명제 논리(진리표, 논리 연산자) (r1)

명제는 참 또는 거짓 중 하나의 진리값을 갖는 문장이다. 예를 들어 "2는 짝수이다"는 참인 명제이며, "서울은 프랑스의 수도이다"는 거짓인 명제이다. 명제가 되기 위해서는 그 진리값이 객관적으로 결정 가능해야 한다. 따라서 "이 영화는 재미있다"와 같이 주관적 판단에 의존하는 문장이나, "x + 2 = 5"와 같이 변수 x의 값에 따라 진리값이 변하는 문장은 명제가 아니다.

명제는 단순 명제와 복합 명제로 구분된다. 단순 명제는 더 이상 다른 명제로 나눌 수 없는 기본적인 명제이며, 복합 명제는 논리 연산자를 사용하여 두 개 이상의 단순 명제를 결합한 명제이다. 예를 들어 "비가 오고 바람이 분다"는 두 단순 명제를 논리곱(AND)으로 연결한 복합 명제이다.

명제 논리에서 각 명제는 보통 p, q, r과 같은 소문자로 표시된다. 이는 명제의 내용보다는 그 진리값과 논리적 구조에 초점을 맞추기 위한 것이다. 명제의 핵심 특성은 명확성과 결정 가능성에 있으며, 이는 논리적 추론의 기초를 형성한다.

명제가 가질 수 있는 참(True) 또는 거짓(False)의 값을 진리값이라고 한다. 이 두 가지 값은 이진 논리 체계의 근간을 이루며, 각각 기호 T(또는 1)와 F(또는 0)로 표시된다.

주어진 명제의 진리값을 결정하는 것은 그 명제가 기술하는 내용이 실제 세계의 사실과 일치하는지 여부에 달려 있다. 예를 들어, "지구는 태양을 돈다"는 명제는 사실과 일치하므로 참의 진리값을 가진다. 반면, "2는 홀수이다"는 명제는 사실과 불일치하므로 거짓의 진리값을 가진다.

하나의 명제는 하나의 진리값만을 가진다. 여러 개의 명제를 함께 고려할 때, 각 명제의 진리값 조합에 따라 전체 복합 명제의 진리값이 결정된다. 이때, n개의 서로 다른 단순 명제가 있다면, 각 명제가 독립적으로 참 또는 거짓일 수 있으므로 가능한 진리값 조합의 총 수는 2ⁿ개가 된다. 예를 들어, 명제 p와 q 두 개가 있다면 가능한 진리값 조합은 (T,T), (T,F), (F,T), (F,F) 네 가지이다.

이러한 모든 가능한 진리값 조합의 집합을 진리집합이라고 부를 수 있다. 진리표는 이 진리집합을 체계적으로 나열하고, 각 조합에 대해 논리 연산을 적용한 결과를 보여주는 도구이다.

명제 논리에서 가장 핵심적인 구성 요소는 논리 연산자이다. 이 연산자들은 하나 또는 두 개의 명제를 결합하여 새로운 복합 명제를 형성한다. 가장 기본이 되는 다섯 가지 연산자는 부정(NOT), 논리곱(AND), 논리합(OR), 조건(IF...THEN, 함의), 쌍조건(IF AND ONLY IF, 동치)이다.

각 연산자는 고유한 기호와 진리값 규칙을 가진다. 부정은 단항 연산자로, 명제 p가 참이면 ¬p는 거짓이고, p가 거짓이면 ¬p는 참이다. 논리곱(p ∧ q)은 두 명제가 모두 참일 때만 결과가 참이다. 논리합(p ∨ q)은 두 명제 중 적어도 하나가 참일 때 결과가 참이다. 이때 일반적으로 사용되는 논리합은 포괄적 논리합이다[2].

조건 명제(p → q)는 직관적 이해와 논리적 정의 사이에 차이가 있다. 전건 p가 거짓인 경우, 후건 q의 진리값에 관계없이 전체 조건 명제는 참으로 간주한다. 이는 "약속 위반"이 발생하지 않았기 때문으로 해석된다. 쌍조건(p ↔ q)은 두 명제의 진리값이 완전히 일치할 때 참이므로, 논리적 동등성을 표현하는 데 사용된다.

