적분가능계

적분가능계가 되기 위해서는 일반적인 비선형계와 구별되는 몇 가지 엄격한 조건을 만족해야 한다. 가장 핵심적인 조건은 무한한 수의 독립적인 보존량이 존재한다는 것이다. 보통의 동역학계는 에너지, 운동량 등 몇 개의 보존량만을 가지지만, 적분가능계는 무한한 수의 보존량을 가지며, 이들은 서로 적분 가능한 관계에 있다. 이 무한한 보존량들은 계의 진화를 완전히 제약하여, 초기 조건이 주어지면 해의 거동이 결정론적으로 풀릴 수 있게 만든다.

또 다른 중요한 조건은 역산란법을 적용할 수 있는 수학적 구조를 가지고 있어야 한다는 점이다. 이는 계가 Lax 쌍으로 표현될 수 있음을 의미한다. Lax 쌍이란 시간에 따라 변하는 두 개의 선형 연산자 L과 A가 존재하여, 원래의 비선형 방정식이 L과 A의 호환 조건으로부터 유도되는 구조를 말한다. 이 구조를 통해 비선형 편미분방정식의 해를 선형 문제로 환원하여 해석할 수 있는 길이 열린다.

적분가능성을 판별하는 구체적인 방법으로는 Painlevé 검사가 널리 사용된다. 이 검사법은 방정식의 해가 이동 가능한 특이점을 제외한 곳에서 해석적인 성질을 가지는지, 즉 Painlevé 성질을 만족하는지를 확인한다. 만약 방정식이 이 성질을 가진다면, 그것은 적분가능할 가능성이 매우 높은 것으로 간주된다. KdV 방정식이나 사인-고든 방정식과 같은 대표적인 적분가능계들은 모두 이 검사를 통과한다.

이러한 조건들을 종합하면, 적분가능계는 강한 대칭성과 구조를 지녀 혼돈적인 행동을 보이지 않고, 해석적인 방법으로 완전히 풀 수 있는 특별한 계로 정의된다. 이러한 엄격한 조건 때문에 완전히 적분가능한 계는 수학적으로 매우 드물지만, 그만큼 연구 가치가 높은 대상이 된다.

적분가능계를 정의하는 핵심적인 틀은 Lax 쌍이다. 이는 피터 Lax에 의해 도입된 개념으로, 비선형 편미분방정식을 선형 문제의 쌍으로 재구성하는 방법이다. 구체적으로, 시간에 의존하는 선형 연산자 L(t)와 또 다른 연산자 A(t)가 존재하여, 원래의 비선형 방정식이 L_t = [A, L] = AL - LA라는 연산자 방정식과 동치가 될 때, 이를 Lax 쌍 또는 Lax 표현이라고 한다. 이 관계는 L 연산자의 스펙트럼(고유값)이 시간에 따라 불변임을 보장하며, 이는 곧 시스템에 무한한 수의 보존량이 존재한다는 것을 의미한다.

Lax 쌍의 존재는 방정식이 역산란법으로 해석될 수 있음을 시사한다. 역산란법은 비선형 방정식의 초기값 문제를 푸는 강력한 방법으로, 먼저 Lax 쌍의 선형 방정식(산란 문제)을 통해 초기 조건으로부터 산란 데이터를 구한다. 이 산란 데이터의 시간 진화는 매우 단순하며, 이를 바탕으로 다시 원하는 해를 구성(역산란)한다. 이 과정을 통해 KdV 방정식이나 비선형 슈뢰딩거 방정식과 같은 중요한 적분가능계의 정확한 해, 특히 솔리톤 해를 구축할 수 있다.

솔리톤은 적분가능계의 대표적인 현상이다. 이는 파동의 형태와 속도가 충돌 후에도 변하지 않는, 마치 입자처럼 행동하는 국소화된 해이다. Lax 쌍의 관점에서 볼 때, 솔리톤은 L 연산자의 스펙트럼에서 이산 고유값에 해당한다. 여러 솔리톤이 상호작용하는 다중 솔리톤 해 역시 역산란법을 통해 명시적으로 구할 수 있으며, 이들의 충돌 과정은 완전 탄성 충돌과 같아 에너지와 운동량이 보존된다. 이러한 성질은 적분가능계가 수리물리학과 비선형 과학에서 핵심적인 연구 대상이 되는 이유 중 하나이다.

