정적분

정적분의 엄밀한 정의는 리만 합과 극한의 개념을 바탕으로 한다. 이는 아르키메데스의 구분구적법을 엄밀하게 수학화한 것으로, 함수 그래프 아래의 넓이를 근사하고 그 극한값으로 정적분의 값을 정의한다.

구체적으로, 닫힌구간 [a, b]에서 정의된 함수 f(x)를 생각한다. 이 구간을 n개의 소구간으로 분할하고, 각 소구간에서 함수값을 하나 선택하여 높이로 삼는다. 각 소구간의 길이와 해당 높이를 곱한 직사각형의 넓이를 모두 합한 것을 리만 합이라고 한다. 이때 분할의 개수 n을 무한히 늘려 각 소구간의 길이가 0에 가까워지도록 하면, 리만 합은 어떤 고정된 값에 수렴하게 된다. 이 극한값을 함수 f(x)의 a에서 b까지의 정적분으로 정의한다.

이러한 정의는 리만 적분의 관점에서 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이를 구하는 방법을 제공한다. 리만 합의 극한으로서의 정적분 정의는 넓이 계산을 수학적으로 엄밀하게 다루는 토대가 되었으며, 이후 르베그 적분과 같은 보다 일반적인 적분 개념으로 확장되는 기초가 된다.

정적분의 표기법은 라이프니츠에 의해 도입된 적분 기호 ∫를 사용한다. 이 기호는 합(summation)을 의미하는 라틴어 'summa'의 첫 글자 S를 길게 늘인 형태에서 유래했다. 정적분은 일반적으로 ∫[a, b] f(x) dx와 같이 표기하며, 이를 '함수 f(x)를 a부터 b까지 x에 대해 적분한다'고 읽는다.

여기서 a와 b는 적분의 하한과 상한으로, 적분 구간의 시작점과 끝점을 나타낸다. 피적분함수 f(x)는 넓이를 구하려는 곡선의 방정식을, dx는 적분 변수가 x임을 나타내며, 매우 작은 구간의 폭을 의미한다. 이 표기법은 리만 합의 극한 개념을 간결하게 표현하며, 미적분학의 기본정리를 통해 부정적분과의 강력한 연결고리를 제공한다.

이 표기법은 단순히 넓이를 계산하는 수학적 도구를 넘어, 변위, 부피, 질량 중심, 일 등 다양한 물리량을 계산하는 데 광범위하게 응용된다. 또한, 이상적분이나 중적분, 선적분과 같은 고급 적분 개념으로 확장될 때도 이 기본적인 표기 체계를 바탕으로 한다.

정적분은 선형성이라는 중요한 대수적 성질을 가진다. 이는 두 함수의 합에 대한 적분은 각 함수의 적분의 합과 같으며, 상수배에 대한 적분은 적분값의 상수배와 같다는 것을 의미한다. 구체적으로, 두 함수 f(x)와 g(x)가 구간 [a, b]에서 적분 가능하고, k가 임의의 실수일 때 다음 두 식이 성립한다.

이 두 성질을 종합하여, 함수의 선형 결합에 대한 적분은 각 항의 적분의 선형 결합과 같다고 표현할 수 있다. 즉, ∫[a, b] {c₁ f(x) + c₂ g(x)} dx = c₁ ∫[a, b] f(x) dx + c₂ ∫[a, b] g(x) dx 가 성립한다.

이러한 선형성은 적분 계산을 단순화하는 데 매우 유용하다. 복잡한 함수를 여러 개의 간단한 함수의 합이나 상수배로 표현할 수 있다면, 각 부분의 적분을 따로 구한 후 선형성에 따라 결과를 조합하면 되기 때문이다. 이 성질은 리만 합의 정의로부터 직접 유도될 수 있으며, 미적분학의 기본정리를 이용한 계산에서도 당연히 성립한다.

구간 가법성은 정적분의 중요한 성질 중 하나로, 적분 구간을 여러 부분으로 나누어 계산한 결과를 합쳐도 원래 구간에서의 적분값과 같다는 원리이다. 이 성질은 적분 계산을 더 작고 간단한 구간으로 분할하여 수행할 수 있게 해주며, 특히 복잡한 함수나 불연속점이 있는 경우에 유용하게 적용된다.

