대칭군

대칭군은 주어진 집합의 모든 순열들로 이루어진 군이다. 보통 n개의 원소를 가진 유한 집합을 생각하며, 이때의 대칭군은 S_n으로 표기한다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}의 세 원소를 서로 바꾸는 모든 방법들의 모임이 대칭군 S_3이다.

순열은 집합의 원소들을 자기 자신으로 일대일 대응시키는 함수, 즉 전단사 함수이다. 두 순열의 합성은 다시 하나의 순열이 되며, 이 합성 연산에 대해 모든 순열의 집합은 군의 공리를 만족한다. 항등 순열(모든 원소를 자기 자신에 대응)이 항등원이 되고, 각 순열은 그 역함수인 역순열을 역원으로 가진다.

이러한 정의에 따르면, n개의 원소에 대한 대칭군 S_n의 차수는 가능한 모든 순열의 개수, 즉 계승 n!과 같다. 따라서 S_n은 유한군이며, 그 크기는 n이 커짐에 따라 매우 빠르게 증가한다. 대칭군은 군론과 조합론의 기본적인 연구 대상으로, 군의 구조를 이해하는 출발점이 된다.

대칭군은 군의 공리, 즉 결합법칙, 항등원의 존재, 역원의 존재를 모두 만족하는 대표적인 군의 예시이다. 집합 X 위의 대칭군 Sym(X)는 X에서 X로 가는 모든 전단사 함수의 집합으로, 이 집합 위에 함수의 합성을 연산으로 정의한다. 이때 함수의 합성은 결합법칙을 만족하며, 항등 함수가 항등원의 역할을 한다. 또한 모든 전단사 함수는 역함수를 가지며, 이 역함수가 군 연산에 대한 역원이 된다.

유한 집합 X의 원소의 개수가 n일 때, 이 집합 위의 대칭군은 특별히 n차 대칭군이라 불리며, 표기법으로 S_n을 사용한다. S_n의 원소는 집합 {1, 2, ..., n}의 순열로 간주할 수 있으며, 군의 연산은 순열의 합성에 해당한다. S_n의 크기, 즉 차수는 n!이다. 이는 n개의 서로 다른 원소를 일렬로 나열하는 모든 경우의 수와 같다.

대칭군은 추상대수학의 군론에서 가장 기본적이고 중요한 예 중 하나로, 군의 공리를 설명하고 다양한 군론적 성질을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다. 또한 갈루아 이론에서 다항식의 근들의 대칭성을 기술하여 방정식의 가해성 문제를 연구하는 데 필수적인 도구로 활용된다.

대칭군은 주어진 집합의 모든 순열들로 이루어진 군으로, 일반적으로 자연수 n에 대해 n개의 원소를 가진 집합의 순열 군을 가리킨다. 이 군은 표기법으로 S_n으로 나타내며, 그 차수는 n!이다. 이 표기에서 n은 집합의 원소 개수를 의미하며, 대칭군 S_n은 군론과 조합론에서 핵심적인 연구 대상이다.

대칭군의 원소, 즉 순열을 표기하는 방법에는 여러 가지가 있다. 가장 직관적인 방법은 행렬 표기법이다. 이는 두 줄로 구성되며, 첫째 줄에는 원래의 원소들을, 둘째 줄에는 그 원소들이 이동된 위치를 나열한다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}에서 1은 2로, 2는 3으로, 3은 1로 보내는 순열은 (1 2 3; 2 3 1)과 같이 쓴다. 이 방법은 순열의 작용을 명확히 보여주지만, 표기가 다소 길어질 수 있다.

보다 간결하고 강력한 표기법은 순환 표기법이다. 이 방법은 순열을 서로 소인 순환들의 곱으로 분해하여 나타낸다. 위의 예시 순열은 하나의 순환 (1 2 3)으로 표현된다. 이는 1→2, 2→3, 3→1의 이동을 의미한다. 두 개 이상의 순환으로 이루어진 순열은 이를 곱으로 표기하며, 일반적으로 고정점(자기 자신으로 보내지는 원소)은 생략하는 것이 관례이다. 순환 표기법은 순열의 구조를 파악하고 연산을 수행하는 데 매우 효율적이다.

