연산자 (Operator) 및 관측 가능량

힐베르트 공간은 양자역학에서 시스템의 가능한 모든 상태를 표현하는 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다. 이 공간의 각 벡터는 특정 파동 함수에 대응하며, 시스템의 상태를 나타낸다. 힐베르트 공간은 내적이 정의되어 있어 두 상태 사이의 중첩 확률 진폭을 계산할 수 있고, 완비성을 갖추어 모든 코시 수열이 공간 내의 한 점으로 수렴한다는 중요한 성질을 지닌다.

이 공간에서 작용하는 선형 연산자는 물리량을 수학적으로 표현하는 도구이다. 연산자 Â는 공간 내의 한 상태 벡터 |ψ⟩를 다른 상태 벡터 |φ⟩로 변환시키는 사상으로, 선형성 Â(a|ψ⟩ + b|φ⟩) = aÂ|ψ⟩ + bÂ|φ⟩을 만족한다. 모든 관측 가능량은 힐베르트 공간 위의 특정한 선형 연산자와 일대일로 대응된다.

연산자의 중요한 특성은 그 고유값과 고유 상태이다. 연산자 Â에 대해 Â|ψ⟩ = a|ψ⟩를 만족하는 상태 |ψ⟩를 고유 상태, 스칼라 값 a를 고유값이라고 한다. 물리적으로, 관측 가능량에 대응하는 연산자의 고유 상태는 그 물리량이 확정된 값을 갖는 상태를 나타내며, 그 확정된 값이 바로 고유값이다. 예를 들어, 에너지 연산자인 해밀토니안의 고유 상태는 정해진 에너지를 갖는 정상 상태이다.

힐베르트 공간에서 연산자의 작용은 내적을 통해 기대값을 계산하는 데 사용된다. 상태 |Ψ⟩에서 관측 가능량 Â의 기대값 ⟨Â⟩는 ⟨Ψ|Â|Ψ⟩ / ⟨Ψ|Ψ⟩로 주어진다. 이는 해당 물리량의 측정 결과의 평균값을 예측하는 데 쓰인다.

힐베르트 공간에서 작용하는 선형 연산자 A가 에르미트 연산자 또는 자기 수반 연산자라는 것은, 공간 내의 임의의 두 상태 벡터 |ψ〉와 |φ〉에 대해 다음 등식이 성립함을 의미한다.

〈φ|A|ψ〉 = 〈ψ|A|φ〉* [1].

이는 연산자 A가 그 수반 연산자 A†와 동일함(A = A†)을 의미한다.

에르미트 연산자는 양자역학에서 관측 가능량을 나타내는 핵심적인 수학적 대상이다. 이 연산자들의 고유값은 항상 실수이며, 이는 물리적 측정값이 실수로 나타나야 한다는 요구와 정확히 일치한다. 또한, 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 서로 직교하며, 이 고유벡터들의 집합은 힐베르트 공간의 정규 직교 기저를 이룰 수 있다. 이 성질은 어떤 상태를 측정 가능한 물리량의 고유상태들의 선형 결합으로 전개하는 것을 가능하게 한다.

에르미트 연산자의 대표적인 예는 다음과 같다.

에르미트 연산자의 개념은 유한 차원 벡터 공간에서의 에르미트 행렬로 확장 이해될 수 있다. 에르미트 행렬 H는 전치 행렬을 취하고 각 원소의 복소켤레를 구한 행렬, 즉 켤레 전치 행렬 H†가 자기 자신과 같은 행렬(H† = H)이다. 무한 차원 힐베르트 공간에서의 연산자는 정의역과 공역에 대한 추가적인 고려가 필요하지만, 실수 고유값과 직교하는 고유벡터를 갖는다는 핵심 물리적 성질은 동일하게 적용된다.

유니터리 연산자는 힐베르트 공간에서 정의되며, 내적을 보존하는 선형 연산자이다. 수학적으로, 연산자 $\hat{U}$가 유니터리 연산자이기 위한 필요충분조건은 그 에르미트 수반 연산자 $\hat{U}^\dagger$가 $\hat{U}$의 역연산자와 같다는 것이다. 즉, $\hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{U} \hat{U}^\dagger = \hat{I}$를 만족한다. 여기서 $\hat{I}$는 항등 연산자이다. 이 조건은 임의의 두 상태 벡터 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$에 대해, 변환 후의 내적 $\langle \hat{U}\psi | \hat{U}\phi \rangle$가 원래의 내적 $\langle \psi | \phi \rangle$와 같음을 보장한다.

