비선형 회귀분석

비선형 회귀분석에서 사용되는 모델은 독립변수와 매개변수 간의 관계가 비선형인 다양한 함수 형태를 가진다. 이는 단순한 직선이나 평면을 넘어서 데이터의 복잡한 패턴을 설명할 수 있게 해준다. 대표적인 비선형 함수 형태로는 다항식 회귀, 지수 함수를 이용한 지수 회귀, 그리고 로지스틱 함수를 기반으로 한 로지스틱 회귀 등이 있다.

다항식 회귀는 독립변수의 거듭제곱 항을 추가하여 곡선 형태의 관계를 모델링한다. 예를 들어, 2차 다항식 모델은 포물선 형태를, 3차 이상의 모델은 더욱 복잡한 곡선을 표현할 수 있다. 지수 회귀는 종속변수가 독립변수의 지수 함수 형태로 증가하거나 감소하는 관계, 예컨대 인구 성장이나 방사성 감쇠와 같은 현상을 모델링하는 데 적합하다.

로지스틱 회귀는 특히 종속변수가 이진적인 결과(예: 성공/실패)를 가질 때, 그 확률을 S자 형태의 곡선으로 모델링한다. 이는 독립변수의 변화에 따른 사건 발생 확률의 비선형적 변화를 잘 설명한다. 이 외에도 가우스 함수, 사인파, 멱함수 등 특정 도메인의 지식을 반영한 다양한 비선형 함수 형태가 통계학과 머신러닝, 데이터 과학 분야에서 상황에 맞게 적용된다.

비선형 회귀분석에서 매개변수는 모델의 형태와 곡선의 모양을 결정하는 핵심적인 역할을 한다. 선형 회귀의 매개변수가 직선의 기울기와 절편처럼 관계를 단순하게 기술하는 반면, 비선형 모델의 매개변수는 곡률, 진폭, 성장률, 포화점 등 훨씬 더 풍부하고 복잡한 관계를 표현한다. 예를 들어, 지수 함수 모델의 매개변수는 성장 또는 감쇠의 속도를, 로지스틱 함수의 매개변수는 성장의 한계치와 변곡점의 위치를 조절한다. 이처럼 매개변수는 선택된 비선형 함수의 틀 안에서 데이터에 맞는 구체적인 곡선을 정의한다.

매개변수의 추정 과정은 선형 회귀에 비해 훨씬 더 복잡하다. 비선형 회귀에서는 잔차 제곱합을 최소화하는 최적의 매개변수 값을 찾기 위해 반복 알고리즘을 사용해야 한다. 최소제곱법의 비선형 버전인 비선형 최소제곱법이나 경사 하강법, 가우스-뉴턴 방법 등이 대표적인 추정 방법이다. 이러한 알고리즘은 초기값 설정에 민감할 수 있으며, 지역 최적해에 빠질 위험이 있기 때문에 신중한 접근이 필요하다.

매개변수의 해석 또한 주의를 요한다. 선형 회귀에서 계수는 독립변수의 단위 변화에 대한 종속변수의 평균 변화량으로 직관적으로 해석될 수 있지만, 비선형 회귀의 매개변수 대부분은 그 자체로 직접적인 '기울기'를 의미하지 않는다. 대신, 이 매개변수들이 조합되어 만들어내는 함수 전체의 형태를 통해 변수 간 관계를 이해해야 한다. 따라서 매개변수의 통계적 유의성 검정과 함께, 추정된 모델 곡선을 시각화하고 예측값을 분석하는 것이 실제 관계를 파악하는 데 더욱 효과적이다.

비선형 회귀분석에서 매개변수를 추정하는 가장 기본적인 방법은 비선형 최소제곱법이다. 이 방법은 선형 회귀에서 사용되는 최소제곱법의 원리를 확장한 것으로, 모델의 예측값과 실제 관측값 사이의 잔차 제곱합을 최소화하는 매개변수 값을 찾는 것을 목표로 한다. 선형 모델과 달리 비선형 모델에서는 잔차 제곱합을 최소화하는 해가 닫힌 형식으로 명시적으로 구해지지 않기 때문에, 수치적 최적화 알고리즘을 통해 반복적으로 근사해를 구해야 한다.

비선형 최소제곱법의 핵심은 목적 함수, 즉 잔차 제곱합을 최소화하는 것이다. 주어진 데이터와 선택한 비선형 모델(예: 지수 함수나 다항식)에 대해, 알고리즘은 초기 매개변수 값을 설정한 후, 각 반복 단계에서 잔차 제곱합이 감소하는 방향으로 매개변수 값을 조정한다. 이 과정은 목적 함수의 값이 더 이상 크게 줄어들지 않거나 매개변수의 변화가 미미해질 때까지 계속된다. 경사 하강법이나 가우스-뉴턴 방법은 이러한 수치적 최적화를 수행하는 대표적인 알고리즘이다.

