문서의 각 단락이 어느 리비전에서 마지막으로 수정되었는지 확인할 수 있습니다. 왼쪽의 정보 칩을 통해 작성자와 수정 시점을 파악하세요.

단진동 운동 | |
한국어 명칭 | 단진동 운동 |
영문 명칭 | Simple Harmonic Motion (SHM) |
분류 | |
핵심 개념 | 복원력, 평형 위치, 주기, 진폭 |
복원력 특징 | 변위에 비례하고 평형 위치를 향함 |
대표적 예시 | 용수철 진자, 단진자 (작은 각 근사) |
수학적 설명 및 상세 | |
운동 방정식 | m(d²x/dt²) = -kx (용수철의 경우) |
해 (변위) | x(t) = A cos(ωt + φ) |
각진동수 (ω) | √(k/m) (용수철), √(g/L) (단진자) |
주기 (T) | 2π/ω = 2π√(m/k) (용수철), 2π√(L/g) (단진자) |
진폭 (A) | 최대 변위 |
위상 상수 (φ) | 초기 위상 |
속도 | v(t) = -Aω sin(ωt + φ) |
가속도 | a(t) = -Aω² cos(ωt + φ) = -ω²x(t) |
총 에너지 | (1/2)kA² (보존됨) |
위치 에너지 | (1/2)kx² |
운동 에너지 | (1/2)mv² |
관련 현상 | |
응용 분야 | |

단진동 운동은 물리학에서 가장 기본적이고 중요한 진동 형태 중 하나이다. 이 운동은 평형 위치를 중심으로 주기적으로 반복되는 왕복 운동을 의미하며, 그 복원력이 변위에 정비례하는 특징을 가진다.
단진동을 하는 물체의 운동은 사인 곡선 또는 코사인 곡선과 같은 삼각함수로 정확히 기술된다. 이는 복잡한 진동 현상을 이해하는 데 핵심적인 모델 역할을 하며, 용수철 진자와 단진자가 대표적인 예시이다.
단진동의 개념은 물리학의 여러 분야로 확장된다. 마찰이나 저항에 의해 에너지가 소모되는 감쇠 단진동, 외부에서 주기적인 힘을 받는 강제 단진동과 그로 인한 공명 현상 등이 그것이다. 이러한 기본 모델은 복잡한 진동 시스템을 분석하는 출발점이 된다.
단진동의 원리는 단순한 기계적 진동을 넘어 교류 회로의 전류와 전압, 양자역학의 조화 진동자 모델 등 다양한 과학 및 공학 분야에 폭넓게 응용된다.

