프리드만 방정식 (현대 우주론의 기초)

프리드만 방정식은 알베르트 아인슈타인이 1915년에 제안한 일반 상대성 이론의 핵심 방정식인 아인슈타인 방정식에서 직접 유도된다. 아인슈타인 방정식은 시공간의 기하학적 곡률과 그 속에 존재하는 물질 및 에너지 사이의 관계를 설명한다. 이 방정식은 매우 일반적인 형태이기 때문에, 특정한 조건을 가정하여 단순화해야 실제 우주의 진화를 기술하는 데 사용할 수 있다.

프리드만 방정식을 얻기 위해서는 두 가지 핵심적인 가정이 필요하다. 첫 번째는 우주론 원리이다. 이 원리에 따르면 우주는 충분히 큰 규모에서 볼 때 균일하고 등방적이다. 즉, 관측자의 위치나 방향에 관계없이 우주는 거시적으로 동일하게 보인다. 두 번째 가정은 우주의 물질과 에너지를 이상화된 완전 유체로 근사하는 것이다. 이러한 가정들은 복잡한 아인슈타인 방정식을 시간에 따라 변하는 하나의 스케일 인자로 기술되는 우주의 역학을 다루는 상미분 방정식으로 축소시킨다.

구체적으로, 우주론 원리와 완전 유체 근사를 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 적용한 뒤, 이를 아인슈타인 방정식에 대입하면 프리드만 방정식이 도출된다. 이 과정에서 아인슈타인 방정식의 10개의 독립적인 성분 중 대부분은 자동으로 만족되거나 동일한 정보를 제공하며, 최종적으로 시간에 대한 두 개의 독립적인 방정식만이 남게 된다. 따라서 프리드만 방정식은 일반 상대성 이론이 균일하고 등방적인 우주 전체에 적용될 때 나타나는 필연적인 결과이다.

초기에는 아인슈타인 자신이 정적 우주를 믿어 방정식에 우주 상수를 도입했지만, 알렉산드르 프리드만은 1922년 우주 상수가 없는 아인슈타인 방정식에서 동적이고 팽창하는 우주 해를 발견했다[2]. 이는 일반 상대성 이론이 정적 우주가 아닌, 팽창하거나 수축하는 우주를 예측한다는 것을 보여주는 결정적인 증거가 되었다.

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(FLRW 계량)은 일반 상대성 이론의 장 방정식에 대입하여 프리드만 방정식을 유도하는 데 핵심적인 기하학적 틀이다. 이 계량은 우주가 대규모에서 균질하고 등방적이라는 우주론적 원리를 수학적으로 구현한 것이다. 공간의 곡률이 일정하고 시간에 따라 변하는 스케일 인자 \( a(t) \)에 의해 모든 물리적 거리가 동일하게 팽창하거나 수축하는 우주의 역학을 기술한다.

계량의 일반적인 형태는 다음과 같다.

\[

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right]

\]

여기서,

* \( ds \)는 시공간의 무한소 간격이다.

* \( c \)는 빛의 속도이다.

* \( t \)는 우주 시간(cosmic time) 좌표이다.

* \( r, \theta, \phi \)는 공동 이동(comoving) 공간 좌표이다.

* \( a(t) \)는 시간에 따른 스케일 인자로, 우주의 팽창 정도를 나타낸다.

* \( k \)는 공간의 곡률을 결정하는 상수로, \( k = +1, 0, -1 \)의 값을 가진다.

곡률 상수 \( k \)는 우주의 전체적인 기하학을 정의한다.

이 계량은 알렉산드르 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 P. 로버트슨, 아서 G. 워커에 의해 정립되었다. 프리드만(1922)과 르메트르(1927)가 팽창하는 우주의 해를 제시한 후, 로버트슨과 워커가 1930년대에 이 계량의 가장 일반적인 형태를 독립적으로 증명했다[3]. FLRW 계량을 아인슈타인 장 방정식에 대입하고, 우주를 구성하는 물질을 완전 유체로 가정하면, 우주의 진화를 지배하는 프리드만 방정식이 자연스럽게 도출된다.

