하이젠베르크의 불확정성 원리

양자역학은 20세기 초 고전 물리학이 설명하지 못하는 현상을 설명하기 위해 발전했다. 특히 흑체 복사, 광전 효과, 원자 스펙트럼 등의 실험 결과는 고전역학과 전자기학으로는 이해할 수 없었다. 1900년 막스 플랑크가 에너지가 양자화되어 있다는 가정을 통해 흑체 복사 문제를 해결한 것이 양자 이론의 출발점이었다[1].

이후 알베르트 아인슈타인은 1905년 광전 효과를 설명하기 위해 빛이 광자라는 입자성도 가진다는 가설을 제시했다. 1913년 닐스 보어는 수소 원자의 안정성과 선 스펙트럼을 설명하기 위해 원자 모형에 양자화 조건을 도입했다. 1920년대에 들어 루이 드 브로이는 물질의 파동-입자 이중성을 제안했고, 이를 바탕으로 에르빈 슈뢰딩거는 1926년 파동 함수를 기술하는 슈뢰딩거 방정식을 발표했다.

동시에 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단은 행렬을 기반으로 한 다른 형식의 양자역학, 즉 행렬역학을 발전시켰다. 이 두 접근법은 수학적으로 동등함이 곧 밝혀졌다. 이러한 급속한 이론적 발전 속에서 물리량의 측정과 예측의 근본적 한계에 대한 질문이 대두되었고, 이는 하이젠베르크의 불확정성 원리로 이어지는 직접적인 맥락을 형성했다.

1925년 여름, 베르너 하이젠베르크는 심한 꽃가루 알레르기로 고생하며 헬골란트 섬에서 요양을 했다. 이곳에서 그는 양자역학의 기초를 완전히 새롭게 정립하는 작업에 몰두했다. 그의 핵심적인 목표는 원자 내부에서 전자의 궤도와 같은 '보이지 않는 양'에 대한 구체적인 시각적 모형을 버리고, 오직 실험으로 관측 가능한 양, 예를 들어 원자 스펙트럼 선의 진동수와 강도만을 이론의 근간으로 삼는 것이었다.

이 접근법은 니엘스 보어의 보어 원자 모형이 가진 한계를 극복하려는 시도에서 비롯되었다. 하이젠베르크는 관측 가능한 물리량 사이의 관계를 수학적으로 표현하는 데 집중했고, 그 과정에서 기존의 고전역학 변수들의 곱셈이 교환법칙을 만족하지 않는 새로운 대수학을 도입하게 되었다. 이 아이디어는 막스 보른과 파스쿠알 요르단의 협력을 통해 체계화되어, 1925년 말 '행렬역학'으로 공식 발표되었다[2].

불확정성 원리는 이 행렬역학의 발전 과정에서 자연스럽게 도출된 결과였다. 1927년 초, 하이젠베르크는 양자역학의 물리적 해석을 명확히 하기 위해 사고 실험을 고안했다. 가장 유명한 예는 감마선 현미경 사고 실험으로, 한 순간의 위치를 정확히 측정하기 위해 필요한 짧은 파장의 빛(예: 감마선)은 광자의 큰 운동량을 입자에 전달하여 그 운동량을 크게 교란시킨다는 점을 지적했다. 그는 이러한 분석을 수학적으로 정리하여, 두 공액 변수인 위치와 운동량의 불확정도의 곱이 플랑크 상수에 의해 정해지는 최소값보다 항상 크거나 같아야 함을 보였다. 이 핵심 아이디어는 1927년 3월에 발표된 역사적인 논문 "양자이론적 운동학 및 역학의 직관적 내용에 관하여"에 담겼다.

불확정성 원리의 가장 기본적이고 잘 알려진 형태는 두 개의 교환자를 갖는 관측가능량에 대한 것이다. 위치 운동량 쌍에 대해, 이 관계는 다음과 같은 부등식으로 표현된다.

