최소 작용의 원리편집자 확인

최소 작용의 원리는 고전역학, 광학, 양자역학 등 물리학의 여러 분야에서 물리계의 운동을 지배하는 근본 원리이다. 이 원리에 따르면, 자연계에서 실제로 일어나는 운동은 작용량이라는 물리량이 극값(보통 최솟값)을 가지는 경로를 따라 일어난다. 즉, 가능한 모든 운동 경로 중에서 작용량을 최소화하는 하나의 경로가 실제 운동을 결정한다.

이 원리는 18세기 피에르 루이 모페르튀와 레온하르트 오일러 등에 의해 처음 제안되었으며, 이후 조제프루이 라그랑주와 윌리엄 로원 해밀턴에 의해 정교한 수학적 틀로 발전되었다. 작용량은 일반적으로 라그랑지언이라는 함수를 시간에 대해 적분한 값으로 정의된다. 라그랑지언은 계의 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로 주어진다.

최소 작용의 원리는 뉴턴의 운동 법칙과 동등한 서술을 제공하지만, 더 일반적이고 우아한 형식을 지닌다. 이 원리는 좌표계의 선택에 의존하지 않으며, 에너지 보존 법칙 같은 보존 법칙들을 자연스럽게 유도할 수 있다. 또한, 이 원리는 변분법이라는 수학적 도구를 통해 오일러-라그랑주 방정식이라는 운동 방정식으로 공식화된다.

이 원리의 영향은 고전역학을 넘어 양자역학의 경로 적분 공식화나 일반 상대성 이론의 기초에도 깊이 스며들어 있다. 따라서 최소 작용의 원리는 물리 법칙을 가장 경제적이고 통일된 관점에서 바라보는 강력한 프레임워크를 제공한다.

최소 작용의 원리의 개념적 기원은 고대 그리스의 철학자들에게서 찾을 수 있다. 아리스토텔레스는 자연은 항상 가장 짧은 경로를 따른다고 주장했으며, 헤론은 빛의 반사에서 경로의 길이가 최소가 된다는 점을 지적했다. 이러한 자연의 '경제성'에 대한 생각은 중세와 르네상스 시기를 거쳐 발전했다.

17세기 중반, 피에르 드 페르마는 빛의 굴절 현상을 설명하기 위해 '최소 시간의 원리'를 제안했다. 그는 빛이 한 매질에서 다른 매질로 진행할 때, 가장 빠른 시간이 걸리는 경로를 선택한다고 주장했다. 이는 스넬의 굴절 법칙을 유도할 수 있었고, 기하학적 광학의 기초를 제공했다.

18세기에 이르러 피에르 루이 모페르튀이는 이 개념을 역학으로 확장했다. 그는 1744년과 1746년에 발표한 논문에서 자연 현상은 '작용'이라는 양이 최소가 되는 방식으로 일어난다고 주장했다. 그의 작용량은 운동량과 거리의 곱으로 정의되었다. 이 아이디어는 레온하르트 오일러에 의해 수학적으로 정교화되었다.

오일러는 1744년 출판된 저서에서 변분법을 사용해 최소 작용의 원리를 공식화하는 방법을 제시했다. 이후 조제프루이 라그랑주는 이를 일반화하여 오일러-라그랑주 방정식을 도출했고, 이 방정식은 고전역학의 운동 방정식을 유도하는 핵심 도구가 되었다.

작용량은 시스템의 운동을 특징짓는 물리량이다. 일반적으로 라그랑지언의 시간 적분으로 정의된다. 라그랑지언은 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로, 시스템의 동역학적 상태를 나타낸다. 일반화 좌표 q와 그 시간 미분인 일반화 속도 ˙q로 표현되는 라그랑지언 L(q, ˙q, t)에 대해, 초기 시간 t₁에서 최종 시간 t₂까지의 작용량 S는 다음과 같다.

S = ∫_{t₁}^{t₂} L(q(t), ˙q(t), t) dt

최소 작용의 원리는 실제로 시스템이 취하는 경로가 이 작용량 S를 극값(보통 최소값)으로 만드는 경로라는 것을 주장한다.

