상호작용 라그랑지안

상호작용 라그랑지안은 라그랑지안 역학의 기본 틀 위에서 정의된다. 고전적인 라그랑지안 역학에서는 시스템의 동역학을 라그랑지안이라는 함수를 통해 기술하며, 이로부터 오일러-라그랑주 방정식을 유도하여 운동 방정식을 얻는다. 양자장론에서는 이 개념이 장에 대한 라그랑지안 밀도로 확장된다. 전체 라그랑지안 밀도는 일반적으로 자유장이 기술하는 운동 에너지 부분과 장들 사이의 상호작용을 기술하는 부분으로 나뉜다. 상호작용 라그랑지안은 바로 이 후자에 해당한다.

따라서 상호작용 라그랑지안은 라그랑지안 역학의 핵심 구조를 따르면서, 자유장 라그랑지안으로는 설명할 수 없는 입자들의 생성, 소멸, 산란 또는 붕괴와 같은 과정을 가능하게 하는 항이다. 이 항이 존재함으로써 장 방정식은 비선형적이 되며, 이는 곧 장들 간의 상호작용을 의미한다. 라그랑지안 역학의 프레임워크는 이러한 상호작용 항을 체계적으로 포함하고, 이를 바탕으로 양자화를 수행하여 산란 진폭과 같은 관측 가능량을 계산할 수 있게 해준다.

자유장 라그랑지안은 입자가 서로 상호작용하지 않고 독립적으로 존재하는 이상적인 경우를 기술한다. 이는 각 장의 운동 에너지와 질량 항으로 구성되며, 클라인-고든 방정식, 디랙 방정식, 맥스웰 방정식과 같은 자유장 방정식을 유도한다. 이러한 라그랑지안은 선형이며, 그에 따른 운동 방정식도 선형이어서 해를 쉽게 중첩할 수 있다. 이는 상호작용이 없는 입자들의 기본적인 양자역학적 상태를 정의하는 데 사용된다.

반면, 상호작용 라그랑지안은 입자들 사이의 힘과 변환을 일으키는 비선형 항을 포함한다. 이 항은 일반적으로 여러 장의 곱으로 표현되며, 결합 상수의 세기를 통해 상호작용의 강도를 결정한다. 예를 들어, 전자기 상호작용에서는 전자장과 광자장의 곱으로, 강한 상호작용에서는 쿼크장과 글루온장의 곱으로 나타난다. 이 비선형 항이 존재함으로써 산란이나 붕괴와 같은 물리적 과정이 발생할 수 있다.

두 라그랑지안의 가장 큰 차이는 운동 방정식의 성질에 있다. 자유장 라그랑지안으로부터 유도된 방정식은 선형 편미분방정식이지만, 상호작용 라그랑지안이 추가되면 방정식에 비선형적인 소스 항이 생긴다. 이로 인해 해석적인 해를 구하기 어려워지며, 섭동론과 같은 근사적 방법이 필요해진다. 양자장론에서 진공 기대값이나 산란 진폭을 계산할 때도, 자유장 부분은 정확히 풀 수 있는 반면 상호작용 부분은 파인만 도형을 통해 순서대로 근사 계산하게 된다.

요약하면, 자유장 라그랑지안은 입자의 존재와 기본적인 운동을 규정하는 틀을 제공하고, 상호작용 라그랑지안은 이 틀 안에서 입자들이 서로 영향을 주고받는 구체적인 방식을 규정한다. 모든 물리적 현상은 이 두 가지가 결합된 전체 라그랑지안, 즉 자유장 부분과 상호작용 부분의 합으로부터 설명된다.

스칼라장 상호작용은 라그랑지안 밀도에서 스칼라장이 참여하는 상호작용 항을 가리킨다. 가장 간단한 예는 실수 스칼라장을 나타내는 장 φ(x)의 자체 상호작용으로, φ⁴ 이론이 대표적이다. 이 경우 상호작용 라그랑지안 L_int는 λφ⁴/4!과 같은 형태를 가지며, 여기서 λ는 결합 상수로 상호작용의 세기를 결정한다.

복소 스칼라장의 경우, 장과 그 에르미트 수반이 함께 등장하는 항이 상호작용을 구성한다. 예를 들어, 힉스 메커니즘에서 힉스 장의 퍼텐셜 항은 스칼라장 상호작용의 중요한 사례에 해당한다. 이러한 상호작용 항은 라그랑지안에 포함되어 운동 방정식을 유도할 때 비선형 항을 만들어내며, 이는 장론에서 입자의 생성, 소멸, 산란 과정을 설명하는 기초가 된다.

