측지선 (Geodesic)

리만 기하학에서 측지선은 리만 다양체 위에서의 "직선"의 일반화된 개념이다. 리만 다양체는 각 점에서 접공간에 정의된 양의 정부호 내적(계량 텐서)을 가진 미분 가능 다양체이다. 이 내적을 통해 곡선의 길이와 각도를 측정할 수 있으며, 측지선은 이러한 계량 구조에 의해 결정되는 최단 경로 또는 극소 경로이다.

측지선은 접벡터장을 따라 레비-치비타 접속에 대한 공변미분이 0이 되는 곡선으로 정의된다. 즉, 곡선의 접벡터가 곡선을 따라 평행이동되는 곡선이다. 이는 유클리드 공간에서 직선의 접벡터가 일정한 것의 일반화이다. 수학적으로, 매개변수화된 곡선 γ(t)가 측지선이 되기 위한 필요충분조건은 측지선 방정식[2]을 만족하는 것이다. 여기서 Γᵏᵢⱼ는 크리스토펠 기호로, 계량 텐서로부터 유도되며 다양체의 곡률 정보를 담고 있다.

측지선의 성질은 다양체의 곡률과 밀접하게 연관되어 있다. 예를 들어, 곡률 텐서가 0인 평탄한 다양체에서는 측지선이 전역적인 최단 경로가 된다. 반면 양의 곡률을 가진 구와 같은 다양체에서는 측지선(대원)이 국소적으로는 최단이지만, 두 점을 연결하는 호가 두 개 이상 존재할 수 있어 전역적 최소성을 항상 보장하지는 않는다. 리만 기하학에서 측지선은 다양체의 내재적 기하학적 구조를 탐구하는 핵심 도구이다.

측지선은 두 점 사이의 최단 경로를 나타내는 개념이다. 이 특성을 엄밀하게 정의하고 유도하기 위해 변분법이 사용된다. 변분법은 함수의 극값을 찾는 미적분학을 확장한 분야로, 여기서는 경로 자체(함수)의 극값, 즉 최소 길이를 갖는 경로를 찾는 문제에 적용된다.

주어진 곡면 또는 다양체 위에서, 두 점 A와 B를 연결하는 모든 가능한 곡선 중 길이가 극소(또는 극대)가 되는 곡선을 찾는 것이 목표이다. 곡선의 길이는 일반적으로 다음의 선적분으로 표현된다.

$$L[\gamma] = \int_{A}^{B} \sqrt{ g_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda} } d\lambda$$

여기서 $g_{ij}$는 계량 텐서이며, $x^i(\lambda)$는 곡선을 매개변수 $\lambda$로 표현한 좌표 함수이다. 이 적분값 $L$이 경로 $\gamma$의 함수, 즉 범함수가 된다. 변분법의 원리에 따라, 이 범함수 $L$이 극값을 가지기 위해서는 오일러-라그랑주 방정식을 만족해야 한다. 길이 적분의 피적분 함수를 라그랑지안 $L = \sqrt{g_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j}$로 놓고 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면, 일반적인 형태의 측지선 방정식이 유도된다.

$$ \frac{d^2 x^\mu}{d \lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d \lambda} \frac{dx^\sigma}{d \lambda} = 0 $$

이 방정식은 곡선의 길이가 아핀 매개변수 $\lambda$에 대해 정류(변분이 0)될 때 성립하는 조건이다. 변분법적 접근은 측지선이 단순히 "직선의 일반화"라는 기하학적 직관을 엄밀한 수학적 언어로 전환하는 핵심 도구이다. 이를 통해 측지선이 공간의 내재적 기하학(계량 텐서에 의해 결정됨)에 의해 정의된다는 사실이 명확해진다.

일반 상대성 이론에서 측지선은 중력의 효과를 기술하는 핵심 개념이다. 이 이론에 따르면, 질량과 에너지는 시공간의 곡률을 결정하며, 중력은 이 휘어진 시공간 속에서 물체가 자유롭게 운동할 때 따르는 경로로 나타난다. 이 경로가 바로 측지선이다. 다시 말해, 중력은 힘이 아니라 시공간의 기하학적 속성이며, 모든 자유 낙하하는 물체는 시공간의 측지선을 따라 운동한다[4].