구체적으로, 함수 f(x)가 구간 [a, c]에서 적분 가능하고, a < b < c일 때, 다음 등식이 성립한다. ∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx. 이는 적분 구간의 끝점을 기준으로 적분값이 더해짐을 의미한다. 또한, 이 성질은 구간의 방향을 고려하여 ∫[a, b] f(x) dx = -∫[b, a] f(x) dx와 같이 표현될 수 있으며, 이때 적분 구간의 상한과 하한이 바뀌면 적분값의 부호도 바뀐다.

이 성질은 리만 합의 극한으로 정의되는 정적분의 본질에서 자연스럽게 도출된다. 구간을 분할하여 각 부분구간에서의 넓이를 근사하고 합치는 과정 자체가 가법성을 내포하고 있기 때문이다. 따라서 구간 가법성은 미적분학의 기본정리를 이용한 계산뿐만 아니라, 적분의 정의를 통해서도 직접 확인할 수 있다.

구간 가법성의 응용은 매우 다양하다. 예를 들어, 절댓값 함수나 구간별로 정의된 함수의 정적분을 계산할 때, 함수 식이 변하는 점을 기준으로 적분 구간을 나누어 계산하는 데 필수적으로 사용된다. 또한, 이상적분을 계산할 때 무한대에 발산하는 점을 기준으로 구간을 분할하는 근거가 되기도 한다.

비교 정리는 두 함수의 정적분 값을 비교할 수 있게 해주는 성질이다. 구간 [a, b]에서 모든 x에 대해 한 함수의 값이 다른 함수의 값보다 항상 크거나 같다면, 그 정적분 값도 마찬가지로 크거나 같다는 원리를 담고 있다.

보다 정확히는, 구간 [a, b]에서 함수 f(x)와 g(x)가 연속이고, 모든 x에 대해 f(x) ≥ g(x)를 만족한다면, 두 함수의 정적분 사이에도 ∫[a, b] f(x) dx ≥ ∫[a, b] g(x) dx라는 관계가 성립한다. 이는 리만 합의 관점에서 각 부분구간에서의 직사각형 넓이의 합이 항상 f(x)에 대한 것이 g(x)에 대한 것보다 크거나 같기 때문에, 그 극한인 정적분 값에도 동일한 부등식이 유지되기 때문이다.

이 정리는 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 추정하거나, 복잡한 적분의 값을 간단한 함수의 적분값을 이용해 상한 또는 하한을 구하는 데 유용하게 쓰인다. 예를 들어, 특정 함수의 정적분 값을 직접 계산하기 어려울 때, 그 함수보다 항상 크거나 작은 다른 함수를 찾아 그 적분값으로 원래 적분값의 범위를 평가할 수 있다.

비교 정리는 미적분학의 기본정리를 통해 계산된 정적분 값들 사이의 관계를 설명하는 대수적 성질로도 이해할 수 있으며, 넓이나 부피와 같은 기하학적 응용뿐만 아니라 수렴하는 이상적분의 값을 판별할 때도 중요한 도구로 활용된다.

미적분학의 기본정리는 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있음을 보여주는 핵심 정리이다. 이 정리는 정적분의 계산을 부정적분을 이용해 비교적 쉽게 수행할 수 있게 해주며, 미적분학의 발전에 결정적인 역할을 했다.

미적분학의 기본정리는 크게 두 부분으로 나눌 수 있다. 첫 번째 부분은 어떤 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 그 구간에서의 정적분을 나타내는 새로운 함수 F(x) = ∫[a, x] f(t) dt를 정의하면, 이 함수 F(x)는 미분 가능하며 그 도함수가 원래 함수 f(x)가 된다는 것이다. 즉, F'(x) = f(x)가 성립한다. 이는 적분이 미분의 역과정임을 의미한다.

두 번째 부분은 첫 번째 부분의 직접적인 결과로, 함수 f(x)의 한 부정적분(원시함수)를 F(x)라고 할 때, f(x)의 a에서 b까지의 정적분 값은 F(b) - F(a)와 같다는 것이다. 이는 ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)로 표현되며, 때로는 [F(x)][a, b]와 같이 표기하기도 한다. 이 공식은 복잡한 극한 계산인 리만 합을 직접 사용하지 않고도, 미분을 통해 쉽게 찾을 수 있는 부정적분을 이용해 정적분 값을 구할 수 있게 해준다.

