원시 피타고라스 세 쌍

원시 피타고라스 세 쌍은 세 개의 자연수 a, b, c가 피타고라스 정리의 방정식 a² + b² = c²을 만족하면서, 동시에 세 수의 최대공약수가 1인 경우를 가리킨다. 즉, a, b, c는 서로 서로소 관계에 있다. 이 조건은 세 수가 1 이외의 공통된 소인수를 공유하지 않음을 의미한다.

예를 들어, (3, 4, 5)는 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²를 만족하고, 세 수의 최대공약수가 1이므로 원시 피타고라스 세 쌍이다. 반면, (6, 8, 10)은 피타고라스 방정식을 만족하지만, 세 수의 최대공약수가 2이므로 원시 쌍이 아니다. 이는 원시 쌍 (3, 4, 5)의 각 변을 2배한 것에 해당한다.

원시 피타고라스 세 쌍은 모든 변의 길이가 정수인 직각삼각형을 구성하는 가장 기본적인 단위로 볼 수 있다. 어떤 피타고라스 세 쌍이든, 그것은 어떤 원시 피타고라스 세 쌍에 양의 정수 배수를 곱한 형태로 표현될 수 있다. 따라서 연구의 초점은 주로 이러한 원시 쌍의 생성 방법과 그 성질에 맞춰진다.

이 개념은 정수론과 기하학의 교차점에 위치하며, 고대 바빌로니아의 점토판 기록[3]에서도 그 흔적을 찾아볼 수 있을 정도로 오랜 역사를 가진 주제이다.

원시 피타고라스 세 쌍을 생성하는 가장 유명한 방법은 유클리드 공식이다. 이 공식에 따르면, 서로소인 두 자연수 m과 n (단, m > n)이 주어졌을 때, 다음의 세 수는 항상 원시 피타고라스 세 쌍을 이룬다.

여기서 a, b, c는 피타고라스 정리 a² + b² = c²를 만족하며, 서로 서로소이다. m과 n이 서로소이고 그 차가 홀수라는 조건은 생성된 세 수가 원시 피타고라스 세 쌍이 되도록 보장한다. 이 조건을 충족하지 않으면 생성된 세 수는 여전히 피타고라스 세 쌍이 될 수 있지만, 공약수를 가져 원시 피타고라스 세 쌍이 아닐 수 있다.

유클리드 공식은 모든 원시 피타고라스 세 쌍을 생성할 수 있다. 즉, 임의의 원시 피타고라스 세 쌍 (a, b, c)에 대하여, 위의 조건을 만족하는 적절한 자연수 m과 n 쌍이 항상 존재한다. 이 공식은 정수론에서 피타고라스 방정식의 정수해를 체계적으로 연구하는 데 핵심적인 도구로 사용된다. 또한, 이 공식을 통해 생성된 세 수는 항상 a와 c가 홀수이고 b가 짝수라는 특성을 가지며, 이는 원시 피타고라스 세 쌍의 일반적인 성질과도 일치한다.

원시 피타고라스 세 쌍을 생성하는 가장 잘 알려진 방법은 유클리드 공식을 이용하는 것이다. 이 방법은 서로 다른 홀수인 양의 정수 m과 n (단, m > n)을 선택하고, 다음 세 공식에 대입하여 세 변 a, b, c를 계산한다.

이렇게 생성된 a, b, c는 항상 a² + b² = c²를 만족하며, m과 n이 서로소이고 하나는 짝수, 하나는 홀수일 때 생성된 세 쌍은 원시 피타고라스 세 쌍이 된다. 이 조건(m과 n이 서로소이며 홀짝성이 다름)은 a, b, c가 서로소임을 보장하는 필요충분조건이다. 예를 들어, m=2, n=1을 대입하면 가장 유명한 원시 피타고라스 세 쌍인 (3, 4, 5)를 얻는다.

유클리드 공식은 모든 원시 피타고라스 세 쌍을 중복 없이 생성할 수 있다. 즉, 서로 다른 모든 원시 피타고라스 세 쌍은 이 공식을 만족하는 적절한 서로소인 m, n 쌍에 의해 유일하게 결정된다. 이 생성 방법은 정수론에서 피타고라스 정리의 정수해를 체계적으로 연구하는 데 핵심적인 도구로 사용된다. 또한, 생성된 세 쌍에서 a와 b의 순서는 중요하지 않으며, 일반적으로 a를 홀수인 변으로 취급한다.

원시 피타고라스 세 쌍을 생성하는 또 다른 체계적인 방법은 트리 구조를 이용하는 것이다. 이 방법은 20세기에 발견된 것으로, 모든 원시 피타고라스 세 쌍이 하나의 뿌리로부터 시작하여 세 가지 선형 변환을 반복적으로 적용함으로써 완전한 무한 트리 구조로 생성될 수 있음을 보여준다. 이 트리의 각 노드는 하나의 원시 피타고라스 세 쌍을 나타내며, 그 자식 노드는 세 개의 새로운 원시 피타고라스 세 쌍으로 구성된다.

