부정방정식

화성학에서 부정방정식의 개념은, 하나의 화음이나 화성 진행이 단일한 해석이나 의미로 고정되지 않고, 다양한 가능성을 내포하는 상황을 설명하는 데 유용한 비유로 사용된다. 수학에서 방정식의 수보다 미지수의 수가 많아 해가 무수히 많거나 조건에 따라 달라지는 것처럼, 음악에서도 주어진 화음이나 선율 패턴이 문맥, 선율, 리듬, 악기 편성 등 다른 요소와의 관계에 따라 그 기능과 해석이 크게 달라질 수 있다. 예를 들어, 동일한 C 메이저 화음은 조성 음악에서 토닉으로, 또는 다른 진행 속에서는 도미넌트의 기능을 가질 수도 있으며, 때로는 부조화음의 해결 지점이 되기도 한다. 이처럼 하나의 음향적 현상이 다의적이고 열린 의미를 지닐 때, 이를 부정방정식의 특성에 빗대어 이해할 수 있다.

특히 대위법적 구조나 현대 음악의 복잡한 화성에서는 이러한 부정성이 두드러진다. 여러 개의 독립적인 성부가 얽혀 만들어내는 화음의 총체는, 각 성부의 선형적인 흐름을 고려하지 않으면 그 의미를 단정하기 어렵다. 하나의 수직적 화음만으로는 그 기능이 '부정'된 상태이며, 전후의 흐름이라는 '조건'이 주어져야 비로소 특정한 해석으로 '수렴'하게 된다. 이는 수학에서 추가 조건을 통해 무한한 해를 특정 유한한 해집합으로 좁히는 과정과 유사하다. 따라서 화성학에서의 분석은 단순히 화음을 분류하는 것을 넘어, 그 부정적 상태를 문맥 속에서 어떻게 해석하고 '풀어나가는가'에 관한 탐구라고 볼 수 있다.

작곡 이론에서 부정방정식의 개념은 하나의 명확한 해답이 아닌, 다양한 가능성을 내포하는 음악적 구조를 설명하는 데 적용된다. 이는 작곡가가 특정한 음악적 조건(예: 화성 진행, 리듬 패턴, 선율의 윤곽)을 설정한 뒤, 그 조건을 만족하는 수많은 음악적 해결책(예: 실제 음고, 리듬 세부사항, 악기 편성) 중 하나를 선택하는 과정에 비유될 수 있다. 즉, 제한된 수의 '방정식'(음악적 규칙 또는 제약)으로 무한히 많은 '변수'(구체적인 음향적 실현)의 값을 결정하는 상황이다.

예를 들어, 화성학에서 주어진 베이스 음 위에 3화음을 쌓는 규칙은 하나의 '방정식'에 해당한다. 그러나 이 규칙만으로는 음악의 실제 소리를 완전히 결정할 수 없으며, 음색, 연주법, 대위법적 선율 진행 등 다른 변수들이 개입되어 최종 결과물이 만들어진다. 12음 기법과 같은 체계에서도 엄격한 음열 규칙은 설정되지만, 그 규칙 내에서 리듬, 다이내믹, 악기 선택 등은 작곡가의 자유에 맡겨져 무수히 많은 해석이 가능하다.

이러한 접근법은 특히 20세기 음악과 실험 음악에서 두드러지게 나타난다. 작곡가들은 고정된 악보 대신, 연주자에게 선택의 여지를 부여하는 알레아토리 음악 기법이나 그래픽 노테이션을 사용하기도 한다. 이는 수학적 부정방정식이 특정 조건 하에서 무수한 해를 허용하는 것처럼, 작곡가가 설정한 프레임워크 안에서 연주자가 무한한 음악적 '해'를 창조하도록 유도하는 것이다. 따라서 작곡 이론에서의 부정방정식 개념은 음악 창작을 고정된 답을 찾는 과정이 아닌, 가능성의 영역을 탐구하는 과정으로 이해하는 데 기여한다.

