르베그 가측 집합

르베그 외측도는 르베그 측도를 구성하기 위한 첫 단계로, 실수 집합의 모든 부분집합에 대해 정의되는 확장된 실수값 함수이다. 이는 주어진 집합을 가산 개의 구간들로 덮는 방법들 중에서, 덮는 구간들의 길이 합의 하한을 그 집합의 외측도로 정의한다. 구체적으로, 실수의 부분집합 E에 대해, E를 덮는 가산 개의 열린 구간들의 모임 {I_k}에 대해, 이 구간들의 길이 합 Σ l(I_k)의 하한을 m*(E)로 나타낸다.

르베그 외측도는 모든 집합에 대해 정의되지만, 모든 집합에 대해 가산 가법성을 만족시키지는 않는다는 한계가 있다. 즉, 서로소인 가산 개의 집합들의 합집합에 대해, 각 집합의 외측도의 합이 합집합의 외측도와 항상 일치하지는 않는다. 이는 르베그 측도를 정의할 때 비가측 집합이 존재하는 근본적인 이유가 된다. 따라서 외측도 자체는 완전한 측도라기보다는 측도를 구성하기 위한 준비 개념이다.

외측도는 몇 가지 기본적인 성질을 가진다. 첫째, 음이 아닌 값을 가지며, 공집합의 외측도는 0이다. 둘째, 집합 A가 B의 부분집합이면 A의 외측도는 B의 외측도를 넘지 않는다(단조성). 셋째, 가산 개의 집합들의 합집합의 외측도는 각 집합의 외측도의 합 이하이다(가산 준가법성). 이러한 성질들은 측도가 되기 위한 조건보다 약하지만, 르베그 가측성을 정의하는 데 필수적인 토대를 제공한다.

르베그 가측성의 조건은 르베그 외측도를 이용하여 엄밀하게 기술된다. 르베그 외측도 m*는 모든 부분집합 E ⊂ R^n에 대해 정의되지만, 이 값이 가산 가법성을 만족하는 집합만을 르베그 가측 집합으로 간주한다. 구체적으로, 집합 E ⊂ R^n이 르베그 가측이라는 것은 임의의 테스트 집합 A ⊂ R^n에 대해 카라테오도리 조건 m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ E^c)을 만족하는 것이다. 여기서 E^c는 E의 여집합을 의미한다.

이 조건은 외측도 m*가 집합 E를 기준으로 모든 집합 A를 '잘게 자르더라도' 그 측도가 보존됨을 요구한다. 직관적으로, 집합 E의 경계가 충분히 '잘 행동'하여 임의의 집합과 겹치는 부분과 겹치지 않는 부분으로 나눌 때 외측도의 값이 가산하게 분해된다는 뜻이다. 이 조건을 만족하는 집합들만이 르베그 측도 m를 정의할 수 있는 영역이 된다.

르베그 가측성의 이 동치 조건은 보렐 가측 집합을 모두 포함하면서도 더 넓은 집합족을 형성하게 한다. 모든 열린 집합과 닫힌 집합은 이 조건을 만족하며, 따라서 모든 보렐 집합은 르베그 가측이다. 또한, 외측도가 0인 모든 집합(영집합)도 이 조건을 만족하여 르베그 가측이다. 이로 인해 르베그 측도는 보렐 측도를 완비화한 것이 된다.

결과적으로, 르베그 가측 집합의 모임은 σ-대수를 이루며, 여기에 정의된 르베그 측도 m는 가산 가법성을 갖는 완비 측도가 된다. 이 구조는 르베그 적분의 이론적 기반을 제공하여, 리만 적분으로는 다루기 어려운 많은 함수와 집합을 체계적으로 적분할 수 있게 한다.

르베그 가측 집합들은 특정한 대수적 구조를 이루는데, 이는 르베그 측도를 다루는 데 필수적이다. 르베그 가측 집합의 모임은 σ-대수(sigma-algebra)를 형성한다. 이는 가측 집합들이 특정 연산들에 대해 닫혀 있음을 의미한다.

구체적으로, 어떤 집합이 르베그 가측 집합이라면 그 여집합도 르베그 가측 집합이다. 또한, 가측 집합들의 가산 개(countable)의 합집합과 교집합 역시 르베그 가측 집합이다. 이 성질들은 유한 개의 연산에 대해서도 당연히 성립한다. 예를 들어, 두 가측 집합의 합집합, 교집합, 차집합 모두 가측 집합이 된다.

