단진동 운동편집자 확인

단진동은 특정한 조건을 만족하는 주기 운동을 가리킨다. 가장 핵심적인 조건은 복원력이 변위에 정비례한다는 점이다. 즉, 물체가 평형 위치에서 벗어난 거리(변위)가 클수록, 평형 위치로 되돌리려는 힘(복원력)의 크기도 커진다. 이 관계는 후크의 법칙으로 수학적으로 표현된다. 또한 이 복원력의 방향은 항상 평형 위치를 향하며, 변위의 방향과 반대이다.

이러한 선형적인 복원력이 존재할 때, 물체의 운동 방정식은 2계 선형 상미분 방정식의 형태를 띠게 된다. 이 방정식의 해는 사인 함수와 코사인 함수로 표현되는 조화 운동이 된다. 따라서 단진동은 조화 진동자의 운동과 동일한 의미로 사용되기도 한다.

단진동을 이루는 또 다른 조건은 마찰이나 저항과 같은 에너지 손실 요인이 없다는 것이다. 이는 이상적인 상황으로, 실제 물리적 시스템에서는 항상 어느 정도의 감쇠가 존재한다. 그러나 감쇠가 매우 작아 무시할 수 있을 때, 그 운동은 단진동으로 근사할 수 있다.

이 표의 조건들을 종합하면, 단진동은 선형적이고 보존적인 복원력에 의해 발생하는 무감쇠 조화 운동으로 정의할 수 있다.

단진동에서 변위는 평형 위치로부터의 거리와 방향을 나타내는 기본 물리량이다. 평형 위치를 원점(x=0)으로 설정할 때, 시간에 따른 변위 x(t)는 진폭 A, 각진동수 ω, 초기 위상 φ를 사용하여 x(t) = A cos(ωt + φ)로 표현된다. 이는 코사인 또는 사인 함수의 형태를 가지며, 변위는 시간에 따라 -A와 +A 사이를 주기적으로 변화한다.

변위를 시간에 대해 한 번 미분하면 속도 v(t)를 얻는다. v(t) = dx/dt = -ωA sin(ωt + φ)이다. 속도는 변위가 0인 평형 위치에서 최대값 ωA를 가지며, 변위가 최대인 양 끝점에서는 0이 된다. 이는 진동하는 물체가 평형 위치를 지날 때 가장 빠르고, 방향을 바꾸는 끝점에서는 순간적으로 정지하기 때문이다.

속도를 다시 시간에 대해 미분하면 가속도 a(t)가 된다. a(t) = dv/dt = -ω²A cos(ωt + φ) = -ω² x(t)이다. 이 관계식 a = -ω²x는 단진동의 핵심적인 특징을 보여준다. 가속도는 변위에 비례하지만 방향은 항상 평형 위치를 향한다. 즉, 가속도는 변위와 반대 방향이며, 그 크기는 변위에 비례한다. 가속도는 변위가 최대일 때 최대값 ω²A를 가진다.

변위, 속도, 가속도의 위상 관계를 정리하면 다음과 같다.

속도는 변위보다 위상이 π/2 빠르고, 가속도는 변위보다 π 빠르다. 이는 속도가 변위가 0일 때 최대가 되고, 가속도는 변위가 최대일 때 최대이면서 반대 방향임을 의미한다.

단진동을 기술하는 미분 방정식은 뉴턴의 운동 법칙을 적용하여 유도할 수 있다. 가장 대표적인 예인 용수철 진자를 고려할 때, 질량 m인 물체가 용수철 상수 k인 용수철에 연결되어 마찰이 없는 수평면에서 운동한다고 가정한다. 평형 위치에서의 변위를 x라고 하면, 용수철이 물체에 가하는 복원력 F는 후크의 법칙에 따라 F = -kx로 주어진다.

