심화 수학

집합론은 심화 수학의 기초 개념 중 하나로, 수학적 대상들을 모은 집합과 그들 사이의 관계를 연구하는 분야이다. 이는 미적분학이나 선형대수학과 같은 고급 수학을 엄밀하게 이해하는 데 필수적인 토대를 제공한다. 특히 실수의 집합이나 함수의 집합과 같은 개념은 해석학의 근간을 이루며, 논리학과도 깊이 연관되어 수학적 사고의 기초 체계를 형성한다.

집합론의 주요 개념으로는 원소, 부분집합, 합집합, 교집합, 차집합, 여집합 등이 있다. 또한 두 집합 간의 대응 관계를 다루는 함수의 개념도 집합론의 관점에서 엄밀히 정의된다. 이러한 기본 연산과 개념들은 이산수학의 그래프 이론이나 조합론에서 객체들을 체계적으로 분류하고 분석하는 데 직접적으로 활용된다.

더 나아가 집합론은 무한의 크기를 비교하는 기수와 순서 구조를 연구하는 순서수 이론을 포함한다. 이를 통해 자연수, 정수, 유리수, 실수와 같은 다양한 수 체계의 구조와 크기를 체계적으로 이해할 수 있다. 이는 극한과 연속성과 같은 미적분학의 핵심 개념을 엄밀하게 정의하는 데 결정적인 역할을 한다.

따라서 집합론은 단순한 이론 수학을 넘어, 확률과 통계에서 사건을 집합으로 표현하거나 수리논리학에서 증명의 기초를 마련하는 등 모든 수학 분야의 공통 언어이자 기초 도구로서의 위상을 지닌다.

논리학은 명제의 참과 거짓을 판단하고, 타당한 추론의 원리를 연구하는 수학의 기초 분야이다. 이는 심화 수학의 기초 개념을 구성하는 핵심 요소로, 특히 집합론과 함수와 관계를 이해하는 데 필수적인 도구를 제공한다. 논리학은 수학적 명제를 정확하게 서술하고 증명하는 방법론의 근간을 이룬다.

주요 내용으로는 명제, 조건, 그리고 그들 사이의 논리적 관계(부정, 논리곱, 논리합, 조건문, 쌍조건문 등)를 다루는 명제 논리와, '모든', '존재한다'와 같은 양화사를 사용하여 대상의 범위를 명시하는 술어 논리가 있다. 또한, 주어진 전제로부터 결론을 이끌어내는 과정인 연역적 추론의 규칙과, 논리적 동치 및 함의 관계를 분석하는 방법을 학습한다.

이러한 논리학의 원리는 미적분학에서 극한과 연속성에 대한 엄밀한 정의를 이해하거나, 선형대수학에서 정리들을 증명할 때 직접적으로 적용된다. 나아가 이산수학의 그래프 이론이나 조합론에서 문제를 논리적으로 구조화하고, 확률과 통계에서 사건과 조건부 확률을 명제로 해석하는 데에도 널리 활용된다. 따라서 논리학은 심화 수학의 여러 분야를 공부하는 데 필요한 기초적 사고 체계를 형성한다.

함수와 관계는 심화 수학의 핵심 기초 개념으로, 두 집합 간의 대응 규칙을 체계적으로 연구하는 분야이다. 함수는 한 집합의 각 원소에 다른 집합의 원소를 오직 하나씩 대응시키는 특별한 관계를 의미한다. 이 개념은 미적분학에서 변수 간의 의존성을 표현하고, 선형대수학에서 선형변환을 정의하며, 이산수학에서 알고리즘의 입력과 출력을 모델링하는 등 모든 수학 분야의 언어와도 같다.

함수의 주요 성질로는 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수가 있으며, 이는 함수의 대응 관계가 일대일인지, 모든 원소를 포함하는지, 또는 그 둘 모두인지를 판별하는 기준이 된다. 또한 합성 함수와 역함수의 개념은 함수들을 결합하거나 원래의 대응 관계를 되돌리는 연산을 가능하게 한다. 이러한 연산들은 방정식을 푸는 과정이나 좌표계의 변환과 같은 다양한 수학적 문제 해결에 필수적이다.