이 정리는 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 독립적으로 발견되고 체계화되었으며, 그들의 업적을 통해 미적분학은 강력한 계산 도구로 자리 잡게 되었다. 이를 통해 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이, 물체의 변위, 회전체의 부피 등 다양한 문제를 효율적으로 해결할 수 있게 되었다.

치환적분법은 정적분을 계산할 때 사용하는 강력한 기법 중 하나이다. 이 방법은 복잡한 피적분 함수를 새로운 변수로 치환하여 적분하기 쉬운 형태로 변형하는 것을 목표로 한다. 기본적인 아이디어는 적분 변수인 x를 다른 변수 u로 바꾸는 것으로, 이때 u는 x의 함수 u = g(x)로 정의된다. 치환을 수행하면 적분 구간과 미분소 dx도 새로운 변수에 맞게 함께 변환되어야 한다.

구체적으로, 함수 f(x)의 정적분 ∫[a, b] f(x) dx를 계산할 때, u = g(x)로 치환한다면, 미분소는 du = g'(x) dx가 된다. 따라서 원래의 적분은 ∫[g(a), g(b)] f(g⁻¹(u)) * (dx/du) du 또는 더 간단히 ∫[g(a), g(b)] F(u) du의 형태로 바뀐다. 여기서 핵심은 치환 후의 새로운 피적분 함수 F(u)가 원래 함수보다 적분하기 훨씬 쉬워져야 한다는 점이다. 이 과정은 부정적분을 구할 때의 치환법과 원리가 동일하지만, 정적분에서는 적분 구간의 끝점까지 함께 변환한다는 차이가 있다.

치환적분법의 유용성은 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등을 포함한 다양한 함수의 적분에서 두드러진다. 예를 들어, 피적분 함수가 합성함수의 형태이거나, 그 도함수가 함께 곱해져 있는 형태일 때 효과적으로 적용할 수 있다. 이 기법은 미적분학의 기본정리를 통해 정적분을 계산하는 과정에서 필수적인 도구로 자리 잡았으며, 넓이나 부피 계산 같은 응용 문제를 해결하는 데 광범위하게 쓰인다. 적절한 치환을 선택하는 것은 경험과 직관에 많이 의존하므로, 다양한 문제를 풀어보며 익히는 것이 중요하다.

부분적분법은 두 함수의 곱으로 이루어진 함수의 부정적분을 구하는 기법으로, 미적분학의 기본정리를 통해 정적분 계산에도 직접 적용된다. 이 방법은 곱의 미분 공식에서 유도되며, 적분 기호 안의 함수를 적절히 두 부분으로 나누어 한 부분은 미분하고 다른 부분은 적분하는 과정을 통해 원래의 적분을 더 계산하기 쉬운 형태로 변환하는 데 그 목적이 있다.

부분적분법의 공식은 ∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx 이며, 정적분의 경우 ∫[a, b] f(x)g'(x) dx = [f(x)g(x)][a, b] - ∫[a, b] f'(x)g(x) dx 와 같이 적분 구간을 적용하여 표현한다. 여기서 f(x)를 미분했을 때 단순해지는 함수로, g'(x)는 적분하기 쉬운 함수로 선택하는 것이 일반적인 전략이다. 예를 들어, 다항함수와 지수함수 또는 삼각함수의 곱 형태의 적분에 효과적으로 사용된다.

이 기법은 치환적분법으로 해결하기 어려운 다양한 형태의 정적분, 특히 로그함수나 역삼각함수가 포함된 적분을 계산하는 데 필수적이다. 또한, 물리학이나 공학에서 나타나는 복잡한 식의 적분 값을 구할 때 반복적으로 적용되기도 한다. 따라서 부분적분법은 정적분을 효율적으로 계산하기 위한 핵심 도구 중 하나로 자리 잡고 있다.

정적분은 주어진 구간에서 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이를 계산하는 강력한 도구이다. 이 개념은 고대 그리스의 아르키메데스가 사용한 구분구적법에서 그 기원을 찾을 수 있으며, 뉴턴과 라이프니츠에 의해 미적분학의 체계 속에 통합되었다. 리만 적분의 관점에서, 이 넓이는 리만 합의 극한으로 정의된다. 즉, 구간을 매우 작은 부분으로 나누고, 각 부분에서의 사각형 넓이를 합한 후, 그 분할을 무한히 세분화했을 때의 극한값으로 이해한다.

