고윳값과 고유 상태

고윳값 방정식은 선형 연산자가 작용하는 벡터 공간에서, 연산자를 통해 변환된 벡터가 원래 벡터의 상수배가 되는 특별한 벡터와 그 상수를 찾는 방정식이다. 양자역학에서는 물리량을 나타내는 에르미트 연산자와 파동 함수로 표현된 양자 상태 사이의 관계를 규정하는 핵심 방정식이다.

일반적으로, 선형 연산자 Â와 상태 벡터 |ψ〉에 대해, 다음 방정식을 만족하는 스칼라 λ와 영벡터가 아닌 |ψ〉를 찾는 문제를 고윳값 문제라고 한다.

 |ψ〉 = λ |ψ〉

여기서 λ를 연산자 Â의 고윳값, |ψ〉를 그 고윳값에 대응하는 고유 상태라고 한다. 이 방정식은 연산자 Â에 의해 상태 |ψ〉가 변하지 않고, 단지 크기(위상 포함)만 λ배로 변한다는 것을 의미한다.

양자역학에서 물리량을 나타내는 연산자는 에르미트 연산자이며, 이들의 고윳값은 실수이다. 이는 측정 가능한 물리량의 값이 실수여야 한다는 요구 조건과 일치한다. 고윳값 방정식의 해, 즉 고유 상태는 해당 물리량이 명확한 값(고윳값)을 가지는 상태를 나타낸다. 예를 들어, 해밀토니안 연산자 Ĥ에 대한 고윳값 방정식 Ĥ |ψ〉 = E |ψ〉를 풀어 얻은 E는 시스템의 가능한 에너지 준위가 되며, |ψ〉는 그 에너지를 가지는 정상 상태가 된다.

고윳값 방정식은 대수적으로 ( - λÎ) |ψ〉 = 0 형태로 쓸 수 있다. 여기서 Î는 항등 연산자이다. 이 방정식이 자명하지 않은 해(|ψ〉 ≠ 0)를 가지기 위한 필요충분조건은 연산자 ( - λÎ)의 행렬식이 0이 되는 것이다. 이로부터 얻어지는 λ에 대한 방정식 det( - λÎ) = 0을 특성 방정식이라고 하며, 이 방정식의 근이 고윳값이 된다.

양자역학에서 물리적 시스템의 상태는 힐베르트 공간의 벡터로 표현된다. 이 벡터를 파동 함수 또는 켓 벡터 |ψ⟩로 나타낸다. 시스템의 관측 가능한 물리량, 예를 들어 에너지, 운동량, 스핀 등은 에르미트 연산자에 의해 표현된다.

고윳값 방정식에서, 연산자 Â가 상태 벡터 |ψ⟩에 작용했을 때, 그 결과가 원래 상태의 상수배(고윳값 a)가 되는 특별한 상태를 고유 상태라고 한다. 즉, Â|ψ⟩ = a|ψ⟩를 만족하는 |ψ⟩가 고유 상태이며, a는 그 상태에서 물리량 Â의 고윳값이다. 이 방정식은 연산자 Â의 스펙트럼을 결정한다.

고유 상태의 집합은 완전성을 가져, 힐베르트 공간의 임의의 상태 벡터를 이 고유 상태들의 선형 결합으로 전개할 수 있다. 이는 양자 상태의 중첩 원리를 수학적으로 표현한 것이다.

양자역학에서 측정 가능한 모든 물리량은 에르미트 연산자로 표현된다. 예를 들어, 위치는 위치 연산자, 운동량은 운동량 연산자, 에너지는 해밀토니안 연산자에 해당한다. 이러한 연산자의 고윳값은 해당 물리량이 측정될 때 얻을 수 있는 가능한 결과값을 나타낸다.

어떤 계가 특정 연산자의 고유 상태에 있을 때, 그 물리량은 확정적인 값을 가지며, 측정하면 항상 대응하는 고윳값이 얻어진다. 예를 들어, 에너지 고유 상태에 있는 계의 에너지를 측정하면 항상 그 상태에 해당하는 특정 에너지 준위 값이 관측된다.

