유리식

유리식은 분자와 분모가 모두 다항식인 분수 형태의 식이다. 이때 분모는 0이 될 수 없는 다항식이어야 한다. 유리식은 분자의 차수와 분모의 차수에 따라 가분수식과 진분수식으로 구분된다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으면 가분수식이라 하고, 분자의 차수가 분모의 차수보다 낮으면 진분수식이라 한다.

가분수식은 계산상의 편의를 위해 진분수식의 형태로 변형하여 다루는 경우가 많다. 이를 위해 다항식의 나눗셈을 수행하여, 주어진 가분수식을 '다항식 + 진분수식'의 형태로 바꾼다. 예를 들어, 분자가 3차이고 분모가 2차인 유리식은 가분수식에 해당하며, 이를 다항식 나눗셈을 통해 1차 다항식과 하나의 진분수식을 더한 형태로 표현할 수 있다.

이러한 분류와 변형은 대수학에서 유리식을 더 쉽게 적분하거나, 유리함수의 그래프를 분석할 때 유용하게 활용된다. 특히 복잡한 가분수식을 진분수식으로 바꾸는 과정은 부분분수 분해를 수행하기 위한 중요한 전처리 단계가 된다.

부분분수 분해는 분모가 여러 다항식의 곱으로 인수분해되는 진분수식을, 더 간단한 분수식들의 합으로 나타내는 기법이다. 이 방법은 적분이나 라플라스 변환과 같은 고등 수학 및 공학 분야에서 복잡한 유리함수를 처리할 때 널리 활용된다.

분해의 기본 원리는 분모의 인수에 따라 분수를 여러 항으로 나누는 것이다. 예를 들어, 분모가 서로 다른 일차식의 곱으로 표현될 경우, 각 인수에 대한 분모를 가진 단순한 분수들의 합으로 표현할 수 있다. 분모에 같은 인수의 거듭제곱이 포함된 경우에는, 그 거듭제곱의 모든 차수에 대한 항을 만들어야 한다.

이 과정에서 미정계수법이 주로 사용된다. 분해된 형태의 분자에 미지의 계수를 설정한 후, 원래의 식과 동일하게 만드는 조건으로부터 방정식을 세워 이 계수들의 값을 구한다. 부분분수 분해를 수행하기 위해서는 대상 유리식이 반드시 진분수식이어야 하므로, 만약 가분수식이라면 먼저 다항식과 진분수식의 합으로 변형하는 것이 선행되어야 한다.

유리식은 분모와 분자가 모두 다항식이며 분모가 0이 아닌 다항식인 꼴, 즉 (다항식)/(0이 아닌 다항식)으로 나타낼 수 있는 식을 말한다. 이 정의에서 알 수 있듯, 유리식의 핵심 구성 요소는 다항식이다. 다항식은 하나 이상의 항의 합으로 이루어진 식으로, 각 항은 계수와 문자의 거듭제곱의 곱으로 표현된다. 예를 들어, 2x^2 + 3x - 5와 같은 형태이다.

유리식에서 분모가 상수인 경우, 즉 분모가 0이 아닌 숫자인 경우, 그 식 자체는 다항식이 된다. 예를 들어, (3x^2 + 2x)/1은 3x^2 + 2x라는 다항식과 같다. 반면, 분모에 변수가 포함된 일차 이상의 다항식이 오면, 이를 특별히 분수식이라고 부르기도 한다. 따라서 모든 다항식은 유리식의 특별한 경우에 해당하며, 유리식은 다항식을 확장한 개념으로 볼 수 있다.

유리식의 계산과 분류는 다항식의 성질에 크게 의존한다. 예를 들어, 유리식이 가분수식인지 진분수식인지 구분하는 기준은 분자의 차수와 분모의 차수를 비교하는 것이다. 이때 차수란 다항식에서 가장 높은 항의 지수를 의미한다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으면 가분수식이며, 낮으면 진분수식이다. 가분수식은 다항식의 나눗셈을 통해 (다항식) + (진분수식)의 형태로 변형할 수 있다.

유리함수는 두 다항식의 비율, 즉 유리식으로 정의되는 함수이다. 보통 하나의 변수 x에 대해 f(x) = P(x)/Q(x)의 형태로 나타내며, 여기서 P(x)와 Q(x)는 다항식이고, Q(x)는 0이 아닌 다항식이다. 분모 Q(x)가 0이 되는 x 값은 함수의 정의역에서 제외되며, 이 점들을 점근선이라고 부른다.

유리함수의 그래프는 일반적으로 점근선을 가지며, 분자와 분모의 차수에 따라 그 형태가 결정된다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 작은 경우, x축(y=0)이 수평 점근선이 된다. 분자와 분모의 차수가 같은 경우, 수평 점근선은 두 다항식의 최고차항 계수의 비율이 된다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 큰 경우, 다항식의 나눗셈을 통해 가분수식을 진분수식과 다항식의 합으로 변환할 수 있으며, 이때 다항식 부분이 비스듬한 점근선의 역할을 한다.

다항함수는 다항식으로만 구성된 함수를 가리킨다. 즉, 함수 f(x)가 f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 (여기서 a_n, a_{n-1}, ..., a_0은 상수, n은 음이 아닌 정수)의 형태로 표현될 수 있다면, 이는 다항함수이다. 이는 유리함수의 특수한 경우로 볼 수 있다. 왜냐하면 모든 다항식은 분모가 1인 유리식으로 표현할 수 있기 때문이다. 예를 들어, 다항식 x^2 + 3x + 2는 (x^2 + 3x + 2) / 1의 꼴로 쓸 수 있어 유리식의 정의를 만족한다.

다항함수는 대수학의 기본적인 연구 대상 중 하나이며, 그 성질은 차수와 최고차항의 계수에 의해 크게 결정된다. 일차함수, 이차함수, 삼차함수 등이 대표적인 다항함수의 예이다. 이들은 그래프가 연속적이고 매끄러운 곡선을 이루며, 미분과 적분이 비교적 용이하다는 특징을 가진다. 이러한 특성 덕분에 다항함수는 공학, 물리학, 경제학 등 다양한 분야에서 현상을 모델링하거나 근사하는 데 널리 활용된다.

다항함수와 일반적인 유리함수의 주요 차이는 분모에 변수가 포함되는지 여부에 있다. 다항함수의 분모는 상수(보통 1)이므로 정의역이 모든 실수인 반면, 분모에 변수를 포함하는 유리함수는 분모를 0으로 만드는 값을 정의역에서 제외해야 한다. 또한, 다항함수의 그래프는 점근선을 가지지 않는 경우가 대부분이지만, 유리함수는 종종 수직 점근선이나 수평 점근선을 갖게 된다.