카플란-마이어 추정량

생존함수 추정은 카플란-마이어 추정량의 핵심 계산 과정이다. 이 방법은 관찰된 사건 발생 시점을 순서대로 나열하고, 각 시점에서의 조건부 생존 확률을 연속적으로 곱하여 전체 생존 함수를 추정한다. 구체적으로, 시간 t에서의 생존함수 추정값 S(t)는 t 시점 이전의 모든 사건 시점에서 (1 - (해당 시점의 사건 수 / 위험 집단 수))를 곱한 값으로 계산된다. 이는 사건이 발생할 때마다 생존 확률이 계단식으로 감소하는 계단 함수 형태의 추정치를 생성한다.

이 추정 과정은 중도 절단된 데이터를 효과적으로 통합한다. 중도 절단된 관측치는 사건 발생 여부를 알 수 없는 시점까지만 정보를 제공하며, 이는 위험 집단의 크기를 계산할 때 정확히 반영된다. 즉, 어떤 시점에서의 위험 집단은 그 시점 이전에 사건이 발생하거나 중도 절단되지 않고 아직 관찰 중인 모든 대상자를 포함한다. 이를 통해 편향을 최소화하면서 불완전한 데이터로부터 생존 경향성을 추론할 수 있다.

카플란-마이어 추정량으로 얻어진 생존 곡선은 의학 연구에서 치료군과 대조군의 생존율을 비교하거나, 신뢰성 공학에서 제품의 고장 시간 분포를 분석하는 데 널리 사용된다. 이 곡선을 통해 중위 생존 시간을 추정하거나, 특정 시점(예: 5년 생존율)의 생존 확률을 직접 읽어낼 수 있어 매우 직관적인 해석이 가능하다.

카플란-마이어 추정량을 계산할 때는 각 시점에서의 위험 집단과 사건 수를 정확히 파악하는 것이 핵심이다. 위험 집단은 특정 시점 t에서 아직 관찰 중이며 사건이 발생할 가능성이 있는 대상들의 집합을 의미한다. 즉, 그 시점까지 생존해 있고 중도 절단되지 않은 개체들의 수이다. 사건 수는 관심 있는 사건(예: 사망, 재발, 고장)이 실제로 발생한 횟수를 가리킨다.

구체적으로, 데이터를 사건 발생 시점 순으로 정렬한 후, 각 고유한 사건 시점 t_i에서 위험 집단 n_i와 해당 시점에서 관찰된 사건 수 d_i를 계산한다. 여기서 n_i는 시점 t_i 이전에 시작되어 t_i 시점까지 생존해 있으며 중도 절단되지 않은 개체의 총수이다. 중도 절단된 데이터는 사건 발생 시점이 아닌, 추적 관찰이 종료된 시점까지만 정보를 제공하므로, 중도 절단이 발생한 시점 이후의 위험 집단 계산에서는 제외된다.

이러한 위험 집단과 사건 수는 생존 함수의 추정치를 계산하는 직접적인 입력값으로 사용된다. 각 시점에서의 생존 확률 추정치는 1에서 (사건 수 / 위험 집단)을 뺀 값, 즉 1 - (d_i / n_i)로 구해지며, 이 값을 모든 시점에 걸쳐 누적 곱함으로써 카플란-마이어 생존 곡선이 완성된다. 따라서 데이터 내 모든 중도 절단 정보를 정확히 반영하여 위험 집단을 산출하는 것이 추정의 정확성을 보장한다.

이 접근법은 의학 연구에서 무병 생존율을 추정하거나, 신뢰성 공학에서 제품의 수명 분포를 분석하는 등 다양한 생존 분석 응용 분야의 기초가 된다. 로그-순위 검정과 같은 비교 분석도 서로 다른 카플란-마이어 곡선을 생성하는 집단들의 위험 집단과 사건 수 패턴을 기반으로 수행된다.

중도 절단 데이터는 연구 종료 시점까지 사건이 발생하지 않았거나, 추적이 중단된 경우를 말한다. 이러한 데이터는 생존 분석에서 매우 흔하며, 카플란-마이어 추정량은 이를 명시적으로 고려하여 생존 함수를 추정한다. 중도 절단된 관측치는 해당 시점까지는 생존한 것으로 간주하지만, 그 이후의 생존 정보는 알 수 없다는 점에서 불완전한 데이터로 취급된다.