음악 분석과 해석에서 부정방정식의 개념은 하나의 악보나 음악적 구조가 다양한 해석 가능성을 내포하고 있음을 설명하는 데 유용한 비유가 된다. 하나의 악보는 주어진 음표와 기호의 집합이지만, 이를 실제 소리로 구현하는 연주 과정에는 무수히 많은 변수와 선택지가 개입한다. 이는 방정식의 수보다 미지수의 수가 더 많은 underdetermined system과 유사한 상황을 만들어낸다. 분석가는 주어진 음악적 '방정식'(악보의 표기)을 바탕으로, 템포, 다이내믹스, 아티큘레이션, 프레이즈 구분 등 다양한 '미지수'들을 어떻게 '풀어낼' 것인지 끊임없이 결정해야 한다.

특히 현대 음악이나 그래픽 노테이션을 사용한 작품에서 이러한 부정성은 더욱 두드러진다. 작곡가가 정확한 음높이나 리듬 대신 제스처, 밀도, 음색의 변화 범위만을 지시할 경우, 연주자는 주어진 제한된 조건(방정식) 안에서 거의 무한한 가능성(해)을 탐색하게 된다. 이 과정에서 각 연주자는 서로 다른 해석적 선택을 통해 전혀 다른 음향적 결과물을 만들어낼 수 있다. 따라서 음악 분석은 단일한 '정답'을 찾는 것이 아니라, 가능한 해석들의 스펙트럼과 그 선택이 음악적 의미에 미치는 영향을 탐구하는 작업이 된다.

이러한 관점은 음악학적 분석과 연주 실천을 연결하는 중요한 다리가 된다. 예를 들어, 베토벤의 소나타 하나를 분석할 때도, 악보에 명시된 정보만으로는 완전히 결정되지 않는 요소들이 다수 존재한다. 분석가는 역사적 연습(연주 기법), 동시대의 미학적 관념, 악기의 발전 등 다양한 맥락적 '제약 조건'을 고려하여 특정 해석을 지지하는 논리를 구성한다. 결국 음악 작품은 고정된 실체가 아니라, 악보라는 부정방정식과 그것을 풀어내는 무수한 연주 및 해석 행위 사이의 끊임없는 대화의 산물로 이해될 수 있다.

조성 음악은 화성과 선율이 특정한 조와 음계에 기반하여 구조화된 음악이다. 이는 마치 방정식에 특정한 조건을 부여하여 해를 한정하는 것과 유사하다. 예를 들어, 다장조라는 조성은 특정한 화음 진행과 종지 패턴을 따르며, 이는 음악의 해석과 진행에 일정한 규칙과 예측 가능성을 부여한다. 반면, 무조성 음악은 전통적인 조의 중심을 거부하며, 12음 음계의 모든 음을 동등하게 다루거나 자유로운 음의 배열을 추구한다. 이는 해가 무수히 많거나 특정 조건 없이 존재하는 부정방정식의 개념과 비유될 수 있다.

20세기 초반에 등장한 아르놀트 쇤베르크의 12음 기법은 무조성 음악의 대표적 예시이다. 이 기법은 음렬을 사용하여 전통적인 조성의 계층 구조를 해체하고, 모든 음이 동등한 중요성을 갖도록 조직한다. 결과적으로 청취자에게 익숙한 화성적 해결이나 예측 가능한 진행을 제공하지 않으며, 이는 해가 하나로 수렴되지 않는 부정방정식의 특성과 맥을 같이한다. 무조성은 이후 제2 비엔나 악파와 같은 작곡가들에게 계승되어 현대 음악의 중요한 흐름을 형성했다.

조성과 무조성의 대비는 음악의 구조와 자유도에 대한 근본적인 질문을 제기한다. 조성 음악은 청중에게 친숙함과 안정감을 제공하는 명확한 해석의 틀을 제시하는 반면, 무조성 음악은 그 틀 자체를 부정함으로써 무한한 가능성과 해석의 다양성을 열어둔다. 이는 부정방정식이 특정 조건에 따라 해가 유한개로 좁혀지거나, 조건이 없을 때 무수한 해를 가질 수 있는 이중적 특성과 유사한 대비를 보여준다.

음악에서 리듬과 박자의 부정성은 고정된 틀을 벗어나 다양한 해석과 변형의 가능성을 내포한다는 점에서 부정방정식의 개념과 유사성을 가진다. 전통적인 서양 음악에서 박자는 박자표에 의해 명확히 정의되고, 리듬은 그 틀 안에서 규칙적으로 배열된다. 그러나 이러한 구조는 때때로 해가 하나로 정해지는 방정식과 같다. 반면, 부정적인 리듬과 박자는 하나의 정해진 해답을 요구하기보다는 무수히 많은 가능성을 열어둔다.