이러한 σ-대수 구조 덕분에 우리는 복잡한 집합들을 다룰 때도 안심하고 측도를 논할 수 있다. 가측 집합들의 수열을 만들고 그 극한을 취하는 작업도 σ-대수의 성질 안에서 자유롭게 수행될 수 있다. 이는 르베그 적분 이론의 강력한 기초가 된다.

르베그 가측 집합의 σ-대수는 특히 보렐 가측 집합의 σ-대수를 포함하며, 르베그 측도는 이를 완비 측도로 만든다. 즉, 르베그 가측 집합의 모임은 보렐 집합에 측도가 0인 집합과 그 부분집합들을 모두 추가하여 얻어진다.

르베그 가측 집합의 모임은 르베그 측도가 잘 정의되는 집합들의 체계이다. 이 모임은 σ-대수를 이루며, 이로 인해 르베그 측도는 몇 가지 기본적이고 강력한 성질을 만족한다.

첫째, 르베그 측도는 가산 가법성을 가진다. 즉, 서로소인 가측 집합들의 가산 열 {E_n}에 대해, 그 합집합의 측도는 각 집합의 측도의 합과 같다. 이 성질은 유한 합집합에 대해서도 성립하는 유한 가법성을 포함한다. 둘째, 측도는 단조성을 가진다. 두 가측 집합 A, B에 대해 A가 B의 부분집합이면 A의 측도는 B의 측도를 초과하지 않는다. 또한, 측도는 위에서의 가산 가법성, 즉 가측 집합들의 증가열에 대해 그 합집합의 측도는 측도들의 극한과 같다는 성질도 성립한다.

측도의 연속성도 중요한 성질이다. 가측 집합들의 증가열 또는 감소열에 대해, 그 극한 집합의 측도는 각 집합의 측도의 극한과 일치한다. 감소열의 경우, 첫 번째 집합의 측도가 유한하다는 조건이 필요하다. 마지막으로, 르베그 측도는 외측도로부터 유도되었기 때문에, 모든 가측 집합 E는 거의 서로소인 열린 집합과 닫힌 집합으로 근사될 수 있다. 즉, 임의의 ε > 0에 대해 열린 집합 G와 닫힌 집합 F가 존재하여 F ⊂ E ⊂ G이고, G \ F의 측도가 ε보다 작게 만들 수 있다.

르베그 가측 집합의 대표적인 예로는 모든 열린 집합과 닫힌 집합이 있다. 실수 집합 R의 임의의 열린 구간 (a, b)는 르베그 가측이며, 그 측도는 구간의 길이 b - a와 같다. 열린 집합은 가산 개의 서로소인 열린 구간들의 합집합으로 표현될 수 있고, 르베그 가측 집합들은 가산 합집합에 대해 닫혀 있으므로, 모든 열린 집합은 르베그 가측이다. 닫힌 집합은 열린 집합의 여집합이므로, 르베그 가측 집합들이 여집합에 대해 닫혀 있다는 성질에 의해 역시 가측이다.

보다 일반적으로, 모든 보렐 집합은 르베그 가측이다. 보렐 집합은 열린 집합들로부터 가산 번의 합집합, 교집합, 여집합 연산을 통해 얻을 수 있는 집합들로 구성된 시그마 대수에 속하는 집합이다. 르베그 가측 집합들의 모임 역시 시그마 대수를 이루므로, 보렐 집합을 생성하는 열린 집합들이 르베그 가측이면 그로부터 생성된 모든 보렐 집합도 르베그 가측이다. 따라서 보렐 가측성은 르베그 가측성보다 더 강한 조건이다.

르베그 측도가 0인 집합, 즉 영집합도 중요한 가측 집합의 예이다. 가산 집합(예: 유리수 집합 Q)은 모두 측도 0인 르베그 가측 집합이다. 또한 칸토어 집합과 같이 비가산이지만 측도가 0인 집합도 르베그 가측이다. 측도가 0인 집합의 모든 부분집합 역시 르베그 가측일까? 그렇지 않다. 측도가 0인 집합의 부분집합 중에는 르베그 비가측 집합이 존재할 수 있다. 이는 르베그 측도가 완비 측도가 아니라는 점에서 비롯된 현상으로, 르베그 가측 집합의 완비화를 통해 이러한 부분집합들까지 포함시킬 수 있다.