계산 과정에서 중도 절단은 위험 집단의 크기를 감소시키는 요인으로 작용한다. 구체적으로, 특정 시점 t에서의 생존 확률을 추정할 때, 그 시점 이전에 중도 절단된 개체들은 t 시점의 위험 집단에서 제외된다. 이는 중도 절단이 무작위적으로 발생한다는 가정 하에, 추정량이 편향되지 않도록 하는 핵심 메커니즘이다. 따라서 생존 시간 데이터에 중도 절단이 포함되어 있어도, 카플란-마이어 추정량은 각 사건 발생 시점마다 조건부 생존 확률을 누적하여 생존 곡선을 도출할 수 있다.

이러한 처리 방식은 의학 통계에서 환자의 추적 관찰이 불완전한 상황, 예를 들어 연구 기간 내에 환자가 다른 병원으로 전원되거나 연구에서 탈락하는 경우를 분석하는 데 필수적이다. 또한 신뢰성 공학에서도 시험 중단 시점까지 고장이 발생하지 않은 제품의 데이터를 유효하게 활용할 수 있게 한다. 중도 절단 데이터를 단순히 무시하거나 최종 관찰 시점을 사건 발생 시점으로 잘못 처리하는 것은 심각한 추정 편향을 초래할 수 있기 때문이다.

결과적으로, 카플란-마이어 추정량이 제공하는 생존 곡선은 관찰된 사건 발생 시점에서만 계단 모양으로 하강하며, 중도 절단이 발생한 시점에서는 곡선의 변화 없이 위험 집단의 수만 감소한다. 이는 중도 절단 정보가 생존 확률 추정 자체에는 직접적인 영향을 주지 않지만, 이후 시점의 추정 정밀도에 영향을 미친다는 점을 시각적으로 보여준다.

카플란-마이어 추정량은 생존 함수를 추정할 때 연속 함수가 아닌 계단 함수 형태의 곡선을 생성한다. 이는 추정 과정이 실제 관찰된 사건 발생 시점에서만 생존 확률의 값이 갑자기 변화하기 때문이다. 구체적으로, 각 사건 발생 시점에서 추정된 생존 확률은 그 직전 시점까지의 생존 확률에 조건부 생존 확률을 곱하는 방식으로 계산되며, 사건이 발생하지 않은 시점 사이에서는 생존 확률 값이 일정하게 유지된다. 따라서 결과적으로 시간 축을 따라 생존 확률이 계단 모양으로 하강하는 곡선이 그려지게 된다.

이러한 계단 함수 형태는 비모수 통계 방법의 특징을 잘 반영한다. 모수적 방법이 특정 분포(예: 지수분포나 와이블 분포)를 가정하여 매끄러운 곡선을 추정하는 것과 달리, 카플란-마이어 추정량은 데이터에 기반하여 각 시점의 생존 경험을 직접적으로 보여준다. 이는 데이터의 분포에 대한 사전 가정을 최소화하면서도 직관적으로 생존 패턴을 파악할 수 있게 해주는 장점이 있다.

계단 함수의 각 '계단'이 내려가는 지점과 그 하강 폭은 중요한 정보를 담고 있다. 계단이 내려가는 시점은 관찰 기간 내에 사건(예: 사망, 재발)이 발생한 정확한 시간을 나타낸다. 또한 계단이 하강하는 높이, 즉 생존 확률의 감소량은 해당 시점에서의 위험률과 위험 집단의 크기에 의해 결정된다. 위험 집단이 클수록, 또는 해당 시점에서의 사건 수가 많을수록 계단의 하강 폭은 커지게 된다.

이러한 형태는 중도 절단 데이터가 존재할 때 특히 유용하다. 중도 절단이 발생한 시점에서는 생존 확률 값의 변화가 없으며, 계단이 하강하지 않고 수평으로 이어진다. 이는 해당 관측 개체가 더 이상 위험 집단에 포함되지 않음을 시각적으로 명확히 보여준다. 결과적으로 카플란-마이어 곡선은 시간에 따른 집단의 생존 경험을 있는 그대로 요약한 비모수적 경험적 분포 함수로 해석될 수 있다.