배타적 논리합(exclusive OR, XOR)은 두 명제 P와 Q 중 정확히 하나만 참일 때 결과가 참이 되는 논리 연산자이다. 기호로는 보통 ⊕, ∨̇, ≢, XOR 등으로 표시한다. 두 명제가 모두 참이거나 모두 거짓인 경우에는 결과가 거짓이 된다. 이는 "둘 중 하나"라는 일상적 표현과 유사하지만, 일상 언어에서는 "둘 중 하나"가 때로는 포괄적 의미(적어도 하나)로도 사용되므로 명확히 구분해야 한다.

배타적 논리합의 진리값은 다음 진리표로 정의된다.

배타적 논리합은 기본 논리 연산자(부정, 논리곱, 논리합)를 조합하여 표현할 수 있다. 가장 일반적인 논리적 동치는 (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q)이다. 이는 "P 또는 Q이지만, P이고 Q인 것은 아니다"라는 의미를 정확히 반영한다. 다른 표현으로는 (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q)도 가능하다.

파생 연산자에는 그 외에 부정 논리곱(NAND, ↑)과 부정 논리합(NOR, ↓)이 있다. 이들은 각각 논리곱(AND)과 논리합(OR)의 결과를 부정한 것으로, 기능적으로 완전한(functionally complete) 연산자 집합을 이룬다. 즉, 이 연산자들만으로 모든 다른 논리 연산을 구성할 수 있다. 이 특성은 디지털 회로 설계에서 매우 중요한 의미를 가진다.

논리 연산자로 구성된 복합 명제를 해석하거나 평가할 때는 연산자 간의 우선순위를 명확히 정의해야 모호함을 피할 수 있다. 명제 논리에서 일반적으로 적용되는 우선순위는 다음과 같다. 가장 높은 우선순위를 가지는 것은 부정 연산자(¬)이며, 그 다음으로 논리곱(∧)과 논리합(∨)이 동등한 순위를 가진다. 조건(→)과 쌍조건(↔) 연산자는 가장 낮은 우선순위를 가진다. 예를 들어, 명제 ¬p ∧ q → r은 ((¬p) ∧ q) → r로 해석된다. 즉, 부정이 가장 먼저 적용되고, 그 다음 논리곱, 마지막으로 조건 연산이 적용된다.

우선순위 규칙을 통해 괄호 사용을 최소화할 수 있지만, 의도를 명확히 하기 위해 괄호를 추가하는 것이 좋은 경우도 많다. 특히 동일한 우선순위를 가진 연산자(예: ∧와 ∨)가 연속해서 나올 때는 주의가 필요하다. 일반적인 관례는 왼쪽에서 오른쪽으로 결합하는 것이다. 따라서 p ∧ q ∧ r은 (p ∧ q) ∧ r로 해석된다. 그러나 결합법칙이 성립하는 연산자의 경우, 이러한 결합 순서는 최종 진리값에 영향을 미치지 않는다.

주요 논리 연산자 대부분은 결합법칙을 만족한다. 논리곱(∧)과 논리합(∨)은 명백히 결합법칙이 성립한다. 즉, (p ∧ q) ∧ r은 p ∧ (q ∧ r)과 논리적으로 동치이며, (p ∨ q) ∨ r도 p ∨ (q ∨ r)과 동치이다. 이는 다음 진리표를 통해 쉽게 확인할 수 있다.

반면, 조건(→) 연산자는 결합법칙을 만족하지 않는다. 명제 (p → q) → r과 p → (q → r)은 서로 다른 진리값을 가질 수 있다. 따라서 조건 연산자를 연속해서 사용할 때는 반드시 괄호를 사용하여 결합 순서를 명시해야 한다.

