미분

도함수는 어떤 함수의 순간 변화율을 나타내는 함수이다. 주어진 함수 y = f(x)에 대하여, 독립 변수 x의 변화에 따른 종속 변수 y의 변화율을 의미한다. 이는 함수의 그래프 위의 한 점에서 그은 접선의 기울기와 같다. 도함수를 구하는 과정을 미분이라고 하며, 도함수 자체를 미분계수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말하면 미분계수는 특정 점에서의 도함수의 값, 즉 순간 변화율의 수치를 가리킨다.

도함수는 다양한 표기법으로 나타낼 수 있다. 가장 일반적인 것은 라이프니츠의 표기법인 dy/dx이다. 또한, 라그랑주 표기법인 f'(x)와 뉴턴 표기법인 ẏ도 널리 사용된다. 이들 표기법은 모두 함수 f(x)를 미분한 결과, 즉 도함수를 의미한다. 도함수는 원래 함수의 변화 양상을 분석하는 데 핵심적인 도구로 작용한다.

도함수의 주요 응용 분야는 매우 다양하다. 물리학에서는 위치를 시간에 대해 미분하여 속도를, 속도를 다시 미분하여 가속도를 구한다. 기하학에서는 곡선의 접선 방정식을 구하는 데 사용된다. 또한, 경제학이나 공학에서 최적화 문제를 풀 때, 즉 비용 최소화나 이익 최대화와 같은 문제를 해결할 때 도함수가 결정적인 역할을 한다. 함수의 도함수 값을 분석함으로써 함수가 증가하는 구간, 감소하는 구간, 그리고 극대점과 극소점을 찾아낼 수 있다.

도함수 자체도 하나의 함수이므로, 이를 다시 미분할 수 있다. 이를 이계 도함수라고 하며, f''(x) 또는 d²y/dx²와 같이 표기한다. 이계 도함수는 원래 함수의 그래프의 볼록성과 오목성을 판단하고, 변곡점을 찾는 데 사용된다. 이처럼 도함수는 미적분학의 핵심 개념으로, 현대 과학과 공학의 수많은 분야에서 기초 언어로서 기능한다.

미분계수는 함수의 한 점에서의 순간 변화율을 의미한다. 어떤 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는, x=a에서 x=a+h로 변할 때의 평균 변화율의 극한값으로 정의된다. 이는 기하학적으로는 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기에 해당한다.

미분계수는 라이프니츠 표기법으로는 dy/dx|_{x=a}로, 라그랑주 표기법으로는 f'(a)로 나타낸다. 이 값을 구하는 과정은 극한을 통해 이루어지며, 함수 f가 x=a에서 미분 가능하다는 것은 이 극한값이 유한하게 존재한다는 것을 뜻한다. 미분 가능성은 함수가 그 점에서 연속이어야 할 필요조건이지만, 충분조건은 아니다.

미분계수의 개념은 물리학에서 속도와 가속도를 정의하는 데 핵심적이다. 예를 들어, 위치를 시간의 함수로 나타낼 때, 위치 함수의 미분계수는 순간 속도를, 속도 함수의 미분계수는 순간 가속도를 제공한다. 이처럼 변화율을 정량화하는 미분계수는 과학과 공학 전반의 다양한 현상을 모델링하고 분석하는 데 필수적인 도구이다.

함수의 미분 가능성은 그 함수가 도함수를 가질 수 있는 조건을 의미한다. 어떤 함수가 한 점에서 미분 가능하다는 것은 그 점에서 함수의 순간 변화율, 즉 미분계수가 유일하게 존재한다는 것을 뜻한다. 이는 기하학적으로 해당 점에서 함수의 그래프에 접선을 그릴 수 있다는 것과 동치이다. 미분 가능성은 함수의 연속성보다 더 강한 조건으로, 한 점에서 미분 가능하면 그 점에서 반드시 연속이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

함수 f(x)가 점 x=a에서 미분 가능하기 위한 필요충분조건은 좌미분계수와 우미분계수가 존재하며 서로 같아야 한다는 것이다. 즉, 좌극한과 우극한을 통해 정의되는 두 극한 값이 일치해야 한다. 만약 이 값이 다르거나, 무한대로 발산하거나, 진동하는 경우 그 점에서는 미분 불가능하다. 대표적인 미분 불가능한 경우로는 그래프가 꺾이는 점(첨점), 접선이 수직이 되는 점, 불연속점 등이 있다.

