아르키메데스의 원리(부력)

물체가 유체 안에 부분적으로 또는 완전히 잠겼을 때, 그 물체가 받는 부력의 크기는 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같다. 이는 아르키메데스의 원리의 핵심 진술이다. 여기서 '밀어낸 유체'란 물체가 잠긴 부피만큼 차지했던 유체의 양을 의미한다.

부력(F_b)을 계산하는 공식은 다음과 같다.

F_b = ρ_fluid * V_displaced * g

여기서 ρ_fluid는 유체의 밀도, V_displaced는 물체에 의해 밀려난 유체의 부피(즉, 잠긴 부피), g는 중력 가속도이다. 이 공식은 부력이 물체 자체의 재질이나 무게가 아니라, 오직 물체가 차지하는 공간과 그 공간을 채우는 유체의 성질에 의해 결정됨을 보여준다.

부력의 방향은 항상 중력의 반대 방향, 즉 위쪽을 향한다. 이는 유체 내부의 압력이 깊이에 따라 증가하기 때문이다. 물체의 아래쪽 면이 위쪽 면보다 더 깊은 곳에 위치하여 더 큰 압력을 받게 되고, 그 압력 차이의 합력이 위쪽으로 작용하는 부력이 된다.

예를 들어, 밀도가 1000 kg/m³인 물에 부피 0.5 m³의 물체가 완전히 잠겼다면, 배제된 물의 무게는 (1000 kg/m³ * 0.5 m³ * 9.8 m/s²) = 4900 N이므로, 물체는 4900 N의 부력을 받는다. 물체의 총 무게가 이 부력보다 크면 가라앉고, 작으면 떠오르며, 같으면 정지 상태로 유지된다[2].

부력이 작용하는 지점을 부력 중심이라고 부른다. 이 점은 물체가 밀어낸 유체의 무게 중심, 즉 배제된 유체의 무게 중심과 일치한다. 물체가 완전히 잠긴 경우, 배제된 유체의 형태는 물체 자체의 형태와 동일하므로, 부력 중심은 그 유체 부분의 기하학적 중심이 된다.

물체가 부분적으로 잠긴 경우, 배제된 유체의 형태는 물체의 수면 아래 부분에 해당하며, 이때 부력 중심은 그 부분의 기하학적 중심에 위치한다. 이는 물체의 무게 중심과는 일반적으로 다른 위치다. 부력 중심의 위치는 물체의 형상과 잠긴 깊이에 따라 달라진다.

안정성을 분석할 때는 물체의 무게 중심과 부력 중심의 상대적 위치가 중요하다. 예를 들어, 선박이 기울어지면 배제된 물의 형태가 변하면서 부력 중심의 위치도 이동한다. 무게 중심과 이동한 부력 중심을 잇는 선이 수직이 되도록 회복 모멘트가 발생하면 선박은 안정된 상태를 유지한다[3]. 반대로, 회복 모멘트가 발생하지 않으면 물체는 전복된다.

유체 정역학적 평형은 아르키메데스의 원리가 성립하기 위한 핵심 조건이다. 이는 유체가 정지해 있거나, 유체 내부의 모든 부분이 상대적으로 정지한 상태를 의미한다. 즉, 유체에 전단 응력이 작용하지 않고, 유체 입자 사이에 상대 운동이 없는 상태이다. 이러한 조건 하에서만 유체 내부의 압력은 깊이에 따라 선형적으로 증가하며, 이 압력 분포가 물체에 작용하는 부력을 발생시킨다.

유체가 정역학적 평형 상태에 있을 때, 유체 내부의 임의의 점에서의 압력은 파스칼의 원리에 따라 모든 방향으로 동일하게 전달된다. 또한, 압력은 중력장 내에서 깊이에 비례하여 증가한다. 이 관계는 다음과 같은 수식으로 표현된다.

이러한 압력 분포는 물체의 아래쪽 면이 위쪽 면보다 더 큰 압력을 받게 만든다. 압력 차이의 합력이 바로 위쪽 방향으로 작용하는 부력이며, 그 크기는 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같다. 만약 유체가 흐르거나 교란되어 정역학적 평형 상태가 깨지면, 압력 분포가 복잡해져 아르키메데스의 원리가 단순한 형태로 적용되지 않는다.