Korteweg-de Vries 방정식(KdV 방정식)은 적분가능계의 가장 대표적인 예시 중 하나이다. 이 방정식은 얕은 물결의 전파를 기술하기 위해 도입되었으며, 비선형성과 분산 효과가 균형을 이루는 특성을 지닌다. KdV 방정식은 역산란법을 통해 완전히 풀 수 있다는 점에서 적분 가능성이 증명된 최초의 비선형 편미분방정식으로 역사적 의의가 크다.

KdV 방정식의 가장 주목할 만한 성질은 솔리톤 해를 포함한다는 점이다. 솔리톤은 충돌 후에도 모양과 속도를 유지하는 국소적인 파동으로, KdV 방정식의 해석에서 핵심적인 역할을 한다. 이 방정식은 무한한 수의 독립적인 보존량을 가지며, 이는 역산란법을 통한 해의 구성과 깊이 연관되어 있다.

KdV 방정식은 다양한 물리적 현상을 모델링하는 데 사용된다. 얕은 수로에서의 파동, 플라즈마 물리학의 음향파, 탄성막의 진동 등 광범위한 분야에 응용된다. 또한, 이 방정식의 연구는 비선형 과학과 수리물리학의 발전에 지대한 기여를 했다.

KdV 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

이 방정식의 해는 단일 솔리톤, 다중 솔리톤, 그리고 산란 데이터를 통해 표현되는 일반적인 해로 구분된다.

비선형 슈뢰딩거 방정식은 적분가능계의 대표적인 예시 중 하나이다. 이 방정식은 기본적인 선형 슈뢰딩거 방정식에 비선형 항을 추가한 형태로, 주로 광섬유 내에서의 광파동 전파나 보즈-아인슈타인 응축 상태의 역학과 같은 물리 현상을 기술하는 데 사용된다. 적분 가능한 형태의 비선형 슈뢰딩거 방정식은 무한한 수의 보존량을 가지며, 역산란법을 통해 정확한 해를 구할 수 있다는 특징을 지닌다.

이 방정식의 가장 주목할 만한 해는 솔리톤이다. 비선형 슈뢰딩거 방정식의 솔리톤 해는 파동의 형태가 분산과 비선형 효과가 정확히 상쇄되어 시간이 지나도 모양을 유지하며 전파된다. 이러한 특성 덕분에 광통신에서 정보를 왜곡 없이 장거리 전송하는 이론적 모델로 깊이 연구되었다. 비선형 슈뢰딩거 방정식은 KdV 방정식과 함께 적분가능계 이론의 발전에 핵심적인 역할을 했다.

비선형 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 일반적인 형태로 표현된다.

여기서 ψ는 복소수 값의 파동 함수이며, 아래첨자는 편미분을 나타낸다. 이 방정식은 Lax 쌍을 구성할 수 있어 적분 가능성이 보장되며, Bäcklund 변환이나 Hirota 방법을 통해서도 해를 구할 수 있다. 이 방정식의 연구는 수리물리학과 비선형 과학의 중요한 축을 이루고 있다.

토다 격자는 1차원 격자 상에서 입자 간 비선형 상호작용을 기술하는 적분가능계이다. 이 모형은 입자들이 지수적으로 의존하는 힘으로 서로 상호작용하는 이산적인 계를 묘사하며, 연속 극한에서 KdV 방정식과 같은 다른 유명한 적분가능계로 수렴한다는 특징을 가진다. 고전적 토다 격자는 완전히 적분 가능한 해밀턴 계로, 무한한 수의 독립적인 보존량을 가지며, 이로 인해 역산란법을 통해 정확한 해를 구할 수 있다.

이 모형은 응집물질물리에서 1차원 격자 진동이나 통계역학에서 상전이 현상을 연구하는 데 유용한 틀을 제공한다. 특히, 격자 상의 솔리톤 해는 에너지가 국소화되어 흩어지지 않고 이동하는 현상을 보여주며, 이는 비선형 과학의 중요한 연구 대상이 된다. 토다 격자의 해는 Bäcklund 변환이나 Lax 쌍과 같은 적분가능계의 일반적인 기법들을 적용하여 체계적으로 구성할 수 있다.

토다 격자는 양자 버전으로도 일반화되어 양자 적분가능계의 대표적인 예가 된다. 양자 토다 격자 역시 정확히 풀 수 있으며, 그 베테 가설 해는 양자장론과 응집물질물리의 다양한 문제와 깊은 연관성을 가진다. 이처럼 토다 격자는 고전적 및 양자적 맥락 모두에서 적분가능성의 완벽한 실례를 보여주는 핵심 모형이다.

