최소 작용의 원리는 고전역학, 광학, 양자역학 등 물리학의 여러 분야에서 물리계의 운동을 지배하는 근본 원리이다. 이 원리에 따르면, 자연계에서 실제로 일어나는 운동은 작용량이라는 물리량이 극값(보통 최솟값)을 가지는 경로를 따라 일어난다. 즉, 가능한 모든 운동 경로 중에서 작용량을 최소화하는 하나의 경로가 실제 운동을 결정한다.
이 원리는 18세기 피에르 루이 모페르튀와 레온하르트 오일러 등에 의해 처음 제안되었으며, 이후 조제프루이 라그랑주와 윌리엄 로원 해밀턴에 의해 정교한 수학적 틀로 발전되었다. 작용량은 일반적으로 라그랑지언이라는 함수를 시간에 대해 적분한 값으로 정의된다. 라그랑지언은 계의 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로 주어진다.
최소 작용의 원리는 뉴턴의 운동 법칙과 동등한 서술을 제공하지만, 더 일반적이고 우아한 형식을 지닌다. 이 원리는 좌표계의 선택에 의존하지 않으며, 에너지 보존 법칙 같은 보존 법칙들을 자연스럽게 유도할 수 있다. 또한, 이 원리는 변분법이라는 수학적 도구를 통해 오일러-라그랑주 방정식이라는 운동 방정식으로 공식화된다.
이 원리의 영향은 고전역학을 넘어 양자역학의 경로 적분 공식화나 일반 상대성 이론의 기초에도 깊이 스며들어 있다. 따라서 최소 작용의 원리는 물리 법칙을 가장 경제적이고 통일된 관점에서 바라보는 강력한 프레임워크를 제공한다.
최소 작용의 원리의 개념적 기원은 고대 그리스의 철학자들에게서 찾을 수 있다. 아리스토텔레스는 자연은 항상 가장 짧은 경로를 따른다고 주장했으며, 헤론은 빛의 반사에서 경로의 길이가 최소가 된다는 점을 지적했다. 이러한 자연의 '경제성'에 대한 생각은 중세와 르네상스 시기를 거쳐 발전했다.
17세기 중반, 피에르 드 페르마는 빛의 굴절 현상을 설명하기 위해 '최소 시간의 원리'를 제안했다. 그는 빛이 한 매질에서 다른 매질로 진행할 때, 가장 빠른 시간이 걸리는 경로를 선택한다고 주장했다. 이는 스넬의 굴절 법칙을 유도할 수 있었고, 기하학적 광학의 기초를 제공했다.
18세기에 이르러 피에르 루이 모페르튀이는 이 개념을 역학으로 확장했다. 그는 1744년과 1746년에 발표한 논문에서 자연 현상은 '작용'이라는 양이 최소가 되는 방식으로 일어난다고 주장했다. 그의 작용량은 운동량과 거리의 곱으로 정의되었다. 이 아이디어는 레온하르트 오일러에 의해 수학적으로 정교화되었다.
오일러는 1744년 출판된 저서에서 변분법을 사용해 최소 작용의 원리를 공식화하는 방법을 제시했다. 이후 조제프루이 라그랑주는 이를 일반화하여 오일러-라그랑주 방정식을 도출했고, 이 방정식은 고전역학의 운동 방정식을 유도하는 핵심 도구가 되었다.
작용량은 시스템의 운동을 특징짓는 물리량이다. 일반적으로 라그랑지언의 시간 적분으로 정의된다. 라그랑지언은 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로, 시스템의 동역학적 상태를 나타낸다. 일반화 좌표 q와 그 시간 미분인 일반화 속도 ˙q로 표현되는 라그랑지언 L(q, ˙q, t)에 대해, 초기 시간 t₁에서 최종 시간 t₂까지의 작용량 S는 다음과 같다.
S = ∫_{t₁}^{t₂} L(q(t), ˙q(t), t) dt
최소 작용의 원리는 실제로 시스템이 취하는 경로가 이 작용량 S를 극값(보통 최소값)으로 만드는 경로라는 것을 주장한다.