트리 생성의 시작점은 가장 기본적인 세 쌍인 (3, 4, 5)이다. 이 뿌리 노드에 세 가지 행렬 변환 A, B, C를 적용하면 각각 새로운 세 쌍이 생성된다. 이 변환들은 세 쌍 (a, b, c)를 새로운 세 쌍 (a', b', c')으로 매핑하는 선형 변환으로 정의된다. 예를 들어, 하나의 변환은 (a-2b+2c, 2a-b+2c, 2a-2b+3c)와 같은 형태를 가질 수 있다. 각 변환을 적용하면 생성된 새로운 세 쌍은 모두 서로소이며, 원시성을 유지한다.

이 과정을 반복하면 모든 가능한 원시 피타고라스 세 쌍이 중복 없이 트리의 어느 한 노드에 정확히 한 번씩 등장하게 된다. 이 트리 구조는 정수론에서 이진 트리나 삼진 트리와 같은 재귀적 구조의 중요성을 보여주는 예시이며, 조합론적 관점에서도 흥미로운 성질을 지닌다. 또한, 이 생성 방법은 유클리드 공식과는 다른 접근법을 제공하여, 피타고라스 정리의 정수해 집합이 가진 풍부한 구조를 더 깊이 이해하는 데 도움을 준다.

세 자연수 a, b, c가 원시 피타고라스 세 쌍을 이루기 위한 필요충분조건은 다음과 같다. 서로 다른 두 자연수 m과 n이 존재하여, m > n, m과 n은 서로소, 그리고 m과 n 중 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수라는 조건을 만족한다. 이때, 세 수 a, b, c는 a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n² 또는 a = 2mn, b = m² - n², c = m² + n²의 형태로 생성된다. 이 표현은 유클리드 공식으로 알려져 있다.

이 조건에서 m과 n이 서로소라는 것은 두 수의 최대공약수가 1임을 의미하며, 이는 생성된 세 수 a, b, c가 서로소임을 보장하는 핵심 조건이다. 또한 m과 n의 홀짝성이 서로 다르다는 조건은 a, b, c가 모두 홀수가 되는 경우를 배제하여, a와 b 중 하나는 반드시 짝수가 되도록 한다. 이는 원시 피타고라스 세 쌍에서 빗변 c는 항상 홀수이며, 짧은 두 변 a와 b 중 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수라는 성질을 유도한다.

반대로, 주어진 원시 피타고라스 세 쌍 (a, b, c)에서 항상 위의 조건을 만족하는 한 쌍의 자연수 m과 n을 유일하게 찾아낼 수 있다. 이는 원시 피타고라스 세 쌍의 분류와 생성에 있어 근본적인 틀을 제공한다. 따라서 이 필요충분조건은 피타고라스 정리의 정수해를 체계적으로 연구하는 정수론의 중요한 도구로 활용된다.

원시 피타고라스 세 쌍은 몇 가지 독특한 산술적 성질을 가진다. 세 수 a, b, c 중 하나는 반드시 3의 배수이며, 또 다른 하나는 반드시 4의 배수이다. 또한, 세 수 a, b, c 중 하나는 반드시 5의 배수이기도 하다. 이는 모듈러 산술을 통해 증명할 수 있는 성질들이다.

원시 피타고라스 세 쌍 (a, b, c)에서 빗변 c는 항상 홀수이다. 또한, 두 직각변 a와 b는 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수이다. 이는 세 수가 서로소라는 조건과 피타고라스 방정식의 구조에서 비롯된다. 만약 a와 b가 모두 짝수라면 c도 짝수가 되어 세 수의 최대공약수가 2 이상이 되어 원시성에 위배되며, 둘 다 홀수일 경우 방정식을 만족하는 정수 c가 존재하지 않는다.

원시 피타고라스 세 쌍의 세 수를 모두 곱한 값 abc는 항상 60의 배수이다. 이는 앞서 언급된 3, 4, 5의 배수 성질이 결합된 결과이다. 예를 들어, 가장 유명한 (3, 4, 5) 세 쌍의 곱은 60이며, (5, 12, 13)의 곱은 780으로 60의 배수이다. 이 성질은 정수론에서 합동식을 이용해 증명할 수 있다.

또한, 원시 피타고라스 세 쌍에서 짝수인 직각변의 길이는 항상 4의 배수이다. 이는 유클리드 공식을 통해 생성된 수를 살펴보면 명확히 확인할 수 있는 성질이다. 이러한 다양한 성질들은 원시 피타고라스 세 쌍의 구조가 매우 제한적이며 체계적임을 보여준다.