절댓값 함수 y=|x|의 경우, 원점 x=0에서 좌미분계수는 -1, 우미분계수는 1로 서로 달라 미분 가능하지 않다. 이 점에서는 V자 형태로 꺾여 접선을 유일하게 정의할 수 없다. 반면, 모든 점에서 매끄럽게 이어지는 다항함수나 삼각함수와 같은 초등함수들은 정의역 내 대부분의 점에서 미분 가능하다.

미분 가능성은 함수의 국소적 행동을 분석하는 데 핵심적이다. 함수가 구간의 모든 점에서 미분 가능할 때, 그 함수는 그 구간에서 미분가능함수라고 하며, 도함수 f'(x) 자체도 하나의 함수가 된다. 이 도함수의 성질을 통해 원래 함수의 증가/감소, 볼록성, 극값 등을 판단할 수 있어 미적분학의 응용 분야에 널리 사용된다.

기본 미분 공식은 다양한 형태의 함수를 미분할 때 가장 자주 사용되는 기본적인 규칙들의 집합이다. 이 공식들은 미분의 정의에서 출발하여 유도되며, 복잡한 함수의 도함수를 체계적으로 구하는 토대를 제공한다.

가장 기본적인 공식은 상수 함수의 미분이다. 상수 함수 f(x) = c (c는 상수)의 도함수는 항상 0이다. 즉, f'(x) = 0이다. 또한, 멱함수 f(x) = x^n (n은 실수)의 미분 공식은 f'(x) = n*x^(n-1)이다. 이 공식은 n이 정수, 유리수, 실수일 때 모두 성립하는 매우 강력한 공식이다. 지수 함수와 로그 함수의 미분도 중요한 기본 공식에 속한다. 지수 함수 f(x) = e^x의 도함수는 자기 자신인 e^x이며, 자연로그 함수 f(x) = ln x의 도함수는 1/x이다.

삼각 함수의 미분 공식도 필수적으로 암기해야 한다. 주요 삼각함수의 도함수는 다음과 같다.

이러한 기본 함수들의 미분 공식에 더해, 합의 미분과 차의 미분에 대한 선형성 법칙이 적용된다. 즉, 두 함수 f(x)와 g(x)가 미분 가능할 때, [f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)가 성립한다. 또한, 상수배의 미분 법칙 [c*f(x)]' = c*f'(x)도 기본 연산에 포함된다. 이 기본 공식들은 더 복잡한 곱의 미분법, 몫의 미분법, 연쇄 법칙을 적용하기 위한 필수 구성 요소가 된다.

연쇄 법칙은 합성함수의 미분을 위한 핵심 규칙이다. 두 개 이상의 함수가 합성되어 있을 때, 즉 y = f(g(x))와 같은 형태일 때, 이 함수의 도함수를 구하는 방법을 제공한다. 이 법칙은 바깥쪽 함수의 도함수와 안쪽 함수의 도함수를 곱하는 방식으로 작동한다. 라이프니츠 표기법에서는 dy/dx = (dy/du) * (du/dx)로 표현되며, 라그랑주 표기법에서는 (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)로 나타낸다.