이러한 부정성은 다양한 형태로 나타난다. 잉글랜드의 작곡가 벤자민 브리튼의 작품들에서 발견되는 루바토 기법은 엄격한 박자의 틀을 유연하게 늘였다 줄였다 하여, 템포의 고정된 해석을 거부한다. 20세기 현대 음악에서는 아이작 알베니스와 같은 작곡가들도 전통적인 스페인 민속 리듬을 변형하여 사용하기도 했다. 더 나아가, 그래픽 노테이션을 사용하는 작곡가들은 정확한 음가와 박자를 기보하는 대신 시각적 심볼로 제시함으로써, 연주자에게 리듬과 시간의 흐름에 대한 광범위한 해석의 자유를 부여한다.

즉흥 연주는 리듬의 부정성을 실천하는 가장 직접적인 예이다. 재즈나 인도 고전 음악과 같은 장르에서 연주자는 정해진 리듬 패턴을 단순히 재현하지 않고, 그 순간의 흐름에 따라 리듬을 창조하고 변주한다. 이는 주어진 조건(화성 진행이나 탈라와 같은 리듬 사이클) 안에서 무수히 많은 리듬적 해답을 생성하는 과정이다. 결과적으로, 리듬과 박자의 부정성은 음악을 고정된 객체가 아니라, 매 순간 새롭게 정의되는 유동적인 경험으로 만드는 핵심 요소 중 하나이다.

음색과 표현의 다양성은 음악에서 부정방정식의 개념을 적용할 수 있는 또 다른 중요한 영역이다. 하나의 음악적 아이디어나 악보 상의 지시사항은 무수히 많은 음색적 해석과 표현적 실현 가능성을 내포하고 있으며, 이는 방정식의 수보다 미지수가 더 많아 해가 무한히 많은 부정방정식의 특성과 유사하다. 예를 들어, 악보에 단순히 "piano" 또는 "dolce"라고 표기되어 있다 하더라도, 이는 특정한 음량이나 음색을 하나로 고정시키기보다는 연주자와 악기, 공간에 따라 실현될 수 있는 광범위한 가능성의 영역을 제시한다.

특히 현대 음악에서는 전통적인 악기의 확장된 주법이나 전자 음악, 컴퓨터 음악에서의 음색 합성 기법 등이 이러한 다양성을 극대화한다. 하나의 음향 신호는 주파수, 진폭, 파형 등 여러 변수로 구성되며, 작곡가가 제시하는 몇 가지 조건만으로는 최종적인 소리의 모습이 유일하게 결정되지 않는다. 이는 다항방정식에서 변수의 수가 방정식의 수를 초과할 때 해의 집합이 다양해지는 Underdetermined system의 상황과 궤를 같이한다.

결국, 음색과 표현의 부정성은 음악이 단순한 기호의 전달을 넘어 생생한 예술적 경험이 될 수 있는 근본적인 이유 중 하나이다. 동일한 악보를 바탕으로도 연주자의 해석, 악기의 특성, 공명하는 공간의 조건 등 수많은 변수들이 결합하여 매번 유일무이한 연주를 만들어낸다. 이 과정은 고정된 해를 찾는 것이 아니라, 주어진 조건 아래에서 무한히 많은 해 중 하나를 선택하고 구현하는, 살아 움직이는 부정방정식을 푸는 것과 같다.

선율의 변형과 발전 과정은 부정방정식의 개념과 유사한 구조를 보인다. 하나의 주제 선율은 초기 조건이나 제약으로 볼 수 있으며, 이로부터 파생되는 다양한 변주, 전개, 변형들은 무수히 많은 '해'에 해당한다. 작곡가는 주어진 선율이라는 방정식에 대하여, 화성, 리듬, 음색, 대위법 등의 추가적인 변수들을 조합함으로써 서로 다른 해, 즉 새로운 음악적 결과물을 도출해 낸다. 이때 변수의 수(예: 변형 기법의 종류)가 방정식의 수(예: 원형 선율의 고정된 요소)보다 많기 때문에 가능한 결과는 본질적으로 무한하다. 이러한 과정은 주제와 변주 형식이나 소나타 형식의 전개부에서 명확히 관찰된다.

