베테-바이츠제커 공식

부피 항은 베테-바이츠제커 공식의 첫 번째 항으로, 핵의 결합 에너지에서 가장 큰 기여를 하는 항이다. 이 항은 핵의 부피에 비례하며, 핵자 수 A에 선형적으로 의존하는 형태 aVA로 표현된다. 이는 핵 내부의 핵자들이 강한 상호작용을 통해 서로 결합할 때, 각 핵자가 주변 이웃 핵자들과 상호작용함으로써 얻는 에너지를 나타낸다. 핵이 액체 방울과 유사하게 거의 비압축성 유체로 모델링되기 때문에, 핵의 부피는 핵자 수에 비례한다는 가정에서 이 항이 도출된다.

부피 항의 계수 aV는 양의 값을 가지며, 이는 이 항이 핵의 결합 에너지를 증가시키는, 즉 핵을 안정화시키는 요인임을 의미한다. 이론적으로 이 계수는 핵자 간의 평균 결합 에너지와 핵 내 페르미 기체의 운동 에너지를 고려하여 추정할 수 있다. 핵을 양성자와 중성자로 구성된 페르미 기체로 취급하면, 파울리 배타 원리로 인한 운동 에너지 증가분을 고려하여 aV의 값이 약 17 MeV 정도로 예측되며, 이는 실험적으로 맞춰진 계수 값과 크게 다르지 않다. 이 항은 핵자 수 A에만 의존하고 양성자 수 Z에는 무관하므로, 핵력이 전하에 무관하다는 특성을 반영한다.

표면 항은 베테-바이츠제커 공식을 구성하는 다섯 가지 주요 항 중 하나로, 물방울 모형에서 핵의 표면에 있는 핵자들이 내부 핵자보다 적은 수의 이웃과 상호작용한다는 사실을 보정하는 역할을 한다. 이 항은 핵의 결합 에너지를 감소시키는 요인으로 작용하며, 그 크기는 핵의 표면적에 비례한다.

핵이 구형에 가깝다고 가정할 때, 핵의 부피는 질량수 A에 비례하고 반지름은 A^(1/3)에 비례한다. 따라서 핵의 표면적은 A^(2/3)에 비례하게 되어, 표면 항은 공식에서 -a_S * A^(2/3)의 형태로 표현된다. 여기서 a_S는 표면 항의 계수로, 실험 데이터를 통해 결정되는 양의 값을 가진다. 이 항은 액체 방울의 표면 장력과 유사한 개념으로 이해될 수 있다.

표면 항의 존재 이유는 강한 상호작용의 단거리 특성에 기인한다. 핵 내부에 위치한 핵자는 주변의 많은 핵자들과 강한 상호작용을 하지만, 표면에 위치한 핵자는 한쪽 방향으로 이웃 핵자가 없어 전체적인 결합 에너지 기여도가 낮다. 이 효과는 상대적으로 표면적 대 부피 비율이 큰, 즉 질량수가 작은 핵에서 더 두드러지게 나타난다. 표면 항은 이러한 효과를 정량적으로 설명하여, 부피 항만으로는 설명되지 않는 핵의 결합 에너지 경향을 보다 정확히 예측할 수 있게 해준다.

쿨롱 항은 베테-바이츠제커 공식에서 양성자 사이의 정전기적 반발력을 나타내는 항이다. 이 항은 핵의 결합 에너지를 감소시키는 요인으로 작용한다. 핵 내 양성자들은 모두 양전하를 띠고 있어 서로 반발하기 때문이다.

이 항의 형태는 일반적으로 \(a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}\)로 주어진다. 여기서 \(Z\)는 양성자 수, \(A\)는 질량수이다. 분모의 \(A^{1/3}\)은 핵의 반지름이 질량수의 세제곱근에 비례한다는 사실에서 비롯된다. 분자에 \(Z^2\) 대신 \(Z(Z-1)\)이 사용되는 이유는 정전기적 반발이 두 개 이상의 양성자 사이에서만 발생하기 때문이다. 이는 핵을 균일한 전하 밀도를 가진 구로 근사하여 계산된 전기적 위치 에너지에서 유도할 수 있다.

쿨롱 항의 계수 \(a_C\)는 이론적으로 근사할 수 있다. 핵의 평균 반지름을 \(R = r_0 A^{1/3}\) (여기서 \(r_0\)는 약 1.25 fm)로 놓고, 총 전하 \(Q=Ze\)를 가진 구의 정전기 에너지 공식을 적용하면, \(a_C \approx \frac{3e^2}{20\pi \epsilon_0 r_0}\)의 관계를 얻는다. 이를 계산하면 약 0.7 MeV 정도의 값을 얻으며, 이는 실험적으로 맞춰진 계수 값과 크게 다르지 않다.