따라서 아르키메데스의 원리는 정지한 유체, 즉 정역학적 평형 상태의 유체에 잠긴 물체에 대해서만 정확히 성립한다. 이 조건은 원리가 적용되는 대부분의 정적인 상황, 예를 들어 정지한 물에 떠 있는 배나 공기 중에 정지한 기구 등을 설명하는 데 충분하다.

중력장은 아르키메데스의 원리가 성립하는 데 필수적인 조건이다. 이 원리는 물체가 유체 속에 잠긴 부분에 작용하는 압력 차이로 인해 부력이 발생한다고 설명하지만, 그 압력 차이 자체는 유체에 중력이 작용하기 때문에 생긴다. 중력이 없는 무중력 상태에서는 유체 내부에 깊이에 따른 압력 구배가 존재하지 않으며, 따라서 물체의 상하 면에 작용하는 압력 차이도 사라져 부력 현상이 발생하지 않는다.

지구 표면 근처의 균일한 중력장을 가정할 때, 유체 내부의 압력(P)은 깊이(h)에 따라 선형적으로 증가한다. 이 관계는 P = P₀ + ρgh로 표현되며, 여기서 ρ는 유체의 밀도, g는 중력 가속도이다. 이 압력 구배 때문에 물체의 아래쪽 면이 위쪽 면보다 더 큰 압력을 받게 되고, 그 합력이 위쪽을 향하는 부력으로 나타난다. 부력의 크기(F_b)는 F_b = ρVg로 계산되며, 이 공식에 중력 가속도 g가 포함된 것에서도 중력장의 영향을 직접적으로 확인할 수 있다.

균일하지 않은 중력장이 작용하는 경우, 예를 들어 매우 큰 규모의 유체나 중력 가속도가 변하는 상황에서는 아르키메데스의 원리를 그대로 적용하기 어렵다. 일반적으로 이 원리는 중력장이 균일하고 유체가 정지해 있다는 전제 하에 유효하다. 이러한 조건에서 부력은 물체가 배제한 유체의 무게와 정확히 같으며, 그 방향은 중력장의 방향과 정반대, 즉 수직 위쪽을 향하게 된다.

선박 설계에서 아르키메데스의 원리는 선체의 기본 치수와 형상을 결정하는 근본 법칙이다. 설계자는 선박이 운반할 화물, 연료, 승객 등의 총 중량(만재중량)과 동일한 배수량을 가지도록 선체를 설계한다. 이는 선박이 정지 상태에서 물에 떠 있을 때, 선박이 밀어낸 물의 무게(부력)가 선박 전체의 무게와 정확히 같아야 하기 때문이다. 선체의 수중 부분 형상은 부력 중심의 위치와 선박의 복원성에 직접적인 영향을 미친다.

선박의 안정성, 특히 초기 복원력은 부력 중심과 선박의 중심 사이의 수평 거리에 의해 결정된다. 설계자는 선박이 기울어졌을 때 부력 중심이 이동하여 복원 모멘트를 발생시키는 선체 형상을 만드는 것이 중요하다. 이를 위해 일반적으로 선박의 폭(너비)을 증가시키거나, 이중저 구조를 도입하거나, 무게 중심을 낮추는 설계를 적용한다. 이러한 요소들은 모두 선박이 외부 힘(파도, 바람 등)을 받았을 때 원래 상태로 돌아오는 능력을 보장한다.

선박 설계 과정에서는 다양한 하중 상태(경하, 만재, 부분 적재 등)와 조건(정수, 경사, 파도 중)에서의 부력과 안정성을 계산한다. 현대의 설계는 컴퓨터 지원 설계 소프트웨어를 활용하여 선체 형상을 모델링하고, 유한요소해석 등을 통해 부력 분포와 구조적 강도를 정밀하게 시뮬레이션한다. 이는 선박의 효율성(저항 감소)과 안전성을 동시에 확보하는 데 필수적이다.