함수보다 더 일반적인 개념인 관계는 두 집합의 원소들 사이에 성립할 수 있는 임의의 연결을 포괄한다. 관계는 순서쌍의 집합으로 정의되며, 동치 관계와 순서 관계가 그 대표적인 예이다. 동치 관계는 집합을 서로 소인 동치류로 분할하는 반면, 순서 관계는 원소들 사이에 위계를 부여한다. 이러한 관계론적 접근은 정수론의 합동식이나 위상수학의 구조를 이해하는 데 기초를 제공한다.

함수와 관계에 대한 이해는 극한과 연속성, 미분법, 적분법을 다루는 해석학의 출발점이며, 행렬을 함수로 해석하는 선형대수학의 관점을 제공한다. 나아가 그래프 이론에서 정점과 간선의 연결 구조나, 확률 분포에서 사건과 확률값의 대응을 기술하는 근간이 되어, 이공계 진학을 위한 수학적 사고력의 토대를 마련한다.

실해석학은 미적분학의 엄밀한 이론적 기초를 다루는 수학의 한 분야이다. 극한과 연속성, 미분법, 적분법과 같은 고등학교 및 대학 초급 수준의 미적분 개념들을 엄밀한 수학적 정의와 증명을 통해 재정립하고 확장한다. 이 과정에서 실수 체계의 완비성과 같은 근본적인 성질이 중요한 역할을 한다.

실해석학의 핵심은 실수의 집합 위에서 정의된 함수의 성질을 연구하는 것이다. 이를 위해 수열의 극한, 함수의 극한, 연속 함수의 성질을 엄밀하게 정의하고, 이를 바탕으로 미분과 적분의 이론을 구축한다. 특히 리만 적분과 르베그 적분은 적분 이론 발전의 중요한 이정표이다.

이 분야는 복소해석학이나 미분방정식과 같은 다른 해석학 분야의 기초가 되며, 확률론과 수리물리학 등 응용 분야에서도 필수적인 도구로 사용된다. 실해석학에서 다루는 엄밀한 논증과 추상적 사고는 수학 전반에 걸쳐 필요한 사고 방식을 형성하는 데 기여한다.

복소해석학은 복소수를 변수로 하는 함수, 즉 복소함수를 연구하는 해석학의 한 분야이다. 실해석학이 실수 위에서의 함수를 다룬다면, 복소해석학은 복소평면이라는 확장된 영역에서 함수의 성질을 탐구한다. 이 분야는 미적분학의 개념을 복소수 체계로 자연스럽게 확장하지만, 실함수와는 다른 놀라운 성질들을 보여준다. 복소해석학의 핵심은 해석함수 또는 정칙함수라 불리는, 복소 평면의 한 점 근방에서 테일러 급수로 표현 가능한 함수들의 성질을 규명하는 것이다.

복소해석학의 주요 결과 중 하나는 코시 적분 정리와 코시 적분 공식이다. 이 정리들은 복소 선적분의 값이 경로의 모양보다는 경로가 둘러싼 특이점에 의해 결정된다는 것을 보여주며, 복소함수의 적분을 계산하는 강력한 도구를 제공한다. 또한, 유수 정리는 복소 선적분을 함수의 특이점에서의 유수들의 합으로 계산할 수 있게 하여, 실수적분의 계산에도 응용된다.

이 분야는 등각 사상의 이론과도 깊이 연관되어 있다. 복소해석학에서의 정칙함수는 각도를 보존하는 등각 사상이며, 이 성질은 유체역학과 전자기학 같은 물리학 분야의 2차원 장 문제를 푸는 데 활용된다. 더 나아가, 리만 사상 정리는 단순연결인 복소 영역을 단위원판으로 등각적으로 변환할 수 있음을 보장하는 근본적인 정리이다.

