리 대수

아벨 리 대수는 리 괄호 연산이 항상 0인 리 대수를 말한다. 즉, 임의의 두 원소 X, Y에 대해 [X, Y] = 0이 성립하는 대수 구조이다. 이는 교환 법칙을 만족하는 리 대수로 볼 수 있으며, 가장 단순한 형태의 리 대수에 속한다. 모든 1차원 리 대수는 자명하게 아벨 리 대수이다.

아벨 리 대수는 리 군 이론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 평행 이동 군이나 원군과 같은 가환군에 대응되는 리 대수는 아벨 리 대수이다. 또한, 임의의 리 대수 g에 대해, 그 중심(center) Z(g) = {X ∈ g | [X, Y]=0 for all Y ∈ g}는 항상 g의 아벨 리 대수인 아이디얼을 이룬다.

구조 이론의 관점에서, 아벨 리 대수는 멱영 리 대수이자 가해 리 대수의 특별한 경우이다. 멱영성과 가해성은 리 대수를 복잡성에 따라 계층적으로 분류하는 중요한 개념인데, 아벨 리 대수는 이 계층의 가장 바닥에 위치한다. 모든 아벨 리 대수는 자명하게 유도 대수 g' = [g, g]가 0이 되어 가해성의 정의를 만족시킨다.

이러한 단순한 구조 때문에 아벨 리 대수 자체의 분류는 그 차원만으로 결정된다. 그러나 더 복잡한 리 대수를 분석할 때, 그 속에 포함된 아벨 부분 대수, 특히 최대 크기의 극대 아벨 부분 대수는 근계 이론을 통해 단순 리 대수의 구조를 이해하는 핵심 도구가 된다.

단순 리 대수는 비아벨이며, 자기 자신과 0을 제외한 어떠한 아이디얼도 갖지 않는 리 대수를 말한다. 이는 정수론에서의 소수와 유사한 개념으로, 리 대수 이론의 기본적인 구성 요소 역할을 한다. 반면 반단순 리 대수는 가환 아이디얼을 포함하지 않는, 즉 가해 리 대수가 아닌 리 대수로 정의된다. 중요한 정리에 따르면, 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합으로 유일하게 분해될 수 있다. 따라서 반단순 리 대수의 구조를 이해하는 핵심은 단순 리 대수의 분류에 달려 있다.

복소수체 위의 단순 리 대수는 완전히 분류되어 있으며, 이는 딘킨 도표라는 간결한 그림으로 표현된다. 이 분류는 네 개의 무한 계열(A_n, B_n, C_n, D_n)과 다섯 개의 예외적 리 대수(E_6, E_7, E_8, F_4, G_2)로 이루어져 있다. 여기서 계열 A_n은 특수 선형 군 SL(n+1)에 대응하는 리 대수 sl(n+1)을, B_n과 D_n은 직교 군에, C_n은 심플렉틱 군에 각각 대응한다. 이러한 분류는 에리 카르탕에 의해 완성되었다.

단순 리 대수와 반단순 리 대수의 이론은 리 군의 구조를 이해하는 데 필수적이다. 콤팩트 리 군의 대수는 반단순 리 대수의 직합과 하나의 가환 성분(토러스에 해당)으로 구성된다. 또한 표현론에서 반단순 리 대수의 유한차원 표현은 완전히 가분적이며, 이는 물리학 특히 입자물리학에서 게이지 이론과 기본 입자의 분류를 다룰 때 강력한 도구가 된다.

리 대수의 구조 이론에서 가해 리 대수와 멱영 리 대수는 중요한 하위 범주를 이룬다. 이들은 리 대수의 교환자를 반복적으로 취해 얻은 유도열의 성질에 따라 정의된다. 구체적으로, 리 대수 g에 대해 g^(0) = g, g^(i+1) = [g^(i), g^(i)]로 정의되는 유도열이 유한 단계 후에 0이 되면, 즉 g^(n) = 0인 n이 존재하면 g를 가해 리 대수라고 한다. 이는 리 대수의 교환자 대수가 점점 작아져 결국 소멸한다는 의미이다. 한편, 더 강한 조건인 중심렬 g_0 = g, g_(i+1) = [g, g_i]로 정의되는 열이 유한 단계 후에 0이 되면, 즉 g_n = 0인 n이 존재하면 g를 멱영 리 대수라고 한다.