사인-고든 방정식은 1+1 차원 시공간에서 정의되는 중요한 고전 적분가능계이다. 이 방정식은 상대론적인 특성을 가지며, 그 형태는 파동 방정식에 비선형 사인 항이 추가된 모습을 보인다. 이 방정식은 기하학적으로 일정한 음의 곡률을 가진 표면을 기술하는 문제와 깊은 연관이 있으며, 응집물질물리에서 자기의 스큐미온 해를 설명하는 모델로도 널리 연구되었다.

사인-고든 방정식은 역산란법을 통해 완전히 해석될 수 있는 대표적인 예시로, 솔리톤 해를 포함한다. 이 방정식의 솔리톤 해는 브리저와 안티브리저로 불리며, 이들은 서로 충돌한 후에도 모양과 속도를 유지하는 특성을 보인다. 이러한 솔리톤들의 상호작용은 Bäcklund 변환이나 Hirota 방법과 같은 다른 적분가능계 해법으로도 분석될 수 있다.

사인-고든 방정식은 양자장론과의 깊은 연관성으로도 주목받는다. 특히, 이 방정식의 양자 적분가능계 버전은 페르미온 장을 포함하는 Thirring 모델과 등가임이 알려져 있으며, 이는 상호작용하는 양자장 이론의 정확히 풀 수 있는 예를 제공한다. 이로 인해 사인-고든 모델은 강한 상호작용 이론의 단순화된 모델로서, 또는 등각장론의 변형으로서 연구되기도 한다.

역산란법은 적분가능계를 해석하는 가장 강력한 방법 중 하나이다. 이 방법은 비선형 방정식의 해를 구하는 문제를 선형 문제로 변환하여 해결한다. 구체적으로, 주어진 비선형 방정식을 특정한 선형 미분 연산자(Lax 쌍)의 고유치 문제와 연관시킨다. 초기 조건에서 산란 데이터를 계산한 후, 시간에 따른 진화를 추적하고, 마지막으로 이 데이터로부터 원래 방정식의 해를 재구성한다.

이 방법의 핵심은 시간에 따라 변하지 않는 산란 데이터의 특정 성분을 이용하는 것이다. KdV 방정식의 경우, 이는 시간에 따라 변하지 않는 반사 계수를 의미하며, 이를 통해 솔리톤 해를 포함한 정확한 해를 구성할 수 있다. 역산란법은 비선형 슈뢰딩거 방정식과 사인-고든 방정식 등 많은 주요 적분가능계에 성공적으로 적용되었다.

역산란법의 성공은 적분가능계가 무한한 수의 보존량을 가진다는 사실과 깊이 연결되어 있다. 이 보존량들은 산란 문제의 고유치와 직접적으로 관련되어 있다. 따라서 역산란법은 방정식의 해를 구할 뿐만 아니라, 그 깊은 수학적 구조를 밝히는 데에도 기여한다.

이 방법은 수리물리학과 비선형 과학의 다양한 분야에서 필수적인 도구가 되었다. 특히, 솔리톤 현상을 이해하고 예측하는 데 결정적인 역할을 하며, 양자장론 및 응집물질물리의 일부 모델 분석에도 응용된다.

Bäcklund 변환은 적분가능계를 연구하는 데 있어 강력한 기법 중 하나이다. 이 변환은 주어진 비선형 편미분방정식의 한 해로부터 다른 해를 생성하는 변환을 의미한다. 특히, 이 방법은 솔리톤 해를 구성하거나, 더 복잡한 다중 솔리톤 해를 단순한 해로부터 체계적으로 구축하는 데 유용하게 사용된다.

Bäcklund 변환의 핵심 아이디어는 두 개의 해가 만족해야 하는 일련의 미분 관계를 설정하는 것이다. 예를 들어, 사인-고든 방정식의 경우, 한 쌍의 1차 편미분방정식으로 구성된 Bäcklund 변환이 알려져 있다. 만약 하나의 해(예를 들어, 자명해)를 알고 있다면, 이 변환 관계식을 적분하여 새로운 비자명해(예를 들어, 1-솔리톤 해)를 얻을 수 있다. 이 과정을 반복 적용하면 다중 솔리톤 해를 생성할 수 있으며, 이는 솔리톤들이 서로 충돌해도 형태가 보존되는 특성을 이해하는 데 기여한다.