유니터리 연산자의 가장 중요한 물리적 의미는 확률 보존이다. 양자 상태의 시간 진화는 슈뢰딩거 방정식에 의해 결정되며, 이는 시간 진화 연산자 $\hat{U}(t) = \exp(-i\hat{H}t/\hbar)$라는 유니터리 연산자로 기술된다[2]. 이 연산자를 초기 상태 $|\psi(0)\rangle$에 작용하면 시간 $t$ 후의 상태 $|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t)|\psi(0)\rangle$를 얻는다. 유니터리 성질은 시간이 흘러도 상태의 노름, 즉 총 확률이 1로 보존됨을 의미한다. 또한, 기저 변환을 수행하는 연산자도 유니터리 연산자의 예이다. 예를 들어, 위치 표현에서 운동량 표현으로의 변환은 푸리에 변환이라는 유니터리 변환에 해당한다.

유니터리 연산자의 주요 성질은 다음과 같이 정리할 수 있다.

이러한 성질 때문에 유니터리 연산자는 양자역학에서 측정 가능한 물리량을 나타내지 않지만, 시스템의 대칭성 변환과 상태의 물리적 진화를 기술하는 핵심 도구로 사용된다.

측정 과정은 양자역학에서 관측 가능량의 값을 결정하는 물리적 행위이다. 이론적으로, 관측 가능량은 에르미트 연산자에 대응되며, 측정의 가능한 결과는 그 연산자의 고유값이다. 예를 들어, 에너지 연산자인 해밀토니안의 고유값은 시스템이 가질 수 있는 에너지 준위를 나타낸다.

측정이 이루어질 때, 시스템의 파동 함수는 해당 연산자의 특정 고유 상태로 '붕괴'하거나 투영된다. 이는 측정 전 시스템이 여러 고유 상태의 중첩(중첩 원리)에 있을 수 있지만, 측정 후에는 오직 하나의 고유 상태로 확정된다는 것을 의미한다. 측정 결과가 특정 고유값이 될 확률은 파동 함수가 해당 고유 상태에 투영된 확률 진폭의 절댓값 제곱으로 주어진다.

이러한 측정의 해석은 코펜하겐 해석의 핵심 요소이다. 측정 과정은 비가역적이며, 일반적으로 시스템과 측정 장치 사이의 결어긋남을 수반한다. 고유값은 실수임이 보장되는 에르미트 연산자의 성질은 측정 결과가 실수라는 물리적 요구 조건과 정확히 일치한다.

기대값은 양자역학에서 물리량의 측정 결과에 대한 통계적 평균값을 의미한다. 어떤 관측 가능량 A에 대응하는 에르미트 연산자를 Â, 시스템의 상태를 기술하는 파동 함수를 Ψ라고 할 때, 그 상태에서 관측량 A의 기대값 〈A〉는 다음과 같이 정의된다.

〈A〉 = ∫ Ψ* Â Ψ dτ

여기서 적분은 전체 공간에 대해 이루어지며, Ψ*는 Ψ의 복소켤레를 나타낸다. 이 식은 연산자 Â가 상태 Ψ에 작용한 결과와 원래 상태 Ψ의 내적을 계산한 것이다. 만약 파동 함수 Ψ가 연산자 Â의 고유 상태라면, 즉 ÂΨ = aΨ를 만족한다면, 기대값 〈A〉는 고유값 a와 정확히 일치한다. 이는 그 상태에서 측정을 반복하면 항상 동일한 값 a를 얻음을 의미한다.

일반적인 상태(고유 상태의 중첩)에서는 기대값은 단일 측정에서 얻을 수 있는 값이 아니라, 동일한 상태에 대해 많은 동일한 측정을 반복했을 때 얻는 결과들의 평균값을 나타낸다. 예를 들어, 스핀 1/2 입자가 특정 방향으로 완전히 정렬되지 않은 상태에서, 그 방향의 스핀 성분을 측정하면 +ħ/2 또는 -ħ/2 값만 얻을 수 있다. 이 상태에서의 기대값은 두 가능한 값에 각각의 확률을 곱한 합으로, -ħ/2와 +ħ/2 사이의 어떤 값이 될 수 있다.