Δx Δp ≥ ħ/2

여기서 Δx는 위치의 표준편차를, Δp는 운동량의 표준편차를 나타낸다. ħ는 플랑크 상수를 2π로 나눈 환산 플랑크 상수이다. 이 부등식은 입자의 위치와 운동량을 동시에 임의의 정밀도로 결정하는 것이 근본적으로 불가능함을 의미한다. 위치를 매우 정확히 측정하려고 하면(Δx가 작아지면) 운동량의 불확정성(Δp)이 반드시 커지고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.

이 관계는 베르너 하이젠베르크가 1927년에 제안한 이후, 보다 일반적인 수학적 형식으로 엄밀히 증명되었다. 이는 두 에르미트 연산자 A와 B에 대해, 그들의 교환자 [A, B] = AB - BA 가 존재할 때 항상 성립하는 다음의 일반적인 관계식의 특별한 경우이다.

σ_A σ_B ≥ |〈[A, B]〉| / 2

여기서 σ_A와 σ_B는 각 관측가능량의 표준편차를, 오른쪽 항은 교환자의 기댓값의 절반을 나타낸다. 위치(x)와 운동량(p)의 교환자는 [x, p] = iħ 이므로, 이를 위 일반식에 대입하면 표준적인 Δx Δp ≥ ħ/2 관계가 유도된다.

이 수학적 부등식은 단순한 측정 기술의 한계가 아니라, 양자 상태 자체가 내재적으로 갖는 속성을 반영한다. 즉, 입자는 명확한 위치와 명확한 운동량을 동시에 가지는 고전적인 의미의 '상태'에 존재하지 않는다.

불확정성 원리의 핵심 수학적 표현은 두 관측가능량의 표준편차 곱에 대한 하한을 제시하는 표준 불확정성 관계식이다. 이는 위치와 운동량, 또는 에너지와 시간과 같은 특정한 물리량 쌍에 대해 가장 잘 알려져 있다. 그러나 이 원리는 보다 일반적인 형태로 확장될 수 있으며, 이를 일반화된 불확정성 원리라고 한다.

일반화된 불확정성 원리는 임의의 두 에르미트 연산자 A와 B에 대해 적용된다. 두 연산자의 교환자(commutator) [A, B] = AB - BA를 이용하여, 이들의 불확정성(표준편차) σ_A와 σ_B는 다음 부등식을 만족해야 한다.

이 관계식에서 우변의 기댓값 〈i[A, B]〉는 두 연산자의 교환자에 의해 결정되는 양이다. 만약 두 연산자가 서로 가환(교환 가능)하면, 즉 [A, B] = 0이면, 우변이 0이 되어 σ_A σ_B ≥ 0이 된다. 이는 두 물리량을 동시에 임의의 정밀도로 측정하는 것이 원리적으로 가능함을 의미한다. 반대로, 위치와 운동량 연산자처럼 교환자가 0이 아닌 상수(iħ)인 경우, 불확정성의 곱은 ħ/2보다 작을 수 없게 되어 표준적인 하이젠베르크 관계식이 유도된다.

이 일반화된 형태는 불확정성이 단순히 측정 기술의 한계가 아니라, 양자 상태의 고유한 특성이며, 물리량들의 대수적 구조(교환 관계)에 근본적으로 기인함을 명확히 보여준다. 또한 이 관계는 앙상블(동일한 조건으로 준비된 시스템의 집단)에 대한 통계적 진술로서, 단일 측정의 오차보다는 반복 측정에서 나타나는 분포의 폭을 기술한다.

하이젠베르크의 불확정성 원리는 단순히 측정 장비의 부정확성이나 기술적 한계를 의미하지 않는다. 이 원리는 양자역학적 시스템의 고유한 본질에서 비롯된, 근본적이고 제거할 수 없는 불확정성을 기술한다. 즉, 입자의 위치와 운동량과 같은 특정한 물리량 쌍은 동시에 정확한 값을 가질 수 없다. 측정 행위 자체가 시스템을 교란시켜 불확정성을 초래한다는 해석도 있지만, 더 근본적으로는 입자가 명확한 궤적을 갖지 않는 파동-입자 이중성에 기인한 속성으로 이해된다.