특히 대위법적 기법은 선율의 부정방정식적 성격을 극명하게 보여준다. 하나의 주제 선율(칸투스 피르무스)이 주어지면, 여기에 제2, 제3의 선율(칸투스 세쿤두스, 칸투스 테르티우스)을 결합하는 방식은 수학적으로 무수히 많은 가능성을 지닌다. 각 추가 선율은 독립적인 변수처럼 작용하며, 카논이나 푸가와 같은 형식은 이러한 변수들에 대한 특정한 규칙(예: 정격진행, 전위)을 부여함으로써 해의 범위를 제한하는 것과 같다. 그러나 그 안에서도 정해진 규칙을 만족하는 구체적인 음고와 리듬의 선택은 여전히 무한히 많다.

20세기 이후 현대 음악에서는 이러한 부정성의 개념이 더욱 적극적으로 탐구된다. 작곡가들은 선율의 변형에 있어 전통적인 조성이나 화성의 제약을 벗어나, 음렬 기법, 알레아토리 음악, 그래픽 노테이션 등을 통해 변수의 종류와 범위 자체를 확장시켰다. 이는 해를 찾는 공간을 실수 범위에서 복소수 범위로 넓히는 것과 같다. 결과적으로 동일한 출발점(악보 또는 작곡가의 지시)에서도 연주자나 해석자에 따라 전혀 다른 선율적 결과가 도출될 수 있으며, 이는 부정방정식이 상황에 따라 해가 없을 수도 있다는 점까지 포함하여 음악 창작의 개방성과 다의성을 보여준다.

대위법은 두 개 이상의 독립적인 선율이 동시에 결합되어 화음을 이루는 기법이다. 이는 여러 선율이 하나의 방정식처럼 상호작용하는 체계로 볼 수 있으며, 여기서 부정방정식의 개념이 유추된다. 각 선율은 하나의 변수나 방정식과 유사하게 작용하며, 이들이 결합된 전체 음악적 문맥은 하나의 연립방정식 시스템을 형성한다. 특히, 변수의 수(선율의 수나 가능한 진행)가 방정식의 수(예를 들어, 화성 진행에 대한 제약)보다 많은 경우, 해(즉, 가능한 음악적 결과)는 무수히 많을 수 있다. 이는 선형 연립방정식에서 방정식보다 미지수가 많아 해가 무수히 많은 부정방정식의 조건과 유사한 구조이다.

대위법의 엄격한 규칙, 예를 들어 르네상스 시대의 종지형이나 바흐의 푸가에서 나타나는 규칙들은, 무한한 가능성 중에서 특정한 해(음악적 진행)를 선택하기 위한 '제약 조건'으로 기능한다. 이는 수학에서 무수히 많은 실수해 중에서 정수해만을 찾는 디오판토스 방정식의 접근법과 맥을 같이한다. 카논과 같은 형식은 하나의 주제(방정식)가 다양한 시차와 음정으로 중첩되어(변수가 여러 형태로 대입되어) 무한에 가까운 변화를 만들어내는 대표적 예시이다.

현대 작곡 이론에서는 이러한 대위법적 '부정성'이 더욱 확장된다. 12음 기법이나 총렬 음악은 엄격한 규칙 체계를 설정하지만, 그 안에서 발생하는 음향적 결과는 예측하기 어려운 복잡성을 지닌다. 이는 규칙(방정식)은 명확하지만, 그에 따른 음향적 해석(해)이 다양할 수 있음을 보여준다. 또한, 미니멀 음악에서의 단순한 패턴 반복과 미세한 변화는, 동일한 방정식(패턴)에 매개변수를 조금씩 달리하여 새로운 해를 생성해내는 과정에 비유될 수 있다. 따라서 대위법은 음악에서 구조적 확정성과 해석적 부정성 사이의 긴장 관계를 가장 잘 보여주는 기법 중 하나이다.

현대 음악에서 부정방정식의 개념은 작곡가들이 기존의 엄격한 규칙과 구조를 의도적으로 해체하고, 해석의 가능성을 무한히 열어두는 다양한 실험적 기법으로 나타난다. 이는 음악의 요소들을 고정된 하나의 해답이 아닌, 무수히 많은 가능성의 집합으로 재구성하는 과정에 해당한다. 특히 20세기 중반 이후 급격히 발전한 실험 음악과 전위 음악에서 이러한 경향이 두드러지게 발견된다.