계가 고유 상태가 아닌 임의의 상태(중첩 상태)에 있을 때는 상황이 달라진다. 이 상태는 여러 고유 상태의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 이 경우, 물리량을 측정하면 가능한 고윳값 중 하나가 무작위로 얻어지며, 각 값을 얻을 확률은 해당 고유 상태 성분의 확률 진폭의 절댓값 제곱에 비례한다. 측정 후, 계의 상태는 측정된 고윳값에 해당하는 고유 상태로 붕괴(또는 투영)된다. 이 현상을 파동 함수의 붕괴라고 한다.

이 원리는 양자역학의 확률적 해석의 핵심이며, 보른 규칙으로 수학적으로 표현된다. 따라서 고윳값과 고유 상태의 개념은 양자적 측정의 결과와 그 확률을 예측하는 데 필수적이다.

에너지 준위는 양자역학에서 계가 가질 수 있는 불연속적인 에너지 값을 의미한다. 이는 고전역학에서 에너지가 연속적인 값을 가질 수 있는 것과 대비되는 양자역학의 핵심 개념 중 하나이다. 에너지 준위는 해당 계의 해밀토니언 연산자의 고윳값에 해당하며, 각 준위는 특정한 고유 상태와 연결된다.

계의 총 에너지를 나타내는 해밀토니언 연산자 $\hat{H}$에 대한 고윳값 방정식 $\hat{H} |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle$을 풀어 얻은 $E_n$ 값들이 바로 에너지 준위이다. 여기서 $n$은 준위를 구분하는 양자수를 나타낸다. 가장 낮은 에너지 준위를 바닥 상태라고 하며, 그보다 높은 에너지 준위는 들뜬 상태라고 부른다. 계가 특정 에너지 준위에 해당하는 고유 상태에 있으면, 에너지에 대한 측정은 확정적으로 그 준위값 $E_n$을 결과로 낸다.

에너지 준위의 간격과 패턴은 계의 퍼텐셜에 의해 결정되며, 이는 다양한 물리적 현상을 설명하는 데 사용된다. 예를 들어, 조화 진동자의 에너지 준위는 등간격으로 분포하는 반면, 수소 원자의 에너지 준위는 $-1/n^2$에 비례하여 서로 가까워지는 패턴을 보인다. 원자나 분자가 광자를 흡수하거나 방출할 때의 스펙트럼 선은 바로 두 에너지 준위 사이의 차이 $E_m - E_n$에 해당하는 에너지를 가진 광자에 의해 발생한다[1]. 따라서 에너지 준위의 불연속성은 물질의 선 스펙트럼이 나타나는 근본적인 이유이다.

고유 상태들의 직교성은 고윳값이 서로 다른 상태들이 서로 수직이라는 성질을 가리킨다. 이는 양자역학에서 물리적 측정의 독립성을 보장하는 중요한 수학적 기반이 된다. 에르미트 연산자로 표현되는 관측 가능한 물리량의 경우, 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 상태들은 내적이 0이 되어 서로 직교한다[2].

이 직교성은 상태 공간에서 기저를 구성하는 데 핵심적이다. 서로 다른 고유 상태들은 독립적인 방향을 정의하며, 이들의 집합은 힐베르트 공간의 직교 기저를 이룰 수 있다. 이는 임의의 파동 함수를 이러한 고유 상태들의 선형 결합으로 전개하는 중첩 원리의 수학적 근거가 된다.

고윳값이 동일한 경우, 즉 축퇴가 발생하는 경우에는 해당 고유 공간 내의 상태들이 반드시 서로 직교하지는 않다. 그러나 그람-슈미트 직교화 과정과 같은 방법을 통해 이 공간 안에서도 서로 직교하는 기저 벡터들을 선택할 수 있다. 이렇게 구성된 직교 기저는 계산을 크게 단순화시키는 강력한 도구가 된다.