첫 번째 프리드만 방정식은 우주의 동역학을 지배하는 가장 기본적인 방정식 중 하나로, 우주의 전체 에너지 밀도와 공간 곡률, 그리고 스케일 인자의 시간 변화율(즉, 우주의 팽창 속도) 사이의 관계를 설명한다. 이 방정식은 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식에 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량을 적용하여 유도된다.

방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

$$

\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}

$$

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

이 방정식은 본질적으로 우주의 에너지에 대한 제약 조건을 나타낸다. 좌변의 $(\dot{a}/a)^2$는 허블 매개변수 $H(t)$의 제곱으로, 우주의 팽창율을 제곱한 값이다. 우변의 첫 번째 항 $(8\pi G/3)\rho$는 물질과 복사 등 우주 내용물의 에너지 밀도가 팽창을 유도하는 항이다. 두 번째 항 $-k c^2/a^2$는 우주의 공간적 곡률의 효과를 나타내며, $k$의 값(1, 0, -1)에 따라 우주의 전체 기하학이 결정된다. 마지막 항 $\Lambda c^2/3$은 우주 상수 또는 암흑 에너지에 기인한 항이다.

이 방정식을 통해 우주의 진화는 그 구성 요소의 밀도($\rho$)와 공간 곡률($k$), 그리고 우주 상수($\Lambda$)에 의해 완전히 결정된다는 것을 알 수 있다. 특히, 우주의 전체 에너지 밀도와 임계 밀도 $\rho_{crit} = 3H^2/(8\pi G)$의 비율인 밀도 매개변수 $\Omega$를 도입하면, 방정식은 $\Omega - 1 = k c^2 / (a^2 H^2)$와 같은 형태로 재표현될 수 있다. 이는 우주의 기하학(곡률 $k$)이 우주의 총 에너지 밀도($\Omega$)에 의해 직접적으로 결정됨을 보여준다.

두 번째 프리드만 방정식은 우주의 스케일 인자 a(t)의 시간에 따른 두 번째 미분, 즉 우주의 가속도 팽창을 기술합니다. 이 방정식은 우주의 동역학적 진화에서 가속 또는 감속의 원인을 규명하는 핵심 도구입니다.

방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현됩니다.

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

여기서 $\ddot{a}$는 스케일 인자의 두 번째 시간 미분(가속도)을, $G$는 중력 상수를, $\rho$는 우주의 평균 에너지 밀도를, $p$는 압력을, $c$는 빛의 속도를, $\Lambda$는 우주 상수를 나타냅니다. 방정식의 우변 첫 번째 항 $-\frac{4\pi G}{3} (\rho + 3p/c^2)$은 물질과 복사의 중력적 효과를 나타냅니다. 중요한 점은 압력 $p$도 중력원으로 작용하며, 일반적인 물질과 복사의 경우 양의 압력이 중력의 인력을 강화한다는 것입니다[4]. 이 항은 항상 음의 값을 가지므로, 우주 팽창을 감속시키는 효과를 냅니다.

반면, 우변의 두 번째 항 $\frac{\Lambda c^2}{3}$은 우주 상수에 의한 효과입니다. 관측에 따르면 $\Lambda$가 양의 값을 가질 경우, 이 항은 양의 값을 가지며 $\ddot{a} > 0$을 만들어 우주의 가속 팽창을 유발합니다. 현대 우주론에서 이 가속 팽창의 원인은 암흑 에너지로 설명되며, 우주 상수는 암흑 에너지의 가장 간단한 후보입니다. 따라서 이 방정식은 우주의 운명이 물질/복사에 의한 감속 효과와 암흑 에너지에 의한 가속 효과 사이의 경쟁에 의해 결정됨을 보여줍니다.

