솔로우 성장 모형

솔로우 성장 모형은 생산함수를 핵심적인 구성 요소로 사용한다. 이 모형은 일반적으로 코브-더글러스 생산함수를 가정하며, 총생산(Y)은 물적 자본(K)과 노동(L)이라는 두 가지 투입요소에 의해 결정된다. 생산함수는 Y = F(K, L) = K^α * L^(1-α)의 형태를 띤다. 여기서 α는 0과 1 사이의 값으로, 자본의 산출 탄력성을 나타낸다. 이 생산함수는 규모에 대한 수익 불변[3]의 성질을 가진다.

투자는 모형에서 자본 축적의 원천이다. 총투자(I)는 총저축(S)과 동일하며, 이는 총산출(Y)에 저축률(s)을 곱한 값, 즉 I = S = sY로 정의된다. 투자는 순투자와 대체투자로 구분된다. 순투자는 자본량을 순증가시키는 반면, 대체투자는 감가상각으로 인해 마모되거나 노후화된 기존 자본을 보충하는 역할을 한다. 모형은 감가상각률(δ)을 외생적으로 가정하여, 매 기간 δK만큼의 자본이 소멸한다고 본다.

이러한 생산함수와 투자의 관계는 모형의 동태적 과정을 이해하는 기초가 된다. 1인당 변수로 분석하기 위해, 규모에 대한 수익 불변 성질을 이용해 생산함수를 1인당 항으로 변환한다. 1인당 자본(k = K/L)과 1인당 산출(y = Y/L)의 관계는 y = f(k) = k^α로 표현된다. 이 변환을 통해 모형은 경제 전체의 성장이 아니라 1인당 소득 수준의 결정과 변화에 초점을 맞추게 된다.

저축은 국민소득 중 소비되지 않고 미래 생산을 위해 남겨지는 부분을 의미한다. 솔로우 성장 모형에서는 저축률이 외생적으로 주어진다고 가정한다. 즉, 총산출 Y 중 일정 비율 s가 저축되고 투자 I로 전환된다. 이 관계는 I = sY라는 간단한 방정식으로 표현된다.

저축된 자원은 투자를 통해 자본 재고를 증가시킨다. 자본 축적은 모형의 핵심 동력이다. 그러나 기존 자본 재고는 시간이 지남에 따라 마모되거나 노후화되어 감가상각된다. 모형은 감가상각률 δ도 외생적으로 주어진다고 본다. 따라서 순자본 축적은 총투자에서 감가상각을 뺀 값이다.

자본 축적의 과정은 다음 방정식으로 요약된다.

자본 재고의 변화(ΔK)는 총투자(sY)에서 감가상각(δK)을 뺀 값, 즉 ΔK = sY - δK이다. 이 방정식은 저축이 자본을 형성하고, 감가상각이 자본을 소모하는 역동적인 과정을 보여준다.

결국, 한 경제의 자본 재고가 증가하는지 감소하는지는 저축에 의한 투자와 감가상각의 상대적 크기에 달려 있다. 저축률이 높을수록, 또는 감가상각률이 낮을수록 순자본 축적은 더 빨리 일어난다. 이 자본 축적 방정식은 모형이 경제의 성장 경로를 분석하는 데 있어 가장 기본적인 구성 요소가 된다.

인구 증가율은 모형에서 외생적으로 주어지는 변수이다. 인구가 증가하면 노동 공급도 증가하여 총 산출량을 늘리지만, 동시에 자본을 더 많은 노동자에게 분배해야 하므로 1인당 자본 스톡을 희석하는 효과를 낳는다. 이는 안정 상태에서의 1인당 자본과 1인당 산출량 수준에 직접적인 영향을 미친다. 인구 증가율이 높을수록 자본을 더 빠르게 희석시키므로, 안정 상태의 1인당 자본과 산출량은 더 낮은 수준에서 결정된다.

기술 진보는 솔로우 모형에서 노동 증대적 기술 진보의 형태로 도입된다. 이는 기술이 노동의 효율성을 높이는 방식으로 작용함을 의미한다. 기술 수준이 시간에 따라 일정한 비율로 외생적으로 성장한다고 가정할 때, 실질적으로는 효율적인 노동 단위당 변수들을 고려하게 된다. 기술 진보가 있으면 장기적으로 1인당 산출량이 지속적으로 성장할 수 있는 경로가 열린다.

