로런츠 변환

19세기 후반까지 빛의 전파는 에테르라는 가상의 매질을 통해 이루어진다고 믿었다. 이 정지한 에테르 바람 속을 지구가 운동하면, 지구에 상대적인 빛의 속도는 방향에 따라 달라질 것으로 예측되었다. 1887년 앨버트 마이컬슨과 에드워드 몰리는 이를 검증하기 위해 정교한 간섭계 실험을 설계하고 수행했다.

그들의 실험 장치는 서로 수직인 두 팔을 가진 마이컬슨 간섭계로 구성되었다. 한 팔의 빛은 지구의 공전 운동 방향과 평행하게, 다른 팔은 수직하게 진행한 후 다시 반사되어 돌아와 간섭 무늬를 만들었다. 지구가 에테르를 통해 운동한다면, 두 경로를 지나는 빛의 소요 시간에 차이가 생겨 간섭 무늬의 이동이 관측될 것이 예상되었다.

이 실험의 결과는 예상과 달리 뚜렷한 간섭 무늬의 이동을 보여주지 않았다. 이 '널리 알려진 결과'는 에테르 바람이 존재하지 않거나, 지구가 에테르를 완전히 끌고 다닌다는 것을 의미하는 듯했다. 이 음성 결과는 고전 물리학에 큰 난제를 제기했으며, 조지 피츠제럴드와 헨드릭 로런츠가 독립적으로 제안한 '길이 수축' 가설과 같은 특별한 가정을 통해 설명하려는 시도가 이루어졌다. 마이컬슨-몰리 실험은 결국 에테르 가설을 지지하지 않는 결정적 증거로 받아들여졌고, 이는 특수 상대성 이론이 등장하는 중요한 계기를 마련했다.

헨드릭 로런츠는 에테르 가설을 구제하기 위한 수학적 장치로 변환식을 도입했다. 그는 움직이는 물체가 에테르 속을 통과할 때 발생하는 전자기력의 수축을 설명하기 위해 1904년 논문에서 완성된 변환 공식을 제시했다[2]. 로런츠는 이 수축이 분자 간 힘의 변환에 기인한 물리적 현상이라고 보았으며, 그의 변환은 근본적으로 절대 시간과 절대 공간의 개념을 유지한 채 갈릴레이 변환을 수정한 것이었다.

반면, 알베르트 아인슈타인은 1905년 발표한 논문 "움직이는 물체의 전기역학에 대하여"에서 전혀 다른 접근법을 취했다. 그는 에테르 개념을 완전히 버리고, 광속 불변의 원리와 상대성 원리를 두 가지 기본 가정으로 삼았다. 아인슈타인은 공간과 시간의 측정 자체가 관찰자의 운동 상태에 상대적임을 보여주었으며, 로런츠 변환은 이러한 새로운 시공간 관념에서 자연스럽게 도출되는 필연적인 결과임을 증명했다.

두 과학자의 기여는 다음과 같이 대비된다.

결과적으로, 동일한 수학적 형식을 공유하지만 로런츠의 해석은 고전 물리학의 틀 안에 머물렀고, 아인슈타인의 해석은 특수 상대성 이론이라는 새로운 물리학의 기초를 세웠다. 오늘날 이 변환은 로런츠의 이름을 따서 불리지만, 그 물리적 해석과 이론적 토대는 아인슈타인의 업적으로 확립되었다.

로런츠 변환은 두 관성계 사이의 좌표 변환 규칙을 제공한다. 한 관성계 S에서의 사건 좌표 (t, x, y, z)를, S에 대해 x축 방향으로 일정한 속도 v로 운동하는 다른 관성계 S'의 좌표 (t', x', y', z')로 변환하는 공식은 다음과 같다.

여기서 c는 진공에서의 빛의 속력이며, γ(감마)는 로런츠 인자로 정의된다. 로런츠 인자는 γ = 1 / √(1 - v²/c²) 이다. 이 공식은 S'계가 S계에 대해 상대속도 v로 x축 방향으로 운동할 때의 표준적인 형태이다. y와 z 좌표는 운동 방향에 수직이므로 변하지 않는다.

