환론

환은 추상대수학에서 가장 기본적인 대수적 구조 중 하나이다. 환은 집합 위에 두 개의 이항 연산, 즉 덧셈과 곱셈이 정의되어 있으며, 이 연산들은 특정한 조건을 만족한다. 덧셈 연산에 대하여 환은 가환군(아벨군)을 이루며, 곱셈 연산은 결합법칙을 만족한다. 또한 덧셈과 곱셈 사이에는 분배법칙이 성립한다. 환의 곱셈 연산이 가환법칙을 추가로 만족하면, 그 환을 가환환이라고 부른다. 반면 곱셈이 가환하지 않는 환은 비가환환으로 분류된다.

환은 군과 체라는 더 기본적인 대수적 구조와 밀접한 관계가 있다. 군은 하나의 이항 연산(예: 덧셈)에 대하여 닫혀 있고, 항등원과 역원이 존재하는 구조이다. 환의 덧셈 구조는 바로 이러한 군의 조건을 만족하는 가환군이다. 체는 덧셈과 곱셈 모두에 대하여 가환군을 이루며, 0을 제외한 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지는 특별한 환이다. 따라서 모든 체는 가환환이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

이러한 구조들 사이의 관계를 통해, 환론은 군론과 체론을 연결하는 중요한 다리 역할을 한다. 예를 들어, 다항식 환이나 행렬 환과 같은 구체적인 예시들은 각각 가환환과 비가환환의 대표적인 사례를 제공한다. 환의 개념은 대수기하학이나 대수적 수론과 같은 고급 수학 분야의 기초를 이루는 핵심 도구이다.

환의 부분집합 중에서도 그 자체로 환의 구조를 가지는 것을 부분환이라고 한다. 정확히는, 환 R의 부분집합 S가 R의 덧셈과 곱셈 연산에 대해 닫혀 있고, R의 덧셈 항등원(0)을 포함하며, 덧셈에 대한 역원을 가질 때 S를 R의 부분환이라 한다. 예를 들어, 정수 환 Z는 유리수 환 Q의 부분환이며, 모든 행렬 환은 그 자체로 비가환환의 예가 된다.

아이디얼은 부분환보다 더 강한 조건을 만족하는 특별한 부분집합이다. 환 R의 부분집합 I가 덧셈에 대해 아벨 군을 이루고, R의 임의의 원소 r과 I의 임의의 원소 a에 대해 곱 r*a와 a*r가 모두 I에 속할 때, I를 R의 양쪽 아이디얼이라고 한다. 특히 곱셈이 가환인 가환환에서는 왼쪽과 오른쪽의 구분이 사라진다. 아이디얼은 환의 준동형사상의 핵으로 자연스럽게 나타나며, 이를 통해 몫환을 구성할 수 있다.

아이디얼에는 여러 중요한 종류가 있다. 단 하나의 원소로 생성되는 아이디얼을 주 아이디얼이라 하며, 모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역을 주 아이디얼 정역이라고 한다. 또한, 소 아이디얼과 극대 아이디얼은 환의 구조를 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다. 소 아이디얼은 정수에서 소수가 이루는 아이디얼의 개념을 일반화한 것이며, 극대 아이디얼로 만든 몫환은 체가 된다.

이러한 부분환과 아이디얼의 개념은 대수기하학에서 대수다양체와 환의 스펙트럼을 연결하고, 대수적 수론에서 대수적 정수환의 성질을 연구하는 데 필수적인 도구로 활용된다.

환 사이의 구조를 보존하는 함수를 준동형사상이라 한다. 두 환 R과 S 사이의 준동형사상 φ: R → S는 모든 a, b ∈ R에 대해 φ(a + b) = φ(a) + φ(b)와 φ(ab) = φ(a)φ(b)를 만족하는 함수이다. 즉, 이 함수는 환의 덧셈 연산과 곱셈 연산을 각각 보존한다.

준동형사상의 핵심적인 예로는 정수환 Z에서 법연산에 의한 잉여류환 Z/nZ로의 사상이 있다. 이 사상은 각 정수를 n으로 나눈 나머지에 대응시키며, 환의 연산 구조를 완벽히 보존한다. 다른 중요한 예로는 다항식환에서 변수에 특정 값을 대입하는 평가 사상이 있다.

준동형사상은 환의 구조를 비교하고 분류하는 데 필수적이다. 만약 준동형사상이 전단사함수라면, 이를 동형사상이라 하며 두 환은 대수적 구조가 완전히 동일함을 의미한다. 준동형사상의 핵은 원래 환의 아이디얼이 되며, 이는 몫환을 구성하는 기초가 된다. 또한, 군의 준동형사상과 마찬가지로 환의 준동형사상에 대해서도 제1 동형 정리가 성립한다.

환은 그 곱셈 연산의 성질에 따라 크게 가환환과 비가환환으로 분류된다. 가환환은 곱셈 연산이 교환법칙을 만족하는 환을 말한다. 즉, 환의 모든 원소 a, b에 대해 a * b = b * a가 성립한다. 반면, 곱셈의 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는 환을 비가환환이라 한다.