이 법칙의 직관적 이해는 변화율의 전파로 볼 수 있다. x의 작은 변화가 먼저 안쪽 함수 u = g(x)를 통해 u의 변화를 일으키고, 이 u의 변화가 다시 바깥쪽 함수 y = f(u)를 통해 y의 최종 변화로 이어진다. 따라서 전체 변화율은 두 단계의 변화율을 연속적으로 곱한 값이 된다. 연쇄 법칙은 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 기본 함수의 미분 공식을 유도하는 데 필수적이며, 더 복잡한 합성함수의 미분 계산을 가능하게 한다.

연쇄 법칙은 다변수 미적분학으로 확장되어 편미분에서도 중요한 역할을 한다. 다변수 함수의 경우, 전미분이나 기울기 벡터를 구할 때 각 변수에 대한 연쇄 법칙의 형태가 사용된다. 이는 물리학의 운동 방정식, 경제학의 최적화 문제, 인공지능의 역전파 알고리즘 등 다양한 분야에서 복잡한 시스템의 변화율을 분석하는 데 널리 응용된다.

곱의 미분법은 두 개 이상의 함수를 곱한 형태의 함수, 즉 곱함수를 미분하는 방법이다. 이 법칙은 미분의 기본 연산 중 하나로, 두 함수 f(x)와 g(x)의 곱으로 이루어진 함수 h(x) = f(x) * g(x)를 미분할 때 적용된다.

곱의 미분법 공식은 h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)로 표현된다. 이는 첫 번째 함수를 미분한 것과 두 번째 함수의 곱에, 첫 번째 함수와 두 번째 함수를 미분한 것의 곱을 더한 값이 전체 곱함수의 도함수임을 의미한다. 이 공식은 라이프니츠 표기법을 사용하여 d/dx [f(x)g(x)] = (df/dx)g(x) + f(x)(dg/dx)로 쓰기도 한다.

이 법칙은 세 개 이상의 함수의 곱에 대해서도 확장 적용될 수 있다. 예를 들어, 세 함수 u(x), v(x), w(x)의 곱을 미분하면, u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x)와 같이 각 함수를 차례대로 미분한 항들의 합으로 결과가 나타난다. 곱의 미분법은 다항함수나 삼각함수 등 다양한 함수의 곱으로 이루어진 복잡한 함수의 도함수를 구하는 데 필수적으로 사용된다.

몫의 미분법은 두 함수의 나눗셈 형태, 즉 분수 형태로 표현된 함수를 미분하는 방법이다. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대해, 그 몫인 $y = \frac{f(x)}{g(x)}$의 도함수를 구하는 공식이다. 이는 곱의 미분법과 연쇄 법칙을 결합하여 유도할 수 있으며, 미적분학의 기본적인 미분 법칙 중 하나로 자주 활용된다.

몫의 미분법의 공식은 다음과 같다. 함수 $y = \frac{f(x)}{g(x)}$가 미분 가능할 때, 그 도함수 $y'$ 또는 $\frac{dy}{dx}$는 $y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ 으로 주어진다. 이를 기억하기 위한 구호로 "아래 도함수 위 빼기 위 도함수 아래, 아래 제곱 분모에"가 널리 사용된다. 여기서 $g(x) \neq 0$ 이어야 함은 물론이다.

이 법칙은 유리함수나 삼각함수 중 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, $\sec x = \frac{1}{\cos x}$와 같은 함수들의 도함수를 유도하는 데 필수적이다. 예를 들어, $\tan x$의 도함수는 $f(x)=\sin x$, $g(x)=\cos x$로 놓고 몫의 미분법을 적용하여 $\sec^2 x$임을 보일 수 있다.

몫의 미분법을 적용할 때는 분자와 분모를 각각의 함수로 보고, 먼저 분자의 도함수와 분모의 도함수를 따로 구한 후 공식에 대입하여 계산하는 것이 일반적이다. 계산 과정에서 실수를 줄이기 위해 곱의 미분법과의 혼동을 주의해야 한다.