기대값의 개념은 불확정성 원리와도 깊이 연결되어 있다. 어떤 관측량의 표준 편차(불확정성) ΔA는 그 관측량의 기대값 〈A〉와 제곱의 기대값 〈A²〉를 통해 ΔA = √(〈A²〉 - 〈A〉²)로 계산된다. 따라서 기대값은 측정 결과의 확률 분포의 중심뿐만 아니라 그 분포의 폭을 이해하는 데도 필수적이다.

위치 연산자 $\hat{x}$는 위치 공간에서 단순히 좌표 변수 $x$를 곱하는 연산으로 작용한다. 즉, 파동 함수 $\psi(x)$에 대해 $\hat{x} \psi(x) = x \psi(x)$이다. 이는 측정의 기대값이 고전적인 위치 좌표의 평균값과 일치하도록 정의된다. 3차원 공간에서는 각 방향에 대해 $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ 연산자가 독립적으로 존재한다.

운동량 연산자 $\hat{p}$는 위치 표현에서 공간에 대한 미분 연산자로 정의된다. 1차원에서 $\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$이며, 여기서 $\hbar$는 플랑크 상수를 $2\pi$로 나눈 값이다. 이 특정한 형태는 드 브로이 물질파의 관계와 파동 함수의 평면파 해로부터 유도된다. 3차원에서는 운동량 벡터 연산자 $\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \nabla$로 일반화된다.

이 두 연산자는 정준 교환 관계를 만족시키며, 이 관계는 불확정성 원리의 수학적 기초가 된다. 위치 표현에서 운동량 연산자가 미분 형태인 것과 대조적으로, 운동량 표현에서는 위치 연산자가 $\hat{x} = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}$와 같은 미분 형태를 취한다. 이는 두 표현이 푸리에 변환으로 연결됨을 보여준다.

다음은 기본적인 1차원 연산자의 표현을 정리한 표이다.

에너지는 양자역학에서 가장 중요한 물리량 중 하나이다. 고전역학에서 계의 총 에너지는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 주어지며, 이를 해밀토니언 함수라고 부른다. 양자역학에서는 이 개념이 연산자로 승격되어, 파동 함수에 작용하여 시스템의 에너지 정보를 제공하는 해밀토니안 연산자가 된다. 이 연산자는 시스템의 시간 진화를 결정하는 핵심 역할을 한다.

일반적으로 해밀토니안 연산자 $\hat{H}$는 운동 에너지 연산자 $\hat{T}$와 위치에 의존하는 퍼텐셜 에너지 연산자 $\hat{V}(\hat{\mathbf{r}})$의 합으로 구성된다. 예를 들어, 질량이 $m$인 단일 입자가 퍼텐셜 $V(\mathbf{r})$ 안에서 운동하는 경우, 위치 표현에서의 해밀토니안은 다음과 같다.

$$\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r})$$

여기서 $\nabla^2$는 라플라시안이며, $\hbar$는 플랑크 상수를 $2\pi$로 나눈 값이다. 이 연산자는 에르미트 연산자의 성질을 가진다.

해밀토니안 연산자의 물리적 중요성은 두 가지 측면에서 나타난다. 첫째, 슈뢰딩거 방정식의 핵심 구성 요소이다. 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식은 $i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t)$로 주어지며, 시스템의 상태가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 기술한다. 둘째, 해밀토니안의 고유값과 고유 상태는 시스템의 가능한 에너지 준위와 그에 대응하는 정상 상태를 제공한다. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 $\hat{H} \psi_n(\mathbf{r}) = E_n \psi_n(\mathbf{r})$을 풀어 얻은 $E_n$이 허용된 에너지 준위가 된다. 이는 원자 오비탈이나 분자 오비탈의 에너지를 계산하는 데 직접적으로 활용된다.

해밀토니안은 보존력 하에서 운동하는 닫힌계의 총 에너지를 나타내므로, 그 기댓값은 시간에 따라 보존된다. 또한, 해밀토니안과 교환자가 0인 다른 연산자는 운동 상수가 된다.