고유 상태들의 집합이 완전성을 가진다는 것은, 해당 힐베르트 공간에 속하는 임의의 상태 벡터가 이 고유 상태들의 선형 결합으로 유일하게 표현될 수 있음을 의미한다. 이는 고윳값과 고유 상태를 다루는 이론의 핵심적인 성질 중 하나이다.

양자역학에서 물리적 상태는 힐베르트 공간의 벡터로 표현된다. 어떤 에르미트 연산자의 고유 상태들의 집합이 완전성을 이루면, 그 공간의 모든 상태는 이 고유 상태들을 기저로 하여 전개할 수 있다. 예를 들어, 에너지 연산자인 해밀토니안의 고유 상태들은 일반적으로 완전성을 가지며, 이는 임의의 상태가 다양한 에너지 준위를 가진 정상 상태들의 중첩으로 기술될 수 있음을 보장한다.

이러한 완전성은 수학적으로 다음과 같은 관계식으로 표현된다. 정규 직교화된 고유 상태들의 집합 {|ψ_n〉}에 대해, 단위 연산자 I는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

I = Σ_n |ψ_n〉〈ψ_n|

이 관계를 완전성 관계 또는 닫힘 관계라고 부른다. 이 식은 임의의 상태 |Φ〉에 작용했을 때, 그 상태가 고유 상태들의 선형 결합 |Φ〉 = Σ_n c_n |ψ_n〉으로 표현됨을 직접적으로 보여준다. 여기서 계수 c_n은 내적 〈ψ_n|Φ〉로 주어진다.

고윳값과 고유 벡터를 찾는 과정에서, 행렬을 대각화하는 것은 핵심적인 방법이다. 주어진 선형 연산자를 나타내는 행렬 A가 대각 행렬이 되도록 하는 기저를 찾는 작업이다. 이는 고윳값 방정식 Av = λv를 푸는 것과 동치이다.

행렬 A가 대각화 가능하기 위한 필요충분 조건은 n x n 행렬일 때, n개의 일차독립인 고유 벡터가 존재하는 것이다. 이들 고유 벡터를 열벡터로 모아 고유벡터 행렬 P를 구성하고, 대응하는 고윳값을 대각 성분으로 가지는 행렬 Λ를 만들면, A = PΛP⁻¹의 관계가 성립한다. 이 변환을 통해 행렬의 거듭제곱 계산이 매우 간단해진다.

대각화는 양자역학에서 특히 중요하다. 에르미트 연산자는 항상 대각화 가능하며, 그 고윳값은 실수이고 고유 상태들은 서로 직교한다. 이 성질은 물리량의 측정 가능한 값이 실수이며, 서로 다른 고유 상태들이 구별 가능함을 보장한다. 따라서 해밀토니안을 대각화하는 것은 시스템의 에너지 준위를 찾는 표준적인 방법이 된다.

고윳값과 고유 상태를 계산하는 수치적 기법은 해석적으로 풀기 어려운 복잡한 연산자에 대해 근사적인 해를 구하는 데 필수적이다. 특히 양자역학에서 다루는 해밀토니안 연산자는 대부분 수치적인 방법을 통해 풀어내야 한다.

가장 기본적인 수치적 기법은 행렬로 표현된 연산자를 대각화하는 것이다. 유한한 힐베르트 공간에서 연산자는 행렬로 표현되며, 이 행렬의 고윳값과 고유벡터를 찾는 표준적인 선형대수 알고리즘을 사용할 수 있다. 대표적인 알고리즘으로는 QR 알고리즘과 멱승법이 있다. 멱승법은 가장 큰 절댓값을 가진 고윳값과 그에 대응하는 고유벡터를 찾는 간단한 반복법이다. 모든 고윳값과 고유벡터를 찾기 위해서는 하우스홀더 변환을 이용해 행렬을 헤센베르크 행렬 형태로 만든 후 QR 알고리즘을 적용하는 것이 일반적이다.