정적분의 표기 ∫[a, b] f(x) dx는 적분 구간 [a, b]와 피적분함수 f(x)를 명시한다. 이때 x축 위의 영역은 양의 넓이를, x축 아래의 영역은 음의 넓이를 갖는다. 따라서 함수의 그래프가 x축을 가로지르는 경우, 정적분 값은 각 부분의 넓이의 대수적 합, 즉 넓이에 부호를 적용한 값이 된다. 순수한 기하학적 넓이를 구하려면, 함수가 음수가 되는 구간에서는 적분값의 절댓값을 취하거나, x축에 대한 함수의 절댓값을 적분해야 한다.

정적분을 통한 넓이 계산은 미적분학의 기본정리에 의해 크게 단순화된다. 이 정리는 정적분의 값이 피적분함수의 부정적분인 원시함수를 이용해 쉽게 구할 수 있음을 보여준다. 구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분은, f(x)의 한 원시함수를 F(x)라고 할 때, F(b) - F(a)와 같다. 이로 인해 복잡한 극한 계산 없이도 넓이를 효율적으로 구할 수 있게 되었다.

이러한 넓이 개념은 단순한 평면 도형을 넘어서 다양한 확장이 가능하다. 예를 들어, 두 곡선 사이의 영역의 넓이는 두 함수의 정적분의 차로 구할 수 있다. 또한, 매개변수 방정식으로 표현된 곡선으로 둘러싸인 영역이나, 극좌표에서의 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이도 정적분을 응용하여 계산한다. 이는 정적분이 기하학의 핵심 도구로서 지속적으로 활용되는 이유를 보여준다.

정적분을 이용하면 회전체의 부피를 계산할 수 있다. 회전체란 어떤 평면 도형을 하나의 축을 중심으로 회전시켜 얻은 입체 도형을 말한다. 예를 들어, 함수 y = f(x)의 그래프와 x축, 그리고 두 직선 x = a, x = b로 둘러싸인 영역을 x축을 중심으로 회전시키면 회전체가 만들어진다. 이 회전체의 부피는 원판을 쌓아 올리는 방법으로 구할 수 있으며, 이를 원판법(디스크 방법)이라고 부른다. 구간 [a, b]를 매우 작은 폭 Δx로 나누면, 각각의 얇은 구간에서 생기는 회전체의 단면은 반지름이 f(x)인 원판으로 근사할 수 있다. 이 원판의 부피는 π[f(x)]^2 Δx이다. 이 작은 원판들의 부피를 모두 더한 후, Δx가 0에 가까워질 때의 극한을 취하면 정적분을 통해 정확한 부피를 얻는다.

회전체의 부피 V는 다음과 같은 정적분으로 표현된다.

V = π ∫[a, b] [f(x)]^2 dx

이 공식은 x축을 중심으로 회전하는 경우에 적용된다. 만약 회전축이 y축이라면, 변수를 y에 대해 나타내고 적분 구간을 y값에 따라 설정하여 유사한 방식으로 부피를 구할 수 있다. 또한, 회전축이 x축이나 y축이 아닌 다른 직선인 경우나, 회전체 내부에 빈 공간이 있는 경우(와셔 방법)에도 정적분을 확장하여 부피를 계산할 수 있다. 이러한 방법들은 미적분학의 기본 원리를 바탕으로 하며, 구분구적법의 아이디어를 입체에 적용한 것이다.

정적분을 통한 부피 계산은 공학과 물리학에서 널리 활용된다. 예를 들어, 주어진 단면적 함수를 알고 있을 때 물체의 부피를 구하거나, 유체 역학에서 특정 형상의 탱크 용량을 계산하는 데 사용된다. 이는 곡선 아래의 넓이를 구하는 개념을 3차원으로 확장한 중요한 응용 분야이다.

정적분은 곡선의 길이를 구하는 데에도 활용된다. 평면 위에 주어진 곡선의 길이를 근사하기 위해, 곡선을 매우 작은 여러 개의 직선 조각으로 나누어 그 길이의 합을 구한 후, 그 극한을 취하는 방식으로 정의한다. 이는 곡선을 무한히 많은 미소 호의 길이의 합으로 이해하는 것이다.