세 번째 방정식은 연속 방정식으로, 우주 팽창 과정에서 에너지와 질량이 보존되는 방식을 기술한다. 이 방정식은 첫 번째 프리드만 방정식과 두 번째 프리드만 방정식으로부터 독립적으로 유도되지 않으며, 그들 사이의 관계를 통해 얻어진다. 기본적으로, 이 방정식은 우주의 총 에너지 밀도가 스케일 인자의 팽창에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸다.

방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

\[

\dot{\rho} + 3H(\rho + p/c^2) = 0

\]

여기서 \( \rho \)는 우주의 총 에너지 밀도, \( p \)는 압력, \( H \)는 허블 매개변수, \( c \)는 빛의 속도이다. 점(\( \dot{} \))은 시간에 대한 미분을 의미한다. 이 식은 우주 구성 요소(예: 물질, 복사, 암흑 에너지)의 상태 방정식 \( w = p / \rho c^2 \)과 결합될 때, 각 구성 요소의 밀도가 스케일 인자 \( a(t) \)에 대해 어떻게 스케일링되는지를 결정한다.

주요 구성 요소별 밀도 진화는 다음과 같은 거동을 보인다.

이 표에서 알 수 있듯이, 먼지의 밀도는 부피 팽창에 따라 \( a^{-3} \)으로 감소한다. 복사의 밀도는 추가로 적색편이 효과로 인한 에너지 손실이 더해져 \( a^{-4} \)으로 더 빠르게 감소한다. 반면, 우주 상수에 해당하는 암흑 에너지의 밀도는 팽창에 따라 변하지 않는 상수값을 유지한다. 연속 방정식은 이러한 다양한 구성 요소들의 밀도 변화를 통합적으로 설명하며, 우주의 진화 역사에서 어떤 구성 요소가 지배적인지를 결정하는 핵심 역할을 한다.

스케일 인자 a(t)는 우주의 팽창을 기술하는 핵심 함수이다. 이는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 등장하며, 시간에 따라 변화하는 두 공간상 점 사이의 물리적 거리를 결정한다. 예를 들어, 현재(t₀) 측정된 공변거리가 χ인 두 은하 사이의 실제 물리적 거리 r(t)는 r(t) = a(t) χ로 주어진다. 따라서 스케일 인자의 시간에 따른 변화율이 바로 우주의 팽창률을 정의한다.

허블 상수 H는 스케일 인자의 상대적 변화율로 정의된다: H(t) = ȧ(t) / a(t). 여기서 ȧ(t)는 스케일 인자의 시간 미분이다. 허블 상수의 현재 값을 H₀로 표기하며, 단위는 보통 km/s/Mpc(메가파섹당 킬로미터 매 초)를 사용한다. 이 값은 은하의 적색편이와 거리 관측을 통해 측정된다. 허블 상수가 클수록 주어진 시간 동안 우주의 팽창 속도가 빠르다는 것을 의미한다.

허블 상수와 스케일 인자의 관계는 우주의 역사를 재구성하는 데 필수적이다. 관측된 적색편이 z는 과거의 스케일 인자와 현재 값의 비율과 연결된다: 1 + z = a(t₀) / a(t). 따라서 먼 은하를 관측하는 것은 과거의 우주 상태를 직접 보는 것과 같다. 허블 상수의 시간 의존성 H(t)는 프리드만 방정식을 통해 우주의 물질과 에너지 구성(즉, 밀도 매개변수 Ω)에 의해 결정된다.

허블 상수의 측정값 H₀는 우주의 나이와 크기를 추정하는 데 사용되는 기본 척도를 제공한다. 그 역수 H₀⁻¹는 허블 시간을 의미하며, 팽창 속도가 일정했다고 가정할 때의 우주의 대략적인 나이에 해당한다. 실제 우주의 나이는 물질과 암흑 에너지의 구성에 따라 이 허블 시간과 다르지만, 여전히 근사적인 척도로 기능한다.