음함수 미분법은 변수 x와 y의 관계가 y=f(x)와 같이 명시적으로 표현되지 않고 F(x, y)=0의 형태로 주어졌을 때, y를 x의 함수로 간주하고 도함수 dy/dx를 구하는 방법이다. 예를 들어 원의 방정식 x^2 + y^2 = r^2이나 타원의 방정식과 같은 곡선에서 접선의 기울기를 구할 때 유용하게 사용된다.

이 방법의 핵심은 주어진 방정식의 양변을 x에 대해 미분할 때, y를 x의 함수로 보고 연쇄 법칙을 적용하는 것이다. y가 x의 함수이므로 y^2을 미분하면 2y * (dy/dx)가 된다. 이렇게 각 항을 미분한 후, dy/dx에 대한 식으로 정리하여 도함수를 구한다.

음함수 미분법은 명시적 함수로 표현하기 어려운 복잡한 관계를 가진 곡선의 미분을 가능하게 한다. 이를 통해 구한 도함수는 해당 곡선 위의 특정 점에서의 접선의 기울기를 제공하며, 이는 기하학적 해석이나 물리학, 공학에서의 변화율 분석에 활용된다.

이 방법은 편미분과도 연결되는 개념으로, 다변수 함수의 미분을 학습하는 데 중요한 기초가 된다. 또한 로그 미분법과 결합하여 복잡한 함수의 도함수를 효율적으로 찾는 데에도 응용될 수 있다.

함수 y = f(x) 위의 한 점 (a, f(a))에서의 접선은, 그 점에서의 함수의 순간 변화율, 즉 미분계수 f'(a)를 기울기로 가지는 직선이다. 따라서 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 점-기울기 형태를 이용하여 y - f(a) = f'(a)(x - a)로 구할 수 있다. 이는 도함수 f'(x)가 x = a에서의 접선의 기울기를 제공한다는 미분의 기하학적 의미를 직접적으로 보여주는 공식이다.

접선의 방정식을 구하는 과정은 먼저 주어진 함수를 미분하여 도함수 f'(x)를 구한 후, 주어진 점의 x좌표를 대입하여 기울기 f'(a)를 계산하는 것이다. 이후 점 (a, f(a))와 계산된 기울기를 위의 공식에 대입하면 된다. 만약 주어진 점이 곡선 위에 있는지 명시되지 않았다면, 먼저 f(a)의 값을 확인하여 점이 곡선 위에 있는지를 검토해야 한다.

이 개념은 물리학에서 속도나 가속도를 구하는 데 응용되며, 공학에서는 곡률을 계산하거나 로봇 공학에서 경로 계획을 할 때, 경제학에서는 한계 비용이나 한계 수익을 분석할 때 활용된다. 또한 최적화 문제를 풀기 위한 기초가 되며, 뉴턴 방법과 같은 수치 해석 기법의 핵심 원리로도 작용한다.

함수의 증가와 감소는 함수의 도함수를 통해 분석할 수 있는 중요한 성질이다. 어떤 구간에서 함수가 증가하는지 감소하는지는 그 구간에서 도함수의 부호를 조사함으로써 판별할 수 있다.

함수 f(x)가 어떤 구간 I에서 미분 가능할 때, 이 구간의 모든 점 x에 대해 f'(x) > 0이면, 함수 f(x)는 그 구간에서 증가한다고 한다. 반대로, 구간 I의 모든 점 x에 대해 f'(x) < 0이면, 함수 f(x)는 그 구간에서 감소한다고 한다. 도함수가 0인 점, 즉 f'(x) = 0인 점은 함수가 증가에서 감소로, 또는 감소에서 증가로 바뀌는 잠재적인 지점이 될 수 있으며, 이를 임계점이라고 부른다.

이 성질은 함수의 그래프의 개형을 파악하는 데 핵심적으로 사용된다. 예를 들어, 도함수의 부호가 양수인 구간에서는 그래프가 오른쪽으로 갈수록 위로 올라가는 형태를 보인다. 반대로 도함수의 부호가 음수인 구간에서는 그래프가 오른쪽으로 갈수록 아래로 내려가는 형태를 보인다. 이러한 분석은 함수의 극값을 찾는 과정의 첫 단계이며, 이후 이계 도함수를 이용한 오목성 검토와 결합되어 함수의 전체적인 모양을 그리는 데 활용된다.