스칼라장 상호작용은 표준 모델 및 그 확장 모형에서 질량 생성, 대칭성 깨짐, 위상 전이 등 다양한 현상을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 또한, 양자역학적 계산을 위해 퍼텐셜 전개를 수행할 때, 이 상호작용 항은 파인만 도형의 정점에 해당하여 산란 진폭 계산에 직접적으로 기여한다.

디랙장 상호작용은 페르미온을 기술하는 디랙장이 포함된 상호작용 라그랑지안을 의미한다. 이는 전자나 쿼크와 같은 스핀-1/2 입자들이 다른 장과 어떻게 상호작용하는지를 결정하는 핵심적인 수학적 표현이다. 이러한 상호작용 항은 일반적으로 장의 라그랑지안 밀도에 추가되어, 시스템의 전체 작용을 구성하고 운동 방정식을 유도하는 기초가 된다.

가장 대표적인 예는 양자 전기역학(QED)에서의 전자-광자 상호작용이다. 이 경우 디랙장(전자장)과 게이지장(광자장)의 결합은 결합 상수인 미세구조상수를 포함하는 항으로 표현된다. 이 항은 전자의 전류와 전자기 퍼텐셜의 곱 형태를 가지며, 파인만 도형으로는 전자선과 광자선이 만나는 하나의 정점으로 시각화된다. 이 간단한 상호작용 항으로부터 콤프턴 산란이나 전자-양전자 쌍생성과 같은 다양한 물리적 과정을 계산할 수 있다.

표준 모델 내에서 디랙장 상호작용은 더 복잡한 형태로도 나타난다. 양자 색역학(QCD)에서는 쿼크의 디랙장이 글루온 게이지장과 상호작용하며, 이때 결합 상수는 강한 상호작용의 특성에 따라 달라진다. 또한 약한 상호작용에서는 초다중항을 이루는 디랙장들이 W 및 Z 보손과의 상호작용을 통해 베타 붕괴와 같은 현상을 설명한다. 이러한 모든 상호작용은 게이지 대칭성에 기반하여 그 형태가 결정된다.

디랙장 상호작용 항의 구체적인 형태는 해당 입자가 받는 힘의 종류와 그 대칭성을 직접 반영한다. 따라서 이 항을 분석함으로써 입자의 전하, 색전하, 약한 아이소스핀 같은 양자수의 보존 법칙을 이해할 수 있으며, 이를 통해 실험적으로 관측 가능한 산란 단면적이나 붕괴 너비를 이론적으로 예측하는 것이 가능해진다.

게이지장 상호작용은 게이지 이론에서 게이지 보손이 다른 장과 어떻게 결합하는지를 기술하는 상호작용 라그랑지안의 형태이다. 이는 표준 모델의 근간을 이루는 기본 상호작용—전자기력, 강력, 약력—을 설명하는 데 필수적이다. 게이지 대칭성을 유지하기 위해 도입되며, 게이지 장과 물질장(예: 페르미온) 사이의 결합은 게이지 결합 상수에 의해 그 세기가 결정된다.

양자 전기역학(QED)에서의 광자와 전자의 상호작용이 가장 간단한 예시로, 디랙 장과 전자기장의 최소 결합을 통해 기술된다. 양자 색역학(QCD)에서는 쿼크와 글루온의 상호작용이 더 복잡한 구조를 가지며, 게이지 장 자체의 자기 상호작용 항(3점 및 4점 상호작용 정점)을 포함한다는 점이 특징이다. 약한 상호작용에서는 W 보손 및 Z 보손이 약한 초전류와 결합하는 형태를 띤다.

이러한 상호작용 항은 파인만 도형으로 표현될 때 상호작용 정점에 해당하며, 산란 진폭이나 붕괴율 계산의 출발점이 된다. 게이지 이론에서 재규격화 가능성을 보장하기 위해서는 상호작용 라그랑지안의 형태가 매우 제한적이며, 이는 게이지 대칭성이 이론의 구조에 강력한 제약을 가함을 보여준다.

결합 상수는 상호작용 라그랑지안에서 입자장들 사이의 상호작용 세기를 결정하는 무차원 또는 유차원의 매개변수이다. 이 상수는 라그랑지안 밀도의 상호작용 항에 곱해져 나타나며, 그 값이 클수록 해당 상호작용이 강하게 일어남을 의미한다. 예를 들어, 양자 전기역학(QED)에서 전자와 광자의 상호작용 세기는 미세구조상수라는 결합 상수로 표현된다.