또한, 모든 순열은 호환이라 불리는 두 원소만을 서로 바꾸는 가장 간단한 순열들의 곱으로 표현될 수 있다. 이 사실은 대칭군의 구조를 분석하고, 짝순열과 홀순열을 구분하는 데 중요한 토대가 된다. 이러한 다양한 표기법들은 대칭군 S_n을 연구하고, 이를 다항식 방정식의 가해성이나 군 표현론 등 다양한 분야에 응용하는 데 필수적이다.

순환은 대칭군에서 가장 기본적이고 중요한 순열의 형태 중 하나이다. 주어진 집합에서 일부 원소들만을 순환적으로 치환하고, 나머지 원소는 고정시키는 순열을 말한다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3, 4, 5}에서 1을 2로, 2를 3으로, 3을 1로 보내고 4와 5는 그대로 두는 순열 (1 2 3)은 길이가 3인 순환이다.

순환은 표기법이 간단하고, 모든 순열이 서로소인 순환들의 곱으로 유일하게 분해될 수 있다는 정리가 있다. 이는 대칭군의 구조를 분석하는 데 핵심적인 도구가 된다. 특히, 길이가 2인 순환은 호환이라고 하며, 모든 순환은 호환들의 곱으로 표현될 수 있다. 이 성질은 순열의 짝순열과 홀순열을 정의하는 기초가 된다.

순환의 구조는 순열의 여러 성질을 결정한다. 예를 들어, 순환의 길이와 순환의 개수는 순열의 켤레류를 분류하는 지표가 되며, 이는 대칭군의 표현론이나 조합론적 문제를 다룰 때 유용하게 활용된다. 또한, 순환 분해를 통해 순열의 차수를 쉽게 계산할 수 있다.

호환(transposition)은 대칭군 S_n에서 두 원소만을 서로 맞바꾸고 나머지 원소는 모두 고정시키는 순열을 말한다. 즉, 두 원소 i와 j에 대해 σ(i)=j, σ(j)=i이며, k ≠ i, j인 모든 k에 대해 σ(k)=k인 순열 σ를 호환이라 한다. 호환은 가장 간단한 형태의 순환이며, 길이가 2인 순환과 동일한 개념이다.

모든 순열은 유한 개의 호환의 합성으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 순환 (1 2 3)은 (1 3)(1 2)와 같이 두 개의 호환의 곱으로 나타낼 수 있다. 단, 이러한 표현은 유일하지 않으며, 같은 순열을 서로 다른 개수의 호환으로 표현할 수도 있다. 그러나 순열을 호환으로 분해할 때, 필요한 호환의 개수가 짝수인지 홀수인지는 순열 자체에 의해 결정된다. 이 성질은 짝순열과 홀순열을 정의하는 기초가 된다.

호환은 대칭군을 연구하는 데 있어 매우 강력한 도구이다. 대칭군의 모든 원소가 호환들로 생성될 수 있기 때문에, 호환은 대칭군의 생성원 역할을 한다. 또한, 교대군 A_n은 정확히 짝수 개의 호환의 곱으로 표현되는 순열들, 즉 짝순열들의 집합으로 정의된다.

짝순열과 홀순열은 대칭군의 원소인 순열을 분류하는 중요한 개념이다. 임의의 순열은 유한 개의 호환의 곱으로 표현할 수 있는데, 이 표현에 필요한 호환의 개수가 짝수인 순열을 짝순열, 홀수인 순열을 홀순열이라고 정의한다.

이 분류는 순열의 부호 또는 행렬식과 깊이 연관되어 있다. 짝순열에는 부호 +1을, 홀순열에는 부호 -1을 할당하며, 이 부호 함수는 대칭군에서 군 준동형사상을 이룬다. 특히, 짝순열들만 모아놓은 부분군을 교대군이라고 하며, 이는 대칭군의 크기가 2인 정규 부분군이다. 따라서 n이 2 이상일 때, 대칭군 S_n의 원소 중 정확히 절반이 짝순열이고 나머지 절반이 홀순열이다.

짝순열과 홀순열의 개념은 행렬식의 정의와 성질을 이해하는 데 핵심적이다. n차 정사각행렬의 행렬식은 행렬의 각 행(또는 열)을 순열로 볼 때, 그 순열의 부호에 따라 항의 부호가 결정된다. 또한, 갈루아 이론에서 대수 방정식의 가해성을 연구할 때, 방정식의 갈루아 군이 교대군을 포함하는지 여부가 중요한 판단 기준이 된다.