복소해석학의 영향력은 순수수학을 넘어 공학과 물리학 전반에 걸쳐 매우 크다. 제어이론과 신호처리에서 시스템의 안정성을 분석하는 데 사용되며, 양자역학과 전자기학의 수학적 기초를 제공한다. 또한, 소수 정리와 같은 정수론의 깊은 결과를 증명하는 데에도 복소해석학의 방법론이 결정적인 역할을 한다.

미분방정식은 미지의 함수와 그 함수의 도함수들 간의 관계를 나타내는 방정식이다. 이는 자연 현상이나 공학 문제를 수학적으로 모델링하는 핵심적인 도구로, 시간에 따른 변화율을 포함하는 시스템을 기술하는 데 널리 사용된다. 예를 들어, 물체의 운동, 전기 회로의 동작, 인구의 증감, 열의 확산 등 다양한 동적 현상을 설명할 수 있다.

미분방정식은 크게 상미분방정식과 편미분방정식으로 분류된다. 상미분방정식은 하나의 독립 변수에 대한 함수와 그 도함수들로 이루어진 방정식이며, 편미분방정식은 두 개 이상의 독립 변수에 대한 함수와 그 편도함수들로 이루어진 방정식이다. 상미분방정식은 주로 시간에 따라 변화하는 현상을, 편미분방정식은 공간과 시간에 따라 변화하는 현상을 모델링할 때 사용된다.

미분방정식을 푸는 방법은 방정식의 형태에 따라 다양하다. 1계 선형 미분방정식은 적분인자를 이용해 해결할 수 있으며, 2계 상수계수 선형 미분방정식은 특성방정식을 통해 일반해를 구한다. 또한, 변수분리법, 완전미분방정식, 베르누이 방정식과 같은 특수한 형태의 해법도 존재한다. 편미분방정식의 경우에는 변수분리법이나 푸리에 급수와 같은 기법을 사용하여 해를 구한다.

미분방정식의 해는 일반해와 특수해로 나뉜다. 일반해는 임의의 상수를 포함하는 해의 집합을 의미하며, 초기 조건이나 경계 조건과 같은 추가 정보를 통해 특정 상수 값을 결정하여 특수해를 얻는다. 이는 주어진 물리적 상황에 맞는 유일한 해를 찾는 과정이다. 미분방정식의 이론과 해법은 해석학, 공학, 물리학, 경제학 등 여러 학문 분야의 기초를 이루며, 현대 과학 기술 발전에 필수적인 역할을 한다.

선형대수학은 벡터 공간과 선형 변환을 연구하는 대수학의 한 분야이다. 이 분야는 행렬과 행렬식, 벡터의 연산, 연립 일차 방정식의 해법, 고유값과 고유벡터 등을 핵심 주제로 다룬다. 고등학교 심화 수학 과정에서는 주로 행렬의 기본 연산과 이를 이용한 연립방정식 풀이, 선형 변환의 기하학적 의미를 학습한다. 이는 이후 대학 이공계에서 필수적으로 요구되는 수학적 기초를 마련하는 데 중요한 역할을 한다.

선형대수학의 개념은 미적분학과 결합되어 다변수 미적분을 이해하는 토대가 되며, 이산수학의 그래프 이론이나 확률과 통계의 다변량 분석에서도 광범위하게 응용된다. 예를 들어, 여러 변수 간의 관계를 행렬로 표현하거나 데이터의 변환을 선형 변환으로 모델링할 수 있다. 이러한 특성 때문에 선형대수학은 현대 수학뿐만 아니라 물리학, 공학, 컴퓨터 과학, 경제학 등 다양한 학문 분야에서 필수적인 도구로 사용된다.

이처럼 선형대수학은 추상적인 대수 구조와 구체적인 계산 기법을 연결하며, 수학적 사고의 폭을 넓히는 동시에 실용적인 문제 해결 능력을 키우는 교량 역할을 한다.