밀도 매개변수 Ω는 우주의 총 에너지 밀도가 임계 밀도에 비해 얼마나 되는지를 나타내는 무차원 수치이다. 임계 밀도 ρ_c는 우주의 공간 곡률이 평평하게 되는, 즉 우주 곡률 k가 0이 되는 정확한 에너지 밀도 값으로 정의된다[6]. 따라서 Ω는 다음과 같이 표현된다: Ω = ρ / ρ_c. 여기서 ρ는 우주의 실제 총 에너지 밀도(일반 물질, 암흑 물질, 복사, 암흑 에너지 등을 모두 포함)를 의미한다.

Ω의 값은 우주의 기하학적 구조와 최종 운명을 결정하는 핵심 변수이다. Ω = 1이면 우주는 평탄한 유클리드 기하학을 따르며, 임계 밀도와 정확히 일치함을 의미한다. Ω > 1이면 우주의 총 밀도가 임계 밀도를 초과하여 양의 곡률을 가진 닫힌 우주(유한한 부피)를 형성한다. 반대로 Ω < 1이면 밀도가 부족하여 음의 곡률을 가진 열린 우주(무한히 팽창)를 이룬다. 현대 관측에 따르면 현재 우주의 Ω 값은 1에 매우 가까운 것으로 확인되었다.

밀도 매개변수는 여러 구성 요소의 기여도 합으로 분해하여 분석한다. 주요 구성 요소는 다음과 같다.

총 밀도 매개변수는 Ω_total = Ω_m + Ω_r + Ω_Λ + Ω_k 로 주어진다. 우주 초기에는 Ω_r이 지배적이었으나, 팽창에 따라 그 중요도가 급격히 감소했다. 현재 우주에서는 Ω_m과 Ω_Λ가 주요 구성 요소이며, 정밀 관측 결과 Ω_total은 1에 극히 근접하여 Ω_k ≈ 0인 평탄한 우주 모델이 지지받고 있다.

우주 상수 Λ는 아인슈타인이 1917년 자신의 장 방정식에 도입한 항이다. 그는 정적이고 영원불변하는 우주 모델을 얻기 위해 이 항을 추가했으나, 이후 에드윈 허블에 의한 우주의 팽창 발견으로 그 필요성이 사라졌다. 아인슈타인은 이 항을 자신의 '삽의 최대 실수'로 여겼다. 그러나 1990년대 후반 초신성 관측을 통해 우주의 팽창이 가속되고 있다는 사실이 발견되면서, 우주 상수는 새로운 의미를 부여받았다. 이는 진공의 에너지, 즉 암흑 에너지의 가장 간단한 후보로 여겨지기 시작했다.

우주 상수는 프리드만 방정식에서 진공 에너지 밀도를 나타내는 항으로 작용한다. 이는 음의 압력을 가지며, 중력에 대해 반발하는 효과를 만들어 우주의 팽창을 가속시킨다. 우주 상수의 값 Λ는 관측을 통해 결정되는 우주론적 매개변수이며, 그 크기는 우주의 운명을 결정하는 핵심 요소가 된다.

암흑 에너지는 우주 전체 에너지의 약 68%를 차지하는 것으로 추정되며, 그 정체는 현대 물리학의 가장 큰 미해결 과제 중 하나이다. 우주 상수는 암흑 에너지가 시공간의 고유한 속성, 즉 진공 에너지일 가능성을 제시하는 모델이다. 그러나 양자장론으로 계산된 진공 에너지 밀도는 관측값보다 10^120배나 크다는 문제[7]가 있어, 단순한 진공 에너지 해석에는 난제가 존재한다.

이에 따라 암흑 에너지를 설명하는 대안 이론들도 제안되었다. 예를 들어, 시간에 따라 천천히 변하는 퀸테센스 같은 동적 장(場) 모델, 또는 중력 법칙 자체를 수정해야 한다는 이론 등이 있다. 현재까지의 정밀 관측 데이터는 우주 상수가 상수라는 가장 간단한 모델과도 잘 부합하지만, 그 궁극적인 물리적 기원에 대한 탐구는 계속되고 있다.

