의 콤팩트 단순 연결 리 군이다.

SU(2)의 리 대수는 su(2)로 표기하며, 이는 군의 항등원 근처에서의 무한소 변환을 기술한다. su(2) 리 대수는 3차원 실수 벡터 공간이며, 그 기저는 파울리 행렬에 허수 단위 i를 곱한 것들로 구성된다. 이 기저 사이의 리 괄호 연산은 벡터곱과 동일한 구조를 가진다. 리 군과 리 대수의 관계는 지수 사상을 통해 연결되며, SU(2)의 모든 원소는 su(2)의 원소를 지수 사상하여 얻을 수 있다.

SU(2)의 리 대수 su(2)는 so(3) 리 대수, 즉 3차원 회전군 SO(3)의 리 대수와 동형이다. 이는 두 리 대수의 구조 상수가 일치함을 의미한다. 그러나 두 리 군 SU(2)와 SO(3) 자체는 동형이 아니며, SU(2)가 SO(3)을 두 번 덮는 범피복군이라는 위상적 차이를 가진다. 이 관계는 스핀과 스피너의 개념을 이해하는 기초가 된다.

SU(2) 군의 표현은 그 리 대수 su(2)의 표현을 통해 체계적으로 연구된다. su(2)의 표현은 양자역학에서 각운동량 연산자, 특히 스핀 연산자의 대수적 구조를 기술하는 데 핵심적이다. su(2) 리 대수의 기저는 파울리 행렬에 허수 단위 i를 곱한 것으로 나타낼 수 있으며, 이들의 교환 관계는 각운동량 연산자의 교환 관계와 동일하다.

su(2)의 유한 차원 기약 표현은 스핀 양자수 j에 의해 완전히 분류되며, 여기서 j는 0, 1/2, 1, 3/2, ...과 같은 반정수 또는 정수 값을 가진다. 각 j 값에 대응하는 표현의 차원은 2j+1이다. 가장 기본적인 표현은 j=1/2인 2차원 표현으로, 이는 SU(2) 군 자체의 정의 표현이며, 스피너가 변환하는 방식을 기술한다. j=1인 3차원 표현은 벡터와 유사한 변환을 하는 SO(3) 군의 정의 표현과 밀접한 관련이 있다.

SU(2) 군은 단순 연결성이므로, 그 리 대수 su(2)의 모든 유한 차원 표현은 SU(2) 군 자체의 군 표현으로 유일하게 '들어 올려질' 수 있다. 이는 SO(3) 군과의 중요한 차이점으로, SO(3)은 이중 피복인 SU(2)에 의해 피복되며, SU(2)의 j가 정수인 표현만이 SO(3)의 표현으로 내려간다. SU(2)의 표현론은 더 일반적인 SU(n) 군과 표준 모형의 게이지 이론을 이해하는 기초를 제공한다.

양자역학에서 스핀은 입자가 갖는 고유한 각운동량으로, 고전적인 회전 운동과는 다른 성질을 가진다. 전자와 같은 페르미온의 스핀은 1/2이며, 이 스핀 자유도의 상태 공간은 2차원 복소수 힐베르트 공간으로 기술된다. 이 공간에서 스핀 상태의 변환, 즉 회전을 기술하는 군이 바로 SU(2) 군이다. 스핀 1/2 입자의 임의의 회전은 SU(2)의 원소인 2×2 유니터리 행렬로 표현된다.

스핀 연산자는 파울리 행렬의 선형 결합으로 주어지며, 세 개의 파울리 행렬은 SU(2) 군의 리 대수인 su(2) 대수의 기저를 이룬다. 이 관계를 통해 스핀 연산자 사이의 교환 관계를 이해할 수 있다. SU(2) 군은 SO(3) 회전군과 밀접하게 연결되어 있지만, 단순 연결성이라는 중요한 위상적 차이를 가진다. SO(3)에서 360도 회전은 항등 변환이지만, SU(2)에서는 -1에 해당하는 행렬이 된다. 이는 스핀 1/2 입자가 360도 회전할 때 상태 벡터에 마이너스 부호가 생기는 현상과 직접적으로 연결된다.

따라서 SU(2)는 스핀의 수학적 구조를 이해하는 핵심적인 틀을 제공하며, 양자역학의 기본적인 대칭성을 나타낸다. 이 군의 표현론은 스핀뿐만 아니라 이소스핀과 같은 내부 대칭을 다루는 데에도 광범위하게 응용된다.

SU(2) 군은 표준 모형에서 약한 상호작용을 기술하는 게이지 대칭성의 핵심을 이룬다. 표준 모형은 강한 상호작용, 약한 상호작용, 전자기력을 설명하는 게이지 이론으로, 각 힘은 특정한 게이지 군에 의해 대칭성을 가진다. 약한 상호작용의 게이지 군은 SU(2)이며, 이는 힉스 메커니즘을 통해 자발 대칭 깨짐을 겪어 W 보손과 Z 보손이라는 거대한 질량을 가진 게이지 보손을 생성한다.