추상대수학은 대수적 구조 자체의 일반적 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이는 특정한 수나 연산에 국한되지 않고, 군, 환, 체와 같은 추상적인 대수적 구조와 그 사이의 관계를 공리적으로 탐구한다. 선형대수학이 벡터 공간과 선형 변환을 주로 다룬다면, 추상대수학은 이를 포함해 더 넓고 일반적인 구조를 다루는 학문이다.

이 분야의 핵심 개념 중 하나인 군은 하나의 집합과 그 위에 정의된 결합 법칙을 만족하는 이항 연산, 항등원, 역원의 존재로 구성된다. 이러한 간결한 공리 체계는 수학의 다양한 영역, 예를 들어 기하학의 대칭성 연구나 정수론의 문제 해결에 강력한 도구로 적용된다. 환은 덧셈과 곱셈 두 가지 연산이 정의된 구조로, 정수의 일반화된 모델이며, 체는 더 나아가 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지는 환으로, 유리수, 실수, 복소수 체계의 근본이 된다.

추상대수학의 발전은 대수의 여러 갈래를 통합하는 틀을 제공했으며, 현대 수학의 언어와 사고방식을 정립하는 데 기여했다. 이는 정수론, 대수기하학, 위상수학 등 고급 수학 분야를 이해하는 데 필수적인 기초가 되며, 물리학의 군론(群論) 응용이나 암호학의 알고리즘 설계와 같은 응용 분야에서도 그 가치를 발휘한다.

정수론은 수학의 한 분야로, 주로 정수의 성질과 그들 사이의 관계를 연구한다. 특히 소수의 분포, 디오판토스 방정식의 해, 합동 산술 등이 주요 연구 주제이다. 이 분야는 순수 수학의 핵심을 이루며, 그 추상성과 엄밀함에도 불구하고 현대 암호학이나 컴퓨터 과학 등에 실용적으로 응용되기도 한다.

정수론의 기초에는 산술의 기본 정리가 있으며, 이는 1보다 큰 모든 자연수가 유일한 소인수 분해를 가진다는 내용이다. 이 정리는 정수론의 여러 이론을 전개하는 데 근간이 된다. 또한, 페르마의 마지막 정리나 리만 가설과 같은 유명한 미해결 문제들도 정수론에서 비롯되었다.

정수론은 크게 해석적 정수론, 대수적 정수론, 기하적 정수론 등의 하위 분야로 나뉜다. 해석적 정수론은 해석학의 방법을 사용하여 소수의 분포와 같은 문제를 다루며, 대수적 정수론은 대수학의 개념을 확장하여 대수적 정수 등을 연구한다. 기하적 정수론은 기하학적 도구를 활용한다.

이 분야의 연구는 피타고라스 학파까지 거슬러 올라갈 만큼 역사가 깊으며, 카를 프리드리히 가우스와 같은 수학자들이 근대 정수론의 기초를 세웠다. 정수론의 발전은 수학 자체의 발전에 크게 기여했을 뿐만 아니라, 현대의 공개키 암호 방식 등 기술 발전의 토대를 제공하기도 했다.

미분기하학은 곡면과 곡선의 기하학적 성질을 미분과 적분을 활용해 연구하는 수학의 한 분야이다. 해석학과 기하학의 교차점에 위치하며, 다양체라는 개념을 중심으로 공간의 국소적 구조와 전역적 구조를 탐구한다. 이 분야는 물리학 특히 일반 상대성 이론과 고전역학에 깊이 응용되어 공간과 시간의 기하학적 모델을 제공한다.

미분기하학의 핵심 도구는 접공간, 접벡터, 미분형식 등이다. 곡률과 비틀림은 곡선과 곡면이 얼마나 휘어져 있는지를 정량화하는 기본 개념으로, 가우스 곡률과 평균 곡률이 대표적이다. 리만 기하학은 계량 텐서를 도입하여 거리와 각도를 정의할 수 있는 리만 다양체를 연구하는 분야로, 미분기하학의 중요한 하위 분야를 이룬다.