함수의 증가와 감소를 판별하는 방법은 다양한 실생활 문제에 적용된다. 경제학에서는 비용 함수나 수익 함수의 변화를 분석할 때, 물리학에서는 물체의 운동을 나타내는 위치 함수로부터 속도의 방향을 알아낼 때 이 개념이 사용된다. 또한 최적화 문제를 풀어 최대 이익이나 최소 비용을 찾는 과정에서도 함수가 어디서 증가하고 감소하는지를 아는 것이 필수적이다.

함수의 극대와 극소는 미분을 통해 함수의 변화를 분석하는 중요한 응용 분야이다. 어떤 함수가 특정 점에서 그 주변의 모든 점보다 함수값이 크면 그 점에서 극대를, 주변의 모든 점보다 함수값이 작으면 그 점에서 극소를 갖는다고 한다. 이러한 극점은 함수의 그래프에서 '봉우리'나 '골짜기'에 해당하는 지점으로, 함수의 개형을 이해하고 최적화 문제를 푸는 데 핵심적인 역할을 한다.

극대점과 극소점을 찾는 일반적인 방법은 도함수를 이용하는 것이다. 먼저 함수의 일계 도함수를 구하고, 그 값이 0이 되거나 존재하지 않는 점을 찾는다. 이러한 점을 임계점 또는 정점이라고 부른다. 모든 극점은 임계점에 포함되지만, 모든 임계점이 극점인 것은 아니다. 예를 들어, 변곡점에서는 도함수가 0이 될 수 있지만 극값을 가지지 않는다.

임계점이 실제로 극대인지 극소인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판별하기 위해서는 이계 도함수 판정법이나 일계 도함수 판정법을 사용한다. 이계 도함수 판정법은 임계점에서의 이계 도함수 값을 확인한다. 이계 도함수가 양수이면 그 점은 극소점이고, 음수이면 극대점이다. 만약 이계 도함수가 0이면 판정이 불가능하여 다른 방법을 사용해야 한다. 일계 도함수 판정법은 임계점을 기준으로 좌우에서 도함수의 부호 변화를 관찰하여 극값을 판단한다.

극대와 극소의 개념은 수학적 분석을 넘어 다양한 실생활 문제 해결에 직접적으로 적용된다. 예를 들어, 비용 최소화, 수익 최대화, 에너지 효율 극대화와 같은 최적화 문제는 본질적으로 함수의 극값을 찾는 문제로 귀결된다. 또한 물리학에서는 물체의 운동 궤적에서 최고점(극대)이나 최저점(극소)을 계산하는 데 사용되며, 경제학에서는 한계 비용과 한계 수익 분석의 기초가 된다.

속도는 위치의 변화율로 정의된다. 어떤 물체의 위치를 시간에 대한 함수 x(t)로 나타낼 때, 이 함수의 도함수인 v(t) = dx/dt는 그 순간의 순간 속도를 의미한다. 평균 속도는 두 지점 사이의 위치 변화를 시간 변화로 나눈 값이지만, 미분을 통해 얻는 순간 속도는 특정 시간에서의 정확한 변화율을 나타낸다. 이는 운동학의 기본 개념으로, 물체가 얼마나 빠르고 어떤 방향으로 움직이는지를 정량화한다.

가속도는 속도의 변화율, 즉 위치 함수의 이계 도함수이다. 속도 함수 v(t)를 다시 시간에 대해 미분하면 a(t) = dv/dt = d²x/dt² 가 되며, 이는 물체의 속도가 얼마나 빨리 변하는지를 나타낸다. 가속도는 속도의 크기 변화뿐만 아니라 방향 변화도 포함한다. 예를 들어, 원운동을 하는 물체는 속도의 크기가 일정할지라도 방향이 계속 변하므로 가속도를 갖게 된다.