예를 들어, 지구 주위를 도는 인공위성이나 태양 주위를 공전하는 행성의 궤도는 주변 질량에 의해 휘어진 시공간에서의 측지선에 해당한다. 뉴턴 역학에서는 이러한 운동이 중력이라는 힘에 의해 설명되지만, 일반 상대성 이론에서는 힘의 개념 없이 시공간의 곡률과 측지선 운동으로 설명한다. 이는 매우 큰 질량이나 강한 중력장 근처에서 두 이론의 예측이 달라지게 만드는 근본적인 차이이다.

일반 상대성 이론에서 측지선 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

$$\frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0$$

여기서 $x^\mu$는 시공간 좌표, $\tau$는 물체의 고유 시간, $\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$는 크리스토펠 기호로 시공간의 곡률 정보를 담고 있다. 이 방정식의 해가 바로 측지선을 기술한다. 이 방정식은 아인슈타인 방정식과 함께 일반 상대성 이론의 수학적 핵심을 이루며, 중력 렌즈 효과나 수성의 근일점 이동, 중력파와 같은 현상을 정확히 예측하는 데 성공했다.

고전 역학에서 측지선은 라그랑주 역학의 관점에서 작용 원리를 통해 자연스럽게 등장하는 개념이다. 작용은 일반적으로 라그랑지안의 시간에 대한 적분으로 정의되며, 시스템의 실제 운동 경로는 이 작용을 최소화(또는 극값을 취함)하는 경로이다.

자유입자의 경우, 라그랑지안은 운동 에너지에 비례한다. 예를 들어 질량이 m인 입자가 유클리드 공간에서 운동할 때, 라그랑지안은 L = (1/2)m v²이다. 이때 작용을 최소화하는 경로는 직선이며, 이는 뉴턴의 제1법칙에 해당한다. 그러나 입자가 구속을 받거나 비관성계에서 운동을 기술할 때는 일반화 좌표를 도입하게 되고, 이 공간은 곡률을 가질 수 있다. 이 일반화 좌표 공간에서 라그랑지안은 계량 텐서를 포함한 형태로 쓰이며, 작용을 최소화하는 운동 방정식은 바로 측지선 방정식과 동일하다.

따라서 고전 역학에서 입자의 운동 궤적은 위상 공간이나 배위 공간이 아닌, 계량이 정의된 다양체 상에서의 측지선으로 해석될 수 있다. 이 관점은 중력을 시공간의 곡률로 설명하는 일반 상대성 이론으로 자연스럽게 확장된다. 고전 역학의 단순 조화 진동자나 케플러 문제와 같은 문제들도 적절한 계량을 도입하면 측지선 문제로 재해석할 수 있다[5].

최소 측지선은 주어진 두 점을 연결하는 모든 가능한 곡선 중에서 길이가 가장 짧은 측지선이다. 이는 유클리드 공간에서 두 점을 잇는 직선이 최단 거리인 것과 유사한 개념으로, 곡면이나 더 일반적인 리만 다양체 위에서의 "최단 경로"에 해당한다. 그러나 모든 측지선이 반드시 최소 길이를 갖는 것은 아니다. 예를 들어, 구 위에서 두 점을 연결하는 대원 호는 두 가지가 존재할 수 있는데, 그 중 더 짧은 호만이 최소 측지선이다. 긴 호는 여전히 측지선이지만 최소 길이 조건을 만족하지 않는다.

최소성은 일반적으로 국소적(local) 성질이다. 즉, 측지선 위의 충분히 가까운 두 점 사이에서만 그 곡선이 최단 경로가 된다. 전역적(global)으로 최단인 경로를 찾는 문제는 훨씬 더 복잡하다. 어떤 측지선은 국소적으로는 최소이지만, 전체적으로 보면 더 짧은 다른 경로가 존재할 수 있다. 예를 들어, 지구 표면에서 매우 먼 두 지점 사이의 최단 경로는 직관과 달리 지도를 평면으로 펼쳤을 때의 직선이 아닌, 지구의 곡률을 고려한 대권 항로이다.