교대군은 대칭군 S_n의 부분군으로, 모든 짝순열로 이루어진 군이다. 표기로는 A_n을 사용하며, 그 차수는 n!/2이다. 즉, n개의 원소에 대한 짝순열의 개수는 홀순열의 개수와 같으므로, 전체 대칭군의 크기의 절반이 된다. 교대군은 군론에서 매우 중요한 예시로, n이 5 이상일 때 단순군이 된다는 성질을 가진다.

교대군은 순환과 호환의 개념과 밀접하게 연결되어 있다. 모든 순열은 유한 개의 호환의 합성으로 표현될 수 있으며, 이때 사용된 호환의 개수가 짝수인 순열이 바로 짝순열, 즉 교대군의 원소가 된다. 또한, 모든 짝순열은 3-순환(세 개의 원소를 순환시키는 순열)들로 생성될 수 있다. 이는 교대군의 구조를 이해하는 데 핵심적인 성질이다.

n이 1, 2, 4일 때, 교대군 A_n은 가해군이지만, n이 5 이상일 때는 비가해군이 된다. 특히, 5차 교대군 A_5는 가장 작은 비가해군이자 비아벨 단순군이다. 이 사실은 5차 이상의 일반 다항식이 근의 공식을 가질 수 없다는 아벨-루피니 정리의 군론적 증명에 결정적인 역할을 한다.

교대군은 대수학의 기본 구조를 연구하는 데 필수적이며, 방정식의 가해성 문제를 넘어 군 표현론과 기하학 등 여러 수학 분야에서 광범위하게 응용된다. 또한, 정다면체의 회전 대칭군은 교대군 A_4 또는 A_5와 밀접한 관련이 있어, 대칭성 연구에서도 핵심적인 위치를 차지한다.

대칭군 S_n의 부분군 중에는 순환군의 구조를 갖는 것들이 존재한다. S_n 내의 순환 (a1 a2 ... ak)로 생성되는 부분군은 순서가 k인 순환군과 동형이다. 예를 들어, 순열 (1 2 3)은 세 개의 원소를 순환적으로 치환하며, 이 순열이 생성하는 부분군 {(), (1 2 3), (1 3 2)}는 3차 순환군 C3과 같다.

S_n에서의 순환군은 가장 기본적인 부분군의 예시로, 하나의 순환만으로 전체 군이 생성된다는 점에서 구조가 단순하다. 이러한 순환군은 대칭군의 더 복잡한 부분군들을 이해하는 데 중요한 기초가 된다. 특히, 모든 순열은 서로소인 순환들의 곱으로 유일하게 표현될 수 있으며, 이는 대칭군의 원소를 분석하는 핵심 도구가 된다.

대칭군 내의 순환군 개념은 군의 작용 이론에서도 중요한 역할을 한다. 어떤 유한군이 집합 위에 작용할 때, 각 원소에 의해 생성되는 궤도의 구조를 이해하는 데 순환 분해가 활용되기 때문이다. 이는 조합론적 문제나 대수학의 다양한 분야에서 응용된다.

대칭군의 Coxeter 표현은 대칭군을 반사라는 기본 연산을 통해 생성원과 관계식으로 기술하는 방법이다. 이 표현은 Coxeter 군 이론의 대표적인 예시로, 대칭군의 구조를 기하학적으로 이해하는 데 유용하다.

구체적으로, 대칭군 S_n은 n-1개의 인접 호환 (i i+1) (단, i = 1, 2, ..., n-1)들로 생성된다. 이 생성원들을 s_i = (i i+1)이라 표기할 때, 이들은 다음과 같은 관계식을 만족한다. 모든 i에 대해 s_i^2 = 1 (항등원)이며, 인접하지 않은 생성원들은 서로 가환하고 (|i-j| > 1 이면 s_i s_j = s_j s_i), 인접한 생성원들은 s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} 의 꼬임 관계를 만족한다. 이 관계식들은 대칭군의 완전한 표현을 제공한다.

이러한 Coxeter 표현은 대칭군을 Coxeter 다이어그램으로 시각화하는 데 기초가 된다. 대칭군 S_n에 대응하는 Coxeter 다이어그램은 n-1개의 꼭짓점이 직선으로 연결된 A_{n-1}형 다이어그램이다. 각 꼭짓점은 하나의 기본 반사(인접 호환)에 대응하며, 연결된 꼭짓점들은 비가환이고 연결되지 않은 꼭짓점들은 가환 관계에 있음을 나타낸다.