이러한 실험의 한 축은 알레아토리 음악이다. 존 케이지와 같은 작곡가는 우연성의 음악을 통해 작곡과 연주 과정에 무작위적 요소를 도입함으로써, 결과물이 고정되지 않고 매번 달라질 수 있는 부정적 상태를 추구했다. 예를 들어, 그의 작품 \<음악의 변화\>에서는 이징을 던져 나온 결과로 음표를 결정했으며, \<4분 33초\>는 연주자의 침묵과 공연장의 우연한 소리들로 구성된다. 이는 정해진 해가 없는, 즉 '0x=0'과 같은 부정방정식의 상태를 음악으로 구현한 사례라 볼 수 있다.

또 다른 실험은 그래픽 노테이션을 통한 악보의 변혁에서 찾아볼 수 있다. 전통적인 오선보가 음고와 시가를 정확히 규정하는 반면, 그래픽 노테이션은 추상적인 기호, 도형, 심지어 그림을 사용하여 연주자에게 광범위한 해석의 자유를 부여한다. 이는 방정식의 수(악보의 지시)보다 미지수(연주 가능성)의 수가 훨씬 많은 underdetermined system을 구성하는 것과 같다. 작곡가 얀니스 크세나키스는 수학적 확률론과 집합론을 적용한 확률적 음악을 창안했으며, 카를하인츠 슈토크하우젠은 \<광장\>과 같은 작품에서 연주자들의 이동 경로와 상호작용을 통해 매번 다른 공간적 음향을 창조하는 등, 음악의 매개변수를 극대화하는 시도를 지속했다.

악보 해석의 다양성은 음악에서 부정방정식의 개념이 가장 직접적으로 드러나는 부분이다. 전통적인 악보는 음높이와 박자, 악기 지시사항 등을 상대적으로 명확하게 기록하지만, 그 안에는 여전히 해석의 여지가 무수히 존재한다. 이는 주어진 방정식(악보)에 대해 무한히 많은 해(연주)가 가능한 부정방정식의 상황과 유사하다. 예를 들어, 템포 표시인 'Allegro'의 정확한 속도, 다이내믹 표시인 'crescendo'의 세기와 변화 곡선, 아티큘레이션의 미묘한 차이는 악보만으로는 완전히 규정할 수 없으며, 이는 연주자에게 광범위한 선택의 자유를 부여한다.

이러한 다양성은 특히 낭만주의 음악 이후 두드러지게 강조되었다. 작곡가들은 점점 더 정교하고 세밀한 표현 기호를 사용했지만, 그럼에도 불구하고 음악의 핵심적인 감정과 색채는 결국 연주자의 해석에 달려 있었다. 같은 악보를 보고도 연주자마다, 심지어 같은 연주자라도 공연마다 다른 음색, 프레이즈, 루바토를 창조해낸다. 이는 하나의 수학적 조건(악보) 아래에서 파라미터를 조정하며 다양한 해(연주 버전)를 도출하는 과정과 같다.

더 극단적으로, 20세기 음악에서는 의도적으로 해석의 불확정성을 작품의 핵심 요소로 삼는 경우도 등장했다. 그래픽 노테이션을 사용한 작품들은 추상적인 기호와 그림을 통해 연주자에게 악보를 '해독'하고 재창조하도록 요구하며, 전통적인 악보의 역할 자체를 부정방정식화한다. 또한 알레아토리 음악은 특정 구간의 연주 순서나 선택을 무작위에 맡기거나 연주자의 즉흥성에 의존함으로써, 각 공연이 유일무이한 '해'가 되도록 설계하기도 한다. 따라서 악보 해석의 다양성은 음악이 고정된 텍스트가 아니라, 매 순간 새롭게 풀어내는 살아 있는 부정방정식임을 보여준다.