우주의 전체적인 기하학적 구조는 프리드만 방정식의 해와 우주의 평균 에너지 밀도에 의해 결정된다. 이 구조는 크게 세 가지 유형으로 분류된다: 열린 우주, 닫힌 우주, 그리고 평탄한 우주이다. 이 분류는 우주의 전체 에너지 밀도를 임계 밀도와 비교한 밀도 매개변수 Ω의 값에 따라 정의된다[9].

열린 우주는 공간 곡률이 음수이며, 삼각형의 내각 합이 180도보다 작다. 이 모델에서 우주의 총 에너지 밀도는 임계 밀도보다 낮아, 중력의 구속력을 이기고 우주는 영원히 팽창한다. 팽창 속도는 점차 느려지지만 결코 멈추지 않는다. 닫힌 우주는 공간 곡률이 양수이며, 삼각형의 내각 합이 180도보다 크다. 우주의 총 에너지 밀도가 임계 밀도를 초과하여, 중력이 결국 우주의 팽창을 멈추게 하고 수축을 시작시킨다. 이는 최종적으로 모든 물질이 하나의 점으로 수렴하는 빅 크런치로 이어질 수 있다.

평탄한 우주는 공간 곡률이 0인 경우로, 우리가 익숙한 유클리드 기하학이 전 우주적 규모에서도 성립한다. 이는 우주의 총 에너지 밀도가 정확히 임계 밀도와 일치하는 매우 특별한 경우이다. 이 모델에서 우주는 팽창 속도가 점점 0에 가까워지지만, 결코 완전히 멈추거나 수축하지 않는다. 현대 관측, 특히 우주 마이크로파 배경 복사의 정밀 측정 결과는 우리 우주가 평탄한 기하학에 극히 가깝다는 강력한 증거를 제시한다[10]. 이는 현재 우주의 총 밀도 매개변수 Ω_total가 1에 매우 근접함을 의미한다.

프리드만 방정식은 우주의 시간에 따른 진화를 기술한다. 이 방정식의 해는 스케일 인자 a(t)의 거동을 결정하며, 이는 우주의 팽창 역사를 직접적으로 보여준다. 방정식의 해를 시간 t=0(현재)에서 과거로 외삽하면, 스케일 인자가 0에 접근하는 특이점이 존재한다. 이 특이점에서 우주의 물질 밀도와 온도는 무한대로 발산하며, 공간의 곡률 역시 무한대가 된다. 이 초기 상태를 가리키는 용어가 빅뱅이다.

빅뱅 이후 우주의 진화는 그 구성 요소의 상대적 비율에 의해 결정된다. 초기에는 복사(광자와 중성미자)가 지배적이어서 우주는 a(t) ∝ t^(1/2)의 비율로 팽창했다. 물질(중입자 물질과 암흑 물질)이 지배적이 되면 팽창률은 a(t) ∝ t^(2/3)으로 변한다. 최근 약 50억 년 전부터는 암흑 에너지 또는 우주 상수 Λ가 지배적이 되어 우주의 팽창이 가속화되기 시작했다. 이 가속 팽창 단계에서는 스케일 인자가 시간에 따라 지수 함수적으로 증가한다.

다양한 우주론적 매개변수를 프리드만 방정식에 대입하면 미래 우주의 운명을 예측할 수 있다. 현재 관측 데이터는 우주가 평탄(Ω_total ≈ 1)에 가깝고, 암흑 에너지가 우세한 상태임을 가리킨다. 이 시나리오에서 우주는 영원히 가속 팽창하며, 먼 미래에는 은하단을 제외한 모든 은하가 서로의 관측 가능한 지평선 너머로 사라지는 열적 죽음에 이를 것으로 예상된다.

우주 마이크로파 배경 복사(CMB)는 우주의 초기 상태에 대한 가장 강력한 관측적 증거 중 하나로, 프리드만 방정식이 예측하는 빅뱅 모델을 지지합니다. 이 복사는 현재 우주 전체를 균일하게 채우고 있는 약 2.7 켈빈(K)의 흑체 복사 스펙트럼을 가진 마이크로파 영역의 전자기파입니다. 이는 과거 우주가 매우 고온 고밀도의 상태에서 시작되어 팽창하며 냉각되었음을 직접적으로 보여주는 잔광입니다.