진리표는 주어진 명제 논리 식이나 복합 명제에 포함된 모든 단순 명제(원자 명제)에 가능한 진리값 조합을 대입했을 때, 그 식 전체의 진리값이 어떻게 결정되는지를 체계적으로 보여주는 표이다. 진리표의 기본 구성은 좌측에 입력 변수(단순 명제) 열과, 우측에 출력(전체 복합 명제의 값) 열로 나뉜다.

진리표를 작성하는 방법은 다음과 같은 단계를 따른다. 먼저, 주어진 논리식에 등장하는 서로 다른 단순 명제 변수(예: p, q, r)의 개수 n을 확인한다. n개의 변수에 대해 가능한 진리값 조합은 2^n가지가 존재한다. 따라서 표의 행 수는 2^n행이 된다. 각 변수 열에는 가능한 모든 진리값 조합(참[T]과 거짓[F])을 체계적으로 나열하는데, 일반적으로 이진수 순서(예: TTT, TTF, TFT, TFF, ...)를 따라 나열하여 누락되지 않도록 한다.

표의 우측에는 논리식의 구조에 따라 중간 단계를 나타내는 열을 추가할 수 있다. 예를 들어 식 ¬p ∨ q의 진리표를 작성한다면, 먼저 ¬p 열을 만들고, 그 다음에 최종 결과인 ¬p ∨ q 열을 계산하여 채운다. 각 행에서 최종 열의 값은 해당 행의 변수 값과 논리 연산자의 정의에 따라 순차적으로 계산하여 결정한다. 이 과정을 통해 복잡한 논리식의 진리값을 명확하게 파악할 수 있다.

단순 명제의 진리표는 그 명제 자체가 가질 수 있는 진리값을 나열한 것이다. 단순 명제는 더 이상 다른 명제로 나눌 수 없는 기본적인 명제로, 일반적으로 진리값 참(T) 또는 거짓(F) 중 하나를 가진다. 따라서 단순 명제 p의 진리표는 다음과 같이 명제 변수와 그에 대응하는 가능한 진리값만을 표로 나타낸다.

반면, 복합 명제의 진리표는 구성 요소인 단순 명제들의 모든 가능한 진리값 조합에 대해, 논리 연산자를 적용한 결과 진리값을 계산하여 보여준다. 예를 들어, 복합 명제 ¬p ∨ q의 진리표를 작성하려면 먼저 구성 요소 p와 q의 모든 진리값 조합(2²=4가지)을 나열한 후, 각 행에 대해 부정(¬)과 논리합(∨) 연산을 순차적으로 적용한 결과를 열로 추가한다.

진리표 작성의 일반적인 절차는 다음과 같다.

1. 복합 명제에 포함된 서로 다른 명제 변수들을 확인한다.

2. n개의 명제 변수가 있다면 가능한 진리값 조합은 2ⁿ가지이다. 이를 체계적으로 나열한다[3].

3. 복합 명제의 구조를 분석하여, 내부 연산부터 외부 연산 순서로 중간 계산 열을 추가할 수 있다.

4. 최종 열은 원래 주어진 복합 명제의 진리값을 나타낸다.

이 방법을 통해 임의의 복잡한 논리식을 가진 명제의 진리표도 체계적으로 작성할 수 있으며, 이는 해당 명제의 논리적 행동을 완전히 기술한다.

두 명제가 논리적으로 동치인지 확인하기 위해 진리표를 사용하는 방법은 다음과 같다. 두 명제를 구성하는 모든 기본 명제(원자 명제)에 대해 가능한 모든 진리값 조합을 나열하고, 각 조합에서 두 명제의 진리값을 계산하여 비교한다.

진리표의 마지막 열에 두 명제의 진리값이 모든 경우에 일치하면, 그 두 명제는 논리적으로 동치이다. 예를 들어, 명제 P와 이중부정 ¬(¬P)의 동치성을 확인해보자. 아래 진리표는 두 명제의 진리값이 모든 행에서 동일함을 보여준다.