모든 멱영 리 대수는 가해 리 대수이다. 왜냐하면 중심렬이 유도열보다 더 빠르게 감소하기 때문이다(g^(i) ⊆ g_i). 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 간단한 예로, 2차원 비가환 리 대수 (예: 아핀 변환군의 리 대수)는 가해이지만 멱영은 아니다. 가해 리 대수의 대표적인 예는 상삼각행렬로 이루어진 리 대수이며, 멱영 리 대수의 예는 엄격한 상삼각행렬 (주대각선이 모두 0인 상삼각행렬)로 이루어진 리 대수이다.

이러한 개념은 리 군 이론과 깊이 연결되어 있다. 가해 리 군과 멱영 리 군은 각각 그 리 대수가 가해, 멱영인 연결 리 군으로 정의된다. 가해 리 대수에 대한 중요한 정리로는 엥겔 정리가 있으며, 이는 모든 원소가 멱영 변환인 유한차원 리 대수는 멱영 리 대수라는 것을 보여준다. 또한 리 정리는 복소수 체 위의 유한차원 가해 리 대수의 표현론이 상삼각행렬로 표현될 수 있음을 말해준다.

복소수 단순 리 대수는 반단실 리 대수의 기본 구성 요소로, 비자명적 아이디얼을 갖지 않는 비아벨 리 대수이다. 이들의 분류는 에를랑겐 프로그램의 일환으로 소푸스 리가 리 군의 무한소 변환을 연구하기 시작한 이후, 19세기 말부터 20세기 초에 걸쳐 완성되었다. 분류의 핵심은 각 단순 리 대수가 특정한 근계와 일대일 대응된다는 사실에 기반한다.

분류 결과, 복소수 단순 리 대수는 네 개의 무한 계열과 다섯 개의 예외적 대수로 나뉜다. 무한 계열은 특수선형대수, 직교대수, 심플렉틱대수 등 고전군의 리 대수에 해당하는 A_n, B_n, C_n, D_n 형이다. 예외적 대수는 G_2, F_4, E_6, E_7, E_8로 표기되며, 이들은 더 높은 차원의 대칭성을 가진 기하학적 구조나 물리학적 모형에서 나타난다.

이 분류는 딘킨 도표라는 간결한 그래프를 통해 시각적으로 표현될 수 있다. 각 딘킨 도표의 꼭짓점은 근계의 단순근을, 변은 근 사이의 각도를 나타내어 리 대수의 전체 구조를 결정한다. 따라서 복소수 단순 리 대수의 동형류는 딘킨 도표의 동형류와 완전히 일치한다.

이러한 분류는 리 군의 표현론, 대수기하학, 그리고 표준 모형을 넘어선 통일장 이론을 탐구하는 이론물리학에 깊이 응용된다. 특히 예외적 리 군 E_8은 여러 끈 이론 모형에서 중요한 역할을 한다.

복소수 단순 리 대수는 딘킨 도표를 통해 완전히 분류된다. 이 분류로부터 얻어진 각 복소수 단순 리 대수는 여러 개의 서로 다른 실수 리 대수를 가질 수 있으며, 이러한 실수 리 대수를 원래 복소수 단순 리 대수의 실수 형태라고 부른다. 하나의 복소수 리 대수는 여러 개의 비동형인 실수 형태를 가질 수 있으며, 이는 실수 계수에 대한 구조의 차이를 의미한다.

실수 형태는 크게 축소형과 비축소형으로 나눌 수 있다. 가장 중요한 예시는 단순 리 군의 실수 형태로, 콤팩트 리 군에 대응되는 실수 리 대수를 콤팩트 형태라고 한다. 예를 들어, 복소수 단순 리 대수 sl(2,C)의 실수 형태에는 콤팩트 형태인 su(2)와 비콤팩트 형태인 sl(2,R) 및 su(1,1)이 있다. 이들은 모두 실수 계수에서는 서로 동형이 아니지만, 복소수로 확장하면 모두 sl(2,C)와 동형이 된다.