인구 증가와 기술 진보를 모두 고려한 모형에서 안정 상태는 효율적인 노동자 1인당 자본이 일정하게 유지되는 상태를 의미한다. 이 상태에서 총산출량과 총자본의 성장률은 인구 증가율과 기술 진보율을 합한 것과 같다. 1인당 산출량의 성장률은 기술 진보율과 동일해진다. 따라서 솔로우 모형에 따르면, 국가 간 1인당 소득 성장률의 차이는 궁극적으로 기술 진보율의 차이에 기인한다.

아래 표는 모형 내 주요 변수의 장기 성장률을 요약한 것이다.

*n은 인구 증가율, g는 기술 진보율을 나타낸다.

솔로우 성장 모형에서 자본 축적 방정식은 시간에 따른 1인당 자본 스톡의 변화를 설명하는 핵심 동태 방정식이다. 이 방정식은 모형의 거시경제 균형을 정의하며, 경제가 어떻게 안정 상태에 도달하는지를 보여준다.

방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다.

Δk = sf(k) - (n + δ)k

여기서,

* Δk는 1인당 자본 스톡 k의 시간에 따른 변화량(순투자)을 나타낸다.

* sf(k)는 총저축 또는 총투자를 의미한다. s는 저축률이며, f(k)는 1인당 생산함수이다. 따라서 sf(k)는 총산출량 f(k) 중 저축 및 투자에 할당되는 부분을 가리킨다.

* (n + δ)k는 자본의 감가상각과 인구 증가로 인한 자본의 '희석' 효과를 합친 항이다. n은 인구 증가율, δ는 자본 감가상각률이다. 이 항은 현재의 1인당 자본 수준 k를 유지하기 위해 필요한 투자(대체투자)의 양을 나타낸다.

이 방정식의 경제적 의미는 명확하다. 1인당 자본 스톡의 증가(Δk > 0)는 순투자가 대체투자를 초과할 때, 즉 sf(k) > (n + δ)k일 때 발생한다. 반대로, 순투자가 대체투자보다 적으면 1인당 자본 스톡은 감소한다(Δk < 0). 두 항이 정확히 같아지는 지점(Δk = 0)에서 경제는 더 이상 1인당 자본이 변하지 않는 안정 상태에 도달한다.

이 방정식은 자본의 축적이 경제 성장의 원동력이지만, 수확 체감의 법칙과 인구 증가, 감가상각으로 인해 지속적인 성장에는 한계가 있음을 보여준다. 장기적으로 경제는 외생적으로 주어진 기술 수준, 저축률, 인구 증가율에 의해 결정되는 안정 상태로 수렴하게 된다.

안정 상태는 경제의 핵심 변수인 1인당 자본량이 더 이상 변하지 않고 일정한 수준에 머무르는 균형을 의미한다. 솔로우 모형에서 이 상태는 순투자(총투자에서 감가상각을 뺀 값)가 0이 되는 지점에서 달성된다. 즉, 새로 투자되는 자본이 기존 자본의 마모와 감가상각을 정확히 보충하는 수준에 이르게 된다.

안정 상태의 조건은 자본 축적 방정식으로부터 도출할 수 있다. 1인당 자본량(k)의 변화율(Δk)은 1인당 저축(sf(k))에서 감가상각과 인구 증가로 인한 자본 희석 효과((δ+n)k)를 뺀 값과 같다. 안정 상태에서는 Δk = 0이므로, sf(k*) = (δ+n)k*라는 등식이 성립한다. 여기서 k*는 안정 상태의 1인당 자본량을 나타낸다.

이 조건은 그래프를 통해 직관적으로 이해할 수 있다. 1인당 저축 곡선(sf(k))과 투자 필수선((δ+n)k)을 그렸을 때, 두 곡선이 교차하는 점이 바로 안정 상태(k*)에 해당한다. k가 k*보다 작은 영역에서는 저축이 필요한 투자를 초과하여(Δk>0) 자본이 축적되며 k*로 수렴한다. 반대로 k가 k*보다 큰 영역에서는 필요한 투자가 저축을 초과하여(Δk<0) 자본이 감소하며 마찬가지로 k*로 수렴한다. 따라서 안정 상태는 경제 시스템이 장기적으로 균형을 이루는 끌개(attractor)의 역할을 한다.

안정 상태에서 1인당 산출량(y*)도 결정된다. 생산함수 y = f(k)에 안정 상태 자본량 k*를 대입하면 안정 상태 산출량 y* = f(k*)를 얻을 수 있다. 결과적으로, 저축률(s), 인구 증가율(n), 감가상각률(δ)과 같은 모수들이 주어지면 경제의 장기 균형값인 1인당 자본과 1인당 산출량이 고유하게 결정된다.

