브라-켓 표기법 (디랙 표기법)

켓 벡터는 힐베르트 공간에 속하는 열 벡터로, 주로 양자 상태를 표현한다. 이 벡터는 수직 막대와 각괄호로 감싸서 |ψ⟩와 같이 표기하며, 그 자체로 하나의 상태를 나타내는 추상적인 대상이다. 예를 들어, 특정 에너지 준위에 있는 입자의 상태는 |E_n⟩으로 쓸 수 있다.

브라 벡터는 켓 벡터에 대응하는 행 벡터이며, 켓 벡터의 에르미트 수반이다. 켓 |ψ⟩에 대응하는 브라는 ⟨ψ|로 표기한다. 이 둘 사이의 관계는 ⟨ψ| = (|ψ⟩)† 와 같이 나타낸다. 브라 벡터는 켓 벡터가 속한 공간의 쌍대 공간에 속하는 선형 범함수로 이해된다.

이 두 벡터의 가장 기본적인 연산은 내적이다. 브라 ⟨φ|와 켓 |ψ⟩의 내적은 ⟨φ|ψ⟩로 쓰며, 하나의 복소수 값을 결과로 낸다. 이 내적은 확률 진폭을 계산하는 데 핵심적인 역할을 한다. 내적은 켓과 브라의 결합 순서에 따라 의미가 달라지므로, |ψ⟩⟨φ|와 같은 외적과는 명확히 구분된다.

브라와 켓의 구분은 양자역학의 계산을 체계적으로 만든다. 내적 ⟨ψ|ψ⟩는 상태의 노름을, 서로 다른 상태의 내적 ⟨φ|ψ⟩는 두 상태 사이의 중첩 정도를 나타낸다. 이 표기법은 상태의 추상적 성질을 강조하면서도, 구체적인 기저를 선택하여 행렬과 성분 계산으로 쉽게 전환할 수 있는 유연성을 제공한다.

내적은 하나의 브라 벡터와 하나의 켓 벡터를 결합하여 스칼라 값을 생성하는 연산이다. 수학적으로, 브라 벡터 ⟨ψ|와 켓 벡터 |φ⟩의 내적은 ⟨ψ|φ⟩로 표기하며, 이는 복소수 스칼라 값이다. 이 내적은 힐베르트 공간에서 벡터 간의 '겹침' 또는 '사영'을 나타내며, 양자역학에서 한 상태가 다른 상태에서 발견될 확률 진폭에 해당한다. 내적은 켤레 대칭성(⟨ψ|φ⟩ = ⟨φ|ψ⟩*)과 선형성을 만족한다.

외적은 하나의 켓 벡터와 하나의 브라 벡터를 결합하여 선형 연산자를 생성하는 연산이다. 켓 |ψ⟩와 브라 ⟨φ|의 외적은 |ψ⟩⟨φ|로 표기한다. 이 결과는 벡터가 아닌, 다른 벡터에 작용할 수 있는 연산자가 된다. 예를 들어, 연산자 (|ψ⟩⟨φ|)가 켓 |χ⟩에 작용하면 (|ψ⟩⟨φ|)|χ⟩ = ⟨φ|χ⟩ |ψ⟩가 되어, 스칼라 ⟨φ|χ⟩에 의해 크기가 조정된 벡터 |ψ⟩를 결과로 낸다.

내적과 외적의 관계는 완비성 관계를 통해 명확히 드러난다. 어떤 정규직교 기저 {|n⟩}에 대해, 항등 연산자 I는 Σ_n |n⟩⟨n| = I 로 표현된다. 이 관계를 이용하면 내적 ⟨ψ|φ⟩를 ⟨ψ|I|φ⟩ = Σ_n ⟨ψ|n⟩⟨n|φ⟩로, 연산자 A를 A = I A I = Σ_m,n |m⟩⟨m|A|n⟩⟨n|로 전개할 수 있다. 이때 ⟨m|A|n⟩은 연산자 A의 행렬 표현 요소가 된다.

완비성 관계는 주어진 힐베르트 공간의 임의의 벡터가 그 공간의 기저 벡터들의 선형 조합으로 유일하게 표현될 수 있음을 보장하는 수학적 관계이다. 양자역학에서 이 관계는 상태 공간의 기저 시스템을 정의하고, 상태 벡터를 특정 표현으로 전개하는 데 필수적이다.

이 관계는 브라 벡터와 켓 벡터로 구성된 외적 연산자들의 합(또는 적분)으로 표현된다. 이산적인 정규 직교 기저 {|n⟩}의 경우, 완비성 관계는 다음과 같다.