이 원리를 수학적으로 적용하면 운동 방정식을 유도할 수 있다. 실제 경로에서 작용량 S가 극값을 가진다는 것은, 경로를 약간 변형시켰을 때 작용량의 변화(변분) δS가 0이 되어야 함을 의미한다. 이 조건을 계산하면 오일러-라그랑주 방정식이 도출된다.

d/dt (∂L/∂˙qᵢ) - ∂L/∂qᵢ = 0

여기서 i는 자유도를 나타내는 지표이다. 이 방정식은 일반화 좌표 qᵢ(t)에 대한 2계 미분 방정식이며, 주어진 초기 조건을 만족하는 해가 시스템의 실제 운동을 기술한다.

다중 자유도를 가진 시스템이나 연속체의 경우, 이 공식화는 자연스럽게 확장된다. 예를 들어, N개의 입자 시스템에서는 각 입자에 대해 하나의 오일러-라그랑주 방정식이 적용된다. 필드 이론에서는 라그랑지언 밀도를 공간적분한 작용량을 사용하며, 그 변분으로부터 장 방정식을 얻는다.

최소 작용의 원리는 물리계가 작용량이 극값(최소, 최대, 또는 변곡점)을 취하는 경로를 따라 운동한다고 설명한다. 이 원리의 물리학적 해석은 단순한 수학적 형식 이상으로, 자연계의 근본적인 동작 방식을 보여준다.

이 원리에 따르면, 입자나 계는 가능한 모든 경로 중에서 작용량이 '정지'하는, 즉 변분이 0이 되는 경로를 실제 운동 경로로 선택한다. 이 경로는 대부분의 경우 작용량이 최소가 되는 경로이지만, 항상 그런 것은 아니다. 때로는 최대값이거나 안장점이 될 수도 있다. 따라서 보다 정확히는 '정지 작용의 원리'라고 부르기도 한다. 핵심은 자연이 가능한 모든 역사(history) 중에서 특별한 하나를 '선택'하는 기준을 제시한다는 점이다.

이 원리는 에너지 보존 법칙과 깊은 연관을 가진다. 작용량을 정의하는 라그랑지언은 일반적으로 운동에너지와 위치에너지의 차이로 주어진다. 시간에 대해 라그랑지언이 명시적으로 의존하지 않을 경우, 이로부터 해밀토니언이 보존됨을 유도할 수 있다. 이 해밀토니언은 보통 계의 총 에너지에 해당한다. 따라서 최소 작용의 원리는 에너지 보존 법칙을 포함하는 더 근본적인 원리로 볼 수 있다. 계가 특정 경로를 선택하는 과정에서 에너지와 같은 보존량이 자연스럽게 도출된다.

최소 작용의 원리는 고전역학, 광학, 양자역학을 포함한 물리학의 여러 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 이 원리는 각 분야에서 시스템의 진화나 상태를 결정하는 기본 법칙을 제공하며, 서로 다른 물리적 현상을 통일적으로 설명하는 강력한 틀을 마련해준다.

고전역학에서 이 원리는 라그랑주 역학의 기초가 된다. 입자의 운동은 작용량을 최소화(또는 극소화)하는 경로를 따라 일어난다. 여기서 작용량은 라그랑지언(운동 에너지와 위치 에너지의 차)의 시간 적분으로 정의된다[2]. 이를 통해 뉴턴의 운동 법칙을 보다 우아하고 일반화된 형태로 유도할 수 있으며, 제약 조건이 있는 복잡한 시스템을 분석하는 데 특히 유용하다.

광학에서는 페르마의 원리로 알려져 있다. 이 원리에 따르면, 빛은 두 점 사이를 이동하는 데 걸리는 시간이 극값(보통 최소값)이 되는 경로를 선택한다. 이를 통해 빛의 직진, 반사, 굴절 현상을 모두 설명할 수 있다. 예를 들어, 스넬의 굴절 법칙은 최소 작용의 원리를 광학에 적용하여 자연스럽게 유도된다.