이 원리에 따르면, 입자의 위치를 매우 정밀하게 측정하려고 하면(Δx를 작게 하려고 하면), 그 과정에서 운동량의 불확정성(Δp)은 필연적으로 커지게 된다. 반대의 경우도 마찬가지이다. 이 관계는 두 물리량의 표준편차 곱이 플랑크 상수에 비례하는 양보다 항상 크거나 같다는 수학적 부등식으로 표현된다. 이는 측정 기술이 아무리 발전하더라도 극복할 수 없는 절대적인 한계를 제시한다.

따라서 불확정성 원리는 자연계에 존재하는 인식론적 한계를 넘어, 양자 세계의 존재론적 상태를 규정하는 원리로 받아들여진다. 입자는 측정 전에도 명확한 위치와 운동량을 '가지고 있지 않다'는 해석이 가능하다[6]. 이는 고전 물리학의 결정론적 세계관과 근본적으로 대비되는 특징이다.

파동-입자 이중성은 양자역학의 핵심 개념으로, 전자나 광자와 같은 미시적 입자가 상황에 따라 입자처럼 또는 파동처럼 행동하는 현상을 설명한다. 하이젠베르크의 불확정성 원리는 이 이중성에 대한 깊은 통찰을 제공하며, 두 현상이 수학적으로 밀접하게 연관되어 있음을 보여준다.

불확정성 원리의 표준 관계식 Δx·Δp ≥ ħ/2에서, 위치(x)와 운동량(p)의 불확정성은 서로 반비례 관계에 있다. 이는 입자의 파동적 성질에서 직접적으로 도출될 수 있다. 입자를 데 브로이 물질파로 기술할 때, 그 파동은 공간상에서 국소화된 파동 묶음, 즉 파동군으로 표현된다. 위치를 정확히 측정하려면 파동군이 매우 좁아야 하지만, 이는 다양한 파수(즉, 운동량)를 갖는 많은 평면파의 중첩을 필요로 한다. 반대로, 운동량이 정확히 정의된 단색파는 공간 전체에 퍼져 있어 위치 정보를 제공하지 못한다. 따라서 위치와 운동량의 정확한 동시 결정은 파동의 본질적 성격에 의해 근본적으로 불가능해진다.

이 관계는 이중 슬릿 실험에서도 명확히 드러난다. 슬릿을 통과하는 입자의 경로(위치)를 측정하려고 시도하면, 그 측정 행위가 입자의 운동량에 교란을 일으켜 간섭 무늬(파동성의 증거)가 사라지고 입자성만 관찰된다. 이는 측정 장치와 시스템의 필수적인 상호작용으로 인해 발생하며, 단순한 기술적 한계가 아니라 파동-입자 이중성의 필연적 결과이다. 따라서 불확정성 원리는 파동과 입자라는 두 가지 상보적인 양상을 가진 양자 객체의 행동을 지배하는 근본 법칙으로 이해된다.

초기 실험적 검증은 주로 광자와 전자와 같은 미시적 입자의 동시 측정 불가능성을 간접적으로 보여주는 방식으로 이루어졌다. 1927년 콤프턴 효과에 대한 정밀한 연구는 위치와 운동량을 동시에 정확히 결정하는 것이 근본적으로 불가능함을 시사했다. 입자가 산란되는 과정에서 정확한 위치를 파악하려면 짧은 파장의 빛(예: 감마선)을 사용해야 하지만, 이는 입자에 큰 운동량을 전달하여 그 운동 상태를 크게 교란시킨다. 반대로 운동량을 정밀하게 측정하려면 입자에 미치는 영향을 최소화하기 위해 긴 파장의 빛을 사용해야 하지만, 이는 위치 정보의 정확도를 떨어뜨린다. 이 상충 관계는 불확정성 원리의 핵심을 실험적으로 보여주는 것이었다.