∑_n |n⟩⟨n| = Î

여기서 Î는 항등 연산자를 나타낸다. 이 합은 모든 기저 상태에 대해 이루어진다. 연속적인 정규 직교 기저 {|x⟩}의 경우, 합은 적분으로 대체된다.

∫ dx |x⟩⟨x| = Î

이 관계는 파동 함수 ψ(x) = ⟨x|ψ⟩의 표현이 상태 |ψ⟩의 완전한 정보를 담고 있음을 수학적으로 뒷받침한다. 즉, 상태 |ψ⟩는 |ψ⟩ = ∫ dx |x⟩⟨x|ψ⟩ = ∫ dx ψ(x) |x⟩와 같이 기저 상태 |x⟩들로 전개될 수 있다.

완비성 관계는 계산에서 매우 강력한 도구로 작용한다. 예를 들어, 두 상태 ⟨φ|ψ⟩의 내적을 계산할 때, 기저 사이에 완비성 관계를 삽입함으로써 내적을 해당 기저에서의 파동 함수들의 적분 형태로 변환할 수 있다.

⟨φ|ψ⟩ = ⟨φ| Î |ψ⟩ = ⟨φ| (∫ dx |x⟩⟨x| ) |ψ⟩ = ∫ dx φ*(x) ψ(x)

마찬가지로, 연산자의 행렬 요소 ⟨m|Â|n⟩를 계산하거나, 서로 다른 기저 사이의 변환을 수행할 때도 핵심적인 역할을 한다.

양자역학에서 시스템의 상태는 힐베르트 공간에 속하는 벡터로 표현된다. 브라-켓 표기법은 이러한 상태 벡터를 간결하게 나타내는 체계를 제공한다. 특히, 시스템의 상태는 켓 벡터 |ψ⟩로 표기하며, 이는 파동 함수 ψ(x)에 해당하는 추상적인 표현이다.

상태 표현의 핵심은 기저의 선택에 따라 동일한 상태가 다양한 형태로 전개될 수 있다는 점이다. 예를 들어, 위치 기저 {|x⟩}를 사용하면 상태는 |ψ⟩ = ∫ ψ(x) |x⟩ dx 로 표현되고, 여기서 ψ(x) = ⟨x|ψ⟩는 위치 공간에서의 파동 함수가 된다. 마찬가지로 운동량 기저 {|p⟩}를 사용하면 |ψ⟩ = ∫ φ(p) |p⟩ dp 로 표현되며, φ(p) = ⟨p|ψ⟩는 운동량 공간 파동 함수가 된다.

이 표기법은 상태의 중첩 원리를 자연스럽게 표현한다. 예를 들어, 두 상태 |A⟩와 |B⟩의 선형 결합 a|A⟩ + b|B⟩는 새로운 상태를 나타낸다. 또한, 상태의 정규화 조건은 내적 ⟨ψ|ψ⟩ = 1로 간단히 쓸 수 있다. 이는 파동 함수 표현에서 ∫ \|ψ(x)\|² dx = 1과 동등하다.

양자역학에서 관측량은 에르미트 연산자로 표현된다. 예를 들어, 위치, 운동량, 해밀토니안과 같은 물리량은 각각 해당하는 에르미트 연산자 \(\hat{X}\), \(\hat{P}\), \(\hat{H}\)에 대응한다. 시스템이 특정 상태 \(|\psi\rangle\)에 있을 때, 관측량 \(\hat{A}\)의 기대값은 그 관측량의 평균 측정 결과를 의미한다.

기대값은 브라-켓 표기법을 사용하여 \(\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle\)로 계산된다. 이 표현은 상태 \(|\psi\rangle\)에 대한 연산자 \(\hat{A}\)의 내적으로 해석된다. 만약 상태 \(|\psi\rangle\)가 연산자 \(\hat{A}\)의 고유상태라면, 즉 \(\hat{A} |\psi\rangle = a |\psi\rangle\)를 만족한다면, 기대값은 그 고유값 \(a\)와 정확히 일치한다. 일반적인 상태는 여러 고유상태의 중첩이므로, 기대값은 각 고유값의 확률 가중 평균이 된다.

기대값 계산은 완비성 관계를 활용하여 구체적인 표현으로 전개할 수 있다. 연산자 \(\hat{A}\)의 고유값 \(a_n\)과 정규직교 고유상태 \(|n\rangle\)을 가정하면, 기대값은 다음과 같이 표현된다.

\[

\langle \hat{A} \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \sum_n a_n |\langle n | \psi \rangle|^2.