이 개념들은 뉴턴 역학의 핵심을 이룬다. 뉴턴의 운동 법칙 중 제2법칙은 힘이 질량과 가속도의 곱(F=ma)과 같다고 설명하는데, 여기서 가속도는 위치를 두 번 미분하여 얻는다. 따라서 물체에 작용하는 힘을 알고 위치 함수를 구하는 문제, 혹은 그 반대의 문제는 본질적으로 미분방정식을 푸는 문제가 된다. 이처럼 속도와 가속도에 대한 미분적 이해는 물리학을 비롯한 공학의 여러 분야에서 운동을 분석하고 예측하는 데 필수적이다.

미분은 함수의 최댓값과 최솟값을 찾는 최적화 문제를 해결하는 핵심 도구이다. 어떤 함수가 특정 구간 내에서 가장 큰 값(극대값)이나 가장 작은 값(극소값)을 가지는 지점을 찾는 것은 공학, 경제학, 물리학 등 다양한 분야에서 실제 문제를 모델링하고 해결하는 데 필수적이다. 예를 들어, 생산 비용을 최소화하거나 수익을 최대화하는 조건, 또는 물체의 운동 에너지가 극값을 갖는 지점을 찾는 문제 등이 여기에 해당한다.

이러한 문제를 해결하기 위한 일반적인 방법은 먼저 주어진 문제 상황을 하나의 함수로 표현하는 것이다. 다음으로, 이 함수의 도함수를 구하고, 도함수의 값이 0이 되거나 정의되지 않는 지점, 즉 임계점을 찾는다. 이 임계점과 구간의 양 끝점에서 함수값을 비교함으로써 최댓값과 최솟값을 결정할 수 있다. 이 과정은 페르마의 정리에 그 기초를 두고 있으며, 미분계수가 0인 지점이 극값의 후보가 됨을 보여준다.

최적화 문제를 풀 때는 단순히 도함수를 0으로 놓고 해를 구하는 것뿐만 아니라, 해당 점이 실제로 극대인지 극소인지, 또는 둘 다 아닌지를 판별해야 한다. 이를 위해 이계 도함수를 이용한 2계 도함수 판정법이 자주 사용된다. 이계 도함수의 부호를 살펴봄으로써 곡선의 오목성과 볼록성을 확인하고, 변곡점을 구별하며, 극값의 성질을 명확히 할 수 있다. 또한, 문제의 정의역이 제한된 닫힌구간인 경우에는 경계점의 값을 반드시 고려해야 한다.

실생활 응용 사례로는 공학에서 재료의 강도를 최대화하거나 무게를 최소화하는 설계, 경제학에서 한계 비용과 한계 수익을 분석하여 이윤을 극대화하는 생산량 결정, 그리고 물리학에서 빛의 경로나 물체의 운동 궤적을 설명하는 변분법 등이 있다. 이러한 최적화 기법은 단변수 함수를 넘어 다변수 미분과 편미분을 활용한 다변수 함수의 최적화 문제로도 확장되어 적용된다.

도함수를 다시 한 번 미분하여 얻는 함수를 이계 도함수라고 한다. 이계 도함수는 원래 함수의 도함수의 변화율, 즉 원래 함수의 곡선의 볼록성과 변곡점을 분석하는 데 사용된다. 라이프니츠 표기법으로는 d²y/dx², 라그랑주 표기법으로는 f''(x) 또는 y''로 나타낸다.

이계 도함수의 계산은 일계 도함수를 구한 후, 다시 미분 공식을 적용하여 수행한다. 예를 들어, 함수 f(x) = x³ + 2x²의 일계 도함수 f'(x) = 3x² + 4x를 구한 후, 이를 미분하면 이계 도함수 f''(x) = 6x + 4가 된다. 이는 다항식뿐만 아니라 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 다양한 함수에 적용 가능한 일반적인 과정이다.