1930년대에 들어서 보다 직접적인 검증 실험이 수행되었다. 1932년에 발표된 가모프의 알파 입자 터널링 효과에 대한 설명은 에너지와 시간의 불확정성 관계를 이용했다. 이는 불확정성 원리가 수학적 형식 이상의 물리적 실재성을 가짐을 보여주는 중요한 사례가 되었다. 또한 전자 회절 실험에서 단일 전자의 간섭 무늬가 점진적으로 형성되는 현상은 전자의 파동성과 입자성, 그리고 측정의 영향을 명확히 드러냈다.

초기의 대표적인 사고 실험인 하이젠베르크의 현미경은 개념적 이해를 돕는 역할을 했다. 이 사고 실험은 광자 하나를 사용하여 전자의 위치를 관측하려 할 때, 광자의 운동량이 전자에게 전달되어 그 운동량을 불확정하게 만드는 과정을 설명한다. 비록 실제 현미경으로 구현하기는 어려웠지만, 이 논의는 불확정성이 측정 장비의 결함이 아닌 자연의 근본적 속성임을 강조하는 데 기여했다.

1990년대 이후 발전된 기술을 바탕으로 하이젠베르크의 불확정성 원리는 단순한 개념적 틀을 넘어 정밀하게 정량화되고 검증되었다. 특히 양자 광학 분야에서 레이저와 단일 광자 검출기를 이용한 실험들이 원리의 정확성을 입증했다. 2012년에는 일본의 연구팀이 스퀴즈드 광 상태를 활용해 위치와 운동량의 곱이 플랑크 상수를 기준으로 0.99까지 도달함을 보여, 원리가 예측하는 근본적인 한계에 근접했다는 것을 실증적으로 확인했다[8].

또한 양역학적 비국소성 실험과 결합된 검증 방법도 개발되었다. 2016년 발표된 연구에서는 양자 얽힘 상태에 있는 두 입자 쌍을 이용해, 한 입자에 대한 측정 정밀도와 다른 입자에 가해지는 교란이 하이젠베르크가 제시한 관계를 따름을 보였다. 이는 불확정성 원리가 단일 입자의 국소적 속성에만 국한되지 않고, 양자 정보 이론에서 중요한 측정-교란 관계로 일반화될 수 있음을 시사한다.

최근에는 초냉각 원자나 양자 점 같은 정교하게 제어 가능한 시스템에서 불확정성 원리를 검증하는 실험이 이루어지고 있다. 아래 표는 주요 현대 실험 기법과 그 특징을 정리한 것이다.

이러한 실험들은 불확정성 원리가 단순한 측정 기술의 한계가 아니라, 양자 상태 자체에 내재된 통계적 분산의 근본적 성질임을 확고히 뒷받침한다. 또한 원리가 양자 암호 통신의 보안성 기반을 설명하고, 양자 메트롤로지에서 측정 정밀도의 이론적 한계를 설정하는 데 실용적으로 활용되고 있다.

하이젠베르크의 불확정성 원리는 양자 정보 과학의 근간을 이루는 핵심 원리 중 하나이다. 이 원리가 제시하는 근본적인 불확정성은 고전 정보 이론과 구분되는 양자 정보 이론의 독특한 특성을 정의하며, 양자 암호와 양자 컴퓨팅 분야에서 새로운 가능성과 한계를 동시에 규정한다.

양자 암호 통신, 특히 양자 키 분배 프로토콜의 보안성은 불확정성 원리에 직접적으로 기반을 둔다. 도청자가 전송 중인 양자 비트(큐비트)의 상태를 측정하려고 시도하면, 그 측정 행위 자체가 필연적으로 상태를 교란시킨다[10]. 이 교란은 통신 당사자들이 검출할 수 있는 오류를 발생시키므로, 도청의 시도가 무조건적으로 발각되는 기반을 마련한다. 따라서 불확정성 원리는 정보의 비가시적 '절대적 보안'이 아니라, '탐지 가능한 도청'을 보장하는 물리적 메커니즘을 제공한다.