\]

여기서 \(|\langle n | \psi \rangle|^2\)는 상태 \(|\psi\rangle\)에서 고유값 \(a_n\)을 측정할 확률을 나타낸다. 따라서 기대값은 가능한 모든 측정 결과에 대한 확률적 평균이 된다.

이 표기법은 불확정성 원리를 정량적으로 표현하는 데에도 유용하다. 관측량 \(\hat{A}\)와 \(\hat{B}\)에 대한 불확정성은 각각의 분산 \(\langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle = \langle \hat{A}^2 \rangle - \langle \hat{A} \rangle^2\)으로 정의되며, 이들의 곱은 두 연산자의 교환자 관계에 의해 하한이 결정된다.

슈뢰딩거 방정식은 양자역학의 기본 운동 방정식으로, 시스템의 상태가 시간에 따라 어떻게 진화하는지를 기술한다. 브라-켓 표기법을 사용하면 이 방정식을 매우 간결하고 일반적인 형태로 표현할 수 있다. 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓴다.

\[

i\hbar \frac{d}{dt} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle

\]

여기서 \( i \)는 허수 단위, \( \hbar \)는 플랑크 상수를 \( 2\pi \)로 나눈 값, \( \frac{d}{dt} \)는 시간 미분 연산자이다. \( |\psi(t)\rangle \)은 시간 \( t \)에서의 시스템 상태를 나타내는 켓 벡터이며, \( \hat{H} \)는 시스템의 해밀토니안 연산자이다. 이 방정식은 상태 벡터의 시간 변화율이 해밀토니안 연산자를 그 상태에 작용시킨 결과에 비례한다는 것을 의미한다.

만약 해밀토니안 \( \hat{H} \)가 시간에 명시적으로 의존하지 않는다면, 슈뢰딩거 방정식의 형식적 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[

|\psi(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t / \hbar} |\psi(0)\rangle

\]

여기서 \( |\psi(0)\rangle \)은 초기 상태를 나타내며, \( e^{-i\hat{H}t / \hbar} \)는 시간 진화 연산자이다. 이 표현은 연산자의 지수 함수로 정의된다. 또한, 정상 상태, 즉 에너지 고유상태 \( |E_n\rangle \)는 시간에 대한 의존성이 위상 인자로만 나타나며, 이는 \( \hat{H} |E_n\rangle = E_n |E_n\rangle \)을 만족시킨다. 이러한 상태에서의 시간 진화는 \( |E_n(t)\rangle = e^{-iE_n t / \hbar} |E_n(0)\rangle \)으로 주어진다.

브라-켓 표기법으로 슈뢰딩거 방정식을 표현하면, 구체적인 좌표계나 표현(예: 위치 공간, 운동량 공간)의 선택과 무관한 추상적이고 일반적인 형식을 얻는다. 특정 표현으로 전환하려면 적절한 완비성 관계를 양변에 삽입하면 된다. 예를 들어, 위치 공간 표현의 파동함수 \( \psi(x, t) = \langle x | \psi(t) \rangle \)를 얻기 위해 양변에 \( \langle x | \)를 작용시키면, 익숙한 편미분 방정식 형태의 슈뢰딩거 방정식을 유도할 수 있다.

연산자는 켓 벡터 공간에서 다른 켓 벡터로의 선형 사상으로 작용한다. 임의의 연산자 Â와 상태 벡터 |ψ⟩에 대해, Â|ψ⟩는 새로운 상태 벡터를 나타낸다. 예를 들어, 해밀토니안 연산자 Ĥ는 에너지와 관련된 물리량을 나타내며, Ĥ|ψ⟩는 상태 |ψ⟩에 에너지 연산자를 적용한 결과이다.

연산자의 작용은 브라 벡터 공간에서도 정의된다. 브라 벡터 ⟨φ|에 연산자 Â가 오른쪽에서 작용하면, ⟨φ|Â는 새로운 브라 벡터가 된다. 이 새로운 브라 벡터는 임의의 켓 |χ⟩와의 내적 (⟨φ|Â)|χ⟩ = ⟨φ|(Â|χ⟩)을 통해 그 의미가 명확해진다. 이는 결국 상태 ⟨φ|와 상태 Â|χ⟩의 내적과 같다.

연산자의 기대값 계산은 브라-켓 표기법으로 간결하게 표현된다. 상태 |ψ⟩에서 물리량 Â의 기대값 ⟨Â⟩는 ⟨ψ|Â|ψ⟩로 주어진다. 이 표현은 Â|ψ⟩라는 새로운 상태와 원래 상태 |ψ⟩의 내적을 의미한다. 만약 |ψ⟩가 Â의 고유상태라면, Â|ψ⟩ = a|ψ⟩가 성립하므로 기대값은 고유값 a가 된다.