이 원리를 수학적으로 적용하면 운동 방정식을 유도할 수 있다. 실제 경로에서 작용량 S가 극값을 가진다는 것은, 경로를 약간 변형시켰을 때 작용량의 변화(변분) δS가 0이 되어야 함을 의미한다. 이 조건을 계산하면 오일러-라그랑주 방정식이 도출된다.
d/dt (∂L/∂˙qᵢ) - ∂L/∂qᵢ = 0
여기서 i는 자유도를 나타내는 지표이다. 이 방정식은 일반화 좌표 qᵢ(t)에 대한 2계 미분 방정식이며, 주어진 초기 조건을 만족하는 해가 시스템의 실제 운동을 기술한다.
다중 자유도를 가진 시스템이나 연속체의 경우, 이 공식화는 자연스럽게 확장된다. 예를 들어, N개의 입자 시스템에서는 각 입자에 대해 하나의 오일러-라그랑주 방정식이 적용된다. 필드 이론에서는 라그랑지언 밀도를 공간적분한 작용량을 사용하며, 그 변분으로부터 장 방정식을 얻는다.
작용량은 일반적으로 라그랑지언 L의 시간에 대한 적분으로 정의된다. 라그랑지언은 시스템의 운동 에너지 T와 퍼텐셜 에너지 V의 차이, 즉 L = T - V이다. 일반화 좌표 q(t)와 그 시간 미분인 일반화 속도 ˙q(t)의 함수로 표현된다.
시간 t₁에서 t₂까지의 특정 경로에 대한 작용량 S는 다음과 같은 범함수적 형태를 가진다.
S[q(t)] = ∫_{t₁}^{t₂} L(q(t), ˙q(t), t) dt
이 적분은 선택된 경로 q(t) 전체에 걸쳐 계산된다. 따라서 작용량 S는 하나의 특정 경로가 아니라, 가능한 모든 경로에 각각 하나의 숫자 값을 할당하는 함수의 함수, 즉 범함수이다. 최소 작용의 원리는 물리적으로 실현되는 실제 경로가 이 작용량 S를 극값(일반적으로 최소값)으로 만드는 경로라고 주장한다.
작용량의 차원은 (에너지)×(시간)이며, 플랑크 상수 h와 같은 차원을 가진다. 이는 양자역학에서 작용량이 중요한 역할을 하는 이유 중 하나이다. 고전역학에서 이 극값 경로를 찾는 과정은 변분법을 통해 이루어지며, 그 결과 오일러-라그랑주 방정식이라는 운동 방정식을 유도한다.
작용량 S가 경로 q(t)에 대한 범함수로 주어질 때, 이 작용량이 극값(보통 최솟값)을 가지도록 하는 경로가 실제 물리적 경로를 나타낸다는 것이 최소 작용의 원리의 핵심이다. 이 극값을 찾는 수학적 도구가 변분법이며, 그 결과로 유도되는 필수 조건이 오일러-라그랑주 방정식이다.
구체적으로, 일반화 좌표 q와 그 시간 미분 \dot{q}의 함수인 라그랑지언 L(q, \dot{q}, t)이 주어지면 작용량은 S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt 로 정의된다. 경로 q(t)에 작은 변분 δq(t)을 가했을 때 작용량의 변화 δS가 1차 근사에서 0이 되어야 한다는 조건 δS = 0 을 적용하면, 다음의 방정식을 얻는다.
\[
\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0
\]
이것이 오일러-라그랑주 방정식이다. 이는 하나의 자유도에 대한 식이며, 다수의 자유도가 있는 경우 각 일반화 좌표 q_i에 대해 동일한 형태의 방정식이 성립한다.
이 방정식의 물리적 의미는 라그랑지언을 통해 정의된 일반화 힘 \(\frac{\partial L}{\partial q}\)과 일반화 운동량 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)의 시간 변화율이 평형을 이룬다는 것이다. 뉴턴의 운동 법칙이 힘과 가속도의 관계를 직접 기술한다면, 오일러-라그랑주 방정식은 에너지 관점에서 운동을 기술하는 차원이 다른 접근법을 제공한다. 이 방정식을 풀어 얻은 경로 q(t)는 주어진 경계 조건 하에서 작용량 S를 극값으로 만드는 실제 운동을 나타낸다.