연속적인 공간에서 정의된 미분 연산자와 같은 무한차원 문제의 경우, 유한한 기저 집합을 선택하여 문제를 유한차원으로 근사화하는 방법이 사용된다. 대표적인 방법이 유한 차분법과 갈루킨 방법이다. 유한 차분법은 미분을 차분으로 근사하여 문제를 유한한 크기의 행렬 고윳값 문제로 변환한다. 갈루킨 방법 또는 리츠 방법은 해를 알려진 기저 함수들의 선형 조합으로 가정하고, 그 계수를 결정하는 과정에서 일반화된 고윳값 방정식을 유도한다. 이때 기저 함수로 구면 조화 함수나 가우시안 함수 등 문제의 특성에 맞는 함수들을 선택한다.

특히 밀도 범함수 이론이나 분자 궤도 이론과 같은 전자 구조 계산에서는 거대한 해밀토니안 행렬의 고윳값을 효율적으로 계산하는 것이 핵심 과제이다. 이 경우, 행렬의 희소성이나 대칭성을 활용한 반복법 기반의 알고리즘들이 널리 사용된다[3].

조화 진동자는 양자역학에서 정확한 해석적 해를 구할 수 있는 중요한 모형 중 하나이다. 이 모형에서 시스템의 해밀토니안 연산자는 위치와 운동량 연산자로 표현되며, 이 연산자의 고윳값과 고유 상태는 시스템의 에너지 준위와 해당하는 상태를 결정한다.

조화 진동자의 에너지 고윳값은 이산적이며, 다음과 같은 형태를 가진다.

$$E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots$$

여기서 $\hbar$는 플랑크 상수, $\omega$는 진동자의 각진동수, $n$은 양자수를 나타낸다. 이 공식은 에너지가 최소값인 영점 에너지 $E_0 = \hbar \omega / 2$를 가지며, 그 위로 $\hbar \omega$ 간격으로 등간격의 준위를 가짐을 보여준다. 각 에너지 준위 $E_n$에 대응하는 고유 상태는 에르미트 다항식과 가우시안 함수의 곱으로 표현되는 파동 함수 $\psi_n(x)$로 기술된다.

이 모형의 해는 사다리 연산자 방법을 통해 우아하게 유도될 수 있다. 생성 연산자와 소멸 연산자를 도입하여 해밀토니안을 대각화하면, 고유 상태들은 바닥 상태(최저 에너지 상태)에 생성 연산자를 반복 적용하여 체계적으로 구축된다. 이 접근법은 대수적 구조를 명확히 보여주며, 고전적인 진동과 양자적인 진동의 근본적인 차이를 부각시킨다.

조화 진동자는 분자 진동, 고체 물리학의 격자 진동, 양자 광학의 광자 모델 등 물리학의 다양한 분야에서 근사 모형으로 널리 응용된다. 또한, 이 모형은 양자역학의 기본 개념인 불확정성 원리와 양자화 현상을 이해하는 데 핵심적인 예시를 제공한다.

수소 원자는 양자역학의 가장 기본적이고 중요한 응용 사례 중 하나이다. 이 모형에서 전자의 에너지 준위와 파동 함수는 슈뢰딩거 방정식을 풀어 얻은 고윳값과 고유 상태로 설명된다.

수소 원자의 슈뢰딩거 방정식은 쿨롱 퍼텐셜 하에 있는 전자의 운동을 기술한다. 이 방정식을 풀면 에너지 고윳값은 주양자수 n에 따라 결정되며, 그 값은 다음과 같은 형태를 가진다.

이러한 에너지 준위는 보어 모형에서 유도된 결과와 일치하며, 선 스펙트럼의 발생 원인을 설명한다. 각 에너지 준위에 대응하는 고유 상태, 즉 파동 함수는 주양자수 n 외에도 각운동량 양자수 l과 자기 양자수 m에 의존하는 형태를 가진다.