두 연산자의 곱 ÂB̂의 작용은 결합 법칙을 따른다. 즉, (ÂB̂)|ψ⟩ = Â(B̂|ψ⟩)이다. 그러나 일반적으로 연산자의 곱은 교환 법칙을 만족하지 않아, ÂB̂|ψ⟩와 B̂Â|ψ⟩는 서로 다른 결과를 낳을 수 있다. 이 비가환성은 정준 교환 관계와 같은 양자역학의 근본적 특성을 반영한다.

에르미트 연산자는 양자역학에서 물리적 관측량을 나타내는 핵심적인 연산자이다. 이 연산자는 수학적으로 에르미트 행렬의 무한차원 일반화로 볼 수 있다. 어떤 연산자 Â가 에르미트 연산자이기 위해서는 임의의 상태 벡터 |ψ⟩와 |φ⟩에 대해 ⟨ψ|Â|φ⟩ = ⟨φ|Â|ψ⟩* 관계를 만족해야 한다. 여기서 *는 복소공액을 나타낸다.

에르미트 연산자의 가장 중요한 성질은 그 고윳값이 항상 실수라는 점이다. 양자역학에서 측정 가능한 모든 물리량, 예를 들어 에너지, 운동량, 스핀 등은 실수값을 가져야 하므로, 이들은 반드시 에르미트 연산자에 의해 표현된다. 또한, 서로 다른 고윳값에 해당하는 고유벡터들은 서로 직교한다. 이 성질은 측정 결과의 구별 가능성과 직관적으로 연결된다.

에르미트 연산자의 또 다른 중요한 특징은 완비성 관계를 통해 물리적 상태의 확장을 가능하게 한다는 점이다. 에르미트 연산자의 고유벡터 집합은 일반적으로 정규직교기저를 형성하여, 임의의 상태 벡터를 이 기저로 전개할 수 있다. 이는 특정 관측량을 측정했을 때 각 가능한 결과가 나올 확률을 계산하는 데 필수적이다.

주요 물리적 관측량과 대응하는 에르미트 연산자의 예는 다음과 같다.

이 표에서 ħ는 디랙 상수이며, ∇²는 라플라시안이다. 모든 에르미트 연산자는 기대값 계산 ⟨ψ|Â|ψ⟩에서 항상 실수값을 준다. 이는 실험적 측정 결과와의 일관성을 보장한다.

표현 변환은 동일한 상태 벡터나 연산자를 서로 다른 기저로 표현하는 과정을 의미한다. 예를 들어, 위치 공간의 파동 함수 ψ(x) = ⟨x|ψ⟩는 상태 |ψ⟩를 위치 기저 {|x⟩}로 표현한 것이며, 운동량 공간의 파동 함수 φ(p) = ⟨p|ψ⟩는 동일한 상태를 운동량 기저 {|p⟩}로 표현한 것이다. 두 표현은 푸리에 변환을 통해 서로 연결된다.

이 변환은 완비성 관계를 활용하여 수행된다. 위치 표현에서 운동량 표현으로의 변환은 다음과 같은 적분을 통해 이루어진다.

φ(p) = ⟨p|ψ⟩ = ∫ ⟨p|x⟩⟨x|ψ⟩ dx = (1/√(2πħ)) ∫ e^{-ipx/ħ} ψ(x) dx

여기서 ⟨p|x⟩ = (1/√(2πħ)) e^{-ipx/ħ} 는 두 기저 사이의 변환 함수, 즉 평면파 함수 역할을 한다.

연산자의 표현 변환도 유사한 방식으로 정의된다. 위치 기저에서의 연산자 Â는 ⟨x|Â|x'⟩와 같은 행렬 요소로 표현되지만, 운동량 기저에서는 ⟨p|Â|p'⟩로 표현된다. 두 표현 사이의 관계는 다음과 같다.

⟨p|Â|p'⟩ = ∫∫ ⟨p|x⟩⟨x|Â|x'⟩⟨x'|p'⟩ dx dx'

이 공식은 기저의 변경이 연산자의 행렬 표현을 어떻게 바꾸는지를 보여준다.

표를 통해 주요 변환 관계를 정리하면 다음과 같다.

이러한 표현 변환의 자유로움은 브라-켓 표기법의 강력한 장점 중 하나로, 물리적 문제를 해결하기에 가장 편리한 기저를 선택할 수 있게 해준다.

