준동형

군 준동형은 두 군 사이에 정의되는, 군의 연산 구조를 보존하는 함수이다. 구체적으로, 두 군 (G, *)와 (H, ·) 사이의 함수 f: G → H가 모든 G의 원소 a, b에 대해 f(a * b) = f(a) · f(b)를 만족할 때, 이 함수 f를 군 준동형이라고 한다. 이 조건은 군의 핵심인 이항 연산이 함수를 통해 '옮겨져' 보존된다는 것을 의미하며, 따라서 두 군의 대수적 구조를 비교하고 연결하는 강력한 도구가 된다.

군 준동형의 대표적인 예로는 정수군에서 나머지군으로의 나머지 연산을 보내는 함수, 또는 행렬군에서 행렬식을 대응시키는 함수 등을 들 수 있다. 이러한 준동형을 통해 복잡한 군의 구조를 더 잘 이해하거나, 비교적 단순한 군의 성질을 이용해 원래 군의 정보를 추론할 수 있다. 군 준동형의 연구는 군론과 더 넓은 추상대수학의 기초를 이룬다.

모든 군 준동형 f: G → H는 두 개의 중요한 부분구조, 즉 핵과 상을 자연스럽게 정의한다. 핵은 f에 의해 H의 항등원으로 보내지는 G의 원소들로 구성된 정규부분군이며, 상은 f의 함수값 전체로 이루어진 H의 부분군이다. 이들 개념은 준동형이 얼마나 '일대일'인지 또는 '전사'인지를 측정하며, 제1 동형 정리와 같은 근본적인 정리들을 통해 군의 구조를 분해하고 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

환 준동형은 두 환 사이에서 정의되는 준동형이다. 두 환 $(R, +_R, \cdot_R)$과 $(S, +_S, \cdot_S)$ 사이의 함수 $f: R \to S$가 모든 $a, b \in R$에 대해 다음 두 조건을 만족할 때, $f$를 환 준동형이라고 한다.

1. $f(a +_R b) = f(a) +_S f(b)$

2. $f(a \cdot_R b) = f(a) \cdot_S f(b)$

첫 번째 조건은 $f$가 덧셈에 대한 군 준동형임을 의미하며, 두 번째 조건은 곱셈 구조 또한 보존함을 의미한다. 또한, 많은 경우 환의 곱셈 항등원까지 보존하는 것을 요구하기도 한다. 즉, $f(1_R) = 1_S$를 만족하는 경우를 단위원을 보존하는 환 준동형이라고 부른다.

환 준동형의 대표적인 예로는 정수환 $\mathbb{Z}$에서 잉여환 $\mathbb{Z}_n$으로의 나머지 연산을 보내는 준동형 사상이 있다. 이 사상은 정수를 $n$으로 나눈 나머지를 대응시키며, 덧셈과 곱셈의 구조를 완벽하게 보존한다. 다른 예로는 복소수 집합 $\mathbb{C}$에서 실수 집합 $\mathbb{R}$로 가는 함수 중 켤레복소수를 취하는 사상이 있다. 이 사상은 덧셈과 곱셈을 보존하므로 환 준동형이다.

환 준동형의 핵심 성질로는 핵과 상이 있다. 환 준동형 $f: R \to S$의 핵은 $R$의 원소 중 $S$의 덧셈 항등원인 $0_S$로 보내지는 원소들의 집합, 즉 $\ker(f) = \{ r \in R \mid f(r) = 0_S \}$로 정의된다. 이 핵은 $R$의 아이디얼이 된다. 마찬가지로 상 $f(R)$는 $S$의 부분환이 된다. 이러한 성질들은 환의 구조를 분석하고 분류하는 데 중요한 도구로 활용된다.

벡터 공간 사이의 선형 변환은 준동형의 중요한 예시이다. 두 벡터 공간 V와 W 사이의 함수 T: V → W가 모든 벡터 v, u ∈ V와 모든 스칼라 c에 대해 T(v + u) = T(v) + T(u)와 T(cv) = c T(v)를 만족할 때, 이 함수 T를 선형 변환이라 한다. 이는 벡터 공간의 핵심 구조인 벡터 덧셈과 스칼라곱을 보존하는 연산이다.

따라서 선형 변환은 벡터 공간이라는 대수적 구조를 다루는 준동형이다. 이는 군 준동형이나 환 준동형과 맥락을 같이한다. 선형 변환의 핵은 영벡터로 보내지는 V의 모든 벡터들의 집합이며, 이는 V의 부분공간을 이룬다. 선형 변환의 상은 W에서의 값들의 집합으로, W의 부분공간을 이룬다.

전단사인 선형 변환은 동형사상이며, 이 경우 두 벡터 공간은 동형이라고 한다. 동형인 벡터 공간은 본질적으로 같은 구조를 가진 것으로 간주되며, 이는 차원이 같다는 것과 동치이다. 한 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환은 자기 준동형사상이며, 특히 가역인 자기 준동형사상을 자동형사상이라 한다.