카플란-마이어 추정량을 사용하여 추정한 생존 함수는 표본 데이터를 기반으로 한 추정치이므로, 이 추정치의 불확실성을 정량화하기 위해 신뢰구간이 함께 제시된다. 일반적으로 그린우드 공식을 이용하여 생존 함수의 각 시점에서의 분산을 추정하고, 이를 바탕으로 신뢰구간을 구성한다.

신뢰구간을 계산하는 방법에는 여러 가지가 있다. 가장 일반적인 방법은 정규 근사를 사용하는 것으로, 추정된 생존 함수 값에 표준 오차의 배수를 더하고 빼는 방식이다. 그러나 생존 함수의 추정값은 0과 1 사이로 제한되어 있어 정규 근사가 부적절할 수 있으며, 특히 생존 확률이 0이나 1에 가까운 경우 신뢰구간이 이 범위를 벗어나는 문제가 발생할 수 있다.

이러한 문제를 해결하기 위해 로그-로그 변환을 적용한 신뢰구간이 널리 사용된다. 이 방법은 생존 함수에 로그를 두 번 취한 값을 정규 분포를 따른다고 가정하여 신뢰구간을 계산한 후, 다시 역변환하여 생존 확률의 구간을 얻는다. 이 방식은 신뢰구간의 하한과 상한이 항상 0과 1 사이에 있도록 보장해주는 장점이 있어, 의학 연구나 임상 시험 결과 보고에서 선호된다.

신뢰구간의 너비는 표본 크기와 사건 발생 수에 크게 의존한다. 위험 집단의 크기가 작거나 사건 수가 적은 시점에서는 표준 오차가 커져 신뢰구간이 넓어지며, 이는 해당 시점에서의 생존 확률 추정이 불확실함을 의미한다. 따라서 카플란-마이어 생존 곡선을 해석할 때는 점 추정치뿐만 아니라 함께 표시된 신뢰구간을 반드시 고려해야 한다.

로그-순위 검정은 생존 분석에서 두 개 이상의 생존 곡선을 비교할 때 널리 사용되는 비모수적 통계적 가설 검정 방법이다. 이 검정은 카플란-마이어 추정량으로 추정된 생존 곡선이 서로 통계적으로 유의한 차이가 있는지 평가하는 데 주로 활용된다. 특히 임상 시험에서 새로운 치료법과 기존 치료법의 생존 기간을 비교하거나, 역학 연구에서 다양한 위험 요인군 간의 생존율 차이를 분석하는 데 필수적인 도구로 자리 잡았다.

로그-순위 검정의 기본 원리는 위험 집단이 각 시점에서 관찰된 사건 수와 기대 사건 수를 비교하는 데 있다. 검정은 모든 사건 발생 시점을 고려하며, 각 시점에서의 기대 사건 수는 전체 위험 집단의 사건 발생률을 가정하여 계산한다. 검정 통계량은 관측된 사건 수와 기대 사건 수의 차이를 종합하여 산출되며, 이는 카이제곱 분포를 따른다. 따라서 최종적으로 유의확률(p-value)을 계산하여 생존 곡선 간의 차이가 우연히 발생한 것인지 여부를 판단한다.

이 검정의 주요 특징은 전체 생존 곡선의 형태를 종합적으로 비교한다는 점이다. 즉, 특정 한 시점이 아닌 관찰 기간 전반에 걸쳐 생존 경향의 차이를 평가한다. 또한 이 검정은 위험비가 시간에 따라 일정하다는 비례 위험 가정을 전제로 한다. 이 가정이 성립할 때 로그-순위 검정은 가장 강력한 검정력[2]을 가지는 것으로 알려져 있다.

로그-순위 검정은 의학 통계와 신뢰성 공학을 넘어 사회과학 및 금융 분야의 시간-사건 데이터 분석에도 응용된다. 다만, 세 개 이상의 군을 비교할 때는 전체 유의성 검정 후 사후 검정을 수행해야 하며, 비례 위험 가정이 위배될 경우에는 가중 로그-순위 검정이나 다른 방법을 고려해야 한다.