속도 v가 빛의 속력 c에 비해 매우 작은 경우, 즉 v/c ≪ 1 이면, 로런츠 인자 γ는 1에 매우 가까워지고, 시간 변환 공식의 vx/c² 항은 무시할 수 있게 된다. 이 경우 로런츠 변환 공식은 고전역학의 갈릴레이 변환인 t' = t, x' = x - vt, y' = y, z' = z 으로 근사된다. 따라서 갈릴레이 변환은 로런츠 변환의 저속 근사임을 알 수 있다.

역변환, 즉 S'계의 좌표에서 S계의 좌표를 얻는 공식은 상대성 원리에 의해 대칭적인 형태를 가진다. 속도 v의 방향을 고려하면 S계가 S'계에 대해 -v의 속도로 운동하는 것과 같으므로, 역변환은 위 공식에서 v를 -v로 바꾸고 프라임(')이 붙은 좌표와 붙지 않은 좌표를 서로 교환하여 얻는다. 예를 들어, x = γ (x' + v t') 이다.

로런츠 변환은 4차원 시공간 좌표 간의 선형 변환으로, 행렬을 사용하여 간결하게 표현할 수 있다. 이 표현은 계산을 체계화하고 변환의 대수적 구조를 명확히 보여준다.

일반적인 형태의 로런츠 변환 행렬은 4×4 행렬이다. 관성 좌표계 S와 S'를 생각할 때, S'가 S에 대해 x축 방향으로 상대 속도 v로 등속 운동한다고 가정하자. 이때 두 좌표계 사이의 변환은 다음과 같은 행렬 L(v)로 나타낼 수 있다.

| ct' | | γ | -βγ | 0 | 0 | | ct |

| x' | = | -βγ | γ | 0 | 0 | × | x |

| y' | | 0 | 0 | 1 | 0 | | y |

| z' | | 0 | 0 | 0 | 1 | | z |

여기서 ct와 ct'는 시간 좌표에 광속 c를 곱한 것이고, β = v/c, γ = 1/√(1-β²)이다[4]. 이 행렬은 속도 v가 x축 방향일 때의 특별한 경우인 "부스트(boost)"를 나타낸다.

행렬 표현의 장점은 여러 번의 변환을 연속적으로 적용할 때 단순한 행렬 곱셈으로 처리할 수 있다는 점이다. 예를 들어, 속도 v1의 변환 후 속도 v2의 변환을 적용하는 것은 합성된 속도에 해당하는 단일 변환 행렬 L(v2)L(v1)을 계산하는 것과 같다. 또한, 이 행렬은 민코프스키 공간에서의 내적을 보존한다는 점에서 직교 행렬의 상대론적 일반화로 볼 수 있다.

로런츠 변환은 쌍곡선 함수를 사용하여 우아하게 표현될 수 있다. 이 표현은 변환의 기하학적 성질을 명확히 드러내며, 특히 민코프스키 공간에서의 회전으로서의 해석을 가능하게 한다.

속도 v와 광속 c의 비를 β = v/c로 정의하고, 로런츠 인자 γ = 1/√(1-β²)를 도입한다. 이때, 쌍곡선 함수의 항등식 cosh² φ - sinh² φ = 1을 이용하면, γ = cosh φ, βγ = sinh φ를 만족하는 쾌속도 φ를 정의할 수 있다. φ는 φ = artanh(v/c)로 주어진다. 이 φ를 사용하면, 두 관성계 S와 S' 사이의 로런츠 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이 표현은 유클리드 공간에서의 일반적인 회전 행렬과 매우 유사한 형태를 가진다. 유클리드 회전이 삼각함수 cos θ와 sin θ로 표현되는 반면, 로런츠 변환은 쌍곡선 함수 cosh φ와 sinh φ로 표현된다. 이는 로런츠 변환이 민코프스키 공간에서의 쌍곡선 회전에 해당함을 보여준다.