두 위상 공간 사이의 함수가 연속 함수라면, 이는 위상 공간이라는 구조를 보존하는 준동형으로 간주할 수 있다. 위상 공간의 핵심 구조는 열린 집합의 체계이며, 연속 함수는 이 열린 집합의 관계를 보존한다. 구체적으로, 함수 f: X → Y가 연속이라는 것은 Y의 임의의 열린 집합 V에 대해, 그 원상 f⁻¹(V)가 X에서 열린 집합이 되는 것을 의미한다. 이는 위상적 구조가 함수를 통해 '이동'될 수 있음을 보장한다.

따라서 위상수학의 맥락에서 연속 함수는 위상 공간이라는 범주 내의 준동형사상에 해당한다. 이 관점은 범주론에서 더욱 명확해지며, 위상 공간을 대상으로 하고 연속 함수를 사상으로 하는 범주를 형성하게 된다. 이는 군과 군 준동형, 환과 환 준동형이 각각 범주를 이루는 것과 유사한 방식이다.

이러한 관점은 서로 다른 위상 공간들을 비교하고 분류하는 데 필수적이다. 두 위상 공간 사이에 위상 동형사상, 즉 전단사 연속 함수이며 그 역함수도 연속인 함수가 존재하면, 두 공간은 위상적으로 동일한 것으로 본다. 이는 군이나 환에서의 동형사상에 정확히 대응하는 개념이다.

두 대수적 구조 사이의 준동형사상이 주어지면, 그로부터 자연스럽게 두 개의 중요한 부분 구조를 얻을 수 있다. 바로 핵과 상이다. 이들은 주어진 준동형사상이 얼마나 '가역적'인지, 즉 동형사상에 가까운지를 측정하는 핵심 도구 역할을 한다.

핵은 준동형사상에 의해 정의역의 항등원(또는 영원)으로 보내지는 모든 원소들의 집합이다. 예를 들어, 군 준동형사상 f: G → H에서 핵은 Ker(f) = {g ∈ G | f(g) = e_H}로 정의된다. 핵은 항상 정의역 G의 정규부분군이 된다. 핵이 자명한 경우, 즉 항등원만을 포함할 때, 준동형사상은 단사가 된다. 이는 핵이 클수록 더 많은 원소들이 같은 값으로 '응축'되어 사상이 정보를 많이 잃는다는 직관과 일치한다.

반면, 상은 준동형사상의 함수값으로 이루어진 공역의 부분 집합이다. 군 준동형사상 f: G → H에서 상은 Im(f) = {f(g) ∈ H | g ∈ G}로 정의되며, 이는 공역 H의 부분군을 이룬다. 준동형사상이 전사라는 것은 상이 전체 공역과 정확히 일치함을 의미한다. 핵과 상은 준동형사상의 기본정리, 특히 제1동형정리를 통해 긴밀하게 연결된다. 이 정리에 따르면, 정의역을 핵으로 나눈 몫군은 준동형사상의 상과 동형이다.

이 개념들은 군론뿐만 아니라 환론이나 벡터 공간의 선형 변환 등 다른 대수적 구조로도 자연스럽게 확장된다. 예를 들어, 환 준동형사상의 핵은 아이디얼이 되며, 벡터 공간 사이의 선형 변환의 핵은 부분공간이 된다. 핵과 상은 추상대수학에서 구조를 분석하고 분류하는 데 필수적인 도구이다.

동형사상은 두 대수적 구조 사이의 구조를 완벽하게 보존하는 준동형사상이다. 이는 군론, 환론, 체론 등 다양한 대수학 분야에서 두 구조가 본질적으로 동일한지를 판별하는 핵심 도구로 사용된다. 두 구조 사이에 동형사상이 존재하면, 그 두 구조는 대수적으로 동일한 것으로 간주하며, 이는 대수적 구조의 비교와 분류에 중요한 역할을 한다.

동형사상은 단순히 구조를 보존할 뿐만 아니라, 전단사 함수이기도 하다. 즉, 두 구조의 원소들 사이에 일대일 대응을 이루면서 연산이나 관계도 정확히 매핑한다. 예를 들어, 군의 동형사상은 군 연산을 보존하는 전단사 함수이며, 환의 동형사상은 덧셈과 곱셈 연산을 모두 보존하는 전단사 함수이다. 이러한 성질 덕분에 동형사상의 역함수 역시 동형사상이 된다.

동형사상의 존재는 두 구조가 이름이나 표현 방식은 다를지라도 내재적 대수적 성질은 완전히 같음을 의미한다. 따라서 수학자들은 복잡한 구조를 연구할 때, 그것과 동형인 더 잘 알려진 또는 더 간단한 구조를 찾아 분석하는 전략을 종종 사용한다. 이 개념은 추상대수학의 근간을 이루며, 더 넓은 수학적 구조를 연구하는 범주론에서도 사상의 중요한 특수한 경우로 등장한다.