마지막으로, 르베그 가측 집합은 보렐 집합보다 더 풍부하다. 즉, 르베그 가측이지만 보렐 집합이 아닌 집합이 존재한다. 한 예로, 측도가 0인 집합과 비보렐 집합의 합집합을 구성할 수 있다. 이러한 집합들은 르베그 측도의 완비화 과정에서 추가된 집합들에 해당하며, 실해석학에서 르베그 측도가 보렐 측도보다 더 넓은 범위의 집합을 다룰 수 있게 해주는 근거가 된다.

모든 집합이 르베그 가측인 것은 아니다. 즉, 르베그 외측도가 가산 가법성을 만족하지 않는 집합이 존재한다. 이러한 집합을 르베그 비가측 집합이라고 한다.

비가측 집합의 존재는 [선택 공리]를 가정하면 증명할 수 있다. 대표적인 구성 방법은 [비탈리 집합]을 이용하는 것이다. 이는 실수 구간 [0, 1]을 합리수에 대한 동치류로 분할한 후, 각 동치류에서 하나의 원소만을 선택하여 구성한다. 이렇게 만들어진 집합은 가산 번의 평행 이동에 의해 서로소인 집합들로 분할될 수 있으며, 이로부터 이 집합이 르베그 가측일 수 없다는 모순이 유도된다.

비탈리 집합의 구성은 르베그 측도가 모든 실수 부분집합에 대해 정의될 수 없음을 보여준다. 이는 르베그 측도가 정의되는 집합족, 즉 르베그 가측 집합족이 전체 [멱집합]의 진부분집합임을 의미한다. 따라서 르베그 측도는 보렐 가측 집합족을 확장한 것이지만, 여전히 모든 집합을 포함하지는 않는 불완전한 측도 공간을 형성한다.

비가측 집합의 존재는 측도론의 중요한 결과이며, 르베그 적분 이론이 다룰 수 있는 함수의 범위에 본질적인 한계가 있음을 시사한다. 그러나 이러한 집합들은 명시적으로 구성하기 어렵고, 실해석학의 대부분의 구체적인 논의에서는 르베그 가측 집합만을 다루는 것으로 충분하다.

르베그 가측 집합은 보렐 가측 집합을 포함하는 더 큰 집합족이다. 보렐 가측 집합은 열린 집합과 닫힌 집합을 포함하며, 가산 번의 합집합, 교집합, 여집합 연산에 의해 생성되는 σ-대수에 속하는 집합을 말한다. 즉, 모든 열린 집합은 보렐 가측이며, 따라서 모든 닫힌 집합, 모든 컴팩트 집합, 모든 Gδ 집합(열린 집합들의 가산 교집합), 모든 Fσ 집합(닫힌 집합들의 가산 합집합) 등도 보렐 가측이다.

그러나 모든 르베그 가측 집합이 보렐 가측인 것은 아니다. 르베그 측도는 보렐 측도를 완비화하여 얻어진다. 이 완비화 과정에서 보렐 σ-대수에 속하지 않는, 측도가 0인 부분 집합들을 추가로 포함하게 된다. 결과적으로, 보렐 σ-대수는 르베그 가측 집합족의 진부분 집합이 된다. 이는 르베그 가측 집합이 보렐 가측 집합보다 더 풍부한 구조를 가짐을 의미한다.

예를 들어, 유리수 집합 Q는 보렐 가측이며 르베그 측도가 0이다. 그러나 모든 르베그 측도 0인 집합이 보렐 가측인 것은 아니다. 비가산적인 측도 0 집합 중에는 보렐 σ-대수에 속하지 않는 것이 존재할 수 있다. 이처럼 보렐 가측성과 르베그 가측성의 차이는 측도론과 실해석학에서 중요한 주제이며, 르베그 적분 이론의 확장 가능성을 보여준다.

르베그 가측 집합의 모임은 르베그 측도가 정의된 측도 공간을 이룬다. 이 측도 공간은 완비 측도 공간의 중요한 예시이다. 완비 측도 공간이란, 측도가 0인 집합의 모든 부분집합이 다시 가측 집합이 되는 성질을 가진 공간을 말한다.

르베그 측도 공간의 완비성은 르베그 가측성의 정의 방식에서 비롯된다. 르베그 외측도는 모든 부분집합에 대해 정의되며, 가측성은 카라테오도리 조건을 만족하는 집합으로 정의된다. 이 조건을 통해, 외측도가 0인 집합(즉, 르베그 측도가 0인 집합)의 임의의 부분집합도 항상 르베그 가측이며 그 측도는 0이 된다는 사실이 보장된다. 이는 측도론에서 매우 유용한 성질이다.