Coxeter 표현의 관점은 대칭군의 원소 길이(최소 생성원 개수)를 정의하고, 브루아 순서와 같은 부분 순서 구조를 연구하는 데 핵심적이다. 또한 이 표현은 대칭군을 유클리드 공간의 반사군으로 구체적으로 실현할 수 있게 하여, 바일 군과의 깊은 연관성을 보여준다.

대칭군은 적은 수의 기본 원소들로 생성될 수 있다. 특히, 모든 순열은 호환의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이는 대칭군의 중요한 생성 집합을 제공한다. 가장 기본적인 생성 집합은 인접한 두 원소를 맞바꾸는 인접 호환 (i i+1)들로 이루어져 있다. 예를 들어, 대칭군 S_n은 n-1개의 인접 호환 (1 2), (2 3), ..., (n-1 n)으로 생성된다.

이러한 생성원들 사이에는 일련의 관계식이 성립한다. 각 생성원은 자기 자신의 역원이므로, 제곱하면 항등원이 된다. 또한, 서로 떨어진 두 인접 호환은 교환 법칙이 성립하지만, 인접한 두 호환 사이에는 특정한 교환자 관계가 성립한다. 이러한 관계식들은 대칭군을 표시하는 데 사용되며, 이를 통해 군의 구조를 생성원과 그들 사이의 관계만으로 완전히 기술할 수 있다.

대칭군의 또 다른 중요한 생성 집합은 하나의 인접 호환과 하나의 장순환으로 이루어진다. 예를 들어, S_n은 호환 (1 2)와 순환 (1 2 ... n) 두 개의 원소만으로도 생성될 수 있다. 이는 군을 매우 간결하게 표현할 수 있게 해준다.

이러한 생성원과 관계식에 대한 연구는 군의 표시 이론과 콕서터 군 이론으로 이어진다. 대칭군은 유한 콕서터 군 중 A형에 해당하는 가장 기본적인 예시로, 이론의 출발점이 된다. 생성원과의 관계를 통해 군의 구조를 조사하는 이 방법은 기하학군이나 삼각형군과 같은 더 일반적인 군의 연구에도 널리 응용된다.

대칭군은 다항식 방정식의 가해성 연구에서 핵심적인 역할을 한다. 역사적으로, 고차 방정식의 근의 공식 존재 여부를 밝히는 과정에서 대칭군의 개념이 결정적인 통찰을 제공했다. 특히, 아벨과 갈루아는 방정식의 갈루아 군이 대칭군 S_n의 부분군임을 보였고, 이 군의 구조가 방정식이 근호만을 사용해 풀 수 있는지(즉, 가해성)를 결정한다는 사실을 증명했다.

구체적으로, n차 방정식의 갈루아 군이 대칭군 S_n 전체인 경우, 그 방정식은 일반적으로 근의 공식이 존재하지 않는다. 예를 들어, 5차 이상의 일반 방정식은 그 갈루아 군이 S_5 이상이 되어 가해군이 아니므로, 대수적인 근의 공식으로 풀 수 없다. 이는 아벨-루피니 정리로 알려져 있다. 반면, 2차, 3차, 4차 방정식의 경우 그 갈루아 군이 가해군인 S_n의 부분군에 해당하여 근의 공식이 존재한다.

이러한 연결 고리는 대수학의 한 분야인 갈루아 이론을 탄생시켰으며, 방정식의 해를 찾는 문제를 군의 구조를 분석하는 문제로 환원시켰다. 따라서 대칭군 S_n의 다양한 부분군, 특히 교대군 A_n의 성질은 방정식의 가해성을 판별하는 데 필수적인 도구가 된다.

대칭군은 군 표현론에서 중요한 예시 역할을 한다. 군 표현론은 추상적인 군의 구조를 구체적인 행렬이나 선형 변환을 통해 연구하는 분야이다. 대칭군 S_n의 원소, 즉 순열은 n차원 벡터 공간의 기저 순서를 재배열하는 선형 변환으로 자연스럽게 표현될 수 있다. 이러한 표현을 순열 표현이라고 부르며, 대칭군의 기본적인 선형 표현 중 하나이다.

대칭군의 표현론은 특히 유한군의 표현을 이해하는 핵심 도구이다. 대칭군의 모든 기약 표현은 영 타블로와 일대일 대응된다는 사실이 알려져 있다. 이는 대칭군의 표현론과 조합론이 깊이 연결되어 있음을 보여준다. 또한, 대칭군의 표지 성질이나 케일리 정리와 같은 결과들은 임의의 유한군이 대칭군의 부분군으로 표현될 수 있음을 의미하며, 이는 군 표현론의 기초를 이룬다.