잠수함은 아르키메데스의 원리를 능동적으로 제어하여 수중에서 부력을 조절하는 대표적인 공학적 응용 사례이다. 잠수함의 선체 내부에는 여러 개의 수조(ballast tank)가 설치되어 있다. 수면에서 잠수할 때는 이 수조에 바닷물을 주입하여 전체 중량을 증가시키고, 부력보다 중력이 커지도록 한다. 반대로 수면으로 부상할 때는 압축 공기를 수조 내로 불어넣어 바닷물을 배출함으로써 중량을 감소시키고, 부력이 중력을 초과하도록 만든다. 이를 통해 잠수함은 중립 부력 상태, 즉 중력과 부력이 균형을 이루는 상태를 정밀하게 유지하며 원하는 수심에서 항해할 수 있다.

부표(buoy)는 선박의 계류, 항로 표지, 해양 관측 등 다양한 목적으로 사용되며, 부력을 이용해 수면에 뜨도록 설계된 구조물이다. 부표의 설계는 목적에 따라 크기, 모양, 재질이 달라지지만, 공통적으로는 물체가 받는 부력이 그 물체의 중력보다 크도록 만들어야 한다. 이를 위해 부표의 내부는 공기나 폼과 같은 밀도가 매우 낮은 재료로 채워져 전체 평균 밀도를 주변 유체(바닷물)의 밀도보다 낮게 유지한다. 특히 파도와 해류가 있는 해양 환경에서 안정적으로 제 위치를 유지하기 위해, 부표의 무게 중심은 부력 중심보다 낮게 설계되는 경우가 많다[6].

잠수함과 부표는 모두 유체 내에서의 평형을 다루지만, 그 접근 방식이 대조적이다. 잠수함은 유체(바닷물)의 유입과 배출을 통해 물체 자체의 '유효 중량'을 동적으로 변화시켜 가라앉고 떠오른다. 반면, 대부분의 부표는 구조와 재질을 고정시켜 '평균 밀도'를 유체보다 항상 낮게 유지함으로써 수동적으로 부유 상태를 유지한다. 이 두 응용은 동일한 물리 법칙이 서로 다른 공학적 요구 사항에 따라 어떻게 구현되는지를 보여준다.

유체의 밀도를 측정하는 데 아르키메데스의 원리는 핵심적인 원리로 활용된다. 이 방법은 물체가 유체에 잠겼을 때 받는 부력이 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같다는 점을 이용한다. 알려진 부피를 가진 물체(보통 부력계 또는 무게추)를 측정하려는 유체에 담그고, 그 물체가 받는 부력의 크기를 정밀하게 측정함으로써 유체의 밀도를 간접적으로 계산해낼 수 있다.

가장 일반적인 실험 장치는 유체 저울 또는 부력 저울이다. 공기 중에서의 무게(W_air)와 유체 중에서의 무게(W_fluid)를 측정한다. 두 무게의 차이(W_air - W_fluid)가 바로 부력(F_b)이며, 이는 물체가 밀어낸 유체의 무게(ρ_fluid * V * g)와 같다. 물체의 부피(V)를 알고 있다면, 다음과 같은 공식으로 유체의 밀도(ρ_fluid)를 구할 수 있다.

ρ_fluid = (W_air - W_fluid) / (V * g)

여기서 g는 중력 가속도이다. 만약 물체의 부피를 모른다면, 밀도가 정확히 알려진 기준 유체(예: 순수한 물)에서의 부력을 먼저 측정하여 물체의 부피를 구한 후, 미지의 유체 밀도를 계산하는 방법을 사용한다.

이 원리를 응용한 대표적인 측정 기구로 액체 비중계(hydrometer)가 있다. 액체 비중계는 일정한 무게를 가지되, 액체의 밀도에 따라 가라앉는 깊이가 변하는 눈금이 매겨진 유리관이다. 밀도가 큰 유체일수록 같은 무게의 물체를 더 적은 부피만큼만 밀어내면 되므로, 비중계는 더 높게 뜨게 된다. 반대로 밀도가 작은 유체에서는 더 깊이 가라앉아야 같은 양의 부력을 얻을 수 있다. 이렇게 액면에 맞춰진 눈금을 읽어 직접적으로 유체의 비중 또는 밀도를 알 수 있어, 배터리 전해액, 우유, 알코올, 시럽 등의 품질 검사에 널리 사용된다[7].