뉴턴의 제2법칙 F = ma를 적용하면, 물체의 가속도 a는 변위 x의 시간에 대한 두 번 미분인 d²x/dt²로 표현되므로, 다음의 2계 선형 상미분 방정식을 얻는다.

m (d²x/dt²) = -kx

이 방정식을 단진동의 기본 운동 방정식으로 정의한다. 이 식을 표준형으로 정리하면 다음과 같다.

d²x/dt² + (k/m) x = 0

여기서 (k/m) 항은 양의 상수이며, 이를 각진동수 ω의 제곱, 즉 ω² = k/m 으로 정의한다[2]. 따라서 단진동을 기술하는 미분 방정식의 최종 형태는 다음과 같다.

d²x/dt² + ω² x = 0

이 방정식은 시간에 따른 변위 x(t)를 구하는 문제로, 2계 선형 동차 미분방정식이다.

단진동의 미분 방정식 mx'' + kx = 0 또는 x'' + ω₀²x = 0의 일반해는 두 개의 독립적인 해의 선형 결합으로 표현된다. 여기서 ω₀는 고유 각진동수이다. 이 선형미분방정식의 특성 방정식은 r² + ω₀² = 0이며, 그 해는 r = ± iω₀이다. 따라서 일반해는 복소지수함수의 선형 결합으로 쓸 수 있다.

이 일반해는 실수 영역에서 두 가지 주요한 삼각함수 표현으로 나타낼 수 있다. 첫 번째는 사인 함수와 코사인 함수의 선형 결합 형태이다.

*x(t) = A cos(ω₀ t) + B sin(ω₀ t)*

여기서 A와 B는 초기 조건(초기 위치와 초기 속도)에 의해 결정되는 적분 상수이다.

두 번째는 단일 코사인 함수(또는 사인 함수)에 위상각을 포함한 형태이다. 이는 위의 선형 결합을 하나의 진동으로 묶어 표현한 것이다.

*x(t) = C cos(ω₀ t - φ)*

이 표현에서 C는 진폭이며, φ는 위상 상수 또는 위상차이다. 두 표현 사이의 관계는 다음과 같다.

상수 A, B와 C, φ는 서로 변환 가능하며, 동일한 운동을 기술한다. 위상각이 포함된 표현은 진동의 크기와 시점에 따른 상태를 직관적으로 보여준다는 장점이 있다.

단진동 운동에서 주기는 진동체가 한 번의 완전한 진동(예: 최대 변위점에서 출발하여 같은 방향의 최대 변위점으로 돌아오는 과정)을 하는 데 걸리는 시간이다. 기호로는 보통 T를 사용하며, 단위는 초(s)이다. 진동수는 단위 시간(보통 1초) 동안 완전한 진동이 일어나는 횟수를 의미한다. 기호로는 f 또는 ν(뉴)를 사용하며, 단위는 헤르츠(Hz)이다. 주기와 진동수는 서로 역수의 관계에 있다. 즉, f = 1/T 또는 T = 1/f라는 관계식이 성립한다.

주기는 시스템의 고유한 물성에 의해 결정된다. 예를 들어, 질량 m인 물체가 용수철 상수 k인 용수철 진자에 매달려 있을 때, 그 주기 T는 T = 2π√(m/k)로 주어진다. 단진자의 경우, 길이 L과 중력 가속도 g에 의해 주기 T = 2π√(L/g)가 결정된다[3]. 이 공식들에서 알 수 있듯이, 주기는 진폭의 크기와 무관하며, 이는 단진동의 중요한 특징 중 하나이다.

주기와 진동수는 다양한 물리 시스템에서 동일한 개념으로 적용된다. 전기 공학에서 LC 회로의 전기적 진동 주기는 T = 2π√(LC)로 표현되며, 여기서 L은 인덕턴스, C는 커패시턴스를 나타낸다. 이는 기계적 진동의 공식과 수학적으로 동일한 형태를 가진다.

진폭은 평형 위치로부터 최대 변위의 크기를 나타내는 물리량이다. 단위는 길이의 단위(미터 등)를 사용하며, 기호로는 주로 A를 쓴다. 진폭은 시스템에 저장된 총 에너지와 직접적인 관계가 있다. 에너지가 클수록 진폭도 커진다. 초기 조건, 즉 물체를 당긴 거리나 초기 속도에 의해 진폭의 값이 결정된다.