결합 상수의 차원은 자연 단위계에서 상호작용에 참여하는 장의 수와 종류에 따라 결정된다. 재규격화 가능한 이론에서는 결합 상수가 무차원이어야 한다는 제약이 있으며, 이는 표준 모델의 게이지 상호작용이 만족하는 조건이다. 한편, 중력과 같은 비재규격화 가능한 상호작용의 결합 상수(중력상수)는 에너지 차원을 가지게 된다.

양자장론에서 실제 관측 가능한 물리량은 진공 기대값이나 산란 진폭과 같은 것들인데, 이들을 계산할 때 결합 상수가 섭동론의 확장 파라미터 역할을 한다. 즉, 물리량을 결합 상수의 멱급수 형태로 전개하여 계산하는 섭동 계산이 가능해진다. 이때 결합 상수의 값이 충분히 작아야 급수가 빠르게 수렴하여 신뢰할 수 있는 예측을 제공할 수 있다.

결합 상수의 값은 고정된 상수가 아니라, 현상의 에너지 규모에 따라 변하는 런닝 결합 상수의 성질을 가진다. 이는 재규격화 군 흐름을 통해 설명되며, 점근 자유성과 같은 중요한 현상의 근원이 된다. 따라서 특정 상호작용의 강도는 실험 에너지에 의존하는 양으로 이해되어야 한다.

상호작용 정점은 상호작용 라그랑지안에 의해 기술되는 입자 간의 기본적인 상호작용 과정을 나타낸다. 이는 파인만 도형에서 선이 만나는 점으로 시각화되며, 각 정점은 라그랑지안에 포함된 특정 상호작용 항에 대응한다. 예를 들어, 양자 전기역학에서 전자와 광자의 상호작용은 하나의 전자, 하나의 양전자, 하나의 광자 선이 만나는 단일 정점으로 표현된다. 이러한 정점은 입자들이 생성, 소멸, 또는 산란되는 지점을 의미한다.

상호작용 정점의 구조는 라그랑지안의 형태에 의해 완전히 결정된다. 라그랑지안에 세 개의 장이 곱해진 항이 있다면, 이는 세 개의 입자 선이 만나는 3-입자 정점을 기술한다. 마찬가지로 네 개의 장이 곱해진 항은 4-입자 정점에 해당한다. 각 정점은 결합 상수라는 고유의 강도를 가지며, 이 값이 클수록 해당 상호작용이 강하게 일어난다. 표준 모형 내에서 전자기 상호작용의 결합 상수인 미세구조상수는 약 1/137로 비교적 작은 값이어서 섭동 이론을 적용하기에 적합하다.

물리적 관측량을 계산할 때, 예를 들어 두 입자의 산란 진폭을 구하려면 관련된 모든 가능한 파인만 도형을 고려해야 한다. 각 도형은 특정한 수의 상호작용 정점을 포함하며, 산란 진폭은 이러한 모든 도형들의 기여를 합산하여 얻어진다. 따라서 상호작용 정점은 양자장론에서 복잡한 물리 과정을 체계적으로 계산하기 위한 기본 구성 요소 역할을 한다.

상호작용 라그랑지안을 통해 입자들의 산란 과정을 계산하는 핵심 도구는 산란 진폭이다. 산란 진폭은 초기 상태의 입자들이 상호작용을 거쳐 최종 상태로 전이될 확률 진폭을 제공하며, 이를 제곱하면 실험에서 관측 가능한 산란 단면적이나 붕괴율을 얻을 수 있다.

산란 진폭 계산은 일반적으로 퍼텐셜 산란 이론의 시간에 따른 섭동론을 양자장론에 적용한 도구인 파인만 도형과 대응되는 파인만 규칙을 통해 수행된다. 이 과정에서 상호작용 라그랑지안에 포함된 결합 상수는 상호작용의 강도를, 라그랑지안의 형태(예: 세 개의 장이 곱해진 항, 네 개의 장이 곱해진 항 등)는 상호작용 정점의 구조를 결정한다. 각 정점과 내부 교환자는 파인만 도형의 구성 요소에 대응되며, 이들을 결합하여 전체 산란 진폭을 구한다.