즉흥 연주는 악보에 명시되지 않은 요소를 연주자가 실시간으로 창조하는 과정으로, 부정방정식의 개념과 구조적 유사성을 지닌다. 부정방정식이 방정식의 수보다 미지수의 수가 많아 해가 무수히 많거나 존재하지 않을 수 있는 것처럼, 즉흥 연주 역시 주어진 기본 규칙(예: 화성 진행, 리듬 패턴, 선율 동기)이라는 '방정식'에 비해, 그 안에서 창조될 수 있는 실제 음향적 결과물이라는 '해'의 가능성이 무한히 열려 있다. 이는 연주자가 주어진 제약 조건 내에서 자유롭게 변수를 선택하고 새로운 해를 실시간으로 도출해내는 과정에 비유할 수 있다.

재즈나 인도 클래식 음악과 같은 전통에서 즉흥 연주는 핵심적인 요소이다. 예를 들어, 재즈 연주자는 주어진 코드 진행이라는 '방정식'을 바탕으로, 스케일과 리듬을 변수로 삼아 끝없이 새로운 선율을 창조한다. 이때 동일한 코드 진행이라도 연주자마다, 공연마다 전혀 다른 해(즉, 연주)가 도출된다. 인도 음악의 라가 연주 또한 정해진 음계와 발전 패턴이라는 틀 안에서 광범위한 즉흥 변주를 허용하는 대표적인 사례이다.

이러한 즉흥성은 현대 음악과 실험 음악에서 더욱 극단적으로 나타나기도 한다. 알레아토리 음악이나 그래픽 노테이션을 사용한 작품들은 악보 자체가 의도적으로 불완전하거나 다의적으로 제시되어, 연주자에게 해석과 창조의 광범위한 여지를 부여한다. 이는 연주 행위 자체를 하나의 부정방정식 풀이 과정으로 만든다. 따라서 즉흥 연주는 단순한 테크닉이 아니라, 음악의 생성 원리를 보여주는 현상이며, 부정방정식이 보여주는 '무한한 가능성의 체계'라는 개념을 음향적 차원에서 구현한다고 볼 수 있다.

음악에서 부정방정식의 개념은 연주자별 해석 차이에서 명확히 드러난다. 동일한 악보가 주어져도, 연주자의 배경, 경험, 음악적 취향, 그리고 당시의 상황에 따라 해석은 무수히 많은 가능성을 지닌다. 이는 방정식의 수보다 미지수가 더 많아 해가 무한히 많은 부정방정식의 구조와 유사하다. 악보에 표기된 악상 기호, 셈여림, 템포는 하나의 방정식을 구성하지만, 이를 실제 소리로 구현하는 과정에는 연주자라는 '변수'가 개입하여 유일한 해를 정하는 것을 불가능하게 만든다.

특히 고전 음악의 악보는 상대적으로 정밀하게 표기되어 있음에도, 프레이즈의 호흡, 아티큘레이션의 미묘한 차이, 루바토의 적용 범위 등에서 연주자마다 뚜렷한 차이를 보인다. 예를 들어, 베토벤의 교향곡을 토스카니니의 정확하고 직선적인 해석과 푸르트벵글러의 유연하고 극적인 해석을 비교하면, 동일한 악보에서 어떻게 상반된 결과가 도출될 수 있는지 확인할 수 있다. 이는 동일한 방정식 세트에 서로 다른 매개변수를 대입하여 다른 해를 얻는 것과 같다.

현대 음악이나 알레아토리 음악, 그래픽 노테이션을 사용하는 작품에서는 이러한 부정성과 해석의 다양성이 더욱 극대화된다. 연주자에게 주어진 선택의 폭이 넓어질수록, 결과물은 더욱 예측 불가능하고 독특해진다. 따라서 하나의 작품은 악보라는 고정된 텍스트와 무수히 많은 연주 해석이라는 가변적인 결과물의 총체로 존재한다고 볼 수 있다.

알레아토리 음악은 20세기 중후반에 등장한 음악 경향으로, 작곡가가 연주 과정에서 일정 부분의 불확정성을 의도적으로 도입하는 기법을 말한다. 이는 수학의 부정방정식이 무수히 많은 해를 가질 수 있는 것처럼, 하나의 작품이 단일한 고정된 형태가 아니라 매번 다른 해석과 실현을 가능하게 한다는 점에서 유사성을 지닌다. 알레아토리 음악은 연주자에게 음고, 리듬, 악기 편성, 연주 순서 등에서 선택의 자유를 부여함으로써, 전통적인 악보 해석의 경계를 확장한다.