최소 작용의 원리는 물리계가 작용량이 극값(최소, 최대, 또는 변곡점)을 취하는 경로를 따라 운동한다고 설명한다. 이 원리의 물리학적 해석은 단순한 수학적 형식 이상으로, 자연계의 근본적인 동작 방식을 보여준다.
이 원리에 따르면, 입자나 계는 가능한 모든 경로 중에서 작용량이 '정지'하는, 즉 변분이 0이 되는 경로를 실제 운동 경로로 선택한다. 이 경로는 대부분의 경우 작용량이 최소가 되는 경로이지만, 항상 그런 것은 아니다. 때로는 최대값이거나 안장점이 될 수도 있다. 따라서 보다 정확히는 '정지 작용의 원리'라고 부르기도 한다. 핵심은 자연이 가능한 모든 역사(history) 중에서 특별한 하나를 '선택'하는 기준을 제시한다는 점이다.
이 원리는 에너지 보존 법칙과 깊은 연관을 가진다. 작용량을 정의하는 라그랑지언은 일반적으로 운동에너지와 위치에너지의 차이로 주어진다. 시간에 대해 라그랑지언이 명시적으로 의존하지 않을 경우, 이로부터 해밀토니언이 보존됨을 유도할 수 있다. 이 해밀토니언은 보통 계의 총 에너지에 해당한다. 따라서 최소 작용의 원리는 에너지 보존 법칙을 포함하는 더 근본적인 원리로 볼 수 있다. 계가 특정 경로를 선택하는 과정에서 에너지와 같은 보존량이 자연스럽게 도출된다.
최소 작용의 원리에 따르면, 물리계는 초기 상태와 최종 상태 사이의 가능한 모든 경로 중에서 작용량이 극값(최소값, 최대값, 또는 변곡점 값)을 갖는 하나의 경로를 따라 실제 운동을 한다. 이 '실제 경로'는 변분법을 통해 도출된 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 경로이다.
가능한 모든 경로는 일반적으로 초기 조건과 최종 조건만을 고정하고, 그 사이의 운동은 임의적이다. 예를 들어, 한 지점에서 다른 지점으로 던진 물체의 운동을 생각할 때, 무수히 많은 궤적(포물선, 직선, 복잡한 곡선 등)이 존재할 수 있다. 그러나 실제 자연은 이 중 라그랑지언을 시간에 대해 적분한 값인 작용량이 극값이 되는 하나의 특정 경로(예: 실제 포물선 궤적)를 선택한다. 이 선택은 마치 자연이 '가장 경제적인' 또는 '가장 효율적인' 길을 택하는 것과 같다.
경로 선택의 결과는 운동 방정식으로 나타난다. 오일러-라그랑주 방정식을 풀어 얻은 운동 방정식은 바로 그 선택된 경로를 기술한다. 따라서 최소 작용의 원리는 자연의 법칙을 '무엇이 일어날 것인가'가 아니라 '무엇이 일어날 가능성이 있는 모든 것 중에서 무엇이 실제로 일어나는가'를 설명하는 방식으로 재구성한다. 이는 뉴턴 역학의 접근법과는 다른, 보다 근본적이고 일반적인 시각을 제공한다.
최소 작용의 원리는 에너지 보존 법칙과 밀접하게 연결되어 있다. 이 원리에서 핵심이 되는 작용량은 일반적으로 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이인 라그랑지언의 시간 적분으로 정의된다[1]. 시스템의 실제 운동 경로는 이 작용량이 극값(보통 최소값)을 갖도록 선택된다. 이 조건으로부터 유도되는 오일러-라그랑주 방정식을 분석하면, 라그랑지언이 시간에 명시적으로 의존하지 않는 경우, 특정 물리량이 시간에 따라 보존된다는 결론을 얻을 수 있다.
이 보존량은 해밀토니언으로 알려져 있으며, 대부분의 고전 역학 시스템에서 이는 총 기계적 에너지(운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합)와 일치한다. 따라서, 최소 작용의 원리는 운동 방정식을 유도할 뿐만 아니라, 시스템에 시간 평행성(시간 이동에 대한 불변성)이 존재할 때 에너지 보존 법칙이 자연스럽게 따라나오는 구조를 제공한다. 이는 뇌터의 정리의 한 사례로, 대칭성과 보존 법칙의 깊은 관계를 보여준다.