이 분야는 미분방정식과 위상수학과도 밀접하게 연결되어 있다. 호몰로지와 호모토피 같은 위상적 불변량과 기하학적 구조 사이의 관계를 탐구하는 것이 주요 과제 중 하나이다. 또한 심플렉틱 기하학과 복소기하학은 각각 해밀턴 역학과 복소함수론을 기하학적으로 재해석한 현대 기하학의 중요한 흐름이다.

위상수학은 공간의 기본적인 성질인 연속성과 근접성을 연구하는 수학의 한 분야이다. 기하학이 길이, 각도, 모양과 같은 구체적인 측정 개념을 다룬다면, 위상수학은 공간을 늘이거나 구부려도 변하지 않는 불변의 성질에 주목한다. 예를 들어, 도넛과 손잡이가 달린 머그잔은 위상학적으로 동일한 것으로 간주되는데, 이는 하나를 연속적으로 변형하여 다른 하나를 만들 수 있기 때문이다. 이러한 관점에서 위상수학은 종종 '고무판 기하학'으로 비유되기도 한다.

위상수학의 핵심 개념에는 위상공간, 개집합, 연속함수, 연결성, 콤팩트성 등이 있다. 이 개념들은 미적분학에서 다루는 극한과 연속성의 엄밀한 정의를 일반화하여 제공하는 기초가 된다. 또한, 위상수학은 미분기하학과 밀접한 관련이 있으며, 곡면과 다양체의 연구에 필수적인 도구를 제공한다. 현대 수학에서 위상수학의 방법론은 해석학, 대수학, 기하학 등 다양한 분야에 깊이 침투해 있다.

위상수학은 크게 일반위상수학과 대수위상수학으로 나눌 수 있다. 일반위상수학은 위상공간의 가장 기본적인 구조와 성질을 다루는 반면, 대수위상수학은 공간을 대수적인 불변량(예: 호모토피 군, 호몰로지 군)을 이용해 분류하고 연구한다. 이러한 대수적 위상수학의 도구들은 복잡한 공간의 구조를 이해하는 강력한 방법이 되어, 물리학의 끈 이론과 같은 첨단 과학 분야에서도 응용되고 있다.

확률론과 통계학은 불확실한 현상을 수학적으로 모델링하고, 데이터를 분석하여 의미 있는 결론을 도출하는 수학의 핵심 분야이다. 확률론은 무작위 사건의 발생 가능성을 측정하는 이론적 체계를 다루며, 통계학은 관측된 데이터를 바탕으로 모집단의 특성을 추론하고 예측하는 방법론을 연구한다. 이 분야는 이산수학과 조합론의 기법을 바탕으로 하며, 미적분학을 활용하여 연속적인 현상을 분석하는 데도 널리 응용된다.

확률론의 주요 개념으로는 확률 공간, 확률 변수, 그리고 기대값과 분산이 있다. 특히 중요한 것은 다양한 확률 분포로, 이산형 분포에는 이항 분포와 포아송 분포가, 연속형 분포에는 정규 분포와 지수 분포가 대표적이다. 이러한 분포들은 현실 세계의 불확실성을 설명하는 기본적인 수학적 틀을 제공한다.

통계학은 크게 기술통계학과 추리통계학으로 나뉜다. 기술통계학은 데이터의 중심 경향(평균, 중앙값)과 퍼짐 정도(표준편차, 분산)를 요약하여 설명하는 데 초점을 맞춘다. 반면, 추리통계학은 표본 데이터를 통해 모집단의 특성에 대한 가설 검정을 수행하거나 신뢰 구간을 추정하는 과정을 포함한다. 여기에는 회귀 분석과 같은 다변량 분석 기법도 포함되어, 변수 간의 관계를 규명한다.