브라-켓 표기법은 양자 상태와 연산자를 매우 간결하고 직관적인 형태로 표현할 수 있게 해준다. 파동 함수를 사용할 때는 위치 공간에서 $\psi(x)$와 같은 함수 형태로 기술해야 하지만, 브라-켓 표기법에서는 상태 자체를 추상적인 벡터 $|\psi\rangle$로 나타낸다. 이로 인해 상태의 물리적 본질에 더 집중할 수 있으며, 특정 기저에 의존하지 않는 일반적인 계산이 가능해진다.

연산자의 작용 또한 명확하게 표현된다. 예를 들어, 에르미트 연산자 $\hat{A}$가 상태 $|\psi\rangle$에 작용한 결과는 간단히 $\hat{A}|\psi\rangle$로 쓴다. 내적 계산은 $\langle\phi|\psi\rangle$, 기대값 계산은 $\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$와 같이 직관적인 형태를 가진다. 특히 완비성 관계 $\sum_n |n\rangle\langle n| = \hat{I}$를 활용하면 연산자나 상태를 전개하거나 기저를 변환하는 과정이 단순한 대수적 조작으로 이루어진다.

이 표기법의 간결성은 복잡한 다입자 시스템을 다룰 때 두드러진다. 두 개의 다른 입자로 구성된 시스템의 상태는 단순히 텐서 곱 $|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle$ 또는 더 간략히 $|\psi\rangle|\phi\rangle$로 표기할 수 있다. 파동 함수 표기법으로는 다차원 함수 $\Psi(x_1, x_2, ...)$를 다뤄야 하는 복잡함이 있다.

이러한 간결한 표현은 방정식의 구조를 명확하게 보여주어, 양자역학의 추상적 대수적 구조를 학습하고 다루는 데 큰 장점을 제공한다.

좌표 불변성은 브라-켓 표기법의 핵심적인 장점 중 하나이다. 이 표기법은 상태 벡터와 연산자를 추상적인 기하학적 대상으로 다루기 때문에, 특정한 좌표계나 기저의 선택에 의존하지 않는다. 예를 들어, 어떤 양자 상태를 표현하는 켓 벡터 |ψ〉는 그 자체로 좌표에 무관한 존재이다.

이 상태를 특정 기저, 예를 들어 위치 기저 {|x〉}나 운동량 기저 {|p〉}에 투영하면 각각 파동 함수 ψ(x) = 〈x|ψ〉와 φ(p) = 〈p|ψ〉를 얻는다. 브라-켓 표기법은 이러한 기저 변환을 매우 명료하게 표현할 수 있다. 내적 〈φ|ψ〉의 값은 기저 선택과 무관하게 동일하게 유지되며, 이는 다음과 같은 완비성 관계를 통해 기저 변환을 수행할 때 명확히 드러난다.

이러한 특성은 물리적 예측이 관측자의 좌표계 선택에 따라 달라져서는 안 된다는 물리학의 기본 원리를 수학적으로 자연스럽게 반영한다. 따라서 복잡한 계산에서도 기저를 자유롭게 오가며 가장 편리한 표현을 선택할 수 있어, 문제 해결의 유연성과 간결성을 크게 향상시킨다.

브라-켓 표기법은 힐베르트 공간과 같은 추상적인 벡터 공간을 다루는 데 매우 효과적인 언어를 제공한다. 이 표기법은 벡터의 구체적인 표현(예: 특정 좌표계에서의 성분이나 파동 함수 형태)에 의존하지 않고, 상태와 연산자 사이의 대수적 관계를 직접적으로 기술할 수 있게 한다. 따라서 물리적 시스템의 본질을 기저의 선택과 무관하게 추상적으로 서술하는 데 적합하다.

예를 들어, 어떤 양자 상태를 기술할 때, 위치 공간에서는 파동 함수 ψ(x)로, 운동량 공간에서는 φ(p)로 나타낼 수 있다. 브라-켓 표기법에서는 이 두 표현을 각각 〈x|ψ〉와 〈p|ψ〉로 쓰며, 상태 자체는 기저에 독립적인 추상 벡터 |ψ〉로 나타낸다. 이는 상태의 물리적 실체가 특정 표현에 국한되지 않음을 강조하며, 서로 다른 표현 사이의 변환(예: 푸리에 변환)을 〈x|p〉와 같은 내적으로 간결하게 표현할 수 있게 한다.

이러한 추상성은 복잡한 다입자 시스템이나 무한차원 공간을 다룰 때 특히 강력한 이점을 발휘한다. 구체적인 함수 형태를 상정하기 어려운 경우에도, 상태 벡터와 연산자 사이의 대수적 관계(예: 교환 관계)를 명확히 정의하고 조작할 수 있다. 결과적으로, 브라-켓 표기법은 양자역학의 수학적 구조를 보다 일반적이고 우아하게 포착하며, 이론의 확장과 새로운 물리적 현상의 모델링을 용이하게 한다.