이 방법을 적용할 때는 몇 가지 주의점이 있다. 첫째, 알고리즘의 수렴 여부와 찾아낸 해의 질은 초기 매개변수 값에 크게 의존할 수 있다. 잘못된 초기값을 설정하면 알고리즘이 지역 최적해에 빠지거나 전혀 수렴하지 않을 수 있다. 둘째, 모델이 데이터에 과도하게 맞추어지는 과적합 현상이 발생하지 않도록 주의해야 한다. 특히 다항식 회귀와 같이 유연한 모델을 사용할 때 이 위험은 더 커진다. 따라서 모델의 복잡도와 설명력을 적절히 타협하는 것이 중요하다.

경사 하강법은 비선형 회귀분석에서 모델의 매개변수를 추정하기 위해 널리 사용되는 최적화 알고리즘이다. 이 방법은 손실 함수, 주로 잔차 제곱합을 최소화하는 매개변수 값을 찾는 것을 목표로 한다. 기본 원리는 현재 매개변수 값에서 손실 함수의 기울기(gradient)를 계산하고, 그 기울기의 반대 방향으로 매개변수를 조금씩 업데이트하여 손실 함수의 값을 점차 줄여나가는 것이다. 이 과정은 함수의 국소 최솟값에 도달할 때까지 반복적으로 수행된다.

경사 하강법의 핵심은 학습률이라는 매개변수에 있다. 학습률은 매 반복마다 매개변수를 업데이트하는 크기(보폭)를 결정한다. 학습률이 너무 크면 최솟값을 지나쳐 발산할 수 있고, 너무 작으면 수렴 속도가 매우 느려질 수 있다. 따라서 적절한 학습률을 선택하는 것이 알고리즘의 성능에 매우 중요하다. 또한, 확률적 경사 하강법이나 미니배치 경사 하강법과 같은 변형 알고리즘들은 전체 데이터 대신 일부 샘플을 사용해 기울기를 근사함으로써 계산 효율성을 높이고 국소 최솟값에서 벗어날 가능성을 높인다.

비선형 회귀분석에서 경사 하강법은 최소제곱법의 비선형 버전이나 가우스-뉴턴 방법과 같은 다른 추정 방법에 비해 구현이 비교적 간단하고, 다양한 형태의 손실 함수에 적용할 수 있는 장점이 있다. 특히 모델이 매우 복잡하거나 데이터의 양이 방대할 때 유용하게 쓰인다. 그러나 수렴 속도와 전역 최솟값 보장 문제는 여전히 중요한 과제로 남아 있으며, 이를 해결하기 위해 모멘텀, AdaGrad, Adam 등의 고급 최적화 기법들이 머신러닝과 딥러닝 분야에서 활발히 연구되고 활용되고 있다.

가우스-뉴턴 방법은 비선형 최소제곱법 문제를 해결하기 위한 반복적인 수치해석 알고리즘이다. 이 방법은 최적화 문제에서 목적 함수를 최소화하는 매개변수를 추정하는 데 널리 사용된다. 기본 아이디어는 비선형 함수를 현재 매개변수 추정치 근처에서 선형 근사하여, 각 반복 단계에서 선형 최소제곱 문제를 풀고 해를 업데이트하는 것이다. 이 과정은 추정치의 변화가 매우 작아질 때까지 반복하여 최종 해에 수렴하도록 한다.

가우스-뉴턴 방법의 핵심은 잔차 함수의 야코비안 행렬을 계산하는 데 있다. 각 반복에서는 현재 매개변수 값에서 계산된 야코비안 행렬을 이용해 정규 방정식을 구성하고, 이를 풀어 매개변수의 증분을 구한다. 이 증분을 현재 매개변수 값에 더하여 새로운 추정치를 얻는다. 이 방법은 뉴턴 방법의 변형으로 볼 수 있으나, 헤세 행렬을 계산하지 않고 야코비안 행렬의 곱으로 근사한다는 점에서 계산 효율성이 높다.

그러나 이 방법은 몇 가지 한계를 지닌다. 야코비안 행렬이 특이 행렬에 가까울 경우 수치적 불안정성이 발생할 수 있으며, 잔차가 클 때는 성능이 저하될 수 있다. 이러한 단점을 보완하기 위해 레벤버그-마쿼트 알고리즘과 같은 변형 방법들이 개발되었다. 가우스-뉴턴 방법은 곡선 피팅, 시스템 식별, 통계학적 모델 추정 등 다양한 과학 및 공학 분야에서 비선형 모델의 매개변수를 추정하는 데 필수적인 도구로 활용된다.