최소 측지선의 존재와 유일성은 다양체의 위상적·기하학적 성질에 크게 의존한다. 단일 연결 공간과 같이 특정 조건이 충족될 때, 두 점 사이에는 항상 유일한 최소 측지선이 존재한다. 반면, 다양체에 "구멍"이 있거나 곡률이 매우 크면, 최소 측지선이 존재하지 않거나 여러 개가 존재할 수 있다. 이는 변분법의 관점에서 오일러-라그랑주 방정식을 푼 해 중에서 실제로 길이를 최소화하는 것을 찾는 문제와 연결된다.

국소적 측지선은 주어진 곡면 또는 다양체 위에서, 충분히 가까운 두 점 사이의 거리를 국소적으로 최소화하는 곡선을 의미한다. 이는 두 점 사이의 전체 경로가 반드시 전역적으로 최단 거리가 아닐 수 있음을 시사한다. 예를 들어, 구면 위에서 두 점을 연결하는 대원 호는 두 점이 서로 반대점(antipodal point)이 아닌 한, 그 호는 두 점 사이의 유일한 최단 경로이다. 그러나 두 점이 정반대에 위치하면, 무한히 많은 대원 호가 존재하며, 이들은 모두 동일한 최대 길이를 가지므로 최단 경로가 아니다. 이 경우, 구면 위의 어떤 대원 호도 국소적 측지선이지만, 전역적 최소 길이를 제공하지는 않는다.

국소적 측지선의 핵심 조건은 곡선의 접촉 벡터가 곡선을 따라 평행 이동한다는 것이다. 수학적으로, 이는 측지선 방정식을 만족함을 의미한다. 이 방정식의 해는 초기 위치와 초기 속도(방향)에 의해 유일하게 결정된다. 따라서, 곡면 위의 한 점과 그 점에서의 방향이 주어지면, 그 방향을 따라 국소적 측지선이 유일하게 뻗어 나간다. 이 성질은 리만 다양체의 국소적 구조를 정의하는 데 핵심적이다.

국소적 측지선과 최소 측지선의 관계는 다음과 같이 정리할 수 있다.

일반적으로, 리만 다양체가 완비 다양체일 때, 위의 표에서 언급된 '충분히 짧은 호'는 주입 반지름(injectivity radius) 내에 있는 호를 의미한다. 이 반지름을 벗어나면, 국소적 측지선은 더 이상 두 끝점 사이의 유일한 최단 경로가 아닐 수 있다. 이러한 구분은 일반 상대성 이론에서 시공간의 기하학을 분석할 때 특히 중요해진다.

완비 측지선은 그 정의역이 실수 전체인 측지선을 의미한다. 즉, 아핀 매개변수로 표현된 측지선이 매개변수의 모든 실수 값에 대해 정의될 때, 이를 완비 측지선이라고 부른다. 이는 측지선이 무한히 연장되어 있으며, 그 경로 상에서 어느 지점에서도 멈추거나 끝나지 않음을 수학적으로 나타낸다.

리만 다양체의 기하학적 성질을 연구하는 데 있어 완비성은 중요한 개념이다. 특히, 리만 다양체가 완비 리만 다양체일 경우, 그 위의 모든 측지선은 완비 측지선이 된다. 이는 호프-리노우 정리에 의해 보장되는 성질로, 다양체의 완비성과 측지선의 완비성은 동치 조건이 된다[7].

물리학, 특히 일반 상대성 이론에서 시공간의 완비성은 우주의 구조와 진화를 이해하는 핵심이다. 시공간 다양체가 측지선적으로 불완비하다는 것은 측지선이 유한한 시간 내에 끝나는 지점, 즉 시공간 특이점이 존재할 수 있음을 시사한다. 이러한 불완비성은 블랙홀 내부나 빅뱅 초기와 같은 극한 환경을 이론적으로 탐구하는 도구가 된다.