이 고유 상태들은 서로 직교성을 가지며, 전자가 특정 공간 영역에 존재할 확률을 제공한다. 예를 들어, 바닥상태(n=1)의 파동 함수는 구형 대칭을 보이지만, 들뜬상태(n>1)의 파동 함수는 다양한 각도 분포와 복잡한 모양을 가진다. 이러한 고유 상태들의 집합은 완전성을 만족시켜, 수소 원자 내 전자의 임의의 상태를 이들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

수소 원자 모형의 해석은 더 복잡한 다전자 원자나 분자 구조를 이해하는 기초가 된다. 또한, 선택 규칙과 같은 현상은 전자가 한 고유 상태에서 다른 고유 상태로 천이할 때 발생하며, 이는 원자가 흡수하거나 방출하는 빛의 파장을 결정한다.

고유 함수는 선형 연산자를 작용시켰을 때, 그 결과가 원래 함수에 상수를 곱한 형태로 나타나는 함수를 가리킨다. 이때 곱해지는 상수를 고윳값이라고 부른다. 고유 함수는 양자역학을 비롯한 물리학 및 공학의 여러 분야에서 핵심적인 역할을 수행한다. 특히, 슈뢰딩거 방정식과 같은 미분 방정식을 풀 때, 해가 되는 파동 함수가 에너지 연산자의 고유 함수가 된다.

수학적으로, 선형 연산자 Â가 주어졌을 때, 함수 ψ가 Âψ = λψ를 만족하면 ψ를 Â의 고유 함수, λ를 그에 대응하는 고윳값이라고 정의한다. 이 방정식을 고윳값 방정식이라고 부른다. 고유 함수는 일반적으로 특정 경계 조건을 만족하는 공간에서 정의되며, 이 조건에 따라 허용되는 고윳값의 집합, 즉 스펙트럼이 결정된다. 스펙트럼은 이산적일 수도 있고 연속적일 수도 있다.

물리적 시스템에서 고유 함수는 측정 가능한 물리량이 명확한 값을 가지는 상태, 즉 고유 상태를 나타낸다. 예를 들어, 조화 진동자의 정지 상태 에너지는 이산적인 값을 가지며, 각 에너지 준위에 대응하는 파동 함수는 해밀토니안 연산자의 고유 함수이다. 마찬가지로, 수소 원자의 전자 궤도 함수는 에너지, 각운동량 등의 연산자에 대한 공통 고유 함수로 표현된다.

고유 함수의 집합은 종종 직교성과 완전성을 가지며, 이 성질 덕분에 임의의 상태 함수를 고유 함수들의 선형 결합(중첩)으로 전개할 수 있다. 이는 푸리에 급수가 사인과 코사인 함수라는 고유 함수 집합을 기저로 사용하는 것과 유사한 원리이다.

스펙트럼은 연산자의 모든 고윳값의 집합을 의미하는 개념이다. 이 용어는 원래 빛을 프리즘에 통과시켜 얻는 색깔띠(스펙트럼)에서 유래했으며, 양자역학에서는 물리량 연산자의 가능한 측정값들의 전체 집합을 지칭하는 데 사용된다.

연산자의 스펙트럼은 고윳값뿐만 아니라 더 넓은 범위의 값을 포함할 수 있다. 예를 들어, 연속적인 스펙트럼을 가지는 연산자의 경우, 특정 값은 고유 상태에 대응하지 않지만 여전히 측정 가능한 값의 범위에 속한다. 따라서 스펙트럼은 일반적으로 이산 스펙트럼(고립된 고윳값)과 연속 스펙트럼(연속적인 값의 범위)으로 구분된다. 에너지 연산자인 해밀토니안의 스펙트럼은 시스템의 허용된 모든 에너지 준위를 나타내며, 이는 양자 시스템의 가장 중요한 특성 중 하나이다.

스펙트럼 분석은 물리 시스템의 동역학을 이해하는 핵심 도구이다. 연산자의 스펙트럼을 결정하는 것은 해당 물리량의 가능한 측정 결과와 그 확률을 예측하는 것을 가능하게 한다. 또한, 스펙트럼의 구조(예: 에너지 준위 사이의 간격)는 시스템의 안정성, 전이 가능성, 그리고 다양한 물리적 현상을 설명한다.