쌍곡선 함수 표현은 여러 계산에서 편리함을 제공한다. 예를 들어, 속도 덧셈 법칙은 쾌속도 φ의 단순한 덧셈으로 귀결된다. 두 개의 상대속도에 해당하는 쾌속도가 φ₁과 φ₂라면, 합성된 속도에 해당하는 쾌속도는 단순히 φ = φ₁ + φ₂가 된다. 이는 일반적인 속도 덧셈 공식보다 훨씬 간결한 결과이다. 또한, 이 표현은 로런츠 변환이 로런츠 군의 원소로서 하나의 매개변수 φ로 기술될 수 있음을 보여준다.

특수 상대성 이론에서, 시간 지연은 관성계 사이에서 상대속도로 움직이는 관찰자들이 서로의 시계가 다르게 가는 것을 관측하는 현상이다. 정지한 관찰자가 상대속도로 움직이는 관찰자의 시계를 관측할 때, 움직이는 시계가 더 느리게 가는 것으로 보인다. 이 효과는 상대적이며, 각 관찰자는 상대방의 시계가 느리다고 판단한다.

시간 지연의 양은 로런츠 인자 γ (감마)에 의해 결정된다. 정지한 관성계에서 측정한 시간 간격 Δt와, 그 시간 간격에 대응하는 움직이는 관성계에서 측정한 고유 시간 간격 Δt' 사이의 관계는 다음 공식으로 표현된다.

Δt = γ Δt' = Δt' / √(1 - v²/c²)

여기서 v는 상대속도, c는 진공에서의 빛의 속력이다. 분모의 제곱근 항이 1보다 작기 때문에 γ는 항상 1보다 크며, 따라서 측정된 시간 Δt는 항상 고유 시간 Δt'보다 길다. 즉, 움직이는 시계는 더 천천히 간다.

이 효과는 매우 작은 속도에서는 무시할 수 있지만, 속도가 빛의 속력에 가까워질수록 극적으로 증가한다. 예를 들어, 0.99c의 속도로 움직이는 우주선 안의 시계는 정지한 관찰자에게 약 7배 더 느리게 간다. 시간 지연은 뮤온의 수명 연장 실험과 같은 고에너지 입자 실험에서 정밀하게 검증되었다[5]. 또한, 정밀한 원자시계를 탑재한 제트기 실험에서도 그 효과가 확인되었다.

길이 수축은 관찰자와 상대적으로 움직이는 물체의 길이가 그 운동 방향으로 짧아져 보이는 현상이다. 이 효과는 로런츠 변환에서 자연스럽게 도출되며, 특수 상대성 이론의 핀 예측 중 하나이다.

운동 방향으로 놓인 물체의 길이는 정지 상태에서 측정한 고유 길이보다 짧게 측정된다. 구체적으로, 속도 v로 움직이는 물체의 길이 L은 그 물체와 함께 정지해 있는 관찰자가 측정한 고유 길이 L0에 대해 L = L0 * √(1 - v²/c²)의 관계를 가진다. 여기서 c는 진공에서의 빛의 속도이다. 이 공식은 물체의 운동 방향에 수직인 방향에서는 길이 변화가 일어나지 않음을 보여준다.

길이 수축은 상호적이다. 즉, 두 관찰자가 서로에 대해 등속도 운동할 때, 각 관찰자는 상대방의 자(尺)가 운동 방향으로 수축되어 있다고 측정한다. 이 모순처럼 보이는 현상은 동시성의 상대성 개념을 통해 해소된다. 길이를 측정하려면 물체의 양 끝 위치를 동시에 기록해야 하는데, 두 관찰자가 '동시'라는 개념을 서로 다르게 정의하기 때문이다.

이 효과는 일상적인 속도에서는 그 값이 극히 미미하여 관찰이 불가능하지만, 상대론적 속도에 가까운 속도로 움직이는 입자들을 다루는 입자 물리학이나 우주선 설계 등의 분야에서는 중요한 고려 사항이 된다. 역사적으로 이 개념은 조지 피츠제럴드와 헨드릭 로런츠가 독립적으로 제안한 수축 가설에서 비롯되었으나, 알베르트 아인슈타인은 이를 시공간의 근본적인 성질에서 비롯된 필연적인 현상으로 재해석하였다.