반면, 보렐 가측 집합만을 모은 보렐 σ-대수 위에서의 르베그 측도는 완비 측도 공간이 아니다. 보렐 σ-대수는 측도가 0인 집합의 모든 부분집합을 포함하지 않기 때문이다. 르베그 가측 집합의 모임은 보렐 σ-대수를 포함하는 더 큰 σ-대수로, 보렐 σ-대수의 르베그 측도에 대한 완비화로 얻어진다.

따라서 르베그 가측 집합의 체계는 측도가 0인 집합과 관련된 논의를 엄밀하고 편리하게 진행할 수 있는 완비된 환경을 제공한다. 이는 실해석학, 특히 르베그 적분 이론에서 함수의 거의 어디서나 성립하는 성질을 다룰 때 필수적인 토대가 된다.

르베그 적분은 르베그 가측 집합 위에서 정의되는 적분 이론으로, 리만 적분의 한계를 극복하고 실해석학의 핵심 도구가 되었다. 리만 적분은 함수의 그래프 아래 영역을 세로로 잘라 근사하는 반면, 르베그 적분은 함수의 값을 가로로 잘라, 즉 함수값이 특정 범위에 속하는 정의역의 점들의 집합(르베그 가측 집합)을 고려하여 적분을 정의한다. 이 접근법은 더 넓은 종류의 함수를 적분 가능하게 만들며, 특히 극한과 적분의 교환 문제를 다루는 데 강력한 이론적 토대를 제공한다.

르베그 적분의 정의는 일반적으로 단순 함수(유한 개의 상수값만을 취하는 함수)의 적분으로부터 시작하여, 비음수 가측 함수를 단순 함수의 증가열의 극한으로 근사하는 방식으로 확장된다. 임의의 가측 함수는 그 양의 부분과 음의 부분으로 나누어 각각 적분한 후 그 차이로 정의된다. 이 과정에서 함수의 정의역인 집합이 르베그 가측 집합이어야 하며, 함수 자체도 가측 함수(역상이 항상 가측 집합인 함수)여야 한다는 점이 근본적으로 요구된다.

르베그 적분의 주요 장점은 수렴 정리들에 있다. 단조 수렴 정리, 파투 보조정리, 지배 수렴 정리 등은 적분과 극한의 교환을 비교적 넓은 조건 아래에서 보장한다. 이는 리만 적분에서는 일반적으로 성립하지 않는 성질로, 함수열의 극한을 다루는 해석학에서 매우 유용하다. 또한 르베그 적분은 L^p 공간이라는 완비 노름 공간을 구성하는 기초가 되어, 현대 함수해석학과 편미분방정식 이론에 필수적이다.

르베그 가측 집합은 실해석학의 근간을 이루는 핵심 개념이다. 이 개념의 도입은 19세기 후반까지 지배적이던 리만 적분 이론의 한계를 명확히 드러내고 이를 극복하는 결정적인 계기가 되었다. 리만 적분은 불연속점이 너무 많거나 진동이 심한 함수를 처리하는 데 근본적인 어려움이 있었다. 르베그는 적분 영역을 '값'이 아닌 '정의역'을 세분화하는 기발한 발상의 전환을 통해, 훨씬 더 넓은 함수 클래스에 대해 적분을 정의할 수 있는 르베그 적분 이론을 구축했으며, 그 첫 걸음이 바로 르베그 가측 집합을 도입하는 것이었다.

르베그 가측 집합의 체계는 실수 집합의 복잡한 구조를 체계적으로 다룰 수 있는 강력한 틀을 제공한다. 이는 단순한 측도론을 넘어서서, 함수의 수렴, 미분과 적분의 관계, 그리고 다양한 함수 공간의 연구에 필수적이다. 예를 들어, 르베그 적분에서는 점별 수렴하는 가측 함수 열의 극한 함수도 가측이며, 적절한 조건 아래에서 적분과 극한의 교환이 가능하다는 정리들이 성립한다. 이러한 성질들은 리만 적분 범위에서는 일반적으로 성립하지 않아, 실해석학의 강력한 도구가 된다.

따라서 르베그 가측 집합은 단순히 '측정 가능한 집합'을 넘어, 현대 실해석학의 언어이자 방법론의 출발점이라 할 수 있다. 이를 통해 함수와 적분, 그리고 그 깊이 연결된 수렴성에 대한 이해가 혁명적으로 확장되었으며, 이후 확률론, 함수해석학, 편미분방정식 이론 등 수학의 여러 분야에 지대한 영향을 미쳤다.