보다 복잡한 예로, 분배법칙 P ∨ (Q ∧ R) 와 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) 의 동치성을 확인할 수 있다. 이 경우 세 개의 원자 명제가 포함되므로 가능한 진리값 조합은 2³=8가지가 된다. 8개의 행 각각에서 두 복합 명제의 진리값을 계산하면, 그 결과가 모든 행에서 정확히 일치함을 확인할 수 있다. 이는 두 명제 형식이 논리적으로 동치임을 의미한다.

이 방법은 항진명제와 모순명제를 판별하는 데에도 유용하게 적용된다. 예를 들어, 명제 P ∨ ¬P 의 진리표를 작성하면 모든 행에서 진리값이 참(T)이므로, 이 명제는 항진명제임을 알 수 있다. 진리표를 통한 동치 확인은 명제 논리의 다양한 법칙을 증명하거나, 복잡한 논리 회로나 프로그램 조건식의 간소화를 검증하는 실용적인 도구로 널리 쓰인다.

명제 논리에서 명제는 그 진리값에 따라 항진명제, 모순명제, 사건명제의 세 가지 범주로 분류된다. 이 분류는 명제가 항상 참인지, 항상 거짓인지, 또는 경우에 따라 참 또는 거짓일 수 있는지에 기초한다.

항진명제는 구성 요소인 단순 명제들의 진리값에 관계없이 항상 참인 명제를 가리킨다. 예를 들어, "P이거나 P가 아니다"라는 명제는 P가 참이든 거짓이든 전체 명제는 항상 참이다. 항진명제는 논리적 법칙을 표현하며, 진리표에서 최종 진리값 열이 모두 참(T)으로 채워진다. 반대로, 모순명제는 구성 요소들의 진리값에 관계없이 항상 거짓인 명제이다. "P이고 P가 아니다"와 같은 명제가 대표적이며, 진리표에서 최종 진리값 열이 모두 거짓(F)으로 나타난다.

사건명제는 항진명제나 모순명제가 아닌, 즉 참과 거짓이 모두 가능한 명제를 의미한다. 대부분의 일상적 명제나 논리식은 이 범주에 속한다. 예를 들어, "P이고 Q이다"라는 명제는 P와 Q의 진리값 조합에 따라 참이 될 수도 있고 거짓이 될 수도 있다. 사건명제의 진리표는 참과 거짓이 혼합되어 나타난다.

이 세 가지 유형의 구분은 논리적 동치를 판별하거나 추론의 타당성을 검증하는 데 필수적이다. 특히, 어떤 논증의 결론이 전제들의 논리적 함의인지 확인할 때, 해당 조건문이 항진명제인지 살펴보는 것이 일반적인 방법이다[4].

교환법칙은 논리 연산자의 피연산자 순서가 결과에 영향을 주지 않음을 나타내는 법칙이다. 논리합과 논리곱 연산은 이 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 명제 P와 Q에 대해 P ∨ Q는 Q ∨ P와 논리적으로 동치이며, P ∧ Q는 Q ∧ P와 논리적으로 동치이다. 그러나 조건문 연산은 교환법칙을 만족하지 않는다. P → Q와 Q → P는 일반적으로 동일한 진리값을 갖지 않는다.

결합법칙은 동일한 논리 연산자가 연속적으로 사용될 때, 괄호로 묶는 순서가 결과에 영향을 주지 않음을 보장한다. 논리합과 논리곱은 결합법칙을 만족한다. 이는 세 개 이상의 명제를 다룰 때 유용하다. 예를 들어, (P ∨ Q) ∨ R은 P ∨ (Q ∨ R)과 논리적으로 동치이며, 이를 간단히 P ∨ Q ∨ R로 표기할 수 있다. 마찬가지로 논리곱도 (P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R) ≡ P ∧ Q ∧ R이 성립한다.

분배법칙은 한 논리 연산자가 다른 연산자에 대해 분배되는 성질을 말한다. 명제 논리에는 두 가지 주요 분배법칙이 존재한다.