구체적으로, S-행렬 요소를 계산하기 위해 상호작용 라그랑지안을 상호작용 픽처에서 시간 순서 곱의 지수 함수로 표현한다. 이를 테일러 급수로 전개하면, 각 항은 특정 차수의 섭동 이론에 해당하며, 더 많은 상호작용 정점을 포함하는 고차 항일수록 계산이 복잡해진다. 예를 들어, 전자-뮤온 산란과 같은 과정은 양자 전기역학의 상호작용 라그랑지안을 바탕으로 한 최소 차수의 파인만 도형으로 기술될 수 있다.

이렇게 계산된 산란 진폭은 종종 4-운동량 보존을 포함한 델타 함수를 포함하며, 최종적으로 관측 가능량을 얻기 위해서는 위상 공간 적분과 같은 추가 절차를 거쳐야 한다. 이 계산 체계는 표준 모델의 모든 기본 상호작용인 전자기 상호작용, 강한 상호작용, 약한 상호작용을 설명하는 데 성공적으로 적용된다.

양자전기역학(QED)에서 전자와 광자 사이의 상호작용을 기술하는 상호작용 라그랑지안은 가장 기본적인 예시 중 하나이다. 이 상호작용은 전자기 상호작용의 근본을 이루며, 전자의 전하와 전자기장이 결합되는 방식을 나타낸다. 구체적으로, 자유장 라그랑지안에 추가되는 상호작용 항은 전자를 나타내는 디랙장과 광자를 나타내는 게이지장의 곱 형태로 주어진다.

이 상호작용 라그랑지안은 결합 상수로 미세구조상수를 포함하며, 이는 상호작용의 강도를 결정한다. 이 항은 파인만 도표에서 전자-광자 상호작용 정점에 해당하며, 전자가 광자를 방출하거나 흡수하는 과정을 기술한다. 이를 통해 전자의 산란이나 양전자 쌍생성과 같은 다양한 물리적 현상을 계산할 수 있다.

표준 모델의 틀 안에서, QED의 상호작용 라그랑지안은 게이지 대칭성인 U(1) 대칭에 기반하여 자연스럽게 유도된다. 이는 전하 보존과 같은 근본적인 법칙과 깊이 연결되어 있다. 또한, QED는 재규격화가 가능한 이론으로, 상호작용 항에서 발생하는 발산 문제를 체계적으로 제거하여 유한한 물리적 예측값을 얻을 수 있다.

양자 색역학(QCD)에서 쿼크와 글루온 사이의 상호작용은 강한 상호작용을 지배하는 기본적인 과정이다. 이 상호작용은 상호작용 라그랑지안의 형태로 기술되며, 게이지 이론의 틀 안에서 색전하를 가진 쿼크와 글루온이 어떻게 결합하는지를 규정한다. QCD의 라그랑지안은 SU(3) 게이지 대칭성을 따르며, 이로 인해 글루온은 자체적으로도 상호작용하는 비선형 항을 포함하게 된다.

쿼크-글루온 상호작용 항은 일반적으로 $\bar{\psi} \gamma^\mu A_\mu \psi$와 같은 형태로 표현되며, 여기서 $\psi$는 쿼크 장, $A_\mu$는 글루온 장을 나타낸다. 이 항은 결합 상수 $g_s$에 비례하며, 이 상수의 크기가 강한 상호작용의 세기를 결정한다. 중요한 점은 QCD가 점근 자유성을 보여주는 이론이라는 것으로, 고에너지(짧은 거리)에서는 결합 상수가 작아져 쿼크가 거의 자유롭게 행동하지만, 저에너지(긴 거리)에서는 결합 상수가 커져 색가둠 현상을 일으킨다.

이 상호작용 라그랑지안으로부터 파인만 도형과 산란 진폭을 계산할 수 있으며, 이를 통해 강입자 내부의 복잡한 역학이나 제트 생성과 같은 고에너지 현상을 이해하는 데 활용된다. 또한, 이 상호작용 항은 재규격화 과정에서 중요한 역할을 하여, 이론에서 발생하는 적외선 발산과 자외선 발산 문제를 체계적으로 처리할 수 있는 기초를 제공한다.

약한 상호작용은 표준 모델에서 기본 입자들 사이에 작용하는 네 가지 기본 힘 중 하나로, 라그랑지안 밀도 내 특정한 상호작용 항들로 기술된다. 이 상호작용은 전하를 띤 렙톤과 쿼크가 약한 아이소스핀 흐름을 통해 W 보손과 Z 보손이라는 게이지 보손을 교환함으로써 발생한다. 약한 상호작용은 베타 붕괴와 같은 방사성 붕괴 현상의 원인이 되며, 다른 기본 상호작용에 비해 매우 짧은 거리에서만 작용한다는 특징을 가진다.