CMB의 발견은 1965년 아르노 펜지어스와 로버트 윌슨에 의해 우연히 이루어졌으며, 이로 인해 그들은 노벨 물리학상을 수상했습니다. 그들은 전파 안테나에서 설명할 수 없는 잡음을 발견했고, 이 신호가 우주 전역에서 균일하게 오며 그 스펙트럼이 완벽한 흑체 복사와 일치한다는 사실을 확인했습니다. 이 관측은 조지 가모프와 동료들이 빅뱅 모델에서 예측한 '초기 우주의 뜨거운 빛의 잔재'와 정확히 일치했습니다.

CMB는 균질성과 등방성에 매우 가깝지만, 약 10만 분의 1 수준의 미세한 온도 요동(비등방성)을 포함하고 있습니다. 이 요동은 WMAP와 플랑크 위성 같은 정밀 관측 위성을 통해 상세히 측정되었습니다. 이 온도 변동의 패턴은 초기 우주의 밀도 요동을 반영하며, 이는 후에 은하와 은하단 같은 대규모 구조로 성장하는 '씨앗' 역할을 했습니다.

CMB 데이터는 프리드만 방정식에 기반한 ΛCDM 모델의 핵심 매개변수들을 정밀하게 제약하는 데 결정적으로 기여합니다. 예를 들어, CMB의 분석을 통해 우주의 전체 기하학이 거의 평탄하다는 것, 그리고 우주의 총 에너지 밀도 중 암흑 물질과 암흑 에너지가 차지하는 비율을 매우 정확하게 추정할 수 있습니다. 따라서 CMB는 현대 우주론의 표준 모델을 검증하는 기둥과 같은 증거입니다.

1990년대 후반, 두 개의 독립적인 연구팀이 Ia형 초신성을 이용한 우주의 팽창 역사를 관측하던 중 예상치 못한 결과를 얻었다. 그들은 먼 거리의 초신성, 즉 과거의 우주를 보는 표지판이 예상보다 더 어둡게 관측된다는 사실을 발견했다. 이는 우주의 팽창 속도가 시간에 따라 일정하지 않고, 최근 약 50억 년 전부터 가속 팽창하고 있음을 강력하게 시사하는 증거였다[11].

이 관측 결과는 프리드만 방정식에 포함된 우주 상수 Λ에 새로운 해석을 불러일으켰다. 기존의 정적 우주 모델을 위해 도입되었다가 버려졌던 이 항이, 양의 값을 가지는 암흑 에너지로 재해석되면서 우주 가속 팽창을 설명하는 핵심 요소로 부상했다. 암흑 에너지는 우주 공간 자체에 내재한, 반중력적인 압력을 생성하는 에너지로 생각된다.

Ia형 초신성이 이 연구에 핵심적으로 사용된 이유는 그들의 균일한 본질적 광도 덕분이다. 이 초신성은 백색왜성이 찬드라세카르 한계 질량에 도달하여 열핵폭발을 일으킬 때 발생하며, 광도 곡선의 형태를 보정하면 절대 밝기를 매우 정확하게 추정할 수 있다. 관측된 겉보기 밝기와 비교하여 초신성까지의 거리를 측정하고, 적색편이를 통해 과거의 우주 팽창 속도를 도출하는 것이다.

이 발견은 우주의 최종 운명에 대한 이해를 근본적으로 바꾸었으며, 연구를 주도한 세 과학자에게 2011년 노벨 물리학상을 안겼다. 이후 우주 마이크로파 배경 복사와 중력렌즈 등 다른 독립적인 관측 결과들도 우주 가속 팽창과 암흑 에너지의 존재를 지지하며, 이 현상은 현대 우주론의 표준 모델인 Λ-CDM 모델의 근간이 되었다.