한 관성 좌표계에서 동일한 시간에 발생한 두 사건은, 다른 관성 좌표계에서 관찰할 때 반드시 동시에 발생하지 않는다. 이것이 동시성의 상대성의 핵심 개념이다. 이 현상은 로런츠 변환에서 직접 도출되며, 절대 시간의 개념을 근본적으로 부정한다.

두 사건이 한 좌표계에서 동시에 일어났다면, 그 사건들 사이의 시공간 간격은 공간적으로 분리된 것이 된다. 다른 좌표계에서 이 사건들의 시간 좌표를 계산하면, 일반적으로 서로 다른 값을 가지게 되어 동시성이 깨진다. 이 효과는 두 사건이 공간적으로 분리되어 있고, 관찰자의 운동 방향을 따라 위치할 때 가장 두드러지게 나타난다.

이 개념은 실생활에서 직관에 반하는 이유는, 일상적인 속도(광속에 비해 매우 느림)에서는 그 효과가 극히 미미하기 때문이다. 그러나 특수 상대성 이론의 틀 안에서는, 절대적이고 보편적인 '지금'이라는 순간은 존재하지 않는다. 각 관찰자는 자신의 운동 상태에 따라 고유한 동시면을 가지게 되며, 이는 상대론적 시공간의 근본적인 성질을 보여준다.

광속 불변의 원리는 특수 상대성 이론의 두 기초 가정 중 하나로, 진공에서의 광속은 관성 좌표계의 선택이나 광원의 운동 상태에 관계없이 항상 일정한 값 c를 가진다는 원리이다. 이는 로런츠 변환이 도출되는 핵심적인 근거를 제공한다.

19세기 말까지 전자기학의 법칙은 정지한 에테르라는 매질을 기준으로 성립하는 것으로 여겨졌다. 따라서 관찰자가 에테르에 대해 움직이면 측정되는 광속이 달라질 것으로 예상되었다. 그러나 마이컬슨-몰리 실험을 포함한 여러 실험은 그러한 변화를 검출하지 못했다. 알베르트 아인슈타인은 1905년에 발표한 논문에서 이러한 실험 결과를 설명하기 위해 광속 불변의 원리를 공리로 제시했고, 이를 통해 로런츠 변환을 자연스럽게 유도해냈다[7].

이 원리의 중요한 결과는 속도 합성 법칙이 고전 역학의 갈릴레이 변환에 따른 방식과 다르다는 점이다. 예를 들어, 광원이 관찰자를 향해 속도 v로 이동하더라도, 관찰자가 측정하는 빛의 속도는 여전히 c이며, c+v가 아니다. 이는 로런츠 변환에 따른 새로운 속도 합성 공식을 요구하며, 광속 c는 모든 관성계에서 도달할 수 없는 최대 속도의 역할을 한다.

상대성 원리는 모든 관성 좌표계에서 물리 법칙의 형태가 동일하게 유지된다는 원리이다. 갈릴레이의 상대성 원리가 고전역학에 국한된 것이라면, 알베르트 아인슈타인은 이 원리를 모든 물리 법칙, 특히 전자기학의 법칙까지 확장하여 특수 상대성 이론의 두 기초 중 하나로 삼았다.

이 원리에 따르면, 서로에 대해 등속 직선 운동을 하는 모든 관성계는 물리적으로 완전히 동등하다. 즉, 실험실 안에서 수행되는 모든 물리 실험은 실험실이 정지해 있는지 아니면 균일한 속도로 움직이고 있는지에 관계없이 동일한 결과를 낳는다. 따라서 절대적인 정지 상태나 절대 운동을 측정하는 것은 불가능하다. 오직 상대적인 운동만이 의미를 가진다.

로런츠 변환은 이 상대성 원리와 광속 불변의 원리를 동시에 만족시키는 유일한 좌표 변환이다. 갈릴레이 변환은 고전 역학에서는 상대성 원리를 만족시키지만, 맥스웰 방정식의 형태를 보존하지 못해 전자기 현상을 설명할 때 문제가 발생했다. 반면, 로런츠 변환을 적용하면 전자기 법칙을 포함한 모든 물리 법칙의 형식이 모든 관성계에서 동일하게 유지된다는 것이 확인된다. 이로 인해 로런츠 변환은 상대성 원리의 수학적 구현체 역할을 하게 되었다.