SU(2) 게이지 이론에서, 페르미온은 SU(2) 군의 기본 표현에 해당하는 이중항으로 묶인다. 예를 들어, 전자와 전자 중성미자는 하나의 SU(2) 이중항을 구성하여 약한 상호작용 하에서 서로 변환될 수 있다. 이 구조는 약한 아이소스핀이라는 양자수를 통해 기술되며, 모든 입자 물리학의 표준 모형 계산에 필수적이다.

표준 모형의 완전한 게이지 군은 SU(3) × SU(2) × U(1)의 직접곱 형태를 띤다. 여기서 SU(3)은 양자 색역학의 색차를 기술하는 강한 상호작용의 군이고, U(1)은 전자기력을 기술하는 군이다. SU(2)와 U(1)은 글래쇼-와인버그-살람 모형에서 혼합되어 전자기력과 약한 상호작용을 통일적으로 설명하는 전약력을 형성한다. 따라서 SU(2)는 자연계의 기본 힘을 이해하는 데 있어 불가결한 수학적 틀을 제공한다.

SU(2) 군은 3차원 구면 S^3과 위상동형이다. 이는 SU(2)의 원소를 2×2 복소 행렬로 표현할 때, 그 조건을 통해 기하학적으로 해석할 수 있다. SU(2)의 임의의 원소는 네 개의 복소수 매개변수로 표현되지만, 유니터리 조건과 행렬식이 1이라는 제약을 통해 이 매개변수들이 하나의 구면 방정식을 만족함을 보일 수 있다. 구체적으로, SU(2)의 원소는 단위 노름을 가진 두 개의 복소수, 또는 네 개의 실수로 표현되며, 이 네 실수의 제곱합이 1이 된다. 이는 정확히 3차원 구면 S^3의 정의와 일치한다.

이러한 위상동형 관계는 SU(2)가 단순 연결 군임을 보여주는 핵심적인 근거가 된다. 3차원 구면 S^3은 2차원 구면 S^2와 달리 어떤 고리라도 점으로 수축시킬 수 있는, 즉 단순 연결된 공간이다. 따라서 SU(2) 군 자체도 단순 연결성을 가진다. 이 성질은 SU(2)가 리 군 이론에서 범피복 군의 역할을 하게 만든다.

SU(2)와 S^3의 동일시는 쿼터니언을 통해 더욱 명확해진다. 단위 노름을 가진 쿼터니언의 군은 SU(2) 군과 동형이며, 동시에 3차원 구면의 구조를 자연스럽게 지닌다. 이 관점에서 SU(2)의 군 연산은 구면 위의 일종의 회전으로 해석될 수 있다. 이러한 기하학적 이해는 SU(2)가 회전군 SO(3)의 2겹 피복 군이라는 사실을 직관적으로 이해하는 데도 도움이 된다.

SU(2)는 3차원 회전군인 SO(3)과 밀접한 관계를 가진다. 두 군은 모두 3차원의 리 군이며, 국소적으로는 동일한 구조를 공유한다. 이는 두 군의 리 대수가 동형이라는 사실에서 비롯된다. 즉, SU(2)와 SO(3)의 무한소 변환은 수학적으로 동일하게 기술된다. 이러한 관계 때문에 SU(2)는 SO(3)의 범피복군이라고 불린다.

구체적으로, SU(2)에서 SO(3)으로 가는 2:1의 군 준동형사상이 존재한다. 이는 SU(2)의 각 원소가 SO(3)의 한 원소에 대응되지만, SU(2)의 서로 다른 두 원소(예: 단위행렬과 그 음의 행렬)가 SO(3)의 동일한 회전을 나타낸다는 것을 의미한다. 이러한 대응 관계는 쿼터니언을 이용한 3차원 회전 표현과도 깊이 연관되어 있다.

이 2:1 대응은 물리학, 특히 양자역학에서 중요한 함의를 가진다. 예를 들어, 스핀 1/2 입자를 회전시킬 때, 공간을 360도 회전시키면 입자의 파동 함수의 부호가 바뀌는 현상이 발생한다. 이는 SU(2)의 원소가 2π 회전에 대해 -1의 위상을 가지는 반면, SO(3)의 동일한 기하학적 회전은 2π 회전 후에도 항등원으로 돌아오기 때문이다. 입자의 상태가 완전히 원래 상태로 돌아오려면 720도(4π) 회전이 필요하다.

따라서 SU(2)는 SO(3)보다 더 미세한 위상 구조를 가지며, 이는 SU(2)가 단순 연결인 반면 SO(3)은 단순 연결이 아니라는 사실로 수학적으로 확인된다. 이 관계는 게이지 이론에서 내부 대칭을 기술하는 데 핵심적인 역할을 하며, 표준 모형의 약한 상호작용을 기술하는 기초가 된다.

SU(2)는 단순 연결 군이다. 이는 SU(2) 위의 임의의 닫힌 곡선을 군의 항등원에서 한 점으로 연속적으로 수축시킬 수 있음을 의미한다. 기하학적으로, SU(2)는 3차원 구 S³와 위상동형이기 때문에 이러한 성질을 가진다. 3차원 구는 2차원 평면과 마찬가지로 구멍이 없어 모든 고리를 한 점으로 줄일 수 있으므로 단순 연결성을 만족한다.