곡선이 함수 y = f(x)의 그래프로 표현되고 그 함수가 미분가능할 때, 곡선의 길이 L은 정적분을 통해 계산할 수 있다. 구간 [a, b]에서 곡선의 길이는 미소 호의 길이를 피타고라스 정리를 이용해 근사하여 구한 공식 L = ∫[a, b] √(1 + (f'(x))²) dx 로 주어진다. 이 공식은 곡선 위의 두 점 사이의 거리 공식을 적분하여 유도된다.

매개변수 방정식으로 표현된 곡선의 경우, 길이 계산 공식은 더 일반화된다. 예를 들어, 곡선이 x = g(t), y = h(t) (α ≤ t ≤ β)로 주어지면, 그 길이는 L = ∫[α, β] √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt 로 계산한다. 이는 속도 벡터의 크기를 시간에 대해 적분한 것과 같으며, 물리학에서 이동 경로의 길이를 구할 때 사용된다.

극좌표계에서 표현된 곡선 r = r(θ)의 길이를 구할 때에도 정적분이 사용된다. 이 경우, 미소 호의 길이를 극좌표에서의 관계식을 통해 표현하면, 구간 [α, β]에서의 곡선 길이는 L = ∫[α, β] √(r(θ)² + (dr/dθ)²) dθ 의 형태를 갖는다. 이러한 곡선 길이 공식들은 공학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스 등에서 실제 경로나 형상의 길이를 정량화하는 데 필수적이다.

정적분은 물리학에서 다양한 물리량을 계산하는 데 핵심적인 도구로 활용된다. 가장 대표적인 예는 속도 함수를 적분하여 변위를 구하는 것이다. 어떤 물체의 속도가 시간에 대한 함수 v(t)로 주어질 때, 시간 구간 [a, b] 동안의 총 변위는 정적분 ∫[a, b] v(t) dt로 계산된다. 이는 속도-시간 그래프 아래의 넓이가 그 시간 동안 이동한 총 거리, 즉 변위에 해당하기 때문이다. 마찬가지로 가속도 함수 a(t)를 적분하면 속도의 변화량을 얻을 수 있다.

또한 정적분은 질량 중심, 관성 모멘트, 일과 에너지 같은 물리량을 구할 때도 사용된다. 예를 들어, 변위에 따라 변화하는 힘 F(x)가 물체에 작용할 때, 이 힘이 물체를 x=a에서 x=b까지 이동시키는 동안 한 일은 정적분 ∫[a, b] F(x) dx로 정의된다. 이는 일의 기본 정의에서 비롯된다. 전기 회로에서 전력의 시간에 따른 적분은 소비된 에너지를, 유체역학에서 유속의 단면적에 대한 적분은 유량을 나타낸다.

연속적으로 분포된 물체의 총 질량을 구할 때도 정적분이 필수적이다. 길이, 면적, 부피에 따라 밀도가 변하는 물체가 있다면, 그 물체를 무한히 많은 작은 부분으로 나누어 각 부분의 질량(밀도 × 부피)을 근사하고, 이를 합의 극한으로 계산하는 과정이 바로 정적분이다. 이는 리만 합의 개념과 직접적으로 연결된다. 따라서 정적분은 이산적인 값의 합을 연속적인 상황으로 확장하여, 현실 세계의 연속적인 현상을 정량적으로 분석할 수 있게 해주는 강력한 수학적 도구이다.

이상적분은 정적분의 적분 구간이 무한대를 포함하거나, 피적분 함수가 적분 구간 내에서 특정 점에서 발산하는 경우를 다루는 적분이다. 즉, 일반적인 리만 적분의 정의로는 값을 구할 수 없는 경우, 극한을 이용해 적분 값을 정의하는 확장된 개념이다.

이상적분은 크게 두 가지 유형으로 나눌 수 있다. 첫 번째는 적분 구간이 무한한 경우로, 예를 들어 ∫[1, ∞] (1/x²) dx와 같은 형태이다. 이는 ∫[1, t] (1/x²) dx의 t가 무한대로 갈 때의 극한으로 정의한다. 두 번째는 피적분 함수가 적분 구간 내의 한 점에서 무한대로 발산하는 경우이다. 예를 들어, 점 x=0에서 발산하는 함수 f(x)=1/√x를 [0, 1] 구간에서 적분할 때, ∫[ε, 1] (1/√x) dx의 ε이 0으로 다가갈 때의 극한으로 정의한다.