양자 컴퓨팅에서 불확정성 원리는 양자 중첩 상태의 조작과 제어에 있어 본질적인 한계를 설정한다. 예를 들어, 큐비트의 한 쌍의 정준 변수인 위상과 에너지(또는 하나의 구성 요소와 다른 구성 요소)를 동시에 정밀하게 제어하는 것은 원리에 의해 제한받는다. 이는 양자 게이트 연산의 정밀도와 양� 오류 정정 코드의 설계에 직접적인 영향을 미친다. 또한, 불확정성 원리는 양� 얽힘과 깊이 연관되어 있으며, 얽힘 상태에서 한 입자의 측정이 다른 입자의 상태에 즉시 영향을 미치는 현상은 공액 변수들의 불확정성이 서로 연관된 형태로 나타난 결과로 해석될 수 있다.

양자 광학은 빛의 양자적 성질을 연구하는 분야로, 하이젠베르크의 불확정성 원리는 이 분야의 실험 설계와 해석에 핵심적인 틀을 제공한다. 특히, 압축 상태 광과 같은 비고전적 광장의 생성 및 측정은 불확정성 원리의 한계를 탐구하고 극복하려는 시도에서 비롯되었다. 이 원리는 광자 수와 위상, 혹은 두 직교 위상 성분 사이의 근본적인 교환 관계를 규정하며, 이는 모든 광학 측정의 정밀도에 기본적인 한계를 부과한다.

측정 이론의 관점에서, 불확정성 원리는 단순한 측정 장비의 부정확성을 넘어서는 본질적인 의미를 지닌다. 이는 양자 측정 과정 자체가 시스템에 불가피한 교란을 일으킨다는 것을 의미하며, 이 개념은 양자 광학 실험에서 직접적으로 관찰된다. 예를 들어, 비파괴 측정이나 양자 백액션에 대한 연구는 측정이 피측정 시스템에 미치는 영향을 정량화하고 최소화하는 방법을 탐구하는 데 불확정성 원리가 중심이 된다.

이러한 연구들은 단순히 원리의 검증을 넘어, 불확정성 원리를 활용하여 고전적 한계를 넘는 정밀 측정을 실현하는 길을 열었다. 양자 광학에서의 발전은 불확정성 원리가 단지 제한이 아닌, 새로운 양자 기술을 구축하기 위한 설계 원리로 작용할 수 있음을 보여준다.

하이젠베르크의 불확정성 원리는 고전 물리학의 근간을 이루던 엄격한 인과율과 결정론에 대한 근본적인 도전으로 받아들여졌다. 고전 역학에서는 시스템의 초기 조건(위치와 운동량)을 정확히 알면 뉴턴의 운동 법칙에 따라 미래의 상태를 완벽히 예측할 수 있다고 여겨졌다. 그러나 불확정성 원리는 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 결정하는 것이 본질적으로 불가능함을 보여주었다. 이는 원리적으로도 정확한 초기 조건을 설정할 수 없음을 의미하며, 따라서 미래를 완전히 결정론적으로 예측하는 것이 불가능해진다.

이 원리는 철학적 논쟁, 특히 자유 의지 문제에 새로운 국면을 열었다. 결정론적 세계관에서는 모든 사건이 이전 사건에 의해 필연적으로 결정되므로 진정한 자유 의지의 존재가 의문시되었다. 그러나 양자 수준에서의 본질적 불확정성은 자연계에 내재된 예측 불가능성과 우연성을 제시하며, 결정론의 틀을 완화시키는 근거로 논의되었다. 일부 해석에서는 양자적 불확정성이 거시 세계의 의식적 결정에 영향을 미칠 수 있는 가능성을 제기하기도 했다.