요약하면, 최소 작용의 원리는 단순히 물체의 경로를 결정하는 규칙을 넘어서, 근본적인 물리 법칙들의 구조를 통합적으로 설명하는 틀이다. 에너지 보존 법칙은 이 틀 안에서 시간 대칭성의 직접적인 결과로 나타난다.
최소 작용의 원리는 고전역학, 광학, 양자역학을 포함한 물리학의 여러 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 이 원리는 각 분야에서 시스템의 진화나 상태를 결정하는 기본 법칙을 제공하며, 서로 다른 물리적 현상을 통일적으로 설명하는 강력한 틀을 마련해준다.
고전역학에서 이 원리는 라그랑주 역학의 기초가 된다. 입자의 운동은 작용량을 최소화(또는 극소화)하는 경로를 따라 일어난다. 여기서 작용량은 라그랑지언(운동 에너지와 위치 에너지의 차)의 시간 적분으로 정의된다[2]. 이를 통해 뉴턴의 운동 법칙을 보다 우아하고 일반화된 형태로 유도할 수 있으며, 제약 조건이 있는 복잡한 시스템을 분석하는 데 특히 유용하다.
광학에서는 페르마의 원리로 알려져 있다. 이 원리에 따르면, 빛은 두 점 사이를 이동하는 데 걸리는 시간이 극값(보통 최소값)이 되는 경로를 선택한다. 이를 통해 빛의 직진, 반사, 굴절 현상을 모두 설명할 수 있다. 예를 들어, 스넬의 굴절 법칙은 최소 작용의 원리를 광학에 적용하여 자연스럽게 유도된다.
양자역학에서 최소 작용의 원리는 직접적인 형태로 적용되지는 않지만, 경로 적분 공식화의 근간을 이룬다. 리처드 파인만이 제안한 이 접근법에 따르면, 입자는 두 점 사이의 모든 가능한 경로를 지나가며, 각 경로는 특정한 위상 인자를 가진다. 이때 고전적인 경로는 작용량이 극값이 되는 경로이며, 양자적 진폭에서 가장 큰 기여를 하는 경로이다. 따라서 고전역학은 양자역학의 특정 극한으로 자연스럽게 나타난다.
응용 분야 | 핵심 개념 | 설명 |
|---|---|---|
입자의 운동 경로는 작용량 S = ∫L dt를 최소화한다. | ||
빛은 이동 시간이 극값이 되는 경로를 따른다. | ||
모든 가능한 경로의 합에서, 고전 경로가 지배적 기여를 한다. |
고전역학에서 최소 작용의 원리는 뉴턴의 운동 법칙을 대체하는 근본적인 원리로 사용된다. 이 원리에 따르면, 질점이나 계의 운동은 작용량이 극값(보통 최소값)을 취하도록 결정된다. 이 접근법은 운동을 시간에 따른 위치의 변화로 기술하는 뉴턴 역학과 달리, 전체 경로의 특성을 한꺼번에 고려하는 전역적 관점을 제공한다.
가장 일반적인 경우, 라그랑지언 L은 계의 운동 에너지 T와 위치 에너지 V의 차이, 즉 L = T - V로 정의된다. 예를 들어, 중력장에서 움직이는 질점의 라그랑지언은 L = (1/2)mv² - mgh이다. 이 라그랑지언을 시간에 대해 적분한 것이 작용량 S가 된다. 실제로 물체가 취하는 경로는 이 작용량 S를 최소화(또는 극소화)하는 경로이다.
이 원리를 적용하여 구체적인 운동 방정식을 도출할 수 있다. 작용량에 대한 변분이 0이 된다는 조건(δS=0)으로부터 오일러-라그랑주 방정식이 유도되며, 이 방정식은 뉴턴의 제2법칙 F=ma와 수학적으로 동등하다. 다음은 자유낙하, 단진자, 조화 진동자 세 가지 간단한 계에 대한 적용 예시이다.