각운동량 연산자는 양자역학에서 각운동량을 기술하는 연산자이다. 고전역학의 각운동량과 마찬가지로 궤도 각운동량과 스핀 각운동량으로 구분된다. 이 연산자들은 회전 대칭성과 깊은 연관을 가지며, 그 교환 관계는 고전역학의 벡터곱 관계와 유사한 형태를 띤다.

궤도 각운동량 연산자 $\hat{\mathbf{L}}$는 위치 연산자 $\hat{\mathbf{r}}$와 운동량 연산자 $\hat{\mathbf{p}}$의 외적으로 정의된다. 예를 들어, $z$축 성분은 $\hat{L}_z = \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x$와 같다. 이 연산자들은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.

$$[\hat{L}_j, \hat{L}_k] = i\hbar \epsilon_{jkl} \hat{L}_l$$

여기서 $\epsilon_{jkl}$은 레비-치비타 기호이다. 이 관계는 서로 다른 축의 각운동량 성분을 동시에 정확히 측정할 수 없음을 의미한다.

스핀 각운동량 연산자 $\hat{\mathbf{S}}$는 내재적인 각운동량으로, 위치나 운동량과 같은 고전적 대응물이 없다. 그러나 이 연산자들도 동일한 교환 관계 $[\hat{S}_j, \hat{S}_k] = i\hbar \epsilon_{jkl} \hat{S}_l$를 따르며, 총 각운동량 $\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}}$ 역시 마찬가지이다. 각운동량 연산자의 중요한 특징은 그 고유값이 양자화되어 있다는 점이다. 총 각운동량 제곱 연산자 $\hat{J}^2$의 고유값은 $j(j+1)\hbar^2$의 형태를, 한 축(일반적으로 $z$축)의 성분 연산자 $\hat{J}_z$의 고유값은 $m_j\hbar$의 형태를 가진다. 여기서 양자수 $j$는 정수 또는 반정수 값을, $m_j$는 $-j$부터 $j$까지의 값을 가진다[4].

정준 교환 관계는 양자역학에서 기본적인 물리량을 나타내는 연산자들 사이의 대수적 관계를 규정하는 근본적인 공리 중 하나이다. 특히, 위치 연산자와 운동량 연산자의 교환자 관계가 가장 대표적이다. 한 차원에서 위치 연산자 $\hat{x}$와 운동량 연산자 $\hat{p}_x$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$[\hat{x}, \hat{p}_x] = \hat{x}\hat{p}_x - \hat{p}_x\hat{x} = i\hbar \hat{I}$$

여기서 $\hbar$는 플랑크 상수를 $2\pi$로 나눈 값이며, $\hat{I}$는 항등 연산자이다. 이 관계는 두 연산자가 서로 교환하지 않음을, 즉 $\hat{x}\hat{p}_x \neq \hat{p}_x\hat{x}$임을 보여준다. 이는 고전역학의 정준 켤레 변수에서 유래한 명칭이다.

다른 차원의 동일한 방향 성분들 사이에도 동일한 관계가 성립하지만, 서로 다른 방향의 위치와 운동량 연산자(예: $\hat{x}$와 $\hat{p}_y$), 또는 서로 수직인 방향의 각운동량 연산자들은 서로 교환한다. 정준 교환 관계는 불확정성 원리의 수학적 기초를 제공한다. 두 연산자의 교환자가 0이 아닌 값(여기서는 $i\hbar$)일 때, 해당 물리량들은 동시에 정확하게 결정될 수 없다.

이러한 대수적 구조는 행렬 역학의 출발점이 되었으며, 연산자들의 스펙트럼과 상태 공간의 성질을 결정하는 데 핵심적인 역할을 한다.

불확정성 원리의 수학적 표현은 두 에르미트 연산자 A와 B의 표준편차 곱에 대한 하한을 제공한다. 이 관계는 일반적으로 다음과 같은 부등식으로 주어진다.

σ_A σ_B ≥ ½ |〈[A, B]〉|

여기서 σ_A와 σ_B는 각 연산자의 표준편차(불확정성)를, 〈[A, B]〉는 교환자 [A, B] = AB - BA의 기대값을 나타낸다. 이 부등식은 두 관측량의 불확정성 곱이 그들의 교환자의 기대값의 절반보다 작을 수 없음을 의미한다.