이러한 극한이 유한한 값으로 존재하면 해당 이상적분은 수렴한다고 말하며, 그 극한값을 이상적분의 값으로 정의한다. 반대로 극한이 존재하지 않거나 무한대로 발산하면 이상적분은 발산한다고 한다. 이상적분의 수렴 여부를 판정하는 데는 비교 판정법, 극한 비교 판정법 등의 다양한 수렴 판정법이 활용된다.

이상적분은 확률론에서 중요한 확률 밀도 함수의 전체 구간 적분값이 1이 되어야 한다는 조건을 확인하거나, 공학에서 신호의 에너지를 계산하는 등 이론과 응용 분야에서 광범위하게 사용된다. 이는 정적분을 보다 일반적인 함수와 구간에까지 적용 가능하도록 확장한 강력한 도구이다.

중적분은 두 개 이상의 변수를 가진 함수에 대한 적분을 의미한다. 이중적분은 두 변수에 대해, 삼중적분은 세 변수에 대해 적분을 수행한다. 이중적분은 일반적으로 2차원 영역 위에서 함수를 적분하여, 그 함수 그래프와 평면 사이의 부피를 계산하는 데 사용된다. 반면, 삼중적분은 3차원 공간 영역에서 함수를 적분하여, 예를 들어 그 영역의 총 질량이나 전하량을 구하는 데 활용된다.

중적분의 계산은 보통 반복적분의 형태로 수행된다. 예를 들어, 직사각형 영역에서의 이중적분은 먼저 한 변수에 대해 정적분을 계산한 후, 그 결과를 다른 변수에 대해 다시 정적분하는 방식으로 이루어진다. 이때 적분 순서는 푸비니 정리에 따라 적분 가능한 함수의 경우 바꿀 수 있다. 더 복잡한 영역에 대한 적분은 적분 영역을 기술하는 극좌표, 원통좌표, 구면좌표와 같은 다른 좌표계를 사용하여 계산을 단순화할 수 있다.

중적분은 공학, 물리학, 확률론 등 다양한 분야에서 필수적인 도구이다. 물리학에서는 질량 중심, 관성 모멘트, 중력을 계산할 때 사용되며, 확률론에서는 두 개 이상의 확률 변수를 다루는 결합 확률 분포에서 특정 사건의 확률을 구하는 데 적용된다. 또한 편미분방정식을 푸는 과정에서도 중요한 역할을 한다.

선적분은 곡선을 따라 벡터장이나 스칼라장을 적분하는 방법이다. 일반적인 정적분이 직선상의 구간에 대해 정의되는 반면, 선적분은 평면이나 공간 상의 곡선 경로를 따라 적분을 수행한다. 이는 물리학에서 힘장 내에서 물체를 이동시킬 때 한 일을 계산하거나, 유체의 흐름을 분석하는 등 다양한 벡터장의 성질을 연구하는 데 핵심적으로 활용된다.

선적분은 크게 두 가지 유형으로 나눌 수 있다. 첫 번째는 스칼라장에 대한 선적분으로, 곡선의 각 점에서 함수값을 취하고 곡선의 미소 길이 요소를 곱하여 합산한다. 이는 곡선을 따라 분포된 물리량, 예를 들어 선밀도를 가진 와이어의 총 질량을 구할 때 사용된다. 두 번째는 벡터장에 대한 선적분으로, 벡터장의 접선 성분을 곡선의 미소 변위 벡터와 내적하여 적분한다. 이는 벡터장이 나타내는 힘이 물체를 특정 경로를 따라 이동시킬 때 하는 일을 계산하는 공식이다.

선적분의 계산은 일반적으로 매개변수 방정식을 이용한다. 곡선 C가 매개변수 t로 표현될 때, 적분은 t에 대한 일반적인 정적분으로 변환되어 미적분학의 기본정리를 적용하여 계산할 수 있다. 이 과정에서 치환적분법이 자주 사용되며, 경로의 방향에 따라 적분값의 부호가 달라질 수 있다는 점이 특징이다. 선적분의 개념은 더 높은 차원으로 확장되어 면적분이나 부피적분으로 일반화되며, 이들 사이의 관계를 설명하는 스토크스 정리나 발산 정리와 같은 중요한 정리들의 기초를 이룬다.