계 (System) | 라그랑지언 (L) | 오일러-라그랑주 방정식 | 도출된 운동 방정식 |
|---|---|---|---|
자유낙하 질점 | (1/2)mẋ² - mgx | d/dt(mẋ) = -mg | ẍ = -g |
단진자 (각도 θ) | (1/2)ml²θ̇² - mgl(1-cosθ) | d/dt(ml²θ̇) = -mgl sinθ | θ̈ + (g/l) sinθ = 0 |
조화 진동자 | (1/2)mẋ² - (1/2)kx² | d/dt(mẋ) = -kx | mẍ + kx = 0 |
이러한 라그랑주 역학의 틀은 뉴턴 역학이 다루기 어려운 구속 조건이 있는 복잡한 계(예: 팔매질, 복합 진자)나 비관성 좌표계의 문제를 훨씬 체계적으로 풀 수 있게 해준다. 또한, 에너지 보존 법칙과 같은 보존 법칙은 라그랑지언의 대칭성(예: 시간 평행 이동 대칭)에서 자연스럽게 유도된다는 점에서 더 근본적인 이해를 제공한다[3]]라고 한다].
최소 작용의 원리는 광학에서 페르마의 원리라는 형태로 나타난다. 이 원리는 빛이 한 점에서 다른 점까지 이동할 때, 소요 시간이 극값(최소 또는 최대, 또는 변곡점)을 갖는 경로를 따라 진행한다고 설명한다. 즉, 빛은 가능한 모든 경로 중에서 광학적 경로 길이(기하학적 거리와 매질의 굴절률의 곱)가 극값이 되는 경로를 선택한다.
이 원리는 빛의 직진, 반사, 굴절 현상을 통일적으로 설명한다. 예를 들어, 균일한 매질에서 빛이 직선으로 나아가는 것은 가장 짧은 시간이 소요되는 경로이기 때문이다. 또한, 두 매질의 경계면에서 발생하는 굴절의 법칙(스넬의 법칙)은 빛이 공기 중보다 물 속에서 더 느리게 진행한다는 사실을 고려할 때, 최소 시간 경로를 계산하여 유도할 수 있다.
현상 | 최소 작용의 원리(페르마의 원리)에 따른 설명 |
|---|---|
직진 | 균일 매질에서 두 점 사이의 최단 시간 경로는 직선이다. |
반사 | 입사각과 반사각이 같을 때, 경로의 총 시간이 최소가 된다. |
굴절 | 매질마다 다른 속도를 고려한 '광학적 경로 길이'가 극값이 되는 경로를 선택한다. 이로부터 스넬의 법칙이 유도된다. |
페르마의 원리는 기하학적 광학의 기본이 되었으며, 후에 변분법을 통해 수학적으로 정교화되어 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 경로를 찾는 문제로 일반화되었다. 이는 고전역학에서 물체의 운동 경로를 결정하는 원리와 수학적으로 동일한 구조를 가짐을 보여준다.
양자역학에서 최소 작용의 원리는 고전적인 경로를 결정하는 원리로 직접 사용되지는 않는다. 대신, 리처드 파인만이 제안한 경로 적분 공식화의 핵심적인 아이디어로 재해석되어 확장 적용된다. 이 공식화는 양자역학적 계의 진화를 기술하는 근본적인 방법 중 하나가 된다.
경로 적분 접근법에 따르면, 한 입자가 초기 상태에서 최종 상태로 이동할 때, 고전역학에서와 같이 단 하나의 경로를 따르지 않는다. 대신, 입자는 가능한 모든 경로를 동시에 탐색하는 것으로 간주된다. 각 경로는 그 경로에 해당하는 고전적 작용 S를 가지며, 이 작용량은 파동 함수의 위상 인자 exp(iS/ħ)에 기여한다[4]. 이 모든 경로의 기여를 합산(적분)한 결과가 입자의 양자 진폭을 제공한다.
고전역학적 극한(ħ → 0)에서는, 작용 S가 변분적으로 정상(stationary)이 되는 경로, 즉 최소 작용의 원리에 의해 결정되는 고전적 경로 주변의 경로들이 상쇄 간섭 없이 강하게 보강 간섭한다. 이로 인해 양자적 진폭이 고전적 경로 근처에 집중되어, 거시적 세계에서는 입자가 하나의 명확한 궤적을 따라 움직이는 것처럼 관측된다. 따라서 고전적 최소 작용 원리는 양자역학의 더 일반적인 프레임워크 속에서 특별한 극한 경우로 자연스럽게 도출된다.