* 첫째, 논리곱이 논리합에 대해 분배된다: P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

* 둘째, 논리합이 논리곱에 대해 분배된다: P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

이 법칙들은 복잡한 복합 명제를 간소화하거나 변형하는 데 필수적이다. 아래 표는 주요 법칙들을 정리한 것이다.

드 모르간의 법칙은 명제 논리와 집합론, 불린 대수에서 중요한 역할을 하는 논리적 동치의 한 쌍이다. 이 법칙은 논리합과 논리곱 연산이 부정 연산을 통해 어떻게 변환되는지를 설명한다. 법칙의 이름은 이를 공식화한 19세기 영국의 수학자 오거스터스 드 모르간의 이름을 따서 붙여졌다.

드 모르간의 법칙은 두 가지 기본 형태로 표현된다. 첫째, 두 명제의 논리합에 대한 부정은 각 명제의 부정의 논리곱과 논리적으로 동치이다. 즉, ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ∧ ¬Q)이다. 둘째, 두 명제의 논리곱에 대한 부정은 각 명제의 부정의 논리합과 논리적으로 동치이다. 즉, ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)이다. 이는 진리표를 작성하여 쉽게 확인할 수 있다.

이 법칙은 복잡한 논리식을 단순화하거나, 부정을 명제 내부로 분배하여 표현을 변환할 때 유용하게 사용된다. 또한, 집합론에서는 합집합의 여집합은 각 집합의 여집합의 교집합과 같고, 교집합의 여집합은 각 집합의 여집합의 합집합과 같다는 정리로 나타난다. 이는 디지털 회로 설계에서 논리 게이트를 변환하거나, 프로그래밍에서 조건문의 논리를 재구성할 때도 직접적으로 적용된다.

논리적 함의는 두 명제 사이의 관계로, 한 명제(전건)가 참일 때 다른 명제(후건)도 반드시 참이 되는 경우를 말한다. 명제 P가 명제 Q를 함의한다는 것은, P가 참인 모든 상황에서 Q도 참이라는 것을 의미한다. 이 관계는 P → Q로 표기하며, "P이면 Q이다"라고 읽는다.

논리적 함의의 진위는 진리표를 통해 엄격히 정의된다. 함의 P → Q는 오직 P가 참이고 Q가 거짓인 경우에만 거짓이다. 다른 모든 경우, 즉 P가 거짓이거나 Q가 참일 때는 P → Q는 참이다. 이는 일상 언어의 "만약...이라면"과는 미묘한 차이가 있다. 예를 들어, 전건 P 자체가 거짓인 경우, 함의 P → Q는 내용과 무관하게 참으로 평가된다[6].

논리적 함의는 추론의 타당성을 판단하는 데 핵심적인 역할을 한다. P → Q가 참이고 P가 참이라면, Q도 참이어야 한다는 추론은 타당하다. 이러한 추론 형식을 긍정에 의한 긍정 또는 전건 긍정이라고 부른다. 논리적 함의 관계가 성립하는지는 진리표를 작성하거나, 이미 알려진 논리적 동치와 법칙을 활용하여 확인할 수 있다.

논리적 함의 관계가 성립하는 경우, 전제가 참일 때 결론이 반드시 참이 되는 추론 형식을 타당한 추론 형식이라고 한다. 명제 논리에서 가장 기본적이고 중요한 타당한 추론 규칙 몇 가지가 있다.

가장 대표적인 것은 전건 긍정(Modus Ponens)과 후건 부정(Modus Tollens)이다. 전건 긍정은 "P → Q"와 "P"가 참일 때, "Q"를 결론으로 추론하는 형식이다. 예를 들어, "비가 오면 길이 젖는다"와 "비가 온다"가 참이면, "길이 젖는다"는 결론이 필연적으로 따라온다. 후건 부정은 "P → Q"와 "¬Q"가 참일 때, "¬P"를 결론으로 추론하는 형식이다. 앞의 예에서 "길이 젖지 않았다"가 참이라면, "비가 오지 않았다"는 결론을 내릴 수 있다.

이 외에도 다음과 같은 타당한 추론 형식이 존재한다.