실수 형태의 분류는 카르탕 분해와 칼링 형태의 부호를 통해 이루어진다. 칼링 형태가 음의 정부호이면 그 실수 형태는 콤팩트하다. 물리학, 특히 입자물리학과 상대성이론에서는 로런츠 군이나 푸앵카레 군과 같은 비콤팩트 리 군의 리 대수가 자연스럽게 등장한다. 대칭 공간 이론과 리만 기하학에서도 다양한 실수 형태가 중요한 역할을 한다.

리 대수는 물리학, 특히 입자물리학과 양자역학에서 대칭성과 보존 법칙을 기술하는 핵심적인 수학적 언어로 사용된다. 이는 리 대수가 연속군인 리 군의 무한소 변환을 다루는 데 적합하기 때문이다. 물리 시스템의 대칭성은 종종 리 군으로 표현되며, 그에 대응하는 리 대수는 그 대칭성을 선형화하여 더 쉽게 계산하고 분석할 수 있게 해준다. 예를 들어, 공간 회전 대칭성은 SO(3) 군과 그 리 대수로, 시간 이동 대칭성은 에너지 보존과 연결된다.

양자역학에서 관측가능량은 에르미트 연산자로 표현되며, 이들 연산자 사이의 교환자 관계는 리 괄호 구조를 이룬다. 따라서 물리 시스템의 대칭 연산자들은 자연스럽게 하나의 리 대수를 형성한다. 각운동량 연산자들 사이의 교환 관계는 SO(3) 리 대수의 관계와 정확히 일치하며, 이는 양자 시스템에서 각운동량이 양자화되는 근본적인 이유를 설명한다.

입자물리학의 표준 모형은 게이지 이론에 기반을 두고 있으며, 이 이론의 핵심은 게이지 대칭성이다. 강한 상호작용을 기술하는 양자 색역학(QCD)은 SU(3) 게이지 군에 의해, 전자기력과 약한 상호작용을 통일하여 기술하는 전약 이론은 SU(2) × U(1) 군에 의해 그 대칭성이 주어진다. 이러한 게이지 군들에 대응하는 리 대수(su(3), su(2), u(1))는 입자의 기본 상호작용과 관련된 보존을 규정하고, 게이지 보손이라는 힘을 매개하는 입자들의 성질을 결정한다.

또한, 특수 상대성 이론의 로런츠 군과 푸앵카레 군 역시 리 군이며, 이들의 리 대수는 시공간의 대칭성을 기술한다. 이는 스핀과 같은 입자의 내부 자유도를 이해하는 데 필수적이며, 고에너지 물리학의 기초를 이룬다. 결국 리 대수는 미시 세계의 복잡한 상호작용과 대칭성을 체계적으로 분류하고 예측하는 강력한 틀을 제공한다.

리 대수는 미분기하학과 위상수학의 여러 핵심 개념과 깊이 연관되어 있다. 가장 직접적인 응용은 리 군 이론에서 찾을볼 수 있다. 모든 리 군은 그 접공간에 자연스럽게 리 대수 구조를 부여하며, 이 리 대수는 원래 리 군의 국소적 구조, 즉 군 연산의 무한소 변환을 완전히 기술한다. 이 대응을 통해 복잡한 미분다양체 위의 군 구조 연구를 선형적인 벡터 공간의 대수 문제로 환원시킬 수 있다는 점이 강력한 장점이다.

접속 이론에서도 리 대수가 중요한 역할을 한다. 특히 주다발 위의 곡률은 리 대수값 미분형식으로 표현되며, 이 곡률의 비앙키 항등식은 본질적으로 리 괄호의 성질에서 비롯된다. 또한 심플렉틱 기하학에서 푸아송 괄호는 함수 공간 위에 리 대수 구조를 정의하며, 이는 해밀턴 역학의 수학적 기초를 이룬다.

대수기하학과 표현론의 교차점에서도 리 대수의 기하학적 응용이 나타난다. 플래그 다양체나 사영 공간 같은 호모지니어스 공간들은 종종 반단순 리 대수나 관련 파라볼릭 부분군에 의해 기술된다. 이러한 다양체들의 위상수와 코호몰로지는 리 대수의 근계와 바일 군을 이용해 체계적으로 계산될 수 있다.