S-행렬

S-행렬은 양자역학과 양자장론에서 산란 현상을 기술하는 핵심 개념이다. 이는 입사 상태와 산란 후의 산란 상태 사이의 관계를 나타내는 연산자로 정의된다. S-행렬은 입자 물리학, 특히 입자물리학에서 입자 간 상호작용의 확률 진폭을 계산하고, 실험적으로 관측 가능한 산란 단면적을 예측하는 데 주로 사용된다. 또한 이론적으로 보존 법칙을 검증하는 중요한 도구가 된다.

S-행렬 이론은 산란 이론의 근간을 이루며, 상대론적 양자역학과 양자장론에서 입자의 생성과 소멸을 포함하는 복잡한 상호작용을 체계적으로 다룰 수 있게 해준다. 이는 시간에 따른 시스템의 진화를 기술하는 진화 연산자의 극한, 즉 S = U(∞, -∞)로 표현되며, 상호작용 픽처에서 시간 순서 곱(T)과 상호작용 해밀토니안(H_I)을 사용해 S = T exp(-i ∫ H_I(t) dt)와 같은 형태로 구체화된다.

S-행렬은 양자역학과 양자장론에서 산란 현상을 기술하는 핵심 개념이다. 이는 산란 실험에서 먼 과거의 입사 상태와 먼 미래의 산란 후 상태 사이의 관계를 나타내는 연산자로 정의된다. 즉, 초기 상태에 S-행렬을 작용하면 최종 상태가 얻어진다. 이 연산자는 입자 간 상호작용의 확률 진폭을 계산하고, 실험적으로 관측 가능한 산란 단면적을 예측하는 데 사용된다.

물리적 의미는 산란 과정에서의 상태 변화를 완전히 기술하는 것이다. 입자들이 서로 충돌하기 전인 먼 과거(t → -∞)에는 상호작용이 무시될 수 있을 정도로 멀리 떨어져 있어 자유 입자 상태로 간주할 수 있다. 이 입자들이 충돌하여 상호작용한 후, 다시 멀리 떨어지는 먼 미래(t → +∞)의 상태도 자유 입자 상태가 된다. S-행렬은 바로 이 두 자유 입자 상태 사이의 진화를 연결하는 변환 행렬이다.

S-행렬의 각 성분은 특정 초기 상태에서 특정 최종 상태로 전이될 확률 진폭을 의미한다. 이 진폭의 절댓값 제곱을 계산하면 해당 산란 과정이 일어날 확률을 얻을 수 있으며, 이를 통해 다양한 입자 반응의 단면적을 이론적으로 예측할 수 있다. 따라서 S-행렬은 입자물리학 실험의 이론적 해석과 검증에 필수적인 도구이다.

수학적으로 S-행렬은 상호작용 해밀토니안 H_I(t)를 포함한 시간 진화 연산자로 표현된다. 대표적인 표현은 S = U(∞, -∞) 또는 S = T exp(-i ∫ H_I(t) dt)이다. 여기서 T는 시간 순서 곱 연산자로, 상호작용이 시간에 따라 변하는 복잡한 과정을 체계적으로 다루기 위해 도입된다. 이 표현은 산란 이론의 기본 출발점이 된다.

산란 진폭은 산란 과정의 확률 진폭을 직접적으로 나타내는 양으로, S-행렬의 특정 행렬 요소로 주어진다. 초기 상태 |i⟩에서 최종 상태 |f⟩로의 전이 진폭은 S-행렬 요소 ⟨f|S|i⟩로 계산되며, 이 진폭의 절댓값 제곱이 해당 산란 과정이 일어날 확률을 결정한다. 따라서 S-행렬은 모든 가능한 입사 상태와 산란 후 상태에 대한 전이 진폭을 체계적으로 담고 있는 연산자라 할 수 있다.

실험적으로 측정 가능한 물리량인 산란 단면적은 바로 이 산란 진폭으로부터 유도된다. 구체적으로, 미분 산란 단면적 dσ/dΩ는 초기 상태와 최종 상태의 4-운동량을 고려한 적절한 위상 공간 인자와 함께 |⟨f|S|i⟩|²에 비례한다. 이 관계를 통해 이론적으로 계산된 S-행렬 요소는 입자 가속기 실험에서 관측되는 다양한 산란 사건의 발생률과 직접 비교될 수 있다.

S-행렬 요소 ⟨f|S|i⟩는 종종 물리적 상호작용의 기여를 명시적으로 분리하여 S = I + iT 형태로 쓰인다. 여기서 항등 연산자 I는 상호작용이 일어나지 않고 입자가 그대로 통과하는 항에 해당하며, iT 연산자가 실제 산란 과정을 기술한다. T 연산자의 행렬 요소 ⟨f|T|i⟩를 산란 진폭 M으로 정의하며, 이는 파인만 도형을 이용한 양자장론 계산에서 중심적인 역할을 한다.