약한 상호작용의 라그랑지안은 게이지 대칭성에 기반을 두고 구성된다. 특히, 약한 아이소스핀과 약한 초전하에 대응하는 게이지 장을 도입하여 게이지 불변성을 만족시키는 형태로 작성된다. 이 과정에서 자발 대칭 깨짐을 통해 W 보손과 Z 보손은 질량을 얻게 되며, 이는 힉스 메커니즘을 통해 설명된다. 결과적으로 라그랑지안에는 페르미온 장과 게이지 보손 장이 결합하는 항, 즉 상호작용 항이 포함된다.

약한 상호작용 라그랑지안의 구체적인 형태는 전류-결합 형태로 표현된다. 여기에는 벡터 전류와 축벡터 전류가 혼합된 V-A 구조가 나타나는데, 이는 약한 상호작용이 패리티 대칭을 심각하게 위반한다는 사실을 반영한다. 예를 들어, 전자와 전자 중성미자, 그리고 W 보손 간의 상호작용 항은 이러한 구조를 명확히 보여준다. 이러한 상호작용 항을 통해 중성미자 산란, 쿼크의 맛깔 변화를 수반하는 붕괴 등 다양한 현상을 계산할 수 있다.

표준 모델 내에서 약한 상호작용은 전자기 상호작용과 통일된 형태로 기술되며, 이를 전약 상호작용이라고 부른다. 이 통일 이론의 라그랑지안은 와인버그-살람 모형으로 대표된다. 약한 상호작용의 결합 상수는 상대적으로 작지만, 낮은 에너지에서 게이지 보손의 큰 질량 때문에 그 효과가 매우 짧은 범위로 제한되는 것으로 이해된다.

양자장론에서 상호작용 라그랑지안을 사용해 산란 진폭과 같은 물리량을 계산할 때, 고차 섭동 계산에서 종종 적분이 무한대가 되는 발산 문제가 발생한다. 이는 주로 가상 입자의 4차원 운동량 공간에서의 적분이 높은 에너지 영역에서 수렴하지 않기 때문이다. 이러한 발산은 계산된 물리량이 무의미한 값을 가지게 하여 이론의 예측력을 저해하는 심각한 문제이다.

발산은 그 성격에 따라 크게 자기 에너지 발산, 진공 편극 발산, 정점 함수 발산 등으로 분류된다. 예를 들어, 전자의 자기 에너지나 광자의 진공 편극을 1루프 수준에서 계산하면 로그 발산이나 2차 발산이 나타난다. 이러한 발산은 이론이 재규격화 가능한지 여부를 판단하는 중요한 지표가 된다.

발산 문제를 해결하기 위해 도입된 핵심 개념이 재규격화이다. 재규격화 가능한 이론에서는 이러한 무한대들을 이론의 질량과 결합 상수 등의 물리적 파라미터에 대한 재정의를 통해 흡수하여 유한한 물리적 예측값을 얻어낼 수 있다. 양자 전기역학과 표준 모델은 대표적인 재규격화 가능 이론이다.

그러나 모든 상호작용 라그랑지안이 재규격화 가능한 것은 아니다. 예를 들어, 중력을 기술하는 아인슈타인-힐베르트 작용은 에너지 차원이 2인 라그랑지안을 포함하여 재규격화가 매우 어렵다. 이는 양자 중력 이론 구축의 주요 난제 중 하나로 남아 있으며, 초끈 이론과 같은 새로운 접근법의 동기가 되었다.

상호작용 항의 재규격화는 양자장론에서 계산 시 발생하는 발산 문제를 해결하고, 물리적 관측량을 유한하게 만드는 핵심 과정이다. 이 과정에서 상호작용 라그랑지안에 포함된 결합 상수와 장의 파라미터가 재정의된다. 구체적으로, 자유장 라그랑지안의 재규격화만으로는 충분하지 않으며, 상호작용 항에 의해 발생하는 새로운 발산 항들을 흡수하기 위해 상호작용 라그랑지안의 형태 자체가 재규격화 조건에 맞게 조정되어야 한다.

이 작업은 일반적으로 페인만 도형을 통해 체계적으로 수행된다. 각 상호작용 정점과 관련된 루프 보정 도형들을 계산하면 적분이 발산하는데, 이 발산량을 결합 상수와 질량, 파장 함수의 재정의를 통해 상쇄시킨다. 예를 들어, 양자 전기역학에서 전자-광자 상호작용의 결합 상수인 미세구조상수는 재규격화를 거쳐 에너지 척도에 의존하는 '움직이는 결합 상수'가 된다.