이 분야는 자연과학, 공학, 의학, 사회과학, 금융, 인공지능에 이르기까지 광범위한 분야에서 필수적인 도구로 활용된다. 머신러닝 알고리즘의 기반이 되는 베이즈 통계나, 금융 위험을 관리하는 금융공학 등 현대의 복잡한 문제를 해결하는 데 확률론과 통계학의 방법론이 결정적인 역할을 하고 있다.

수치해석학은 수학적 문제를 근사적으로 푸는 방법과 그 오차를 연구하는 응용 수학의 한 분야이다. 이론적으로 정확한 해를 구하기 어려운 복잡한 방정식이나 적분, 미분 문제에 대해 컴퓨터를 활용한 수치적 방법으로 근사해를 구하는 알고리즘을 개발하고 분석한다. 미분방정식, 선형대수학, 미적분학 등 여러 수학 분야의 이론을 바탕으로 하며, 공학, 물리학, 경제학 등 다양한 분야의 실제 문제 해결에 필수적으로 적용된다.

주요 연구 주제로는 방정식의 근을 찾는 방법, 선형 연립방정식의 해법, 함수의 보간과 근사, 수치적 미분과 적분, 그리고 상미분방정식과 편미분방정식의 수치해법 등이 있다. 예를 들어, 뉴턴-랩슨 방법은 비선형 방정식의 근을 찾는 대표적인 반복법이며, 유한 요소법은 구조 해석이나 유체 역학과 관련된 편미분방정식을 풀기 위해 널리 쓰이는 수치 기법이다.

이 분야에서는 얻은 근사해가 얼마나 정확한지, 계산 과정이 안정적인지, 그리고 알고리즘이 효율적인지를 엄밀하게 분석하는 것이 중요하다. 오차의 원인을 이해하고 이를 최소화하는 방법을 탐구하며, 컴퓨터의 유한한 정밀도로 인해 발생하는 반올림 오차나 방법 자체의 한계에서 비롯되는 절단 오차 등을 다룬다. 따라서 수치해석학은 이론 수학의 엄밀성과 계산 과학의 실용성을 결합한 학문이라 할 수 있다.

조합론은 유한한 구조의 배열, 선택, 구성에 관한 수학의 한 분야이다. 이산수학의 핵심적인 구성 요소로, 주어진 규칙 아래에서 객체를 세거나 배열하는 방법을 연구한다. 조합론의 기본 개념은 순열과 조합으로, 이는 고등학교 수준의 확률과 통계 교육에서도 중요한 기초를 이룬다. 순열은 순서를 고려하여 객체를 배열하는 방법의 수를 다루며, 조합은 순서 없이 객체를 선택하는 방법의 수를 다룬다. 이러한 기본적인 계수 원리는 더 복잡한 조합적 구조를 이해하는 데 필수적이다.

조합론의 주요 하위 분야로는 열거조합론, 조합적 설계, 그래프 이론 등이 있다. 열거조합론은 주어진 성질을 만족하는 객체의 개수를 세는 것에 중점을 두며, 생성함수와 같은 강력한 도구를 사용한다. 조합적 설계는 블록 설계나 라틴 방진과 같이 특정 균형 조건을 만족하는 유한 집합들의 체계적인 구성을 연구한다. 그래프 이론은 점과 선으로 이루어진 그래프의 구조적 성질을 분석하며, 네트워크 이론이나 알고리즘 설계에 널리 응용된다.

이 분야는 순수 수학뿐만 아니라 컴퓨터 과학, 통계학, 생물정보학 등 다양한 응용 분야와 깊이 연관되어 있다. 예를 들어, 알고리즘의 복잡도 분석, 암호학의 안전성 증명, 유전체학의 서열 정렬 문제 등에서 조합론적 사고와 기법이 핵심적으로 사용된다. 또한, 확률론에서 사건의 경우의 수를 계산하는 기본 도구로서 조합론의 역할은 지대하다.