이러한 추론 규칙들은 복잡한 논증을 간단하고 체계적인 단계로 분해하여 그 타당성을 검증하는 데 사용된다. 모든 타당한 추론 형식은 대응하는 함의 명제(전제들의 논리곱 → 결론)가 항진명제가 된다는 특징을 가진다.

명제 논리의 진리표와 논리 연산자는 디지털 회로 설계의 근간을 이룬다. 디지털 시스템의 기본 구성 요소인 논리 게이트는 각각 특정 논리 연산을 물리적으로 구현한 것이다. 예를 들어, 인버터 게이트는 부정(NOT) 연산을, AND 게이트는 논리곱(AND) 연산을, OR 게이트는 논리합(OR) 연산을 수행한다. 이러한 게이트들의 입력과 출력은 전압의 높고 낮음으로 표현되며, 이는 각각 논리값 '참'(1)과 '거짓'(0)에 대응된다.

복잡한 논리 기능은 기본 게이트들을 조합하여 구현한다. 논리 회로 설계자는 주어진 논리 명제나 불린 함수를 분석하여, 이를 구현하는 최적의 게이트 연결 구조를 찾는다. 이 과정에서 진리표는 회로의 동작을 명확히 정의하고 검증하는 도구로 사용된다. 예를 들어, 두 입력이 모두 참일 때만 출력이 참이어야 한다는 명세는 AND 게이트 하나로 직접 구현할 수 있다.

다양한 논리 게이트의 종류와 그에 대응하는 논리 연산, 기호는 다음 표와 같다.

NAND와 NOR 게이트는 특히 중요하다. 이들은 기능적 완전성을 갖추고 있어, 이들 게이트만으로 다른 모든 종류의 논리 게이트(AND, OR, NOT 등)의 기능을 구성할 수 있다[7]. 이 특성은 실제 칩 제조에서 회로의 표준화와 간소화에 크게 기여한다.

이러한 논리 게이트들의 조합은 가산기, 멀티플렉서, 플립플롭과 같은 기본적인 논리 소자를 만들고, 이들이 모여 중앙처리장치(CPU)와 메모리를 구성하는 복잡한 디지털 시스템을 완성한다. 따라서 명제 논리는 현대 컴퓨터 하드웨어의 논리적 설계를 지배하는 수학적 기초라 할 수 있다.

명제 논리의 개념과 논리 연산자는 프로그래밍 언어에서 조건문과 불린 자료형을 설계하고 이해하는 데 직접적인 토대를 제공한다. 대부분의 현대 프로그래밍 언어는 진리값을 표현하는 불린(Boolean) 타입을 갖추고 있으며, 이는 명제 논리의 진리값에 대응된다. 프로그램의 흐름을 제어하는 if 문, while 문 등의 조건은 명제로 간주될 수 있는 불린 표현식을 평가하여 그 진위에 따라 실행 경로를 결정한다.

프로그래밍에서 사용되는 주요 논리 연산자는 명제 논리의 연산자와 직접적으로 연결된다. 다음 표는 일반적인 대응 관계를 보여준다.

이러한 연산자들은 진리표에 정의된 진리값 관계를 그대로 따르기 때문에, 프로그래머는 복잡한 조건을 구성할 때 논리적 동치를 활용해 더 간결하거나 효율적인 표현으로 변환할 수 있다. 예를 들어, !(A && B)는 !A || !B와 논리적으로 동치라는 드 모르간의 법칙은 조건문을 단순화하거나 가독성을 높이는 데 자주 사용된다.

또한, 단락 평가는 프로그래밍 언어가 논리곱이나 논리합 연산을 수행할 때 적용되는 중요한 최적화 기법이다. A && B를 평가할 때 A가 거짓이면 B의 값과 관계없이 전체 표현식이 거짓이므로 B는 평가되지 않는다. 이는 불필요한 계산이나 부작용을 방지하는 데 유용하다. 따라서 프로그래머는 조건문 내 함수 호출이나 연산의 순서에 주의를 기울여야 한다. 이러한 프로그래밍 구조의 동작을 정확히 예측하고 디버깅하기 위해서는 명제 논리에 대한 기초 이해가 필수적이다.