이 방법은 역산란법과도 깊은 연관이 있다. 많은 경우, Bäcklund 변환은 방정식의 Lax 쌍에 내재된 가환성 조건에서 유도될 수 있다. 또한, Bäcklund 변환을 통해 방정식의 무한한 보존량을 구성하거나, 방정식 자체의 비선형 중첩 공식을 유도할 수 있다. Hirota 방법과 함께 Bäcklund 변환은 솔리톤 해를 직접 구하는 대표적인 해석적 도구로 자리 잡고 있다.

Bäcklund 변환의 개념은 고전적인 적분가능계를 넘어 현대적인 발전에도 영향을 미쳤다. 이산 적분가능계나 양자 적분가능계의 연구에서도 유사한 변환의 개념이 등장하며, 계의 풍부한 대수적 구조와 대칭성을 밝히는 데 활용된다.

히로타 방법은 비선형 방정식을 다루는 강력한 기법으로, 특히 솔리톤 해를 직접 구성하는 데 유용하다. 이 방법은 비선형 방정식을 새로운 종속변수(히로타 변수)를 도입하여 2차 형식의 방정식으로 변환한다. 변환된 방정식은 종종 다항식 형태를 띠며, 이를 통해 해를 테일러 급수 전개나 특정 안사츠(Ansatz, 가정해)를 통해 체계적으로 구할 수 있다.

이 방법의 핵심은 비선형 항을 이차항으로 재표현하여 방정식의 구조를 단순화하는 것이다. 예를 들어, KdV 방정식이나 비선형 슈뢰딩거 방정식과 같은 대표적인 적분가능계에 적용될 수 있다. 히로타 방법을 통해 단일 솔리톤 해뿐만 아니라 다중 솔리톤 해, 즉 여러 개의 솔리톤이 상호작용하는 해도 비교적 쉽게 유도할 수 있다는 장점이 있다.

히로타 방법은 역산란법과 같은 다른 해석 방법에 비해 계산이 직관적이고 대수적이라는 특징이 있다. 이 방법은 방정식의 적분 가능성을 사전에 가정하지 않고도 적용 가능하지만, 주로 적분 가능한 계에서 그 유용성이 두드러진다. 또한, 이산 시스템이나 양자 적분가능계의 연구에서도 그 변형이 활용되며, 수리물리학과 비선형 과학 전반에 걸쳐 중요한 도구로 자리 잡고 있다.

응집물질물리 분야에서 적분가능계는 복잡한 다체 문제를 정확히 풀 수 있는 소중한 모델들을 제공한다. 이들 모델은 상호작용하는 많은 입자들로 이루어진 계에서도 엄밀한 해를 구할 수 있게 해주며, 상전이, 임계 현상, 저에너지 여기 스펙트럼 등의 핵심 물리적 성질을 이해하는 데 중요한 통찰을 준다. 예를 들어, 1차원 허바드 모델은 전자 간의 상호작용을 고려한 대표적인 양자 다체계 모델로, 특정 조건에서 적분가능성을 가진다. 이를 통해 강상관 전자 물질에서 나타나는 루틴저 액체나 스피너 액체 같은 독특한 양자 상태를 엄밀하게 기술할 수 있다.

1차원 계는 특히 적분가능 모델이 풍부한데, 이는 높은 차원보다 제약이 많아 수학적으로 다루기 쉬운 경우가 많기 때문이다. 스핀 사슬을 설명하는 XXZ 모델이나 이징 모델의 변형들은 적분가능성을 지녀 자기적 성질을 정확히 계산할 수 있다. 또한 Toda 격자는 원자 사슬의 비선형 진동을 묘사하는 고전적 적분가능계로, 격자 진동과 열전도 현상 연구에 응용된다. 이러한 모델들의 정확한 해는 수치 시뮬레이션의 검증 기준이 되기도 한다.

적분가능계를 통해 얻은 정확한 결과는 보편성 클래스의 이해에 기여한다. 임계점 근처의 물리적 현상은 모델의 세부사항에 무관한 보편적인 지수를 보이는데, 적분가능 모델에서 이 지수들을 정확히 계산함으로써 임계 현상 이론을 뒷받침한다. 나아가 양자 홀 효과나 초전도체와 같은 현대 응집물리학의 난제들을 새로운 각도에서 조명하는 틀을 제공하기도 한다. 따라서 적분가능계는 이론적 우아함과 물리적 깊이를 모두 갖춘 도구로서 응집물질물리 연구에서 지속적으로 그 가치를 입증하고 있다.