위상은 진동하는 물체가 주기 내에서 어느 지점에 있는지를 나타내는 각도 값이다. 일반적으로 라디안 단위를 사용하며, 기호로는 φ나 θ를 쓴다. 위상은 시간 t=0에서의 초기 위치와 속도를 통해 결정되는 상수인 위상 상수와 시간에 따라 선형으로 증가하는 항의 합으로 표현된다. 위상 상수의 값은 진동의 시작점을 정의한다.

진폭과 위상은 단진동의 일반해를 완전히 기술하는 데 필요한 두 개의 독립적인 상수이다. 운동 방정식의 일반해는 다음과 같은 형태를 가진다.

x(t) = A cos(ωt + φ)

여기서 A는 진폭, φ는 위상 상수, ω는 각진동수이다. 같은 각진동수를 가진 두 진동이라도 진폭과 위상이 다르면 운동의 모양과 시점이 달라진다.

단진동 시스템에서 총 기계적 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로, 시간에 따라 보존된다. 이는 시스템에 마찰이나 저항과 같은 비보존력이 작용하지 않을 때 성립하는 보편적인 원리이다.

운동 에너지(K)는 물체의 속도에 의해 결정되며, 1/2 * m * v²의 공식으로 계산된다. 위치 에너지(U)는 복원력에 의해 결정되며, 가장 대표적인 예인 용수철 진자의 경우 1/2 * k * x²의 형태를 가진다. 따라서 총 에너지 E는 E = 1/2 m v² + 1/2 k x² 이다. 변위(x)와 속도(v)가 사인파와 코사인파 형태로 주기적으로 변화함에 따라 운동 에너지와 위치 에너지는 서로 상쇄되며 변환되지만, 그 합은 일정하게 유지된다.

에너지 보존은 진동의 특성을 설명하는 데 유용하다. 예를 들어, 진폭(A)이 최대일 때 변위는 최대이지만 속도는 0이므로, 모든 에너지는 위치 에너지 형태로 존재한다. 평형 위치를 통과할 때는 변위가 0이지만 속도가 최대이므로, 모든 에너지는 운동 에너지 형태로 존재한다. 이를 통해 총 에너지와 진폭 사이의 관계식 E = 1/2 k A² 을 유도할 수 있다. 이 관계는 진폭이 시스템에 저장된 총 에너지의 척도가 됨을 보여준다.

용수철 진자는 단진동 운동을 설명하는 가장 대표적이고 이상적인 예시이다. 질량이 무시되는 용수철의 한쪽 끝을 고정하고 다른 끝에 질량 m인 물체를 연결한 시스템을 가리킨다. 이때 용수철은 후크의 법칙을 따르며, 용수철 상수 k는 용수철의 강성을 나타낸다.

평형 위치에서 물체를 x만큼 변위시키면, 용수철은 복원력 F = -kx를 작용한다. 이 복원력은 변위에 비례하고 평형 위치를 향하기 때문에, 뉴턴의 제2법칙 F = ma를 적용하면 운동 방정식 m(d²x/dt²) = -kx를 얻는다. 이는 단진동의 기본 미분 방정식 d²x/dt² = -(k/m)x와 동일하다.

이 운동 방정식의 해는 진폭 A와 위상 상수 φ를 사용하여 x(t) = A cos(ωt + φ)로 표현된다. 여기서 각진동수 ω는 ω = √(k/m)이다. 따라서 시스템의 진동수 f와 주기 T는 다음과 같이 결정된다.

용수철 진자의 운동 에너지와 탄성 위치 에너지는 시간에 따라 상호 변환되지만, 그 합인 총 기계 에너지 E = (1/2)kA²는 보존된다. 이 에너지는 진폭의 제곱에 비례한다. 이 간단한 모델은 복잡한 진동 시스템의 기본 단위로 널리 사용된다.

단진자는 질량이 무시될 수 있는 길이 L의 끈에 매달린 질점 m이 중력의 영향 아래 진동하는 이상화된 물리계이다. 단진자의 운동은 진폭이 충분히 작을 때 단진동으로 근사할 수 있다.