명제 논리는 명확한 참과 거짓을 가지는 명제들 간의 논리적 관계를 다루는 강력한 체계이지만, 몇 가지 근본적인 한계를 지닌다. 가장 큰 한계는 명제의 내부 구조를 분석할 수 없다는 점이다. 명제 논리는 "소크라테스는 사람이다"와 "플라톤은 사람이다"라는 두 명제를 완전히 별개의 기호(P, Q 등)로만 취급하며, 두 명제가 공통된 술어("~는 사람이다")를 공유한다는 사실을 포착하지 못한다. 이로 인해 "모든 사람은 죽는다"와 "소크라테스는 사람이다"라는 전제로부터 "소크라테스는 죽는다"라는 결론을 도출하는 고전적인 삼단논법을 명제 논리만으로는 타당성을 증명할 수 없다.

또한, 명제 논리는 양화사, 즉 "모든"이나 "어떤"과 같은 개념을 표현할 수 없다. "모든 고양이는 동물이다"나 "어떤 새는 날지 못한다"와 같은 문장은 명제 논리에서 단순히 하나의 원자 명제로만 처리될 뿐, 그 의미를 정밀하게 분석하거나 복잡한 수학적 명제를 표현하는 데는 부적합하다. 이는 자연어나 수학, 컴퓨터 과학에서 흔히 등장하는 "모든 x에 대하여..." 또는 "존재하는 y가 있어..."와 같은 구문을 다루기에는 표현력이 충분하지 않음을 의미한다.

이러한 한계를 극복하기 위해 개발된 것이 술어 논리이다. 술어 논리는 명제를 주어와 술어로 분해하고, 변수와 양화사를 도입하여 명제의 내부 구조를 분석할 수 있게 한다. 이를 통해 객체들의 집합에 대한 일반적 진술이나 존재적 진술을 정형화할 수 있으며, 삼단논법을 비롯한 보다 풍부한 형식의 추론을 체계화하는 토대를 제공한다. 따라서 명제 논리는 논리학의 출발점이자 기초를 이루지만, 보다 복잡한 논증을 분석하기 위해서는 술어 논리로의 확장이 필수적이다.

명제 논리는 명제를 진리값의 조합으로만 다루기 때문에, 명제 내부의 구조를 분석할 수 없다는 근본적인 한계를 지닌다. 예를 들어, "모든 사람은 죽는다"와 "소크라테스는 사람이다"라는 명제로부터 "소크라테스는 죽는다"라는 결론을 이끌어내는 고전적인 삼단논법은 명제 논리만으로는 그 타당성을 검증할 수 없다. 이는 명제 논리가 "모든", "어떤", "소크라테스"와 같은 주어와 술어의 내부적 관계를 포착하지 못하기 때문이다.

이러한 한계를 극복하기 위해 개발된 것이 술어 논리(Predicate Logic) 또는 양화 논리(Quantificational Logic)이다. 술어 논리는 명제를 주어와 술어로 분해하여, 명제 내부의 구조와 객체 간의 관계를 표현할 수 있도록 확장한다. 핵심적인 추가 요소는 다음과 같다.

이를 통해 "모든 사람은 죽는다"는 ∀x (P(x) → D(x))[8]로, "소크라테스는 사람이다"는 P(a)로 표현된다. 술어 논리의 추론 규칙을 적용하면 P(a)와 ∀x (P(x) → D(x))로부터 D(a)("소크라테스는 죽는다")를 도출할 수 있게 되어, 명제 논리로는 불가능했던 형식적 추론이 가능해진다.

따라서 술어 논리는 명제 논리를 포괄하는 더 강력한 체계로, 수학의 증명, 인공지능의 지식 표현, 데이터베이스 질의어, 형식语义学 등 보다 복잡한 구조의 논리를 정밀하게 분석해야 하는 분야의 기초를 이룬다.