양자장론에서 적분가능계는 정확히 풀 수 있는 모델들을 제공하며, 이는 상호작용하는 양자 다체계의 깊은 통찰을 가능하게 한다. 이들 모델은 양자장론의 비섭동적 현상을 연구하는 데 핵심적인 도구로 사용된다. 예를 들어, 1차원 허바드 모델은 강상관 전자계를 이해하는 표준 모델로, 특정 조건에서 적분 가능한 성질을 보인다. 이러한 적분가능 양자계는 베테 안스츠와 같은 정확한 해를 통해 상관 함수와 에너지 스펙트럼을 계산할 수 있게 해준다.

적분가능 양자장론의 발전은 등각 장론과 깊은 연관을 가진다. 특히 2차원 시공간에서의 적분가능 모델들은 등각 대칭성을 비롯한 무한한 대칭성을 드러내며, 임계 현상과 위상 전이를 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 양자 역학의 산란 행렬이 인자화될 수 있는 성질은 이러한 계의 핵심 특징 중 하나로, 복잡한 상호작용을 정확히 기술하는 길을 열어주었다. 이는 끈 이론과 AdS/CFT 대응성 같은 현대 이론물리학의 발전에도 기여하고 있다.

적분가능계는 통계역학에서 중요한 역할을 한다. 특히, 정확히 풀 수 있는 통계역학적 모델은 상전이 현상과 임계 현상을 이해하는 데 핵심적인 도구를 제공한다. 이러한 모델들은 대부분 적분 가능한 구조를 지니고 있으며, 이를 통해 분배 함수나 상관 함수와 같은 물리량을 정확하게 계산할 수 있다.

대표적인 예로는 이징 모델의 2차원 정확해, 6꼭지점 모델, 그리고 XYZ 스핀 사슬과 같은 양자 스핀 사슬 모델이 있다. 이러한 적분 가능한 통계역학 모델은 양자 역학과 고전 역학의 경계에서 연구되며, 양자 적분가능계 이론과 깊은 연관성을 가진다. 예를 들어, 허바드 모델은 강상관 전자계를 설명하는 중요한 적분 가능 모델이다.

이러한 모델들을 해석하는 데에는 양자 역산란 방법과 같은 적분가능계의 기법이 활용된다. 이를 통해 모델의 에너지 스펙트럼과 베테 안사츠를 구성할 수 있으며, 최종적으로 열역학적 극한에서의 자유 에너지를 정확히 유도할 수 있다. 이는 일반적인 비적분가능 모델에서는 거의 불가능한 성과이다.

적분 가능한 통계역학 모델의 연구는 임계 지수와 보편성 계급을 규명하는 데 기여했으며, 등각 장론과의 깊은 연결을 통해 현대 물리학의 중요한 축을 이루고 있다.

양자 적분가능계는 고전적인 적분가능계의 양자 버전을 의미한다. 고전 역학에서의 적분가능계가 무한한 수의 보존량을 가지며 역산란법으로 완전히 해석될 수 있는 것처럼, 양자 적분가능계는 양자 다체 문제에서도 정확히 풀 수 있는 모델을 가리킨다. 이러한 계는 양자 역학의 맥락에서도 특별한 대칭성과 보존 법칙을 유지하여, 엄밀한 해를 구할 수 있는 몇 안 되는 비자명한 예시를 제공한다. 이는 응집물질물리와 양자장론에서 강한 상호작용을 하는 다입자 시스템을 이해하는 데 중요한 도구가 된다.

대표적인 양자 적분가능계의 예로는 1차원 허바드 모델이 있다. 이 모델은 격자 위의 전자들 사이의 국소적 상호작용을 기술하며, 베테 가설을 통해 정확한 해가 구해진다. 또한, 연속적인 모델로는 양자 비선형 슈뢰딩거 방정식이나 양자 사인-고든 방정식 등이 해당된다. 이러한 모델들은 고전적 극한에서 각각의 고전 적분가능계로 환원된다.

양자 적분가능계를 연구하는 주요 방법론은 양자 역산란법이다. 이 방법은 고전 역산란법의 양자 일반화로, 시스템의 산란 데이터를 통해 파동함수와 에너지 준위를 구성한다. 또한, 양자 군과 양자 대수와 같은 대수적 구조가 양자 적분가능계의 대칭성을 기술하는 데 핵심적인 역할을 한다. 이러한 대수적 접근은 시스템의 보존량과 정확한 스펙트럼을 이해하는 길을 열어준다.