파동 함수 표기법은 양자역학의 상태를 공간 좌표의 함수 ψ(x)로 표현하는 방식이다. 이는 슈뢰딩거 방정식의 해로 직접 얻어지며, 입자가 특정 위치 x에서 발견될 확률 밀도는 |ψ(x)|²에 비례한다[2]. 이 표기법은 특히 퍼텐셜 문제나 산란 문제 등 공간적 분포가 중요한 문제를 다룰 때 직관적이다.

브라-켓 표기법과의 주요 차이는 표현의 추상성 수준에 있다. 파동 함수 ψ(x)는 특정 기저에 대한 상태 벡터의 성분, 즉 ⟨x|ψ⟩로 해석될 수 있다. 여기서 |x⟩는 위치 고유상태를 나타내는 켓 벡터이다. 따라서 파동 함수 표기법은 브라-켓 표기법에서 위치 기저를 선택한 특별한 경우에 해당한다.

다음 표는 두 표기법의 주요 대응 관계를 보여준다.

파동 함수 표기법은 구체적인 계산에 유리하지만, 기저 의존적이라는 한계가 있다. 반면 브라-켓 표기법은 기저 선택에 독립적인 추상적 형식을 제공하여, 이론의 일반적 구조를 더 명확히 드러낸다. 예를 들어, 운동량 공간 파동 함수 φ(p)는 위치 공간 파동 함수 ψ(x)의 푸리에 변환으로 주어지는데, 브라-켓 표기법에서는 단순히 ⟨p\|ψ⟩로 표현되며 기저 변환은 ⟨p\|x⟩와 같은 중첩 적분으로 체계화된다.

행렬 역학은 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단에 의해 1925년에 창시된 양자역학의 초기 공식화 중 하나이다. 이 이론은 물리적 관측량을 행렬로 표현하고, 시스템의 역학은 행렬 방정식으로 기술한다. 브라-켓 표기법은 이러한 행렬 역학의 핵심 구조를 추상화하고 일반화하여, 기저에 의존하지 않는 보다 우아한 형식 체계를 제공한다.

구체적으로, 켓 벡터 |ψ⟩는 상태를 나타내는 열 벡터에 해당하고, 브라 벡터 ⟨φ|는 행 벡터에 해당한다. 두 상태의 내적 ⟨φ|ψ⟩는 행 벡터와 열 벡터의 곱, 즉 하나의 숫자(스칼라)를 의미한다. 한편, 외적 |ψ⟩⟨φ|는 열 벡터와 행 벡터의 곱으로, 하나의 행렬(연산자)을 생성한다. 특히, 어떤 에르미트 연산자 Â의 행렬 표현은 특정 기저 {|n⟩}에서 Â|m⟩의 계수, 즉 Âₘₙ = ⟨m|Â|n⟩로 주어지는데, 이는 행렬 역학에서 관측량 행렬의 (m, n) 성분에 정확히 대응한다.

따라서 브라-켓 표기법은 행렬 역학의 모든 내용을 포함하면서도, 특정 표현(예: 에너지 고유 상태 기저, 위치 고유 상태 기저)을 명시적으로 선택하지 않고도 이론을 전개할 수 있는 유연성을 부여한다. 이는 파동 함수 ψ(x) = ⟨x\|ψ⟩와 같은 관계를 통해 파동 역학과도 자연스럽게 연결되는 장점을 가진다[3]. 결국 디랙의 표기법은 행렬 역학의 대수적 구조를 보존하면서도 기하학적 직관과 계산적 편의성을 크게 향상시켰다.

브라-켓 표기법에서 기저는 상태 공간을 구성하는 기본 벡터들의 집합을 의미한다. 가장 일반적으로 사용되는 것은 직교 기저로, 기저 벡터들 사이의 내적이 0이거나 1인 특성을 가진다. 정규 직교 기저 {|n⟩}는 ⟨m|n⟩ = δ_{mn} (크로네커 델타)의 관계를 만족한다. 이 관계는 서로 다른 기저 상태가 수직(직교)이며, 각 상태의 노름이 1(정규화)임을 보장한다. 이러한 기저를 사용하면 임의의 상태 |ψ⟩를 |ψ⟩ = Σ_n c_n |n⟩와 같이 선형 결합으로 쉽게 전개할 수 있으며, 계수 c_n은 c_n = ⟨n|ψ⟩로 주어진다.