가환환의 대표적인 예로는 정수 전체의 집합 Z가 있으며, 여기에 일반적인 덧셈과 곱셈을 부여한 정수환이 있다. 또한, 다항식환이나 체는 모두 가환환이다. 가환환은 대수기하학과 대수적 수론에서 핵심적인 연구 대상이 된다. 비가환환의 중요한 예로는 행렬환을 들 수 있다. 성분이 실수나 복소수인 n x n 정사각행렬 전체의 집합은 행렬의 덧셈과 곱셈에 대해 환을 이루며, n이 2 이상일 때 이 곱셈은 교환법칙을 만족하지 않아 비가환환이 된다.

이러한 분류는 환론의 여러 이론을 전개하는 데 출발점이 된다. 예를 들어, 아이디얼 이론이나 국소화는 기본적으로 가환환을 전제로 발전한 개념이다. 반면, 나눗셈환이나 단순환과 같은 구조는 비가환환의 영역에서 활발히 연구된다.

환은 집합과 그 위에 정의된 두 개의 이항 연산(덧셈과 곱셈)으로 이루어진 대수적 구조이다. 덧셈에 대하여 가환군을 이루고, 곱셈에 대하여 결합법칙이 성립하며, 덧셈과 곱셈 사이에는 분배법칙이 성립한다. 환의 곱셈이 가환법칙을 만족하면 가환환이라 하고, 그렇지 않으면 비가환환이라 한다. 환은 군과 체와 함께 현대 대수학의 핵심적인 연구 대상이다.

환의 곱셈 연산은 덧셈 연산보다 일반적으로 더 약한 조건을 가진다. 예를 들어, 곱셈의 항등원이 존재하지 않을 수 있으며, 영인자가 존재할 수 있다. 특히, 가환환에서 영인자가 존재하지 않고, 0이 아닌 원소의 곱이 다시 0이 아닐 때, 그 환을 정역이라 한다. 대표적인 정역의 예로는 정수의 환과 체 위의 다항식 환이 있다. 정역은 정수의 성질을 일반화한 구조로, 인수분해와 같은 산술적 성질을 연구하는 데 중요한 토대가 된다.

정역 중에서도 특히 유클리드 호제법이 일반화되어 적용될 수 있는 구조를 유클리드 정역이라 한다. 유클리드 정역은 정역에 '유클리드 노름'이라 불리는 함수가 존재하여, 임의의 두 원소 a, b(b≠0)에 대해 a = bq + r (여기서 r=0이거나 r의 노름이 b의 노름보다 작다)를 만족하는 몫 q와 나머지 r이 존재하는 환이다. 정수의 환과 체 위의 다항식 환은 대표적인 유클리드 정역의 예시이다. 이 성질 덕분에 유클리드 정역에서는 최대공약수를 효율적으로 구할 수 있다.

유클리드 정역은 모든 주 아이디얼 정역이며, 모든 주 아이디얼 정역은 유일 인수분해 정역이다. 따라서 유클리드 정역에서는 산술의 기본 정리와 유사하게 0이 아닌 원소가 기약원들의 곱으로 유일하게 표현된다. 이 계층 구조(유클리드 정역 ⊂ 주 아이디얼 정역 ⊂ 유일 인수분해 정역 ⊂ 정역)는 환의 산술적 성질을 분류하는 중요한 틀을 제공하며, 대수적 정수론과 대수기하학에서 핵심적인 역할을 한다.

주 아이디얼 정역은 정역의 한 종류로, 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 환을 의미한다. 즉, 환 R이 정역이고, R의 임의의 아이디얼 I에 대해 I = (a) = {ra | r ∈ R}를 만족하는 원소 a가 존재할 때, R을 주 아이디얼 정역이라고 한다. 이 개념은 정수환 Z나 체 K에 대한 다항식환 K[x]와 같이 매우 기본적이고 중요한 환들이 대표적인 예시가 된다.

주 아이디얼 정역은 유클리드 정역과 밀접한 관계가 있다. 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수환 Z는 유클리드 정역이자 주 아이디얼 정역이다. 반면, 모든 주 아이디얼 정역이 유클리드 정역인 것은 아니며, 이에 대한 반례도 알려져 있다. 이러한 구조는 가환환 이론에서 핵심적인 위치를 차지한다.

주 아이디얼 정역에서 성립하는 중요한 정리로는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 기본정리가 있다. 이 정리에 따르면, 주 아이디얼 정역 R 위의 유한 생성 가군은 순환 가군들의 직합으로 유일하게 분해된다. 이는 벡터 공간의 기저 정리나 아벨 군의 기본정리를 일반화한 결과로, 선형대수학과 군론의 깊은 연결을 보여준다.

주 아이디얼 정역의 성질은 대수적 정수론과 대수기하학에서도 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 대수적 수체의 정수환이 주 아이디얼 정역인지 여부는 그 수체의 산술적 성질과 깊이 연관되어 있다. 또한, 다항식환의 특성은 대수기하학에서 대수다양체를 연구하는 데 기본적인 도구로 활용된다.