단진자의 복원력은 중력의 접선 성분이 제공한다. 진자의 변위 각도를 θ(라디안)라 할 때, 운동 방정식은 각가속도에 대한 비선형 미분 방정식으로 주어진다. 그러나 작은 각 근사(sin θ ≈ θ)를 적용하면, 이 방정식은 표준 단진동 방정식 형태로 단순화된다. 이로부터 각진동수 ω는 √(g/L)로 주어지며, 주기 T는 2π√(L/g)가 된다[5].

단진자의 주기는 질량 m과 무관하며, 오직 진자의 길이 L과 중력가속도 g에만 의존한다는 점이 특징이다. 이 성질은 등시성의 한 예로, 갈릴레오 갈릴레이에 의해 처음 관찰되었다. 또한, 단진자는 역사적으로 시간을 측정하는 추시계의 기본 원리로 활용되었으며, 지구의 중력가속도 g를 정밀하게 측정하는 데에도 사용된다.

단진동 운동은 기계 공학에서 구조물의 진동 해석, 기계 설계, 동역학적 안정성 평가 등 광범위한 분야에 응용된다. 가장 기본적인 응용은 진동 모드와 고유 진동수를 분석하여 구조물의 공진을 피하고 피로 파괴를 방지하는 것이다. 예를 들어, 교량, 고층 건물, 항공기 날개, 자동차 서스펜션 등은 설계 단계에서 단진동 모델을 근간으로 한 유한 요소 해석 등을 통해 동적 하중에 대한 거동을 예측한다.

구체적인 예시로, 회전 기계의 불균형에 의한 진동은 단진동 모델로 근사하여 분석할 수 있다. 회전자 동역학에서 중요한 크리티컬 스피드(Critical Speed)는 시스템의 고유 진동수와 회전 속도가 일치하여 공진이 발생하는 지점으로, 단진동 이론을 확장하여 구한다. 또한, 진동 절연 장치 설계에도 핵심 원리로 활용된다. 기계를 지지하는 방진 고무나 스프링의 강성을 조절하여 시스템의 고유 진동수를 외부 교란 진동수의 범위에서 벗어나게 함으로써 진동 전달을 최소화한다.

이러한 분석을 통해 기계 시스템의 수명을 연장하고, 소음을 줄이며, 작동 정밀도와 안전성을 확보할 수 있다. 따라서 단진동은 복잡한 기계 시스템을 이해하고 최적화하기 위한 가장 기본적이면서도 강력한 도구이다.

단진동 운동은 전기 공학에서 교류 회로의 기본 동작 원리를 이해하는 데 핵심적인 모델을 제공한다. 특히 RLC 회로에서 전하, 전류, 전압의 변화는 기계적 단진동과 수학적으로 동일한 방정식으로 기술된다. 인덕터(L)와 커패시터(C)만으로 구성된 LC 회로는 마찰이 없는 용수철-질량 계와 유사하며, 커패시터에 저장된 전하가 인덕터를 통해 오가며 전기적 진동을 일으킨다. 여기에 저항(R)이 추가된 RLC 회로는 감쇠 진동을, 외부에서 가해지는 교류 전압원은 강제 진동을 모델링한다.

이러한 유사성 덕분에 단진동의 개념은 공진 회로의 설계와 분석에 널리 적용된다. 예를 들어, 라디오 수신기의 튜닝 회로는 특정 주파수의 전파만을 선택적으로 증폭하기 위해 RLC 회로의 공진 현상을 이용한다. 이때 공진 주파수는 인덕턴스와 커패시턴스에 의해 결정되며, 이는 용수철 상수와 질량으로 결정되는 기계적 진동자의 고유 주파수에 대응한다. 또한, 필터 회로나 발진 회로의 동작 원리를 이해하고 설계하는 데에도 단진동 이론이 필수적이다.

이 표와 같은 대응 관계를 통해 기계적 영역에서 잘 알려진 단진동의 해법과 직관을 그대로 전기 회로 분석에 적용할 수 있다. 따라서 단진동 운동은 전기 공학도를 위한 기초 물리학 교육에서 반드시 강조되는 주제이며, 복잡한 전자 시스템의 동적 거동을 이해하는 토대가 된다.