반면, 비직교 기저는 기저 벡터들이 서로 직교하지 않는 집합을 말한다. 이 경우 ⟨i|j⟩ ≠ δ_{ij}가 일반적이다. 비직교 기저는 특정 물리적 상황(예: 원자 궤도함수 간의 중첩이 큰 경우)이나 계산상의 편의를 위해 사용될 수 있다. 그러나 비직교 기저를 다룰 때는 주의가 필요하다. 상태의 전개와 계수의 해석이 직교 기저보다 복잡해지며, 내적 계산에 기저 벡터 간의 중첩 적분 S_{ij} = ⟨i|j⟩를 포함하는 중첩 행렬이 추가로 고려되어야 한다.

두 종류의 기저는 쌍대 기저 개념을 통해 연결된다. 비직교 기저 {|φ_i⟩}가 주어졌을 때, 이에 대응하는 쌍대 기저 {⟨χ_j|}는 ⟨χ_j|φ_i⟩ = δ_{ji}를 만족하도록 정의된다. 이 쌍대 기저는 원래 기저와 함께 사용되어, 직교 기저에서와 유사한 형태의 완비성 관계(Σ_i |φ_i⟩⟨χ_i| = 1)나 상태 전개(|ψ⟩ = Σ_i |φ_i⟩⟨χ_i|ψ⟩)를 구성할 수 있게 해준다. 따라서 비직교 기저를 활용하더라도 수학적 일관성을 유지할 수 있다.

결론적으로, 직교 기저는 표준적이고 간결한 표현을 제공하는 반면, 비직교 기저는 더 넓은 유연성을 제공하지만 추가적인 수학적 장치가 필요하다. 양자역학의 공식화에서는 대부분 정규 직교 기저가 기본적으로 채택되지만, 분자 오비탈 이론이나 응집물질 물리학의 특정 계산 등에서는 비직교 기저가 유용하게 적용된다.

브라-켓 표기법은 이산 스펙트럼을 갖는 상태뿐만 아니라, 연속 스펙트럼을 갖는 관측량의 고유 상태를 다루는 데에도 매우 효과적이다. 예를 들어, 위치나 운동량과 같은 관측량의 고유값은 연속적인 값을 가지며, 이에 대응하는 고유 상태들은 정규화된 내적이 디랙 델타 함수로 표현된다.

이를 처리하기 위해 합 기호 대신 적분을 도입한다. 완비성 관계는 ∑_n |n⟩⟨n| = 1 대신 ∫ dx |x⟩⟨x| = 1 과 같은 형태를 취한다. 여기서 |x⟩는 위치 고유 상태를 나타낸다. 임의의 상태 |ψ⟩는 이 연속 기저로 전개될 수 있으며, |ψ⟩ = ∫ dx |x⟩⟨x|ψ⟩ = ∫ dx ψ(x) |x⟩ 로 쓸 수 있다. 이때, ⟨x|ψ⟩ = ψ(x) 는 기저 {|x⟩}에서의 상태 표현, 즉 기존의 파동 함수에 해당한다.

내적 계산도 적분 형태로 변환된다. 두 상태 |ψ⟩와 |ϕ⟩의 내적 ⟨ψ|ϕ⟩는 ⟨ψ|ϕ⟩ = ∫ dx ⟨ψ|x⟩⟨x|ϕ⟩ = ∫ dx ψ*(x) ϕ(x) 로 계산된다. 연산자의 행렬 요소 또한 ⟨x|Â|x'⟩ 와 같은 형태로 표현되며, 이는 종종 적분 핵심(kernel)의 역할을 한다.

따라서 브라-켓 표기법은 이산적 경우와 연속적 경우를 통일된 형식으로 아우르며, 표기상의 유사성을 통해 양자역학의 수학적 구조를 보다 추상적이고 일반적으로 서술할 수 있게 해준다.

다입자 시스템에서 브라-켓 표기법은 각 입자의 상태를 기술하는 켓 벡터의 텐서 곱을 통해 전체 시스템의 상태를 표현하는 데 효과적으로 사용된다. 예를 들어, 입자 1이 상태 |ψ₁〉에 있고 입자 2가 상태 |φ₂〉에 있는 2입자 시스템의 상태는 |ψ₁〉⊗ |φ₂〉 또는 간략히 |ψ₁〉|φ₂〉, 또는 |ψ₁, φ₂〉로 표기한다. 이 표기법은 입자의 수가 증가하더라도 동일한 원리로 확장 적용할 수 있다.