안정 상태는 1인당 자본량이 더 이상 변하지 않는 균형 상태를 의미한다. 이 상태에서는 순투자가 0이 되어, 총투자가 감가상각과 인구 증가에 필요한 자본을 정확히 충당한다. 즉, 자본의 양이 변하지 않는다.

안정 상태의 조건은 자본 축적 방정식으로부터 도출된다. 1인당 자본 스톡의 변화량(Δk)은 1인당 저축 sf(k)에서 감가상각 δk와 인구 증가로 인해 새로 유지해야 할 자본 nk를 뺀 값과 같다. 안정 상태에서는 Δk = 0이므로, 다음의 조건이 성립한다.

여기서 k*는 안정 상태의 1인당 자본량을 나타낸다. 따라서 안정 상태 조건은 **sf(k*) = (δ + n)k*** 로 표현된다. 이 방정식은 1인당 저축이 감가상각과 인구 증가로 인한 자본의 '희석' 효과를 정확히 상쇄하는 지점을 정의한다.

이 조건을 그래프로 분석하면, 곡선 sf(k)와 직선 (δ+n)k가 교차하는 점이 안정 상태 k*가 된다. k가 k*보다 작으면 sf(k) > (δ+n)k 이므로 k는 증가하고, k가 k*보다 크면 sf(k) < (δ+n)k 이므로 k는 감소하여 결국 k*로 수렴한다. 이는 모형이 어떤 초기 자본 수준에서 출발하더라도 장기적으로 안정 상태로 균형을 이룬다는 동태적 안정성을 보여준다.

안정 상태에서의 1인당 자본량은 자본 축적 방정식이 0이 되는 지점, 즉 투자가 자본의 감가상각과 인구 증가로 인한 희석 효과를 정확히 상쇄하는 수준으로 결정된다. 이때의 1인당 자본량을 k*로 표기한다. 1인당 산출량 y*는 이 k*를 생산함수 y = f(k)에 대입하여 계산된다. 따라서 안정 상태의 1인당 산출량 수준은 생산함수의 형태와 저축률, 감가상각률, 인구 증가율 등의 모수에 의해서만 결정된다.

안정 상태에서는 경제의 총량 변수(총자본 K, 총산출 Y)는 인구 증가율과 기술 진보율을 합한 비율로 지속적으로 성장하지만, 1인당 변수(1인당 자본 k, 1인당 산출 y)는 더 이상 변하지 않고 일정한 수준을 유지한다. 이는 모형이 장기적으로 1인당 성장이 지속되지 않는 특징을 보여준다. 1인당 자본과 산출의 관계는 다음과 같은 표로 요약할 수 있다.

초기 1인당 자본량이 k*보다 낮은 경제는 자본이 축적되면서 k* 수준으로 수렴하는 성장 경로를 겪는다. 이 과정에서 1인당 산출량도 증가한다. 반대로 초기 자본량이 k*보다 높은 경제는 1인당 자본과 산출이 감소하면서 안정 상태로 접근한다.

저축률이 변화하면 경제의 안정 상태에서의 1인당 자본과 1인당 소비 수준도 달라진다. 저축률이 높을수록 안정 상태의 자본량과 산출량은 증가하지만, 소비는 항상 증가하는 것은 아니다. 저축률이 너무 낮으면 자본이 부족해 소비 수준이 낮아지고, 반대로 저축률이 너무 높으면 대부분의 산출이 저축과 투자로 전환되어 현재 소비가 억제된다. 따라서 안정 상태에서 1인당 소비를 최대화하는 특정한 저축률이 존재하며, 이를 황금률 수준의 저축률이라고 한다.

이 황금률 수준은 수학적으로 도출할 수 있다. 안정 상태에서 1인당 소비 c*는 1인당 산출 f(k*)에서 1인당 투자(저축) sf(k*)를 뺀 값, 즉 c* = f(k*) - sf(k*)이다. 안정 상태에서는 투자가 감가상각과 인구 증가를 보충해야 하므로 sf(k*) = (δ+n)k*가 성립한다[5]. 이를 대입하면 c* = f(k*) - (δ+n)k*가 된다. 1인당 소비 c*를 최대화하는 안정 상태 자본량 k*gold는 이 함수를 1인당 자본 k*에 대해 미분하여 0이 되는 지점, 즉 f'(k*gold) = (δ+n)인 곳에서 결정된다. 이 조건은 황금률에서 자본의 한계생산성(f'(k*))이 감가상각률과 인구 증가율의 합과 같아야 함을 의미한다.