이러한 밀도 측정 기술은 화학, 식품 공학, 환경 모니터링, 제조업 등 다양한 분야에서 원료의 순도, 농도, 혼합 비율을 평가하는 데 필수적이다.

파스칼의 원리는 유체가 받는 압력 변화가 유체 전체에 걸쳐 변함없이 전달된다는 원리이다. 이 원리는 17세기 프랑스의 수학자이자 물리학자인 블레즈 파스칼에 의해 정립되었다. 주로 밀폐된 공간에 갇힌 정지 유체에 적용되며, 유체의 한 점에서 가해진 압력 증가는 모든 방향으로 동일하게 전파되어 유체 내 모든 점과 용기 벽면에 동일한 크기로 작용한다.

이 원리는 유압 장치의 기본 작동 원리를 설명한다. 예를 들어, 단면적이 다른 두 실린더가 유체로 연결되어 있을 때, 작은 피스톤에 작은 힘을 가하면 유체를 통해 압력이 전달되어 큰 피스톤에서는 훨씬 큰 힘을 발생시킨다. 이는 압력(P=힘/면적)이 동일하게 유지되기 때문에, 면적이 큰 피스톤에서는 더 큰 총 힘을 얻을 수 있기 때문이다. 이 원리는 유압 프레스, 유압 브레이크, 건설 장비 등 수많은 기계 장치의 설계 기초가 된다.

아르키메데스의 원리와의 관계를 보면, 파스칼의 원리는 부력 현상을 발생시키는 압력 차이의 근본 원인을 제공한다. 유체 내부의 한 점에서는 모든 방향으로의 압력이 같지만(파스칼의 원리), 깊이에 따라 압력이 증가하기 때문에 물체의 아래면이 위면보다 더 큰 압력을 받게 된다. 이 압력 차이의 합력이 바로 부력이다. 따라서 파스칼의 원리는 정지 유체의 압력 전달 특성을 설명하는 반면, 아르키메데스의 원리는 그 압력 차이로 인해 발생하는 상향 힘의 총합과 그 효과를 정량화한다고 볼 수 있다.

아르키메데스의 원리는 연속체 역학의 기본 법칙 중 하나인 유체 정역학의 특별한 경우로 설명된다. 연속체 역학은 고체와 유체를 구성 입자의 집합체가 아닌, 질량이 연속적으로 분포된 매질로 가정하고 그 거시적 운동을 연구하는 물리학의 분야이다. 이 관점에서 유체는 응력을 전달할 수 있는 연속체로 취급되며, 정지해 있는 유체 내부의 응력 상태는 파스칼의 원리에 의해 모든 방향으로 동일한 압력(수압)을 가한다는 특징을 가진다.

아르키메데스의 원리는 이러한 연속체 역학의 틀 안에서 엄밀하게 유도될 수 있다. 유체 내부에 잠긴 물체의 표면 각 지점에는 유체로부터 법선응력으로서의 정수압이 작용한다. 이 압력 분포를 물체 전체 표면에 대해 적분하면, 그 합력이 바로 물체가 받는 부력에 해당한다. 계산 결과, 이 합력의 크기는 물체가 차지하는 부피만큼의 유체 무게와 같고, 방향은 중력과 반대이며, 작용점은 그 부피의 유체의 무게 중심(즉, 부력 중심)과 일치한다[9].

따라서 아르키메데스의 원리는 근본적으로 정지한 연속체 내부의 응력장(정수압장)과 그 경계면(물체 표면)에서의 상호작용에 대한 결과로 이해된다. 이 원리는 뉴턴 역학의 힘의 평형 개념과 결합되어, 물체의 부력과 중력의 크기를 비교함으로써 물체의 뜨고 가라앉음을 설명하는 정성적 및 정량적 기준을 제공한다.