이 공식화는 양자장론으로 확장되어 기본 입자와 장의 상호작용을 기술하는 데 필수적인 도구가 된다. 예를 들어, 표준 모형에서의 산란 진폭 계산은 파인만 도형을 통해 시각화되는 경로 적분을 통해 수행된다.
최소 작용의 원리는 변분법이라는 수학적 도구를 통해 엄밀하게 공식화되고 해석된다. 변분법은 함수의 함수, 즉 범함수의 극값(최솟값, 최댓값 또는 변곡점)을 찾는 문제를 다루는 미적분학의 한 분야이다. 물리계의 작용량은 일반화된 좌표와 속도의 함수인 라그랑지언의 시간 적분으로 정의되는 범함수이며, 최소 작용의 원리는 이 작용량이 실제 운동 경로에 대해 극값(보통 최솟값 또는 정류값)을 가져야 한다고 주장한다. 따라서 자연계의 실제 운동 경로를 찾는 문제는 변분법의 핵심 문제인 '범함수의 극값을 주는 함수는 무엇인가?'라는 문제로 귀결된다.
이 문제의 해는 오일러-라그랑주 방정식이라는 미분 방정식으로 주어진다. 변분법은 작용량의 1차 변분이 0이 되는 조건, 즉 δS = 0을 계산하여 이 방정식을 유도한다. 이 과정은 미적분학에서 함수의 극값을 찾기 위해 도함수를 0으로 놓는 것과 개념적으로 유사하지만, 독립변수가 아닌 함수 자체의 작은 변화(변분)를 고려한다는 점에서 더 높은 수준의 추상화를 요구한다. 따라서 변분법은 최소 작용의 원리를 수학적으로 실행 가능한 틀로 만드는 핵심적인 기반을 제공한다.
변분법과의 이러한 관계는 최소 작용의 원리가 단순한 물리적 기술을 넘어 강력한 문제 해결 도구가 될 수 있게 한다. 예를 들어, 다양한 제약 조건이 있는 계에서의 운동을 다룰 때, 라그랑주 승수법과 같은 변분법의 기법을 적용하여 수정된 오일러-라그랑주 방정식을 쉽게 유도할 수 있다. 또한, 해밀턴의 원리로도 알려진 이 원리는 연속체 역학, 상대성이론, 양자장론 등으로 확장될 때, 그 수학적 표현은 각 분야에 맞는 새로운 작용을 정의하고 변분 원리를 적용하는 방식으로 이루어진다. 이는 변분법이 물리 법칙을 기술하는 통일된 형식주의의 기초가 됨을 보여준다.
구분 | 변분법 | 최소 작용의 원리 |
|---|---|---|
성격 | 순수 수학의 한 분야 | 물리학의 기본 원리 |
주요 문제 | 범함수의 극값을 주는 함수 찾기 | 자연계의 실제 운동 경로 찾기 |
핵심 도구 | 변분, 오일러-라그랑주 방정식 | 작용량, 라그랑지언 |
관계 | 원리를 수학적으로 공식화하는 도구 제공 | 변분법에 물리적 해석과 적용 분야 제공 |
최소 작용의 원리 자체는 일반적인 형태로 에너지 보존 법칙을 함의하지 않는다. 이 원리는 주어진 작용량을 최소화(또는 극값)하는 경로를 선택하지만, 그 작용량이 시간에 대한 명시적 의존성을 포함할 경우, 해당 시스템의 에너지는 보존되지 않는다. 예를 들어, 외부 힘이 작용하거나 시간에 따라 변하는 퍼텐셜 에너지 장을 다룰 때는 라그랑지언이 시간에 직접 의존하게 되어 에너지 보존이 깨진다.
이 원리의 고전적 공식화는 국소적 상호작용을 가정하는 장론으로 자연스럽게 확장된다. 여기서 작용량은 시공간 전체에 걸친 라그랑지안 밀도의 적분으로 정의된다. 이 확장을 통해 전자기학의 맥스웰 방정식이나 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식도 변분 원리에서 유도할 수 있다. 또한, 양자장론에서는 경로 적분 공식화의 핵심 토대가 된다.