대칭군은 결정학과 물리학에서 대칭성과 관련된 현상을 연구하는 데 핵심적인 도구로 활용된다. 결정학에서는 결정의 원자 배열이 갖는 공간적 대칭성을 기술하기 위해 점군과 공간군과 같은 개념을 사용하는데, 이들은 모두 대칭군의 일종이다. 특히, 결정의 대칭 조작은 원소의 위치를 바꾸는 순열로 볼 수 있으며, 이러한 조작들의 집합은 군을 이룬다. 예를 들어, 정육면체의 회전 대칭군은 대칭군 S_4와 동형인 구조를 가진다.

물리학에서는 입자 물리학과 양자역학에서 대칭성이 근본적인 원리로 작용한다. 여러 동일한 입자로 이루어진 계의 파동함수는 입자들의 교환에 대해 특정한 대칭성을 가져야 한다. 보손은 입자를 교환할 때 파동함수의 부호가 변하지 않는 대칭성을, 페르미온은 부호가 변하는 반대칭성을 나타낸다. 이 입자 교환에 따른 파동함수의 행동은 대칭군 S_n의 1차원 표현에 해당한다.

고체 물리학에서 결정의 브릴루앙 영역 내 대칭점들을 분석하거나, 분자 진동의 정규 모드를 분류할 때도 대칭군의 표현론이 강력하게 적용된다. 분자의 진동 모드는 그 분자의 점군 대칭성에 따라 특정한 기약 표현으로 분류되며, 이를 통해 적외선 또는 라만 산란 스펙트럼에서 관측 가능한 진동 모드를 예측할 수 있다. 이처럼 대칭군은 추상적인 대수적 구조를 넘어 물질의 구체적인 물리적 성질을 이해하는 틀을 제공한다.

대칭군은 유한 집합 위에서 정의되는 가장 기본적인 군 중 하나이다. 이 개념은 여러 방향으로 일반화되어 수학의 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

가장 직접적인 일반화는 무한 집합을 고려하는 것이다. 임의의 집합 X가 주어졌을 때, X에서 X로 가는 모든 전단사 함수들의 모임은 군을 이루며, 이를 X의 대칭군 또는 완전변환군이라고 부른다. 이 군은 기호로 Sym(X) 또는 S_X로 표기한다. 특히 X가 자연수 집합과 같은 무한 집합일 때, 이 군은 무한대칭군이 된다. 무한대칭군은 군론과 모형 이론에서 중요한 연구 대상이 된다.

또 다른 중요한 일반화는 대칭군의 일반화로, 유한 반사군의 한 계열이다. 이는 콕서터 군과 바일 군의 이론과 깊이 연관되어 있다. 예를 들어, A형 콕서터 군은 대칭군 S_{n+1}과 동형이다. 이러한 관점은 대칭군을 기하학적인 반사 변환의 군으로 해석할 수 있게 하며, 리 군과 대수군 이론으로의 확장을 제공한다.

이러한 일반화들은 대칭군이 단순히 순열을 다루는 도구를 넘어, 추상대수학, 조합론, 표현론, 그리고 물리학의 입자 대칭성 연구에 이르기까지 광범위한 응용의 기초가 된다.

유한 반사군은 유클리드 공간의 유한군으로, 반사 변환을 생성원으로 하여 생성되는 군이다. 이들은 대칭군과 밀접한 관련이 있으며, 특히 콕서터 군의 중요한 예시로 다루어진다. 대칭군 S_n은 n-1차원 단체의 대칭군으로 볼 수 있으며, 이는 유한 반사군의 한 유형이다. 구체적으로, 대칭군 S_n은 n개의 좌표를 치환하는 직교군의 부분군으로, 초평면에 대한 반사들로 생성된다.

유한 반사군은 기하학적 대칭성을 연구하는 데 핵심적이며, 루트 계와 바일 군의 개념과 연결된다. 이들의 분류는 완전히 이루어져 있으며, 주요 계열과 몇몇 예외적 군으로 나뉜다. 주요 계열에는 대칭군에 해당하는 A_{n-1}형, 정다면체의 대칭군과 관련된 B_n형, D_n형 등이 포함된다. 이러한 분류는 군론과 표현론뿐만 아니라 리 군과 카츠-무디 대수의 연구에도 기초가 된다.