정책 입안자는 이 황금률 개념을 참고할 수 있다. 만약 현재 경제의 안정 상태 자본량이 황금률 수준보다 낮다면, 저축률을 높이는 정책은 장기적으로 더 높은 소비 수준으로 이어질 수 있다. 반대로 현재 자본량이 황금률 수준을 초과하는 '과도한 저축' 상태라면, 저축률을 낮추어 더 많은 생산을 현재 소비에 할당함으로써 여러 세대에 걸친 후생을 증가시킬 수 있다. 그러나 실제 정책 결정에는 소비의 세대 간 분배와 같은 다른 가치 판단이 개입되므로, 황금률은 하나의 기준점으로 활용된다.

저축률의 상승은 경제가 새로운 안정 상태로 이동하는 동태적 경로를 시작하게 한다. 이 과정에서 1인당 자본과 1인당 산출량은 시간에 따라 변화한다.

저축률이 증가하면, 주어진 1인당 자본 수준에서 저축과 투자가 늘어난다. 이는 자본 축적 방정식에 따라 순자본 형성을 증가시켜, 1인당 자본의 성장률을 일시적으로 높인다. 경제는 기존의 안정 상태를 벗어나 더 높은 1인당 자본과 산출량을 가진 새로운 안정 상태를 향해 이동한다. 이 경로에서 1인당 산출량의 성장률은 초기에 높지만, 새로운 안정 상태에 접근함에 따라 점차 감소하여 결코 0에 수렴한다.

이 동태적 전환 과정은 다음과 같은 특징을 가진다.

소비의 변화는 주목할 만하다. 저축률 상승 직후, 생산된 산출 중 더 많은 부분이 투자로 돌려지므로 1인당 소비는 갑자기 감소한다. 그러나 시간이 지남에 따라 축적된 자본이 산출량을 증가시키면 소비도 회복되어 결국 초기 수준을 넘어서게 된다. 새로운 안정 상태에서의 소비 수준이 이전보다 높을지 여부는 새로운 저축률이 황금률 수준의 저축률보다 높은지 낮은지에 따라 결정된다.

솔로우 성장 모형에서 기술 진보는 모형 외부에서 주어지는 변수, 즉 외생 변수로 취급된다. 이는 기술 수준(A)이 시간에 따라 일정한 비율(g)로 자동적으로 증가한다고 가정함을 의미한다. 기술 진보의 원천이나 그 결정 요인에 대해서는 모형이 설명하지 않으며, 단순히 경제 성장을 이끄는 주어진 배경 요인으로 설정된다.

이러한 외생적 설정은 모형의 핵심 결론 중 하나인 안정 상태 도달을 가능하게 한다. 1인당 자본의 증가만으로는 지속적인 성장을 유지할 수 없지만, 외생적으로 주어지는 기술 진보는 1인당 산출량이 안정 상태에서도 지속적으로 성장할 수 있는 동력을 제공한다. 따라서 모형에서 장기적인 생활 수준의 성장은 전적으로 이 외생적 기술 진보율(g)에 의존한다.

이러한 접근은 모형을 단순화하고 분석을 용이하게 하지만, 기술 혁신과 지식 축적이라는 경제 성장의 가장 핵심적인 과정을 모형 밖으로 배제한다는 비판을 받는 주요 요인이 되었다. 이 한계를 극복하기 위해 내생적 성장 모형에서는 연구 개발, 인적 자본 투자 등 경제 시스템 내부의 의사결정을 통해 기술 진보율이 결정된다고 설명한다.

솔로우 성장 모형은 경제 성장 과정에서 국가 간 소득 수준이 장기적으로 수렴할 것이라는 예측을 포함한다. 이는 모형의 핵심적인 함의 중 하나로, 저축률과 인구 증가율이 동일한 국가들은 1인당 자본과 1인당 산출량이 같은 안정 상태에 도달하게 된다는 논리에서 비롯된다. 초기 자본 스톡이 적은 저소득 국가는 자본의 한계 생산성이 높아 더 빠른 성장률을 기록할 것이고, 반대로 고소득 국가는 성장률이 낮아져 결국 두 국가의 소득 수준이 같아진다는 것이다. 이를 조건부 수렴이라고 부르며, 모형은 동일한 안정 상태를 향해 수렴한다고 본다.