측지선 방정식은 측지선이 만족하는 미분 방정식으로, 변분법을 통해 유도할 수 있다. 기본 아이디어는 두 점 사이의 곡선 길이를 최소화하거나 극값을 가지는 곡선을 찾는 것이다. 리만 다양체 위에서 두 점을 연결하는 곡선의 길이는 계량 텐서를 사용하여 적분으로 표현된다.

구체적으로, 매개변수 t로 표현된 곡선 x^μ(t)의 길이 L은 다음과 같다.

L = ∫ √( g_μν (dx^μ/dt) (dx^ν/dt) ) dt

여기서 g_μν는 계량 텐서이다. 이 적분의 피적분 함수를 라그랑지안 L = √(g_μν ẋ^μ ẋ^ν)로 볼 때, 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 측지선 방정식을 얻을 수 있다. 그러나 제곱근 형태는 계산을 복잡하게 하므로, 대신 에너지 적분 E = (1/2) ∫ g_μν ẋ^μ ẋ^ν dt의 변분을 이용하는 것이 더 편리하다[8]. 이 방법으로 유도된 최종 방정식은 다음과 같다.

d²x^μ/dt² + Γ^μ_νρ (dx^ν/dt) (dx^ρ/dt) = 0

여기서 Γ^μ_νρ는 크리스토펠 기호로, 계량 텐서의 1계 편도함수로 정의되며 공간의 곡률 정보를 담고 있다.

이 방정식은 곡선의 가속도 성분이 0이어야 함을 의미하며, 이는 관성 운동을 일반화한 개념이다. 평탄한 민코프스키 시공간에서는 크리스토펠 기호가 모두 0이 되어, 방정식은 직선 운동을 기술하는 d²x^μ/dt² = 0으로 환원된다. 따라서 측지선 방정식은 중력과 같은 힘의 영향을 기하학적 곡률로 재해석하는 일반 상대성 이론의 핵심 방정식이 된다.

측지선 방정식은 일반적으로 2계 상미분 방정식의 형태를 띠기 때문에, 그 해를 결정하기 위해서는 초기 위치와 초기 속도(또는 접선 벡터)라는 두 가지 초기 조건이 필요하다. 이는 고전 역학에서 물체의 운동 궤적을 결정하기 위해 초기 위치와 초기 속도를 알아야 하는 것과 유사한 원리이다.

주어진 시점 t=0에서의 초기 위치 x^i(0)와 초기 속도 dx^i/dt(0)를 알고 있다면, 측지선 방정식을 풀어서 그 이후의 경로 x^i(t)를 유일하게 결정할 수 있다. 이 성질은 리만 다양체 위의 임의의 점에서 임의의 방향으로, 그 방향에 접하는 하나의 측지선이 항상 존재한다는 것을 의미한다. 이 측지선은 초기 조건이 주어진 그 점의 근방에서는 국소적으로 유일하다.

그러나 이 해는 일반적으로 전체 다양체에 대해 완비적으로 존재한다고 보장되지 않는다. 해가 얼마나 멀리까지 확장될 수 있는지는 다양체의 기하학적 구조에 달려 있다. 예를 들어, 측지선 완비 다양체에서는 모든 측지선이 무한한 매개변수 값까지 확장될 수 있다. 반면, 다양체에 특이점이나 경계가 존재하는 경우, 측지선은 유한한 매개변수 값에서 끝날 수 있다.

구면 위의 측지선은 대원이라고 불리는 원으로, 구의 중심을 지나는 평면이 구와 만나서 생기는 단면이다. 이는 구면 위의 두 점을 연결하는 최단 경로를 제공한다. 구면 측지선의 가장 중요한 성질은 구의 중심, 측지선 상의 임의의 점, 그리고 측지선의 접선 벡터가 모두 동일 평면에 놓인다는 것이다.