양자역학에서 최소 작용의 원리는 직접적인 형태로 적용되지는 않지만, 경로 적분 공식화의 근간을 이룬다. 리처드 파인만이 제안한 이 접근법에 따르면, 입자는 두 점 사이의 모든 가능한 경로를 지나가며, 각 경로는 특정한 위상 인자를 가진다. 이때 고전적인 경로는 작용량이 극값이 되는 경로이며, 양자적 진폭에서 가장 큰 기여를 하는 경로이다. 따라서 고전역학은 양자역학의 특정 극한으로 자연스럽게 나타난다.

최소 작용의 원리는 변분법이라는 수학적 도구를 통해 엄밀하게 공식화되고 해석된다. 변분법은 함수의 함수, 즉 범함수의 극값(최솟값, 최댓값 또는 변곡점)을 찾는 문제를 다루는 미적분학의 한 분야이다. 물리계의 작용량은 일반화된 좌표와 속도의 함수인 라그랑지언의 시간 적분으로 정의되는 범함수이며, 최소 작용의 원리는 이 작용량이 실제 운동 경로에 대해 극값(보통 최솟값 또는 정류값)을 가져야 한다고 주장한다. 따라서 자연계의 실제 운동 경로를 찾는 문제는 변분법의 핵심 문제인 '범함수의 극값을 주는 함수는 무엇인가?'라는 문제로 귀결된다.

이 문제의 해는 오일러-라그랑주 방정식이라는 미분 방정식으로 주어진다. 변분법은 작용량의 1차 변분이 0이 되는 조건, 즉 δS = 0을 계산하여 이 방정식을 유도한다. 이 과정은 미적분학에서 함수의 극값을 찾기 위해 도함수를 0으로 놓는 것과 개념적으로 유사하지만, 독립변수가 아닌 함수 자체의 작은 변화(변분)를 고려한다는 점에서 더 높은 수준의 추상화를 요구한다. 따라서 변분법은 최소 작용의 원리를 수학적으로 실행 가능한 틀로 만드는 핵심적인 기반을 제공한다.

변분법과의 이러한 관계는 최소 작용의 원리가 단순한 물리적 기술을 넘어 강력한 문제 해결 도구가 될 수 있게 한다. 예를 들어, 다양한 제약 조건이 있는 계에서의 운동을 다룰 때, 라그랑주 승수법과 같은 변분법의 기법을 적용하여 수정된 오일러-라그랑주 방정식을 쉽게 유도할 수 있다. 또한, 해밀턴의 원리로도 알려진 이 원리는 연속체 역학, 상대성이론, 양자장론 등으로 확장될 때, 그 수학적 표현은 각 분야에 맞는 새로운 작용을 정의하고 변분 원리를 적용하는 방식으로 이루어진다. 이는 변분법이 물리 법칙을 기술하는 통일된 형식주의의 기초가 됨을 보여준다.

최소 작용의 원리 자체는 일반적인 형태로 에너지 보존 법칙을 함의하지 않는다. 이 원리는 주어진 작용량을 최소화(또는 극값)하는 경로를 선택하지만, 그 작용량이 시간에 대한 명시적 의존성을 포함할 경우, 해당 시스템의 에너지는 보존되지 않는다. 예를 들어, 외부 힘이 작용하거나 시간에 따라 변하는 퍼텐셜 에너지 장을 다룰 때는 라그랑지언이 시간에 직접 의존하게 되어 에너지 보존이 깨진다.

이 원리의 고전적 공식화는 국소적 상호작용을 가정하는 장론으로 자연스럽게 확장된다. 여기서 작용량은 시공간 전체에 걸친 라그랑지안 밀도의 적분으로 정의된다. 이 확장을 통해 전자기학의 맥스웰 방정식이나 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식도 변분 원리에서 유도할 수 있다. 또한, 양자장론에서는 경로 적분 공식화의 핵심 토대가 된다.

• Wikipedia - 최소 작동 원리

• Wikipedia - Principle of least action

• 나무위키 - 최소 작용의 원리

• 한국물리학회 - 물리학 용어사전: 작용

• ScienceDirect - Principle of least action

• Stanford Encyclopedia of Philosophy - The Principle of Least Action

• arXiv - The Principle of Least Action: History and Physics