상호작용 항의 재규격화 가능성은 이론의 예측 가능성을 보장하는 중요한 기준이다. 표준 모델을 구성하는 양자 전기역학, 양자 색역학, 약한 상호작용의 라그랑지안은 모두 재규격화 가능한 상호작용 항들로 이루어져 있다. 이를 통해 다양한 에너지 척도에서의 산란 실험 결과를 높은 정확도로 계산하고 예측할 수 있게 된다.

상호작용 라그랑지안을 사용한 산란 단면적 계산은 실험적으로 관측 가능한 물리량을 이론적으로 예측하는 핵심 과정이다. 이 계산은 산란 진폭을 구하는 것에서 시작하며, 산란 진폭은 S-행렬의 특정 성분으로, 초기 상태의 입자들이 상호작용을 거쳐 최종 상태의 입자들로 전이될 확률 진폭에 해당한다. 상호작용 라그랑지안에 포함된 결합 상수와 상호작용 정점의 구조가 이 진폭의 크기와 형태를 결정한다.

산란 진폭을 얻은 후에는 이를 통해 미분 산란 단면적을 계산한다. 미분 산란 단면적은 특정 입사 입자 플럭스에서, 특정 입사각과 산란각을 가진 입자 산란 사건이 일어날 확률을 나타내는 물리량이다. 이 계산에는 상대론적 운동학과 위상 공간 적분이 포함되며, 입자물리학 실험에서 측정된 데이터와 직접 비교할 수 있는 형태로 결과가 도출된다.

전체 산란 단면적은 모든 가능한 산란 방향에 대해 미분 단면적을 적분하여 구한다. 이 값은 두 입자가 충돌하여 상호작용을 일으킬 총 확률의 척도가 된다. 표준 모델 내에서의 다양한 과정, 예를 들어 전자-양전자 쌍소멸이나 쿼크-글루온 산란 등의 단면적은 각각의 상호작용 라그랑지안(QED나 QCD의 라그랑지안)을 바탕으로 정밀하게 계산되며, 대형 강입자 충돌기와 같은 실험 결과와의 비교를 통해 이론을 검증하는 데 사용된다.

상호작용 라그랑지안을 이용한 붕괴율 계산은 불안정한 입자가 다른 입자들로 변환되는 과정의 확률을 정량적으로 예측하는 핵심 도구이다. 이 계산은 입자물리학 실험에서 관측되는 다양한 붕괴 현상, 예를 들어 뮤온의 전자로의 붕괴나 하드론의 붕괴 모드를 이해하는 데 필수적이다. 계산의 출발점은 해당 붕괴 과정을 기술하는 상호작용 라그랑지안이며, 이를 통해 붕괴 진폭을 유도한다.

붕괴율 계산의 일반적인 절차는 다음과 같다. 먼저, 초기 상태의 입자 하나가 최종 상태의 여러 입자로 전이하는 S-행렬 원소를 퍼텐셜의 섭동 이론을 적용하여 계산한다. 이때, 상호작용 라그랑지안에 포함된 결합 상수가 붕괴 과정의 강도를 결정한다. 계산된 진폭의 절댓값 제곱을 취하고, 최종 상태 입자들의 가능한 모든 운동량에 대해 상태 밀도를 고려하여 적분함으로써 붕괴 폭 또는 총 붕괴율을 얻는다. 이 결과는 단위 시간당 붕괴할 확률을 의미한다.

특히 표준 모델 내에서의 계산은 구체적인 예를 제공한다. 전자기 상호작용에서의 광자를 매개로 한 붕괴나, 약한 상호작용을 통한 베타 붕괴 등이 대표적이다. 예를 들어, 뮤온 붕괴의 경우, 상호작용 라그랑지안에 따른 페르미 결합 상수와 계산된 상대론적 위상 공간 인자가 붕괴율 값에 기여한다. 이러한 이론적 계산값은 실험적으로 측정된 입자의 수명과 비교됨으로써 해당 상호작용 이론의 타당성을 검증하는 기준이 된다.

따라서, 붕괴율 계산은 상호작용 라그랑지안이 구체적인 물리적 관측량과 어떻게 연결되는지를 보여주는 중요한 응용 분야이다. 이는 이론의 예측 능력을 평가하고, 새로운 물리 현상을 탐색하는 데 있어 기본이 된다.