가장 유명한 예는 위치 연산자 x와 운동량 연산자 p_x 사이의 관계이다. 이들은 정준 교환 관계 [x, p_x] = iħ를 만족하므로, 불확정성 원리는 σ_x σ_{p_x} ≥ ħ/2의 형태로 구체화된다. 이는 위치와 운동량을 동시에 임의의 정밀도로 측정하는 것이 근본적으로 불가능함을 수학적으로 증명한다.

이 수학적 표현은 위치-운동량 관계에 국한되지 않는다. 예를 들어, 서로 수직한 두 방향의 각운동량 성분 사이에도 유사한 불확정성 관계가 성립한다[6] = iħ L_z]. 교환자가 0이 아닌 임의의 한 쌍의 관측 가능량에 대해, 이들의 불확정성은 서로를 제한한다. 반대로, 두 연산자가 서로 가환(교환)하면([A, B] = 0), 이론적으로 두 관측량을 동시에 정확하게 알 수 있다.

위치 표현은 파동 함수를 공간 좌표의 함수로 나타내는 방식이다. 이 표현에서 위치 연산자 $\hat{x}$는 단순히 좌표 $x$를 곱하는 연산으로 작용한다. 즉, $\hat{x} \psi(x) = x \psi(x)$이다. 반면, 운동량 연산자 $\hat{p}_x$는 공간에 대한 미분 연산자로 나타난다: $\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$[8]. 이는 슈뢰딩거 방정식을 구성하는 기본 요소이며, 공간에서의 확률 분포를 직접 다루기에 직관적이다.

운동량 표현은 파동 함수를 운동량의 함수로 나타낸다. 이는 위치 표현의 파동 함수에 푸리에 변환을 적용하여 얻어진다. 운동량 표현에서 운동량 연산자 $\hat{p}$는 운동량 값 $p$를 곱하는 연산으로 작용한다: $\hat{p} \phi(p) = p \phi(p)$. 이에 대응하여 위치 연산자 $\hat{x}$는 운동량 공간에서의 미분 연산자로 표현된다: $\hat{x} = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}$. 이 표현은 운동량 공간에서의 확률 진폭을 직접적으로 보여준다.

두 표현은 수학적으로 완전히 동등하며, 푸리에 변환을 통해 서로 변환된다. 이는 양자역학에서 물리적 정보가 특정 표현에 의존하지 않음을 보여준다. 어떤 문제를 다룰 때는 계산의 편의성에 따라 표현을 선택한다. 예를 들어, 위치 퍼텐셜이 있는 문제는 위치 표현이, 자유 입자나 충돌 문제는 운동량 표현이 더 유리할 수 있다.

이러한 표현의 개념은 행렬 표현으로 일반화될 수 있으며, 서로 다른 기저(basis)를 선택하는 문제로 이해된다. 위치 표현은 위치 고유상태를 기저로, 운동량 표현은 운동량 고유상태를 기저로 사용하는 것에 해당한다.

양자역학에서 연산자는 힐베르트 공간 상의 벡터를 다른 벡터로 변환하는 선형 변환이다. 이 연산자를 유한 차원 또는 가산 무한 차원의 기저에 대해 표현하면 행렬 형태를 얻는다. 특히, 에르미트 연산자는 에르미트 행렬로 표현되며, 이는 물리적 관측 가능량에 대응한다.

유한 차원 힐베르트 공간에서, 임의의 연산자 Â는 특정 정규 직교 기저 {|n〉}에 대해 다음과 같은 행렬 요소로 완전히 기술된다.

Aₘₙ = 〈m|Â|n〉

이때 행렬 A = (Aₘₙ)는 연산자 Â의 행렬 표현이다. 상태 벡터 |ψ〉도 같은 기저에서 열벡터로 표현되며, 연산자 Â의 작용은 행렬 A와 열벡터의 곱셈으로 계산된다. 예를 들어, 스핀 1/2 시스템의 파울리 행렬은 각 방향의 스핀 성분을 나타내는 연산자의 행렬 표현이다.

무한 차원 공간에서도 유사한 개념이 적용되지만, 행렬은 무한한 크기를 가지게 된다. 중요한 예로, 에너지 연산자인 해밀토니안은 에너지 고유상태를 기저로 사용하면 대각 행렬로 표현된다. 이 대각 요소는 바로 해당 상태의 에너지 고유값이다[9]. 다른 기저, 예를 들어 위치 기저를 사용하면 해밀토니안은 일반적으로 비대각 행렬이 되며, 이는 미분 연산자의 형태로 나타난다.