양자 적분가능계의 연구는 이론물리학의 여러 분야에 깊은 영향을 미쳤다. 특히, AdS/CFT 대응성과 같은 현대 끈 이론 연구에서 적분가능 구조가 발견되면서, 그 중요성이 더욱 부각되고 있다. 이는 고에너지 물리와 응집물질 시스템 사이의 깊은 연관성을 보여주는 사례이다.

이산 적분가능계는 연속적인 공간과 시간 변수를 이산적인 변수로 대체한 적분가능계를 의미한다. 이는 격자 모형이나 이산 동역학계의 맥락에서 자연스럽게 등장하며, 고전적 적분가능계의 이산적 유사체로서 연구된다. 대표적인 예로는 Toda 격자가 있으며, 이는 연속적인 KdV 방정식의 이산 버전으로 간주된다. 이러한 이산계는 수치 해석이나 컴퓨터 시뮬레이션에서 유용할 뿐만 아니라, 그 자체로 깊은 수학적 구조를 지니고 있다.

이산 적분가능계를 연구하는 주요 방법 중 하나는 Lax 쌍의 이산 버전을 구성하는 것이다. 연속계에서 Lax 쌍은 적분 가능성의 핵심 도구인데, 이를 시간과 공간이 모두 이산화된 상황에 적용할 수 있다. 또한, Bäcklund 변환과 Hirota 방법 같은 해석 기법들도 이산적 형태로 확장되어 적용된다. 이를 통해 이산계에서도 솔리톤 해를 구성하거나, 무한한 수의 보존량의 존재를 증명할 수 있다.

이산 적분가능계는 통계역학의 정확히 풀 수 있는 격자 모형과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 2차원 아이싱 모형이나 다양한 정점 모형들은 이산 적분가능계의 중요한 사례를 제공한다. 또한 양자 적분가능계와의 관계도 중요한데, 많은 양자 적분가능 모형의 고전적 극한이 이산 적분가능계로 나타나기 때문이다. 이처럼 이산 적분가능계는 수학적 물리학의 여러 분야를 연결하는 교량 역할을 한다.

적분가능계를 연구하는 현대적 접근법의 핵심은 그 내부에 숨겨진 풍부한 대수적 구조와 대칭성을 밝히는 데 있다. 이러한 구조는 계가 완전히 풀릴 수 있는 근본적인 이유를 제공하며, 다양한 적분가능 모델들을 통일적으로 이해하는 틀을 마련해준다. 특히 리 대수와 양자군과 같은 대수적 대상들이 적분가능계의 보존량과 대칭 변환을 체계적으로 설명하는 데 핵심적인 역할을 한다.

가장 잘 알려진 대수적 구조는 Lax 쌍과 관련된 리-포아송 괄호 구조이다. 많은 고전 적분가능계는 무한차원 리-포아송 다양체 위에서 해밀턴 역학으로 기술될 수 있으며, 이때 보존량들은 서로 푸아송 괄호에 대해 교환한다. 이 보존량들은 흔히 트레이스 공식을 통해 생성되며, 이들의 생성 함수는 리 대수의 표현론과 깊이 연관되어 있다. 예를 들어, KdV 방정식은 비라소로 대수라는 무한차원 리 대수의 중심 확대와 관련된 대칭성을 가진다.

양자 적분가능계의 경우, 이러한 고전적 대칭성은 양자군이나 양자 역산란 방법을 통해 그 양자 버전으로 일반화된다. 여기서 핵심적인 역할을 하는 것은 R-행렬과 양자 교환 관계를 만족시키는 모노드로미 행렬 또는 전달 행렬이다. 이 전달 행렬의 고유값들은 계의 양자 보존량을 생성하며, 서로 다른 전달 행렬들은 양자 양-박스터 방정식을 통해 교환한다. 이 구조는 허바드 모델이나 XXZ 사슬과 같은 양자 다체계를 해석하는 데 필수적이다.

이러한 대수적 접근법은 적분가능계를 분류하고, 새로운 모델을 구성하며, 정확한 고유값과 상관 함수를 계산하는 강력한 도구를 제공한다. 결과적으로, 적분가능성에 대한 연구는 순수 수학의 대수기하학 및 표현론과 응집물질물리 및 양자장론의 구체적 문제들을 연결하는 교량 역할을 계속해오고 있다.