이러한 연결 고리를 통해 S-행렬은 양자역학과 양자장론의 추상적 형식론을 실험 현상과 결부시키는 핵심적인 가교 역할을 한다. 입자물리학의 표준 모형 검증이나 새로운 상호작용 탐색은 궁극적으로 이 S-행렬 요소의 이론적 예측과 실험 데이터를 정밀하게 비교하는 과정을 통해 이루어진다.

양자장론에서 S-행렬은 상호작용 픽처를 사용하여 유도된다. 이 접근법은 자유장과 상호작용 항을 분리하는 해밀토니안의 표준 분할을 바탕으로 한다. 상호작용 픽처에서 상태의 시간 진화는 상호작용 해밀토니안 H_I(t)에 의해 결정되며, 이는 진공 상태나 입자의 점근 상태와 같은 물리적 상태를 정의하는 데 적합한 픽처이다.

S-행렬은 무한한 과거(t → -∞)의 입사 상태에서 무한한 미래(t → +∞)의 산란 후 상태로의 진화를 기술하는 진화 연산자 U(∞, -∞)로 정의된다. 이 연산자는 시간 순서 곱 T를 포함하는 디슨 급수로 표현되며, 그 핵심 형태는 S = T exp(-i ∫ H_I(t) dt)이다. 여기서 적분은 시간 전체에 걸쳐 이루어진다. 이 표현은 모든 가능한 상호작용 정점과 가상 입자의 교환을 포함하는 파인만 도형의 체계적인 합으로 이어지며, 산란 진폭을 계산할 수 있는 강력한 도구를 제공한다.

이 유도 과정은 상대론적 양자역학과 장론의 요구 사항, 특히 로런츠 불변성과 단위성을 자연스럽게 만족시킨다. 양자장론에서의 이러한 공식화는 표준 모형 내에서 입자 가속기 실험 결과를 예측하고 분석하는 데 필수적이다. 이를 통해 쿼크, 글루온, 힉스 입자 등 기본 입자 간의 복잡한 산란 과정에 대한 정량적 이해가 가능해졌다.

S-행렬 이론의 역사적 기원은 20세기 초 양자역학의 발전과 함께 시작된다. 1926년 존 폰 노이만은 양자역학의 수학적 기초를 확립하는 과정에서 힐베르트 공간과 연산자 이론을 도입했으며, 이는 이후 산란 현상을 기술하는 연산자의 개념적 토대가 되었다. 1930년대에 들어 베르너 하이젠베르크는 양자장론의 초기 형태에서 발생하는 무한대 문제를 우회하고 물리적으로 관측 가능한 양에 집중하기 위한 방법으로 S-행렬의 아이디어를 처음 제안했다. 그의 접근은 입자의 상호작용을 입사 상태와 산란 상태 사이의 관계, 즉 확률 진폭으로 직접 기술하는 것이었다.

이 아이디어는 1940년대에 본격적으로 발전하기 시작했다. 리처드 파인만, 줄리언 슈윙거, 신이치로 토모나가가 양자전기역학을 재규격화를 통해 성공적으로 정립하면서, 상호작용 묘사에 시간 순서 곱과 진화 연산자가 핵심 도구로 사용되었다. 이 시기에 S-행렬은 진화 연산자 U(∞, -∞)로 명확히 정의되었으며, 상호작용 퍼텐셜 H_I(t)에 대한 시간 순서 곱의 지수 적분 형태 S = T exp(-i ∫ H_I(t) dt)로 그 수학적 표현이 정립되었다. 이를 통해 산란 진폭을 계산하고 실험적으로 측정 가능한 산란 단면적을 예측하는 표준 도구가 마련되었다.

1950년대와 1960년대에는 S-행렬 이론이 강한 상호작용을 연구하는 주요 패러다임으로 부상했다. 당시 양자장론은 강입자의 복잡한 상호작용을 기술하기에 부적합해 보였기 때문이다. 제프리 치우, 스탠리 만델스탐, 토리치로 킨시카 등의 물리학자들은 로런츠 불변성, 유니터리성, 해석성과 같은 일반적 원리만으로 S-행렬의 구조를 유도하려는 강력한 S-행렬 이론 프로그램을 추진했다. 이 프로그램은 레제 궤적과 만델스탐 변수 같은 중요한 개념을 낳았으며, 보존 법칙 검증에 유용하게 적용되었다.

그러나 1970년대 초 게이지 이론과 양자 색역학의 성공으로 양자장론이 강한 상호작용의 기본 이론으로 자리잡으면서, S-행렬 이론 프로그램은 기본 이론으로서의 지위를 상실했다. 그럼에도 불구하고 S-행렬은 여전히 산란 실험의 결과를 계산하고 해석하는 데 있어 입자 물리학의 표준 도구로 남아 있으며, 그 개념과 기법은 응집 물질 물리학 등 다른 물리학 분야로도 확장 적용되고 있다.

• 위키백과 - 산란 행렬

• 위키백과 - 양자장론

• 위키백과 - 파인만 도형

• 위키백과 - 상호작용 그림

• 위키백과 - LSZ 축약 공식

• Britannica - S-matrix

• Scholarpedia - S-matrix theory

• Stanford Encyclopedia of Philosophy - The S-Matrix