조합론의 발전은 종종 구체적인 문제 해결에서 비롯되었으며, 그 응용 범위가 계속 확장되고 있다. 최근에는 빅데이터 분석이나 인공지능의 기계 학습 모델에서도 조합 최적화 문제가 중요한 과제로 부상하고 있다. 이처럼 조합론은 이산적 현상을 이해하고 모델링하는 데 있어 근본적인 언어와 도구를 제공하는 활발한 연구 영역이다.

수리논리학은 수학적 논증의 구조와 타당성을 엄밀하게 연구하는 수학의 한 분야이다. 이 분야는 논리학의 형식적 체계를 수학에 적용하여, 수학적 명제와 증명 자체를 수학적 대상으로 다룬다. 수학의 기초를 확립하고 그 체계의 무모순성, 완전성, 결정 가능성과 같은 근본적 성질을 탐구하는 것이 주요 목표이다.

수리논리학의 핵심 주제에는 명제 논리, 1차 논리와 같은 형식적 체계, 그리고 괴델의 불완전성 정리가 포함된다. 특히 괴델의 불완전성 정리는 산술을 포함하는 충분히 강력한 형식 체계는 그 체계 내에서 증명도 반증도 할 수 없는 명제가 존재하며, 그 체계의 무모순성을 그 체계 내에서 증명할 수 없다는 것을 보여준다. 이 정리는 수학의 기초와 한계에 대한 철학적 논의에 지대한 영향을 미쳤다.

또한, 계산 이론과 집합론은 수리논리학과 밀접하게 연결되어 있다. 계산 이론은 알고리즘과 계산 가능성을 연구하며, 튜링 기계와 같은 추상적 모델을 다룬다. 집합론은 현대 수학의 공통된 언어이자 기초를 제공하며, 선택 공리와 연속체 가설과 같은 명제의 독립성 문제는 집합론 내에서 수리논리학적 방법으로 연구된다.

계산 이론은 계산 가능성, 계산 복잡도, 그리고 계산 모델의 본질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이는 컴퓨터 과학과 수리논리학의 교차점에 위치하며, '계산'이라는 개념 자체를 수학적으로 엄밀하게 정의하고 그 한계를 탐구하는 것을 목표로 한다. 계산 이론의 핵심 질문은 "어떤 문제가 컴퓨터로 풀 수 있는가?", 그리고 "풀 수 있다면 얼마나 효율적으로 풀 수 있는가?"이다.

이 분야의 기초는 앨런 튜링이 제안한 튜링 기계와 같은 추상적 계산 모델을 통해 마련되었다. 튜링 기계는 모든 현대 디지털 컴퓨터의 이론적 기반이 되며, 계산 가능한 함수의 범위를 정의하는 표준 모델로 받아들여진다. 계산 이론은 알고리즘의 분석과 설계에 필수적인 이론적 배경을 제공하며, 정지 문제와 같이 알고리즘적으로 해결할 수 없는 문제의 존재를 증명하는 데에도 기여한다.

주요 하위 분야로는 계산 가능성 이론, 계산 복잡도 이론, 오토마타 이론 등이 있다. 계산 가능성 이론은 주어진 문제가 알고리즘에 의해 해결될 수 있는지 여부를 다루고, 계산 복잡도 이론은 문제를 해결하는 데 필요한 자원(시간, 메모리)의 양을 분석하여 문제의 난이도를 분류한다. 오토마타 이론은 유한한 상태를 가진 추상 기계를 연구하여 형식 언어와 문법을 분석하는 데 사용된다.

이러한 이론적 연구는 암호학, 컴파일러 설계, 인공지능 및 복잡계 이론을 포함한 다양한 실용적 분야에 깊은 영향을 미친다. 예를 들어, P-NP 문제는 계산 복잡도 이론의 대표적인 미해결 문제로, 효율적으로 검증할 수 있는 문제가 효율적으로 해결될 수도 있는지에 대한 근본적인 질문을 제기한다.