동형사상의 특별한 경우로, 하나의 구조에서 자기 자신으로 가는 동형사상을 자기 동형사상이라 부른다. 모든 자기 동형사상의 집합은 합성 연산 아래에서 군을 이루며, 이는 원래 구조의 대칭성을 연구하는 데 중요한 정보를 제공한다.

동형사상은 두 대수적 구조 사이의 구조를 완벽하게 보존하는 준동형사상이다. 이는 군론, 환론, 체론 등 추상대수학의 다양한 분야에서 두 구조가 본질적으로 같은지를 비교하고 분류하는 데 핵심적인 역할을 한다. 두 구조 사이에 동형사상이 존재하면, 그 두 구조는 대수적으로 동일한 것으로 간주하며, 이는 구조의 내부적 성질이 완전히 일치함을 의미한다.

동형사상은 단순히 구조를 보존할 뿐만 아니라, 전단사 함수이기도 하다. 즉, 두 구조의 원소들 사이에 일대일 대응 관계를 설정하면서도, 그 대응이 각 구조에서 정의된 연산과 관계를 그대로 유지한다. 예를 들어, 군의 경우 군 연산을 보존하는 전단사 준동형사상이 바로 군 동형사상이며, 환의 경우 덧셈과 곱셈 연산을 모두 보존하는 전단사 준동형사상이 환 동형사상이다.

동형사상의 합성은 다시 동형사상이 되며, 모든 동형사상은 가역적이다. 즉, 어떤 동형사상의 역함수 역시 동형사상이 된다. 이 성질은 동형사상들이 범주론의 관점에서 동형 사상을 이룸을 보여준다. 이러한 특성 덕분에, 복잡한 대수적 구조를 연구할 때 그것과 동형인 더 잘 알려진 구조를 찾아 분석함으로써 문제를 단순화할 수 있다.

동형사상과 밀접한 관련이 있는 개념으로는 자기 준동형사상과 자동형사상이 있다. 자기 준동형사상은 한 구조에서 자기 자신으로 가는 준동형사상을 말하며, 자동형사상은 한 구조에서 자기 자신으로 가는 동형사상을 의미한다. 어떤 구조의 모든 자동형사상들은 자기동형군을 이루며, 이는 해당 구조의 대칭성을 연구하는 중요한 도구가 된다.

자기 준동형사상은 하나의 대수적 구조에서 그 자신으로 가는 준동형사상을 의미한다. 즉, 군이나 환, 체와 같은 구조를 스스로에게 대응시키면서 그 구조를 보존하는 함수이다. 자기 준동형사상은 주어진 구조의 내부적 대칭성이나 변환을 연구하는 데 핵심적인 도구로 사용된다.

예를 들어, 정수 집합 위의 덧셈 군에서 모든 원소에 2를 곱하는 함수는 자기 준동형사상이 된다. 이 함수는 임의의 두 정수 a, b에 대해 f(a+b) = 2(a+b) = 2a+2b = f(a)+f(b)를 만족하여 군의 연산 구조를 보존하기 때문이다. 벡터 공간에서 선형 변환은 벡터 공간 구조를 보존하는 자기 준동형사상의 대표적인 예이다.

자기 준동형사상의 집합은 함수의 합성 연산에 대해 다시 하나의 대수적 구조를 이룬다. 특히, 가역함수인 자기 준동형사상, 즉 자기동형사상들의 집합은 군을 이루며, 이는 원래 구조의 대칭군으로 이해될 수 있다. 이는 대수학과 범주론에서 구조의 자기 사상들을 체계적으로 연구하는 중요한 동기가 된다.

자동형사상은 자기 자신으로 가는 동형사상이다. 즉, 어떤 대수적 구조에서 그 자신으로의 사상이면서, 그 구조를 완전히 보존하는 전단사 함수를 의미한다. 예를 들어, 군의 자동형사상은 군의 연산 구조를 보존하는 전단사인 군 준동형이다.

자동형사상의 집합은 합성 연산 아래에서 군을 이루며, 이를 자동형사상군이라고 부른다. 이 군은 원래 대수적 구조의 대칭성을 연구하는 데 중요한 도구가 된다. 예를 들어, 벡터 공간의 자동형사상군은 일반선형군이며, 체의 자동형사상군은 갈루아 군 이론의 핵심 구성 요소이다.

자기 준동형사상이 구조를 보존하는 함수라면, 자동형사상은 그 중에서도 특히 구조를 뒤섞지 않고 완벽하게 보존하는 가역적인 변환에 해당한다. 따라서 어떤 구조의 자동형사상군을 분석하면 그 구조가 가진 내재적인 대칭과 불변량을 이해할 수 있게 해준다.