행렬 표현의 장점은 연산자들의 대수적 관계, 예를 들어 교환자 계산이나 고유값 문제를 행렬 연산으로 처리할 수 있다는 점이다. 이는 특히 수치 계산에 유용하다.

하이젠베르크 묘사는 양자역학에서 시간에 따른 물리적 관측 가능량의 변화를 기술하는 두 가지 주요 방법 중 하나이다. 이 묘사에서는 상태 벡터가 시간에 대해 고정되어 있고, 연산자(관측 가능량에 대응)가 시간에 따라 변화한다. 이는 상태 벡터가 시간에 따라 진화하는 슈뢰딩거 묘사와 대비된다.

하이젠베르크 묘사에서 연산자 \( \hat{A}_H(t) \)의 시간 변화는 하이젠베르크 운동 방정식에 의해 지배된다. 이 방정식은 다음과 같다.

\[

\frac{d}{dt} \hat{A}_H(t) = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}_H(t), \hat{A}_H(t)] + \left( \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \right)_H

\]

여기서 \( \hat{H}_H(t) \)는 해밀토니안 연산자이며, \( [\hat{H}, \hat{A}] \)는 교환자이다. 우변의 마지막 항은 연산자가 명시적으로 시간에 의존할 경우의 기여를 나타낸다.

하이젠베르크 묘사는 고전역학의 해밀턴 역학과의 유사성이 뚜렷하다는 장점이 있다. 고전역학에서 물리량의 시간 변화는 푸아송 괄호와 해밀턴 함수를 통해 기술되는데, 하이젠베르크 운동 방정식은 교환자를 푸아송 괄호에 대응시킨 것으로 볼 수 있다[10] / (i\hbar) \leftrightarrow \{A, B\}_{Poisson} \)으로 표현된다]. 또한, 운동 상수를 다루기에 편리한데, 해밀토니안과 교환하는 연산자는 시간에 따라 변하지 않는다는 사실을 명확히 보여준다.

운동 상수는 하이젠베르크 묘사에서 시간에 따라 그 값이 변하지 않는 관측 가능량을 가리킨다. 어떤 에르미트 연산자 A가 운동 상수가 되기 위해서는, 그 연산자의 시간 변화율을 나타내는 하이젠베르크 운동 방정식에 따라 시간 미분이 0이어야 한다. 이 조건은 연산자 A가 해밀토니안 연산자 H와 교환한다는 것, 즉 [A, H] = 0과 수학적으로 동치이다[11] = AH - HA는 교환자(Commutator)를 의미한다].

운동 상수의 존재는 계의 대칭성과 직접적으로 연결된다. 이 연결은 뇌터 정리에 의해 설명된다. 예를 들어, 해밀토니안이 공간 병진에 대해 불변하면, 이는 운동량 보존 법칙으로 이어지고, 운동량 연산자가 운동 상수가 된다. 마찬가지로, 해밀토니안이 시간 병진에 대해 불변하면 에너지 보존 법칙이 성립하며, 해밀토니안 자체가 운동 상수가 된다. 회전 대칭성은 각운동량 보존과 연결된다.

운동 상수는 양자 계의 분석을 크게 단순화하는 강력한 도구이다. 운동 상수인 연산자들은 서로, 그리고 해밀토니안과 동시에 대각화될 수 있다. 이는 계의 에너지 고유 상태를 운동 상수의 고유 상태로도 분류할 수 있게 하여, 상태에 대한 양자수를 부여하고 에너지 준위의 퇴화 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

양자장론에서 연산자는 입자 생성과 소멸을 기술하는 핵심 도구가 된다. 고전적인 양자역학이 단일 입자의 파동 함수를 다루는 반면, 양자장론은 공간의 각 점에 연산자를 배치하여 무한한 자유도를 가진 장을 기술한다. 이러한 장 연산자는 특정 시공간 점에서의 장의 세기를 나타내며, 이론의 기본 변수가 된다.