구면 위의 측지선 방정식은 측지선 방정식을 구의 계량 텐서에 적용하여 유도할 수 있다. 구면 좌표계 (θ, φ)를 사용할 때, 대원은 일반적으로 다음 형태의 방정식을 만족한다.

cot θ = A cos(φ - φ₀) [9]

이는 구면 위의 모든 대원을 표현한다. 지구 표면을 근사한 구면에서, 적도와 모든 경선(자오선)은 대원의 특별한 예에 해당한다. 그러나 위선(위도선) 중 적도를 제외한 모든 것은 중심을 지나지 않으므로 대원이 아니다.

구면 측지선의 길이와 방향 계산은 항해와 기하학에서 실용적으로 응용된다. 예를 들어, 지구상의 두 도시 사이의 최단 비행 경로는 두 도시와 지구 중심을 지나는 평면이 지표와 만나 생성하는 대원 호를 따라간다. 이 경로는 지도를 평면에 투영했을 때 직선으로 보이지 않는 곡선 형태를 띠지만, 구면 상에서는 진정한 최단 거리이다.

구면 외에도 다양한 곡면 위에서의 측지선은 그 곡면의 기하학적 성질을 잘 보여준다. 원통면 위의 측지선은 원통을 펼쳤을 때 직선이 되는 곡선이다. 예를 들어, 원통을 따라 비스듬히 감기는 나선은 원통면 위의 측지선이지만, 원통을 따라 수직으로 올라가는 직선이나 원주의 원도 역시 측지선이다. 원뿔면 위에서는 원뿔을 평면에 펼칠 수 있는 경우, 펼쳐진 평면 위의 직선이 원뿔면 위의 측지선에 해당한다.

쌍곡 포물면(안장 모양)이나 회전 타원면과 같은 보다 복잡한 곡면에서는 측지선의 모양이 직관적이지 않을 수 있다. 쌍곡 포물면 위의 측지선은 일반적으로 곡면을 따라 구불구불한 경로를 보인다. 한편, 회전 타원면(지구 타원체 모델과 유사) 위의 측지선은 구의 대원과 비슷한 개념인 '지구 타원체 측지선'으로, 지리학 및 측지학에서 정확한 거리 계산에 중요하게 사용된다.

토러스(원환면)와 같은 위상적으로 다른 곡면에서는 측지선의 행동이 더욱 복잡해진다. 토러스 위에는 닫힌 측지선과 무한히 나선형으로 감기는 측지선이 모두 존재한다. 이는 곡면의 국소적 곡률뿐만 아니라 전체적인 위상적 구조가 측지선의 전역적 성질에 영향을 미친다는 것을 보여준다.

측지선 방정식은 대부분의 경우 비선형 상미분 방정식으로, 해석적인 해를 구하기 어렵다. 따라서 실제 문제, 특히 복잡한 계량 텐서를 가지는 시공간이나 곡면에서의 측지선을 구하기 위해서는 수치 해법에 의존한다.

가장 일반적으로 사용되는 방법은 측지선 방정식을 2계 상미분 방정식의 초기값 문제로 보고 수치 적분을 수행하는 것이다. 예를 들어, 룽게-쿠타 방법과 같은 수치 적분 알고리즘이 널리 활용된다. 주어진 초기 위치와 초기 속도(또는 4-속도)를 출발점으로 하여, 작은 시간(또는 아핀 매개변수) 간격으로 위치와 속도를 반복적으로 업데이트하여 측지선의 궤적을 추적한다.

다른 접근법으로는 측지선을 변분법 문제, 즉 주어진 두 점 사이의 길이(또는 고유 시간)를 극소화하는 곡선으로 정의하는 관점을 이용하는 방법도 있다. 이 경우 유한 요소법이나 최속 강하법과 같은 최적화 알고리즘을 사용하여 측지선을 근사할 수 있다. 또한, 매우 복잡한 다양체에서는 몬테카를로 방법을 기반으로 한 확률적 탐색 알고리즘이 사용되기도 한다.

수치 해법의 정확도는 적분 간격, 알고리즘의 차수, 그리고 계량 텐서의 복잡도에 크게 의존한다. 특히 블랙홀 주변과 같이 시공간 곡률이 급격히 변하는 영역에서는 특수한 주의가 필요하다[11].