이러한 기법은 존 케이지와 같은 선구적 작곡가들에 의해 본격적으로 실험되었다. 케이지의 작품 \<음악의 변화\>에서는 이징을 던져 나오는 점들의 배열을 통해 작곡의 요소를 결정하는 등, 우연성에 기반한 작곡 기법을 활용했다. 이후 카를하인츠 슈토크하우젠이나 피에르 불레즈 같은 작곡가들도 다양한 형태의 알레아토리 기법을 발전시켰다. 이들은 연주 중의 우연적 요소나 연주자의 즉각적인 선택이 작품의 필수적인 부분이 되도록 구성했다.

알레아토리 음악의 실현 방식은 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 하나는 작곡가가 악보에 여러 가능한 경로나 선택지를 제시하고, 연주자가 공연 직전 또는 연주 중에 이를 선택하는 '제한된 알레아토리'이다. 다른 하나는 연주자에게 더 광범위한 자유를 주어 음고, 지속시간, 강약 등 기본적인 요소를 즉흥적으로 결정하게 하는 '자유 알레아토리'에 가깝다. 이러한 접근은 연주를 단순한 재현이 아닌, 매번 새롭게 창조되는 행위로 재정의한다.

이러한 불확정성의 도입은 전통적인 조성 음악의 구조를 해체하고, 청중의 예측 가능한 청취 경험에 도전한다는 점에서 현대 음악의 중요한 흐름이 되었다. 알레아토리 기법은 이후 그래픽 노테이션의 발전과도 깊이 연관되어, 시각적 기호를 통해 음악적 아이디어를 제시하는 새로운 표기법을 촉진하기도 했다.

그래픽 노테이션은 전통적인 오선보와는 달리 그림, 기호, 도형, 색채, 텍스트 등 시각적 요소를 사용하여 음악을 기록하는 방식을 가리킨다. 이 기보법은 20세기 중후반, 특히 실험 음악과 전위 음악의 흐름 속에서 전통적인 조성 체계와 리듬 구조를 벗어나려는 작곡가들에 의해 적극적으로 개발되고 활용되었다. 그래픽 노테이션은 연주자에게 고정된 음높이나 박자를 제시하기보다는 음향의 질감(음색), 공간적 배치, 시간의 흐름, 연주의 제스처 등에 대한 지시나 유도를 목표로 한다.

이러한 기보법은 본질적으로 부정방정식의 특성을 내포한다. 하나의 그래픽 악보는 수많은 가능한 해석, 즉 무수히 많은 연주 결과를 허용한다. 작곡가는 특정한 시각적 '방정식'을 제시하지만, 그 안에 포함된 변수들(예: 소리의 길이, 강도, 음색 선택)의 값은 연주자의 판단에 크게 의존한다. 따라서 동일한 악보라도 연주자마다, 공연마다 전혀 다른 음악적 결과물이 도출될 수 있으며, 이는 해가 무수히 많은 부정방정식의 개념과 유사하다.

이러한 기보법의 발전은 알레아토리 음악(우연성 음악)의 철학과 깊이 연결되어 있으며, 연주자를 단순한 재현자가 아닌 공동 창작자로 끌어올린다. 그래픽 노테이션은 음악의 정의를 확장하고, 연주와 해석의 경계를 흐리며, 청중에게도 새로운 감상 방식을 요구하는 실험적 도구로 평가받는다.

음악에서 부정방정식의 개념을 구체적으로 구현한 작곡가와 작품들이 존재한다. 이들은 알레아토리 음악이나 그래픽 노테이션과 같은 기법을 통해, 하나의 악보에서 무수히 많은 해석과 연주의 가능성을 열어놓는다는 점에서 수학적 부정방정식의 특성과 유사성을 보인다.

이러한 작품들은 연주자에게 상당한 자유도와 선택권을 부여함으로써, 전통적인 악보가 지시하는 '유일한 해'를 넘어서는 다중적 해석의 공간을 연다. 이 과정에서 각 연주는 주어진 조건(악보의 제약) 내에서 하나의 특수해를 제시하는 것이며, 가능한 모든 연주의 총체는 마치 부정방정식의 일반해 집합과 같다. 따라서 이들 작곡가의 실험은 음악적 구조 자체에 내재된 부정성과 불확정성을 탐구한 사례로 평가된다.