구별 가능한 입자와 동일한 입자(예: 페르미온 또는 보손)의 경우, 상태의 대칭성 요건을 이 표기법 안에서 명확히 부과할 수 있다. 예를 들어, 두 개의 동일한 보손으로 구성된 시스템은 교환 대칭성을 가져야 하므로, 적절히 대칭화된 상태 (|a〉|b〉 + |b〉|a〉)/√2 로 표현된다. 반면 두 개의 동일한 페르미온 시스템은 반대칭성을 요구받아 (|a〉|b〉 - |b〉|a〉)/√2 와 같은 슬레이터 행렬식 형태로 나타난다.

다입자 시스템에서의 관측량 연산자 역시 각 입자의 힐베르트 공간에 작용하는 연산자들의 텐서 곱으로 구성된다. 입자 1에만 작용하는 연산자 Â는 Â⊗Î (Î는 단위 연산자)로, 두 입자에 동시에 작용하는 연산자(예: 상호작용)는 연산자들의 텐서 곱 합으로 표현된다. 이 구조를 통해 복잡한 다체 문제의 수학적 형식화가 체계적으로 이루어진다.

이 표기법은 특히 2차 양자화 형식으로 넘어가는 과정에서 자연스러운 틀을 제공한다. 여기서 다입자 상태는 각 입자 상태의 점유수로 기술되며, 생성 및 소멸 연산자가 브라-켓 표기법을 바탕으로 정의되어 입자 수가 변하는 시스템을 기술하는 데 핵심적인 역할을 한다.

폴 디랙은 1939년 출판된 그의 저서 《양자역학의 원리》에서 브라-켓 표기법을 공식적으로 도입하고 체계화했다. 이 표기법은 그가 양자역학의 수학적 형식화를 위해 고안한 독창적인 기호 체계이다. 디랙은 이 표기법을 통해 상태 벡터와 그 쌍대 공간의 원소를 각각 '켓'과 '브라'로 명명했으며, 이 둘의 결합으로 내적이 형성됨을 직관적으로 보여주었다[5].

디랙의 이 기여는 당시 양자역학의 두 주요 형식인 파동 역학과 행렬 역학을 통합하는 데 중요한 역할을 했다. 그는 브라와 켓을 사용하여 에르빈 슈뢰딩거의 파동 함수와 베르너 하이젠베르크의 행렬 요소를 동일한 추상적 벡터 공간의 언어로 표현할 수 있음을 보였다. 이는 양자역학의 수학적 구조를 보다 일반적이고 우아하게 만드는 결정적 계기가 되었다.

디랙이 창안한 이 표기법은 단순히 기호상의 편의를 넘어, 양자역학의 핵심 개념인 상태의 중첩, 관측 가능량, 확률 진폭 등을 표현하는 데 있어 본질적인 명료성을 제공했다. 그의 이러한 작업은 양자 이론의 발전에 지대한 영향을 미쳤으며, 브라-켓 표기법은 오늘날까지 양자역학과 양자 정보 이론을 배우고 연구하는 데 필수적인 도구로 남아 있다.

폴 디랙이 1939년 저서 《양자역학의 원리》에서 체계화한 브라-켓 표기법은 양자역학의 수학적 형식 체계가 성숙해가는 과정에서 등장한 결정체이다. 이 표기법의 도입은 파동 함수를 중심으로 한 슈뢰딩거의 파동역학과 행렬을 중심으로 한 하이젠베르크의 행렬역학 사이의 동등성을 명확히 보여주는 강력한 도구가 되었다. 두 접근법은 서로 다른 수학적 언어로 기술되었지만, 브라-켓 표기법 아래에서는 상태 벡터와 연산자라는 동일한 추상적 개념으로 통합되어 표현될 수 있었다[6].

브라-켓 표기법의 확립은 양자역학의 공리적 체계를 정립하는 데 기여했다. 상태, 관측량, 측정, 시간 발전 등 양자역학의 핵심 개념들이 이 표기법을 통해 간결하고 일반적인 형태로 서술될 수 있게 되었다. 특히 에르미트 연산자와 고유값을 이용한 관측량의 표현, 그리고 완비성 관계를 통한 상태의 전개는 양자 이론의 표준적인 서술 방식을 정형화하는 데 결정적인 역할을 했다.

이 표기법은 양자역학의 적용 범위를 넓히는 데도 중요한 토대를 제공했다. 스핀, 각운동량 합성, 섭동 이론 등 보다 복잡한 물리적 현상을 다루거나, 양자장론과 같은 후속 이론들이 발전하는 과정에서 그 유연성과 추상성이 빛을 발했다. 브라-켓 표기법은 단순한 표기법의 편의를 넘어, 양자역학이 하나의 엄밀하고 일반적인 이론 체계로 자리 잡는 데 있어 필수적인 언어가 되었다.