불확정성 원리가 인과율 자체를 부정하는 것은 아니다. 양자역학에서도 슈뢰딩거 방정식과 같은 법칙은 여전히 상태의 시간에 따른 변화를 결정론적으로 기술한다. 다만, 그 변화의 대상인 파동 함수가 확률적 정보를 담고 있을 뿐이다. 따라서 인과율은 '사건 A가 발생하면 사건 B가 일어날 확률이 결정된다'는 형태로 재해석된다. 이는 고전적인 '필연적 인과관계'에서 '확률적 인과관계'로의 패러다임 전환을 의미한다.

이러한 논의는 물리학을 넘어 과학 철학의 핵심 주제가 되었다. 아인슈타인은 "신은 주사위 놀이를 하지 않는다"라고 말하며 이 확률적 해석을 받아들이지 않았지만, 이후의 실험적 증거들은 불확정성 원리가 자연의 근본적 속성임을 지지했다. 결과적으로, 불확정성 원리는 인간의 지식과 예측 가능성에 대한 근본적인 한계를 규정하며, 완전한 결정론적 세계관에서 벗어나는 계기를 마련했다.

불확정성 원리는 단순한 측정 기술의 한계를 넘어, 양자역학이 제시하는 현실의 근본적 성격에 대한 철학적 논의를 촉발시켰다. 이 원리는 관찰 행위 자체가 시스템에 불가피한 교란을 일으킨다는 '관찰자 효과'와 깊이 연관되어 있지만, 그 의미는 더욱 근본적이다. 하이젠베르크가 제시한 불확정성은 측정 장비의 불완전함에서 비롯된 것이 아니라, 입자의 위치와 운동량 같은 정준켤례관계에 있는 물리량이 동시에 명확한 값을 가질 수 없다는, 자연의 본질적 속성이다[12]. 따라서 이 원리는 '측정하기 전에 입자는 명확한 위치와 운동량을 가지고 있는가'라는 질문에 대해 회의적인 입장을 제시한다.

이러한 해석은 고전적 실재론, 즉 관찰과 무관하게 객체가 독립적이고 명확한 속성을 지닌다는 관점에 직접적인 도전이 된다. 양자 세계에서는 측정이라는 행위가 단순히 이미 존재하는 값을 '발견'하는 과정이 아니라, 특정한 물리량에 대한 '실현' 또는 '확정'의 과정으로 보인다. 예를 들어, 위치를 정확히 측정하는 순간, 운동량은 본질적으로 무한한 불확정성을 가지게 되며, 이는 측정 장비의 한계가 아니라 시스템의 상태 자체가 변화했음을 의미한다.

이로 인해 현실의 본질에 대한 다양한 철학적 해석이 대두되었다. 코펜하겐 해석은 파동 함수가 지닌 정보가 가장 완전한 기술이며, 측정은 그 함수를 '수축'시켜 하나의 결과를 낳는 비결정론적 과정으로 본다. 반면, 데이비드 봄의 은닉변수이론이나 휴 에버렛의 다세계 해석과 같은 대안적 해석들은 이 불확정성을 설명하기 위해 다른 형이상학적 틀을 제안한다. 불확정성 원리는 따라서 물리학의 영역을 넘어, 지식의 한계, 인과관계, 그리고 관찰자와 현실의 관계에 대한 근본적 성찰을 요구하는 계기가 되었다.

보어의 상보성 원리는 니엘스 보어가 1927년에 제안한 양자역학의 핵심 철학적 개념이다. 이 원리는 파동-입자 이중성과 같은 양자적 현상을 설명하기 위해 도입되었으며, 하이젠베르크의 불확정성 원리와 깊은 관련을 가진다. 상보성 원리에 따르면, 양자 객체는 서로 배타적인 두 가지 속성(예: 입자성과 파동성)을 동시에 지니지만, 주어진 실험 조건에서는 오직 한 가지 측면만이 드러난다. 두 측면은 상호 배타적이면서도 서로 보완적이어서, 양자 현상의 완전한 이해를 위해서는 둘 모두가 필요하다.