상대론적 운동학은 로런츠 변환을 적용하여 고속으로 움직이는 물체의 운동을 기술하는 물리학의 분야이다. 고전 역학의 갈릴레이 변환을 사용하는 뉴턴 역학과 달리, 광속에 가까운 속도에서 발생하는 상대론적 효과를 정확히 설명한다. 이 분야의 핵심은 속도, 운동량, 에너지와 같은 기본 물리량이 어떻게 변환되는지를 규명하는 것이다.

상대론적 속도 덧셈 법칙은 그 대표적인 예시이다. 두 개의 관성계 S와 S'가 있고, S'가 S에 대해 x축 방향으로 속도 v로 움직인다고 가정하자. 만약 S'계에서 어떤 물체가 x'축 방향으로 속도 u'로 움직인다면, S계에서 관측한 이 물체의 속도 u는 고전적인 u = v + u'가 아니라 다음과 같은 공식으로 주어진다.

u = (v + u') / (1 + (v u' / c²))

여기서 c는 진공 중의 광속이다. 이 공식은 광속 c가 모든 관성계에서 불변임을 보장한다. 예를 들어, u' = c라면, 위 식에 대입하면 u = (v + c) / (1 + (v c / c²)) = c가 되어, S계에서 측정한 빛의 속도 역시 c가 된다.

운동량과 에너지의 개념도 근본적으로 재정의된다. 질량 m, 속도 v로 움직이는 물체의 상대론적 운동량 p는 p = γ m v로 정의되며, 여기서 γ(로런츠 인자)는 1/√(1 - v²/c²)이다. 물체의 총 에너지 E는 유명한 질량-에너지 등가 공식 E = γ m c² = mc² + K으로 표현된다. 여기서 mc²는 정지 에너지, K는 상대론적 운동 에너지를 나타낸다. 이러한 관계는 고속 입자 가속기나 우주선의 궤적 계산 등에 필수적으로 적용된다.

이 표에서 보듯, 상대론적 운동학은 물체의 속도가 광속에 가까워질수록 운동량과 에너지가 무한대로 증가하여 광속에 도달하는 것을 근본적으로 방지함을 보여준다. 이는 모든 유한한 에너지를 가진 물체의 속도는 광속보다 작아야 함을 의미한다.

맥스웰 방정식은 고전 전자기학의 기본 법칙을 기술한다. 갈릴레이 변환 하에서는 이 방정식의 형태가 변하지 않지 않아, 뉴턴 역학과의 불일치가 발생했다. 로런츠 변환은 맥스웰 방정식이 모든 관성계에서 동일한 형태를 유지하도록 하는 변환 규칙으로 밝혀졌다.

로런츠 변환을 적용하면 전기장과 자기장이 더 이상 독립적인 실체가 아니라 관찰자의 운동 상태에 따라 상호 변환되는 하나의 전자기장 텐서의 서로 다른 성분으로 나타난다. 예를 들어, 정지한 관성계에서 순수한 정전기장으로 보이던 것이, 그 장을 통과하는 관성계에서는 전기장과 자기장이 모두 존재하는 것으로 측정될 수 있다. 이 변환은 다음 표와 같이 요약할 수 있다.

여기서 γ는 로런츠 인자이며, v는 상대 속도, c는 진공에서의 빛의 속도이다. 이 공식들은 전기력과 자기력이 상대론적 효과에 따라 혼합됨을 보여준다.

이러한 공식화를 통해, 전자기 현상에 대한 설명은 모든 관성계에서 동일하고 일관되게 이루어진다. 또한, 전하의 보존 법칙이 로런츠 변환 하에서 불변임이 자연스럽게 유도된다. 결과적으로, 로런츠 변환은 전자기학과 역학을 통합하는 특수 상대성 이론의 수학적 기초를 제공했다.