이계 도함수의 주요 응용은 함수의 그래프 모양을 파악하는 것이다. 특정 구간에서 이계 도함수의 값이 양수이면, 그 구간에서 원래 함수의 그래프는 아래로 볼록(또는 위로 오목)한 형태를 가진다. 반대로 이계 도함수의 값이 음수이면, 그래프는 위로 볼록(또는 아래로 오목)한 형태를 가진다. 이계 도함수의 값이 0이 되면서 부호가 바뀌는 점을 변곡점이라고 하며, 이 점에서 곡선의 볼록한 방향이 전환된다.

또한, 이계 도함수는 물리학에서 가속도를 설명하는 데도 활용된다. 위치를 시간에 대한 함수로 나타낼 때, 일계 도함수는 속도를 의미하며, 이계 도함수는 속도의 변화율인 가속도에 해당한다. 이처럼 이계 도함수는 함수의 변화 양상을 더 깊이 이해하고, 현상을 수학적으로 모델링하는 데 필수적인 도구이다.

변곡점은 곡선의 곡률이 부호를 바꾸는 점, 즉 곡선의 오목한 방향이 위에서 아래로 또는 아래에서 위로 바뀌는 지점을 가리킨다. 좀 더 엄밀하게는, 함수의 이계 도함수가 0이 되고 그 점을 지날 때 이계 도함수의 부호가 바뀌는 점으로 정의된다. 이는 함수의 그래프가 볼록한 상태에서 오목한 상태로, 또는 그 반대로 전환되는 지점에 해당한다.

변곡점을 찾기 위해서는 먼저 함수의 이계 도함수를 구하고, 이계 도함수의 값이 0이 되거나 존재하지 않는 점을 찾는다. 그 후, 해당 점의 좌우에서 이계 도함수의 부호가 실제로 바뀌는지 확인하는 과정이 필요하다. 이계 도함수가 0이더라도 부호가 바뀌지 않으면, 예를 들어 삼차함수의 그래프에서 변곡점은 정확히 하나 존재하는 반면, 이차함수의 그래프는 이계 도함수가 상수이므로 변곡점을 가지지 않는다.

변곡점은 함수의 그래프의 모양을 이해하고 개형을 그리는 데 중요한 정보를 제공한다. 또한, 실제 응용 분야에서는 변화의 속도 자체가 최대 또는 최소가 되는 지점, 예를 들어 경제학에서 한계비용이 최소가 되는 생산량이나 물리학에서 가속도의 방향이 바뀌는 시점 등을 분석할 때 변곡점의 개념이 활용된다.

편미분은 둘 이상의 변수를 가진 함수에서, 하나의 변수에 대해서만 미분하고 나머지 변수는 상수로 취급하는 미분법이다. 다변수 함수의 변화율을 분석할 때 핵심적인 도구로 사용된다. 예를 들어, 함수 f(x, y)를 x에 대해 편미분할 때는 y를 고정된 값으로 간주하고 x만 변화시킨다. 이렇게 구한 도함수를 편도함수라고 하며, ∂f/∂x와 같은 라이프니츠 표기법이나 fx와 같은 아래첨자 표기법으로 나타낸다.

편미분은 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 널리 응용된다. 3차원 공간에서 곡면의 특정 방향에 따른 기울기를 구하거나, 여러 요인이 복합적으로 작용하는 시스템의 민감도를 분석할 때 유용하다. 특히, 기계 학습에서 손실 함수의 최솟값을 찾는 경사 하강법과 같은 최적화 알고리즘의 기초를 이룬다.