이 원리는 이중 슬릿 실험에서 명확히 드러난다. 전자가 어느 슬릿을 통과했는지 측정하면(입자성의 발현), 간섭 무늬(파동성의 발현)는 사라진다. 반대로 간섭 무늬를 관측하려면 어느 경로를 통과했는지에 대한 정보를 포기해야 한다. 즉, 입자성과 파동성이라는 두 가지 고전적 개념은 동시에 관측될 수 없으나, 양자 현상을 완전히 기술하기 위해서는 둘 다 필요하다는 것이다. 보어는 이를 두 개념이 '상보적' 관계에 있다고 설명했다.

보어의 상보성 원리는 불확정성 원리를 개념적, 철학적 틀로 포용한다. 하이젠베르크가 수학적 관계식으로 기술한 위치와 운동량의 동시 측정 한계는, 보어에 의해 서로 배타적인 두 측정 장치(위치 측정 장치와 운동량 측정 장치)에 의해 드러나는 상보적 현상으로 해석되었다. 따라서 불확정성은 단순한 측정의 한계를 넘어, 양자 실체의 본질적 속성을 반영하는 것으로 이해되었다. 이 두 원리는 함께 코펜하겐 해석의 기초를 이루며, 양자역학의 표준 해석으로 자리 잡았다.

슈뢰딩거 방정식은 양자역학에서 시스템의 상태를 기술하는 파동 함수의 시간에 따른 진화를 결정하는 기본 법칙이다. 이 방정식은 에르빈 슈뢰딩거에 의해 1926년 제안되었으며, 비상대론적 양자역학의 핵심을 이룬다. 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식은 일반적으로 $i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r},t)$의 형태로 표현되며, 여기서 $\Psi$는 파동 함수, $\hat{H}$는 해밀토니안 연산자, $\hbar$는 디랙 상수이다. 이 방정식은 주어진 초기 조건에 따라 파동 함수가 어떻게 변화하는지를 결정하는 결정론적인 방정식이다.

파동 함수 $\Psi(\mathbf{r}, t)$ 자체는 직접 관측 가능한 물리량이 아니다. 대신, 특정 위치에서 입자를 발견할 확률 밀도는 파동 함수의 절댓값 제곱 $|\Psi(\mathbf{r}, t)|^2$에 비례한다[15]. 따라서 슈뢰딩거 방정식은 확률 진폭의 진화를 지배한다고 볼 수 있다. 파동 함수는 시스템에 대한 모든 정보를 담고 있으며, 이를 통해 위치, 운동량 등의 물리적 관측량의 기댓값이나 분포를 계산할 수 있다.

하이젠베르크의 불확정성 원리는 슈뢰딩거의 파동 함수 기술과 깊은 관련이 있다. 불확정성 원리는 서로 교환자가 0이 아닌 한 쌍의 관측량(예: 위치와 운동량)이 동시에 정확한 값을 가질 수 없음을 말한다. 이 수학적 관계는 파동 함수의 푸리에 변환 성질에서 자연스럽게 도출된다. 예를 들어, 위치 공간에서 매우 좁게 집중된 파동 패킷(위치의 불확정성이 작음)은 운동량 공간에서는 넓게 퍼져 있어 운동량의 불확정성이 커지게 된다. 이는 파동 함수의 본질적 속성이며, 단순한 측정의 한계를 넘어 양자 시스템의 근본적인 특성을 반영한다.

슈뢰딩거 방정식과 파동 함수에 기반한 형식론은 불확정성 원리를 체계적으로 이해하고 계산하는 틀을 제공한다. 다음 표는 두 접근법의 핵심 요소를 비교한다.

이 두 표현은 수학적으로 동등하며, 현대 양자역학은 이들을 통합한 추상적인 힐베르트 공간과 연산자의 언어로 서술된다.