체는 추상대수학에서 다루는 기본적인 대수적 구조 중 하나이다. 체는 가환환의 특별한 경우로, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 것 제외)이 자유롭게 수행될 수 있는 구조를 가진다. 즉, 체는 집합과 그 위에 정의된 두 개의 이항 연산(덧셈과 곱셈)으로 구성되며, 이 연산들은 특정한 공리들을 만족시킨다.

구체적으로, 체는 덧셈에 대하여 가환군(아벨군)을 이루고, 곱셈에 대하여도 0을 제외한 모든 원소가 가환군을 이룬다. 또한 덧셈과 곱셈 사이에는 분배법칙이 성립한다. 이러한 조건 덕분에 체에서는 우리가 실수나 유리수에서 익숙한 사칙연산의 기본 성질들이 그대로 보존된다. 대표적인 체의 예로는 유리수체, 실수체, 복소수체 등이 있으며, 유한개의 원소를 가진 유한체도 중요한 연구 대상이다.

체는 가환환의 한 종류이지만, 모든 가환환이 체는 아니다. 예를 들어, 정수환은 가환환이지만 2나 3 같은 원소에 대한 곱셈의 역원이 정수 범위 내에 존재하지 않으므로 체가 되지 못한다. 체는 군, 환과 함께 현대 대수학의 근간을 이루는 개념으로, 선형대수학, 다항식 이론, 갈루아 이론 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

환론은 대수기하학의 핵심적인 언어이자 기반을 제공한다. 대수기하학은 기본적으로 다항식 방정식들의 해집합으로 정의되는 대수다양체를 연구하는 분야인데, 이때 각 대수다양체에 자연스럽게 연관된 가환환인 좌표환을 정의하고, 이 환의 성질을 통해 기하학적 대상을 연구한다. 이는 아핀 공간의 점을 그 점에서 소멸하는 모든 다항식들의 집합, 즉 아이디얼로 대응시키는 방식으로 이루어진다.

더 구체적으로, 아핀 대수다양체는 다항식환의 아이디얼에 대응되며, 대수기하학의 근본 정리 중 하나인 힐베르트 영점 정리는 이 대응 관계를 엄밀하게 서술한다. 이 정리에 따르면, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 아핀 공간의 점들과 그 다항식환의 극대 아이디얼 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 따라서 기하학적 공간의 점이라는 개념이 환론에서의 극대 아이디얼이라는 순수 대수적 개념으로 완전히 번역될 수 있다.

이러한 관점은 스킴 이론으로 더욱 일반화된다. 스킴은 국소적으로 가환환의 스펙트럼으로 정의되는 위상 공간으로, 단순한 대수다양체뿐만 아니라 더 복잡한 구조를 포괄한다. 여기서 스펙트럼은 주어진 가환환의 모든 소 아이디얼들로 구성된 위상 공간을 의미한다. 따라서 모든 가환환은 어떤 기하학적 공간(스펙트럼)을 정의하며, 환의 대수적 성질은 이 공간의 기하학적 성질로 해석된다. 예를 들어, 환이 정역인 것은 그 스펙트럼이 기약 공간임을 의미한다.

이처럼 대수기하학은 환론, 특히 가환환 이론을 본질적인 도구로 삼아 기하학적 문제를 대수적으로 접근하고, 반대로 복잡한 환론적 문제에 기하학적 직관을 부여하는 풍부한 상호작용의 장을 제공한다. 대수적 수론에서 등장하는 대수적 정수환의 성질을 연구할 때도 대수기하학의 방법론이 강력하게 적용된다.

대수적 수론은 정수의 성질을 일반화하여 대수적 수체와 그 속의 대수적 정수를 연구하는 수학의 한 분야이다. 이 분야에서는 환론의 개념과 도구들이 핵심적으로 활용된다. 특히, 대수적 수체의 대수적 정수환은 가환환의 중요한 예시이며, 이 환의 구조를 이해하는 것이 주요 목표 중 하나이다.

대수적 수론에서 환론의 핵심 적용은 아이디얼 이론이다. 정수환에서는 소인수 분해의 유일성이 성립하지만, 일반적인 대수적 정수환에서는 유일성이 성립하지 않는 경우가 많다. 이를 해결하기 위해 에른스트 쿠머는 아이디얼의 개념을 도입하여, 수 대신 아이디얼에 대해 소인수 분해의 유일성이 성립함을 보였다. 이는 데데킨트 정역이라는 특별한 종류의 환의 성질로 설명된다.

또한, 환의 국소화 개념은 소수 위에서의 국소적인 성질을 연구하는 데 필수적이다. 예를 들어, p진수 체계는 유리수체를 특정 소수에 대해 국소화하여 얻는 완비화된 체이다. 이러한 국소 체 위에서의 연구는 대역-국소 원리를 통해 전체 수체의 성질을 이해하는 데 기여한다.