이 단순 연결성은 SU(2)와 그 피복 공간의 관계에서 중요한 역할을 한다. SU(2)는 회전군 SO(3)의 보편적 피복군이다. 즉, SU(2)에서 SO(3)으로 가는 2:1의 전사적인 군 준동형사상이 존재하며, SU(2)는 단순 연결인 반면 SO(3)은 단순 연결이 아니다. 이는 SO(3)의 기본군이 정수 모듈로 2, 즉 Z₂와 동형임을 의미한다.

물리학, 특히 양자역학에서 이 관계는 스핀의 수학적 기술에 핵심적이다. 입자의 스핀 1/2 상태는 SU(2)의 기약 표현으로 설명되는데, 이는 SU(2)가 회전에 대한 양자역학적 대칭군이기 때문이다. SU(2)의 단순 연결성은 이러한 스피너 표현의 존재를 보장하는 토대가 된다.

SU(2)는 콤팩트 군이다. 이는 군의 위상 공간이 유클리드 공간에서 유계이고 닫힌 집합이라는 성질을 가지며, 이로 인해 군의 표현론과 적분에 유리한 구조를 제공한다. 콤팩트성은 SU(2)가 유니터리 행렬로 구성되어 있고, 그 행렬 원소들의 절댓값이 유계이기 때문에 성립한다.

구체적으로, SU(2)의 모든 원소는 2×2 복소행렬로 표현되며, 유니터리 조건과 행렬식이 1이라는 조건을 만족한다. 이 조건들은 행렬의 각 원소에 대한 제약을 가하여, 전체 군 공간이 복소수 공간 내에서 유한한 범위로 제한되게 만든다. 이러한 위상적 성질은 SU(2)의 모든 연속 군 표현이 유한차원으로 완전히 분해될 수 있음을 보장하는 중요한 역할을 한다.

SU(2)의 콤팩트성은 리 군 이론에서 핵심적인 성질 중 하나로, 이를 통해 군 위에서의 하르 측도를 정의하고 표현론을 전개할 수 있다. 이 성질은 더 일반적인 특수 유니터리 군 SU(n)에도 공통적으로 적용되며, 물리학에서 게이지 이론이나 양자역학의 스핀을 다룰 때 중요한 수학적 기반이 된다.

SU(2)는 특수 유니터리 군 SU(n)의 n=2인 경우이다. 일반적인 SU(n) 군은 n×n 복소수 유니터리 행렬 중 행렬식이 1인 행렬들로 구성된 리 군이다. 이 군들은 표준 모형을 포함한 현대 물리학과 수학의 여러 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

SU(n) 군 중 가장 간단한 비아벨 군인 SU(2)는 스핀을 기술하는 데 사용되며, 양자역학과 밀접한 관계가 있다. 한 단계 더 복잡한 SU(3) 군은 양자 색역학의 게이지 대칭을 이루며, 쿼크와 글루온의 강한 상호작용을 지배한다. SU(3)의 8차원 리 대수는 게이지 보손인 글루온의 수와 직접적으로 연결된다.

더 일반적인 SU(n) 군들은 대통일 이론과 같은 이론물리학 모형에서 게이지 군으로 등장한다. 수학적으로 이 군들은 콤팩트하고 단순 연결이며, 그 표현론은 군 표현론과 대수기하학의 중요한 연구 대상이다. SU(n) 군의 구조와 성질은 행렬 군 이론의 표본이 된다.

SU(2)와 밀접한 관련을 가지는 중요한 군으로는 U(1) 군과 SO(3) 군이 있다. 이들은 각각 다른 차원과 성질을 가지며, 물리학과 기하학에서 서로 다른 역할을 한다.

U(1) 군은 1차원의 유니터리 군으로, 복소평면 위의 단위원을 이루는 원소들의 군이다. 이는 복소수 절댓값이 1인 모든 수의 집합이며, 위상수학적으로는 원(원)과 같다. 전자기학에서 전하의 게이지 대칭성을 기술하는 데 핵심적으로 사용되며, 표준 모형에서 전자기력을 매개하는 게이지 보손인 광자와 연결된다. SU(2) 군과 비교할 때, U(1) 군은 가환군이며 아벨 군이라는 점에서 구조가 훨씬 단순하다.

한편, SO(3) 군은 3차원 실수 공간에서의 모든 회전을 나타내는 특수 직교 군이다. 이 군은 3×3 직교 행렬 중 행렬식이 1인 행렬들로 구성된다. SU(2) 군과 SO(3) 군 사이에는 매우 중요한 관계가 존재하는데, SU(2)는 SO(3)의 범피복 군이다. 이는 SU(2)가 SO(3)을 두 번 덮는다는 것을 의미하며, 스핀이 1/2인 입자의 파동함수가 공간을 한 바퀴 회전(360도)할 때 부호가 바뀌는 현상을 수학적으로 설명하는 근간이 된다. 따라서 양자역학에서 입자의 스핀을 다룰 때는 SO(3)이 아닌 SU(2) 군의 표현이 필수적이다.