측지선 방정식의 해석적 해는 방정식을 직접 적분하거나 기하학적 성질을 이용하여 측지선의 경로를 명시적인 함수 형태로 얻는 것을 의미한다. 이는 특정한 대칭성을 가진 공간이나 단순한 곡면에서 가능하다.

예를 들어, 유클리드 공간에서는 측지선이 직선이며, 그 방정식은 간단한 선형 함수로 표현된다. 구면 위의 측지선인 대원은 구면 좌표계를 사용하여 삼각 함수로 표현할 수 있다. 또한, 회전 대칭성을 가진 곡면(예: 원환면)에서는 클레로의 정리와 같은 보존량을 이용하여 해석적 해를 구할 수 있다[12].

해석적 해가 존재하는 경우는 제한적이지만, 측지선의 정성적 행동(예: 폐곡선인지, 무한히 확장되는지)을 이해하고, 수치 해법의 정확성을 검증하는 데 중요한 기준을 제공한다. 다음은 몇 가지 대표적인 예시이다.

아핀 매개변수는 측지선을 따라 움직이는 물체의 고유 시간이나 거리를 재는 데 적합한 특별한 매개변수이다. 이 매개변수를 사용하면 측지선 방정식이 특히 단순한 형태를 띠게 된다. 일반적으로 곡선의 매개변수 표현은 임의적이지만, 아핀 매개변수를 선택하면 측지선 방정식에서 곡선의 속도 벡터의 크기가 일정하게 유지된다.

아핀 매개변수의 핵심 성질은 측지선을 따라 재매개변수화했을 때, 새로운 매개변수도 여전히 아핀 관계를 유지한다는 점이다. 즉, 두 아핀 매개변수는 서로 선형 변환 관계에 있다. 예를 들어, 일반 상대성 이론에서 자유낙하하는 검사 입자의 세계선은 측지선으로, 이 곡선을 따라 측정된 고유 시간이 가장 자연스러운 아핀 매개변수의 역할을 한다. 고유 시간은 물리적 관측량으로, 중력장 내에서 시계가 측정하는 시간과 직접적으로 대응된다.

아핀 매개변수가 아닌 임의의 매개변수로 측지선을 기술하면, 방정식에 추가적인 항이 나타나 형태가 복잡해진다. 따라서 물리적 해석이나 계산의 편의를 위해 아핀 매개변수를 사용하는 것이 일반적이다. 측지선 편차 방정식을 유도하거나 리만 곡률 텐서의 물리적 의미를 분석할 때도 아핀 매개변수는 중요한 도구로 작용한다.

측지선 편차는 서로 가까운 두 측지선 사이의 거리가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 기술하는 개념이다. 일반적으로 한 측지선을 기준으로, 그와 무한히 가까운 평행한 측지선이 얼마나 가깝게 유지되거나 멀어지는지를 나타낸다. 이는 곡률의 영향을 직접적으로 보여주는 중요한 도구이다.

측지선 편차는 측지선 편차 방정식 (또는 자코비 방정식)으로 수학적으로 표현된다. 이 방정식은 기준 측지선을 따라 움직이는 접벡터장의 이차 도함수가 리만 곡률 텐서와 편차 벡터의 선형 결합으로 주어진다. 간단히 말해, 편차 벡터의 가속도가 시공간의 곡률에 의해 결정된다는 의미이다. 평탄한 시공간에서는 곡률이 0이므로, 처음에 평행한 측지선은 영원히 평행하게 유지된다. 그러나 곡률이 존재하는 시공간에서는 측지선들이 수렴하거나 발산하게 된다.

이 개념은 일반 상대성 이론에서 중력의 효과를 이해하는 데 핵심적이다. 아인슈타인 방정식에 따르면 물질과 에너지는 시공간의 곡률을 결정하며, 이 곡률은 다시 측지선 편차를 통해 중력의 조석력으로 나타난다. 예를 들어, 지구 주위를 공전하는 두 개의 가까운 위성은 지구의 중력장 때문에 서로 조금씩 가까워지거나 멀어지는 편차 운동을 보인다. 이는 시공간 곡률에 의한 측지선 편차의 직접적인 결과이다.