쿨롱 항의 영향은 무거운 원소로 갈수록 더 중요해진다. 양성자 수 \(Z\)가 증가함에 따라 정전기적 반발력이 급격히 커지기 때문이다. 이는 핵의 안정성에 직접적인 영향을 미쳐, 양성자 수가 많은 무거운 핵에서는 중성자 수가 양성자 수보다 현저히 많아져야 안정된 핵종이 존재할 수 있게 하는 주요 원인이다.

비대칭 항은 파울리 배타 원리에 기반한 항으로, 핵 내 양성자와 중성자의 수가 불균형할 때 발생하는 에너지 손실을 설명한다. 이 원리에 따르면 동일한 페르미온은 동일한 양자 상태를 점유할 수 없으므로, 핵 내에서 양성자와 중성자는 각각 독립적인 에너지 준위 "풀"을 형성한다. 만약 중성자의 수가 양성자의 수보다 현저히 많다면, 추가된 중성자는 상대적으로 높은 에너지 준위를 점유하게 되어 핵의 총 에너지를 증가시키고 결합 에너지를 감소시킨다. 이 효과는 핵자 간의 기본적인 상호작용이 아닌, 순수하게 양자 통계적 원리에서 비롯된다.

이 항은 공식에서 a_A * (N - Z)^2 / A 의 형태로 나타난다. (N - Z)^2 항은 중성자 과잉 또는 양성자 과잉의 정도를 반영하며, 그 제곱은 작은 불균형이 에너지에 미치는 영향이 상대적으로 작음을 보여준다. 분모에 있는 질량수 A는 핵자가 많을수록 동일한 불균형(N-Z)이 전체 에너지에 미치는 상대적 영향이 줄어든다는 사실을 설명한다. 이론적으로 이 항은 핵을 페르미 기체로 모델링하여 유도할 수 있으며, 그 계수 a_A는 약 23 MeV 정도의 값을 가진다.

비대칭 항은 핵의 안정성과 베타 붕괴 경향을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 이 항은 양성자와 중성자 수가 대략적으로 동일한 핵이 가장 안정적이며, 무거운 원소로 갈수록 중성자 과잉이 심해지는 현상을 정성적으로 잘 설명한다. 이는 핵종도 상에서 안정 곡선이 N=Z 선에서 점점 벗어나는 모습과 일치한다.

짝지음 항은 베테-바이츠제커 공식에서 핵자의 스핀 결합 효과를 설명하는 항이다. 이 항은 핵의 안정성에 중요한 영향을 미치며, 양성자 수와 중성자 수의 짝홀성에 따라 결합 에너지에 보정을 가한다. 짝수 개의 양성자와 짝수 개의 중성자를 가진 짝짝핵은 가장 안정적이어서 결합 에너지가 증가하고, 홀수 개의 양성자와 홀수 개의 중성자를 가진 홀홀핵은 가장 불안정하여 결합 에너지가 감소한다. 양성자와 중성자 중 하나만 홀수인 짝홀핵의 경우 이 효과는 중간 정도로 나타난다.

이 현상은 파울리 배타 원리와 관련이 깊다. 동일한 양자 상태를 차지할 수 없는 동일한 페르미온인 양성자와 중성자는 각자 반대 방향의 스핀을 가진 쌍을 이루려는 경향이 있다. 짝짝핵에서는 양성자와 중성자가 모두 완전한 쌍을 이루어 에너지가 낮아지는 반면, 홀홀핵에서는 짝을 이루지 못한 핵자가 존재해 상대적으로 에너지가 높아진다. 이 효과는 핵 껍질 모형에서 더 명확히 설명되며, 마법수 근처의 핵에서 특히 두드러진다.

짝지음 항은 일반적으로 질량수 A의 함수로 $\delta_0 = a_P A^{k_P}$ 형태로 매개변수화된다. 여기서 계수 $a_P$와 지수 $k_P$는 실험 데이터로부터 결정된다. 역사적으로 $k_P$ 값은 -3/4로 가정되기도 했으나, 현대의 정밀 측정 데이터는 -1/2에 더 가까운 값을 지지한다. 이 항은 공식의 다른 주요 항들인 부피 항, 표면 항, 쿨롱 항, 비대칭 항과는 독립적으로 작용하여, 전체 결합 에너지 예측의 정확도를 높이는 데 기여한다.