민코프스키 공간은 헤르만 민코프스키가 1907년에 도입한 개념으로, 특수 상대성 이론의 기하학적 표현을 제공한다. 이 공간은 3차원 공간 좌표(x, y, z)에 시간 좌표(ct)를 추가한 4차원 시공간이다. 여기서 c는 진공에서의 빛의 속도를 나타내며, 시간 차원에 c를 곱함으로써 모든 차원이 길이의 단위를 갖도록 한다. 이렇게 정의된 4차원 공간에서의 두 사건 간의 간격은 로런츠 변환에 대해 불변인 양으로 정의된다.

민코프스키 공간에서 두 사건 사이의 간격(ds)은 다음과 같이 정의된다.

ds² = (c dt)² - (dx² + dy² + dz²)

이 간격은 고전역학의 유클리드 공간에서의 거리와 근본적으로 다르다. 시간 성분은 더해지는 반면, 공간 성분은 빼지기 때문에, 이 공간의 기하학은 유클리드 기하학이 아닌 쌍곡기하학의 성질을 보인다. 간격의 값에 따라 두 사건의 관계가 분류되는데, ds² > 0이면 시간꼴, ds² < 0이면 공간꼴, ds² = 0이면 광꼴(또는 영간격) 관계에 있다고 말한다.

이 기하학적 틀 안에서 로런츠 변환은 민코프스키 공간에서의 회전 변환으로 재해석된다. 3차원 유클리드 공간에서의 회전이 거리를 보존하듯이, 로런츠 변환은 시공간 간격(ds²)을 보존한다. 이러한 관점은 상대론적 현상들을 단순한 기하학적 관계로 이해할 수 있게 해주었다. 예를 들어, 시간 지연과 길이 수축은 서로 다른 관성계에서 4차원 벡터를 서로 다른 방식으로 '조망'하는 결과로 볼 수 있다.

민코프스키 공간의 도입은 특수 상대성 이론의 수학적 구조를 명확히 하고, 이후 일반 상대성 이론으로의 발전에 중요한 토대를 마련했다. 일반 상대성 이론에서는 중력에 의해 휘어진 시공간을 기술하기 위해 민코프스키 공간을 국소적으로 근사할 수 있는 준 리만 다양체의 개념을 사용한다.

로런츠 군은 민코프스키 공간에서 로런츠 변환의 전체 집합이 이루는 군이다. 이는 특수 상대성 이론의 기하학적 구조를 기술하는 핵심적인 대칭 군으로, 시공간의 등거리 변환을 나타낸다. 로런츠 군은 회전과 부스트 (상대론적 속도 변환)를 포함하며, 민코프스키 계량 텐서를 불변으로 유지하는 모든 선형 변환으로 정의된다.

로런츠 군은 네 개의 연결 성분으로 구성된다. 이는 변환이 시간 방향을 보존하는지 뒤집는지, 그리고 공간 방향을 보존하는지 뒤집는지에 따라 구분된다. 가장 중요한 부분군은 시간 방향과 공간 방향을 모두 보존하는 정로런츠 군이다. 정로런츠 군은 특수 직교군 SO(3)의 상대론적 일반화로 볼 수 있으며, 물리적으로 실현 가능한 변환들(예: 두 관성계 사이의 변환)을 대표한다. 다른 성분들은 시간 반전 또는 공간 반전 연산을 포함한다.

로런츠 군의 구조는 리 군 이론으로 깊이 연구된다. 이 군은 6차원의 리 군이며, 그 생성원은 3개의 공간 회전과 3개의 부스트에 해당한다. 이 군의 표현론은 상대론적 양자역학과 양자장론에서 기본 입자의 스핀과 같은 내적 자유도를 분류하는 데 필수적이다. 예를 들어, 디랙 방정식은 로런츠 군의 스피너 표현을 따르는 파동 함수를 기술한다.

로런츠 군은 푸앵카레 군의 부분군이다. 푸앵카레 군은 로런츠 변환에 시공간 병진 변환을 추가한 것으로, 특수 상대성 이론의 완전한 대칭군이다. 로런츠 군의 연구는 현대 물리학의 기초를 이루며, 표준 모형과 같은 이론의 수학적 틀을 제공한다.