수렴 가설은 절대적 수렴과 조건부 수렴으로 구분된다. 절대적 수렴은 초기 소득 수준이 낮은 모든 국가가 높은 국가보다 더 빠르게 성장하여 결국 같은 소득 수준에 도달한다는 주장이다. 그러나 실제 데이터는 이를 지지하지 않는다. 반면, 조건부 수렴은 저축률, 인구 증가, 기술 수준 등과 같은 구조적 변수들이 동일한 국가들 사이에서만 수렴이 발생한다는 개념이다. 솔로우 모형이 예측하는 것은 바로 이 조건부 수렴이다.

이 수렴 가설에 대한 실증 분석은 혼재된 결과를 보여준다. 선진국끼리 이루어진 국가 그룹(예: OECD 회원국)을 분석하면 조건부 수렴의 증거가 발견된다. 그러나 전 세계 모든 국가를 포괄하는 표본을 분석할 때는 수렴 현상이 뚜렷하게 나타나지 않는다. 이는 국가마다 안정 상태 자체가 다르기 때문으로 해석된다. 솔로우 모형이 외생적으로 주어진 기술 진보와 인적 자본의 차이를 충분히 설명하지 못함에 따라, 국가 간 안정 상태의 차이가 고정되어 있어 수렴이 일어나지 않는 것처럼 보일 수 있다[8].

로버트 솔로우가 제시한 기본 모형은 물적 자본 축적에 주목했지만, 경제 성장을 설명하는 데 있어 인적 자본의 중요성을 간과했다는 비판을 받았다. 이에 따라 후속 연구자들은 솔로우 성장 모형의 틀을 확장하여 인적 자본을 명시적으로 포함시켰다.

이 확장 모형에서는 총생산이 물적 자본(K), 인적 자본(H), 노동(L), 그리고 기술 수준(A)에 의존한다고 가정한다. 생산함수는 Y = F(K, H, AL)의 형태를 띤다. 인적 자본은 교육, 훈련, 경험을 통해 축적되는 노동자의 기술과 지식을 나타내며, 물적 자본과 마찬가지로 투자를 통해 증가한다. 모형은 물적 자본과 인적 자본에 대해 각각 별도의 축적 방정식을 설정하고, 두 자본에 대한 투자 비율(저축률)이 외생적으로 주어진다고 본다.

인적 자본을 도입한 모형의 주요 결론은 다음과 같다.

이 접근법은 교육 투자의 경제적 중요성을 강조하며, 물적 투자와 인적 자본 투자 간의 상보적 관계를 부각시킨다. 높은 수준의 인적 자본은 물적 자본의 생산성을 높이고 기술 흡수 능력을 증대시켜 경제 성장에 기여한다. 이 확장은 솔로우 모형이 여전히 유용한 분석 도구이지만, 보다 포괄적인 자본 개념을 포함시켜야 함을 시사한다.

솔로우 성장 모형은 기술 진보를 외생적으로 처리하는 반면, 내생적 성장 모형은 경제 시스템 내부에서 성장의 원천을 설명하려고 시도한다는 점에서 근본적인 차이를 보인다. 솔로우 모형에서는 장기적인 성장률이 인구 증가율과 외생적으로 주어진 기술 진보율에 의해 결정된다. 따라서 정책이나 개인의 선택은 일시적인 수준 효과만을 가져올 뿐, 장기 성장률 자체를 변화시키지 못한다. 이는 모형의 주요 한계로 지적되었다.

내생적 성장 모형은 이러한 한계를 극복하기 위해 발전했다. 대표적인 예로 폴 로머와 로버트 루카스의 모형은 각각 지식과 인적 자본의 축적을 통해 기술 진보를 경제 내부의 의사결정, 즉 저축이나 교육 투자와 같은 행위로부터 내생화한다. 이 모형들에서는 자본에 대한 수확 체증이 가능하며, 투자와 연구 개발 활동이 지속적인 성장을 이끌 수 있다. 결과적으로, 정책적 개입(예: 연구 개발 보조금, 교육 확대)이 장기 경제 성장률에 직접적인 영향을 미칠 수 있다는 중요한 함의를 제공한다.

두 모형의 비교는 다음 표를 통해 요약할 수 있다.

이러한 차이에도 불구하고, 솔로우 모형은 여전히 자본 축적의 동태학을 분석하는 강력한 기본 틀로서 가치를 지닌다. 내생적 성장 이론은 솔로우 모형의 확장으로 볼 수 있으며, 두 접근법은 현대 경제 성장론의 핵심 축을 형성한다.