편도함수를 모든 변수에 대해 구한 뒤 벡터로 나열한 것을 기울기 벡터라고 한다. 이 기울기 벡터는 함수가 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리킨다. 또한, 편미분을 확장하여 모든 변수의 미분을 합친 전미분 개념도 중요한데, 이는 함수의 전체 변화량을 근사적으로 나타낸다. 편미분은 다변수 미적분학의 핵심 연산으로, 더 복잡한 개념인 야코비 행렬이나 헤세 행렬을 이해하는 토대가 된다.

전미분은 두 개 이상의 변수를 가진 함수에서 모든 독립 변수의 변화에 따른 함수 값의 총 변화량을 나타낸다. 단일 변수 함수의 미분을 다변수 함수로 확장한 개념으로, 각 변수의 변화량에 대한 함수의 변화량을 선형적으로 근사한다. 이는 함수의 국소적 선형 근사를 통해 다변수 함수의 변화를 포괄적으로 이해하는 데 핵심적인 도구이다.

전미분은 함수의 각 변수에 대한 편미분을 사용하여 정의된다. 예를 들어, 두 변수 x와 y의 함수 z = f(x, y)가 있을 때, 이 함수의 전미분 dz는 dz = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy 로 표현된다. 여기서 ∂f/∂x와 ∂f/∂y는 각각 x와 y에 대한 편미분이며, dx와 dy는 각 변수의 미소 변화량을 의미한다. 이 공식은 함수 f의 값이 변수 x와 y의 작은 변화 dx, dy에 따라 어떻게 변하는지를 선형 결합 형태로 보여준다.

전미분의 주요 응용 분야는 물리학과 공학에서의 근사 계산이다. 예를 들어, 측정 오차의 전파나 시스템의 민감도 분석에서 유용하게 사용된다. 또한, 다변수 함수의 최적화 문제나 경제학에서의 한계 분석과 같은 다양한 분야에서 함수의 국소적 거동을 이해하는 데 필수적이다. 전미분의 개념은 더 나아가 기울기 벡터와 방향 도함수, 그리고 접평면의 방정식을 유도하는 기초가 된다.

전미분은 편미분의 개념을 종합하여 함수의 전체 변화를 다루지만, 이는 함수가 미분 가능하다는 전제 하에 성립한다. 다변수 함수의 미분 가능성은 각 편도함수의 존재뿐만 아니라, 함수의 증분을 전미분으로 근사했을 때의 오차가 매우 작아져야 함을 요구한다. 이는 단일 변수 미분에서의 미분 가능성 조건을 다변수 공간으로 일반화한 것이다.

기울기 벡터는 다변수 함수의 모든 편미분을 성분으로 가지는 벡터이다. 스칼라 함수 f(x, y, z)의 기울기 벡터는 ∇f 또는 grad f로 표기하며, (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)와 같이 정의된다. 이는 함수값이 가장 빠르게 증가하는 방향을 가리키며, 그 크기는 그 방향으로의 변화율을 나타낸다.

기울기 벡터는 편미분의 개념을 확장한 것으로, 함수의 국부적 성질을 분석하는 데 핵심적인 도구이다. 예를 들어, 기울기 벡터가 영벡터(0, 0, 0)가 되는 점은 함수의 임계점이 되며, 최적화 문제를 푸는 출발점이 된다. 또한 등위면 위의 한 점에서의 기울기 벡터는 그 등위면에 수직인 성질을 가진다.

이 개념은 물리학과 공학 분야에서 널리 응용된다. 예를 들어, 온도장에서의 기울기 벡터는 열류의 방향과 크기를, 전위장에서의 기울기 벡터는 전기장의 세기와 방향을 나타낸다. 기계 학습과 데이터 과학에서도 경사 하강법과 같은 최적화 알고리즘의 핵심에 기울기 벡터의 계산이 자리 잡고 있다.

기울기 벡터의 연산은 벡터 미적분학의 중요한 부분을 이루며, 발산과 회전 같은 다른 벡터 미분 연산자들과 함께 사용되어 유체 역학이나 전자기학과 같은 연속체 역학을 기술하는 데 필수적이다.