장 연산자는 일반적으로 생성 연산자와 소멸 연산자의 조합으로 표현된다. 예를 들어, 스칼라장의 경우, 장 연산자 φ̂(x)는 모든 가능한 운동량 상태에 대한 생성(â†) 및 소멸 연산자(â)의 합으로 전개된다. 생성 연산자는 특정 운동량과 에너지를 가진 입자 하나를 추가하고, 소멸 연산자는 입자 하나를 제거한다. 이를 통해 입자 수가 변하는 물리적 과정을 자연스럽게 기술할 수 있다.

양자장론의 상호작용은 해밀토니안 밀도에 의해 결정되며, 이는 장 연산자들의 곱으로 구성된다. 예를 들어, φ⁴ 이론에서 상호작용 항은 φ̂(x)⁴ 형태를 가진다. 이러한 연산자들의 곱은 파인만 도형으로 시각화되는 산란 진폭 계산의 기초가 된다. 시간에 따른 연산자의 변화는 하이젠베르크 묘사를 따르며, 슈뢰딩거 방정식 대신 하이젠베르크 운동 방정식으로 기술된다.

양자장론의 연산자 대수는 특별한 통계 법칙을 반영한다. 페르미온 장의 연산자는 반교환 관계를 만족시키는 반면, 보손 장의 연산자는 표준 교환 관계를 따른다. 또한, 게이지 장의 연산자는 게이지 대칭성과 연결된 제약 조건을 가진다. 이러한 연산자들의 성질은 표준 모형을 포함한 현대 물리학의 기본 이론을 구성하는 토대를 이룬다.

밀도 연산자는 양자역학적 계의 상태에 대한 통계적 정보를 기술하는 연산자이다. 순수한 양자 상태는 하나의 파동 함수 또는 켓 벡터로 완전히 기술되지만, 실험적으로 준비되거나 거시적 계와 결합된 많은 실제 계는 여러 가능한 양자 상태의 통계적 혼합 상태에 있다. 이러한 혼합 상태를 기술하는 수학적 도구가 밀도 연산자(또는 밀도 행렬)이다.

밀도 연산자 ρ는 다음과 같은 성질을 만족하는 에르미트 연산자로 정의된다. 첫째, 모든 상태에 대한 기대값이 음이 아닌 실수여야 하므로 ρ는 양의 연산자이다. 둘째, 전체 확률이 1이어야 하므로 대각합(trace)이 1이다, 즉 Tr(ρ) = 1이다. 순수 상태 |ψ⟩의 경우 밀도 연산자는 ρ = |ψ⟩⟨ψ|와 같은 사영 연산자 형태를 띤다. 혼합 상태의 경우, 계가 확률 p₁, p₂, ...로 각각의 순수 상태 |ψ₁⟩, |ψ₂⟩, ...에 있을 때, 밀도 연산자는 ρ = Σᵢ pᵢ |ψᵢ⟩⟨ψᵢ|로 주어진다. 여기서 모든 pᵢ는 0과 1 사이의 값이며 합이 1이다.

관측 가능량의 기대값 계산은 밀도 연산자를 통해 일반화된다. 관측 가능량 A의 기대값 ⟨A⟩는 ⟨A⟩ = Tr(ρA) 공식으로 구한다. 이 공식은 순수 상태와 혼합 상태 모두에 적용된다. 밀도 연산자의 시간 변화는 뉴만 방정식(또는 리우빌-폰 노이만 방정식)으로 기술되며, 이는 슈뢰딩거 방정식을 혼합 상태에 대해 일반화한 것이다. 뉴만 방정식은 iħ ∂ρ/∂t = [H, ρ]이다. 여기서 H는 해밀토니안이고 우변은 교환자이다.

밀도 연산자는 특히 열역학 및 통계 역학과 양자역학이 만나는 통계적 양자역학 분야에서 핵심적이다. 예를 들어, 열평형 상태에 있는 계는 깁스 상태로 기술되며, 그 밀도 연산자는 ρ = exp(-βH) / Z 형태를 가진다. 여기서 β는 역온도, H는 해밀토니안, Z는 분배 함수이다. 또한, 복합 계의 부분 계만을 고려할 때, 전체 순수 상태에 대해 부분 계의 상태는 일반적으로 혼합 상태가 되며, 이는 부분 대각합(partial trace) 연산을 통해 얻어진 환원 밀도 행렬로 기술된다. 이 개념은 양자 얽힘과 양자 정보 이론 연구의 기초가 된다.