단진동 운동은 평형 위치를 중심으로 일정한 주기를 가지고 반복되는 진동 운동 중 가장 이상적이고 기본적인 형태이다. 이 운동은 복원력이 변위에 정비례하고, 마찰이나 저항과 같은 에너지 손실이 존재하지 않는 이상적인 조건을 가정한다. 이러한 특성 때문에 단진동은 많은 복잡한 진동 현상을 이해하기 위한 출발점이 된다.
단진동이 성립하기 위한 핵심 조건은 복원력이 평형 위치로부터의 변위에 정비례해야 한다는 것이다. 이를 후크의 법칙과 유사한 형태인 F = -kx로 표현할 수 있다. 여기서 F는 복원력, x는 평형 위치로부터의 변위, k는 비례 상수(예: 용수철 상수)이다. 음의 부호는 힘의 방향이 변위의 방향과 항상 반대임, 즉 물체를 평형 위치로 되돌리려는 방향임을 나타낸다.
단진동에서 물리량은 시간에 대한 삼각함수 (주로 사인 또는 코사인 함수)로 기술된다. 변위는 평형 위치로부터의 거리로, 진폭 A, 각진동수 ω, 초기 위상 φ를 사용해 x(t) = A cos(ωt + φ)와 같이 표현된다. 이 변위를 시간에 대해 한 번 미분하면 속도 v(t) = -ωA sin(ωt + φ)를 얻고, 두 번 미분하면 가속도 a(t) = -ω²A cos(ωt + φ) = -ω²x(t)를 얻는다. 가속도는 변위에 비례하지만 방향은 반대임을 명확히 보여준다.
단진동은 특정한 조건을 만족하는 주기 운동을 가리킨다. 가장 핵심적인 조건은 복원력이 변위에 정비례한다는 점이다. 즉, 물체가 평형 위치에서 벗어난 거리(변위)가 클수록, 평형 위치로 되돌리려는 힘(복원력)의 크기도 커진다. 이 관계는 후크의 법칙으로 수학적으로 표현된다. 또한 이 복원력의 방향은 항상 평형 위치를 향하며, 변위의 방향과 반대이다.
이러한 선형적인 복원력이 존재할 때, 물체의 운동 방정식은 2계 선형 상미분 방정식의 형태를 띠게 된다. 이 방정식의 해는 사인 함수와 코사인 함수로 표현되는 조화 운동이 된다. 따라서 단진동은 조화 진동자의 운동과 동일한 의미로 사용되기도 한다.
단진동을 이루는 또 다른 조건은 마찰이나 저항과 같은 에너지 손실 요인이 없다는 것이다. 이는 이상적인 상황으로, 실제 물리적 시스템에서는 항상 어느 정도의 감쇠가 존재한다. 그러나 감쇠가 매우 작아 무시할 수 있을 때, 그 운동은 단진동으로 근사할 수 있다.
조건 | 설명 | 수학적 표현 (1차원) |
|---|---|---|
선형 복원력 | 복원력 F가 변위 x에 비례하고 방향이 반대이다. | F = -k x |
무감쇠 | 에너지 손실을 일으키는 마찰력이나 저항력이 없다. | 감쇠 계수 γ = 0 |
상수 계수 | 복원력을 결정하는 계수(예: 용수철 상수 k)가 일정하다. | k는 상수 |
이 표의 조건들을 종합하면, 단진동은 선형적이고 보존적인 복원력에 의해 발생하는 무감쇠 조화 운동으로 정의할 수 있다.
단진동에서 변위는 평형 위치로부터의 거리와 방향을 나타내는 기본 물리량이다. 평형 위치를 원점(x=0)으로 설정할 때, 시간에 따른 변위 x(t)는 진폭 A, 각진동수 ω, 초기 위상 φ를 사용하여 x(t) = A cos(ωt + φ)로 표현된다. 이는 코사인 또는 사인 함수의 형태를 가지며, 변위는 시간에 따라 -A와 +A 사이를 주기적으로 변화한다.
변위를 시간에 대해 한 번 미분하면 속도 v(t)를 얻는다. v(t) = dx/dt = -ωA sin(ωt + φ)이다. 속도는 변위가 0인 평형 위치에서 최대값 ωA를 가지며, 변위가 최대인 양 끝점에서는 0이 된다. 이는 진동하는 물체가 평형 위치를 지날 때 가장 빠르고, 방향을 바꾸는 끝점에서는 순간적으로 정지하기 때문이다.
속도를 다시 시간에 대해 미분하면 가속도 a(t)가 된다. a(t) = dv/dt = -ω²A cos(ωt + φ) = -ω² x(t)이다. 이 관계식 a = -ω²x는 단진동의 핵심적인 특징을 보여준다. 가속도는 변위에 비례하지만 방향은 항상 평형 위치를 향한다. 즉, 가속도는 변위와 반대 방향이며, 그 크기는 변위에 비례한다. 가속도는 변위가 최대일 때 최대값 ω²A를 가진다.
변위, 속도, 가속도의 위상 관계를 정리하면 다음과 같다.
물리량 | 수학적 표현 | 위상 관계 |
|---|---|---|
변위 | x = A cos(ωt + φ) | 기준 |
속도 | v = -ωA sin(ωt + φ) = ωA cos(ωt + φ + π/2) | 변위보다 π/2(90°) 앞섬 |
가속도 | a = -ω²A cos(ωt + φ) = ω²A cos(ωt + φ + π) | 변위보다 π(180°) 앞섬, 즉 반대 위상 |
속도는 변위보다 위상이 π/2 빠르고, 가속도는 변위보다 π 빠르다. 이는 속도가 변위가 0일 때 최대가 되고, 가속도는 변위가 최대일 때 최대이면서 반대 방향임을 의미한다.

단진동 운동은 뉴턴의 운동 법칙에 따라 운동 방정식으로 기술된다. 이 방정식은 복원력이 변위에 비례한다는 가정에서 출발하여 유도된다. 즉, 복원력 F는 평형 위치로부터의 변위 x에 대해 F = -kx의 형태를 가진다[1]. 이 힘의 법칙을 뉴턴의 제2법칙 F = ma에 대입하면, 질량 m과 가속도 a(변위의 두 번째 시간 미분)를 사용하여 미분 방정식을 얻을 수 있다.
이로부터 단진동의 기본 운동 방정식은 다음과 같은 2계 선형 상미분 방정식의 형태로 나타난다.
$$ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx $$
이 방정식은 변위 x가 시간 t에 대한 함수임을 나타낸다. 이 식을 재정리하면 보다 표준적인 형태가 된다.
$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$
여기서 ω는 각진동수로, ω = √(k/m)으로 정의된다.
이 미분 방정식의 일반해는 삼각함수인 사인(sin)과 코사인(cos)의 선형 결합으로 표현된다. 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.
$$ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $$
여기서 A는 진폭, φ는 위상 상수이다. 이 해는 코사인 함수 대신 사인 함수를 사용해 $ x(t) = A \sin(\omega t + \phi') $로 쓸 수도 있으며, 두 표현은 위상 차이만 있을 뿐 동등하다. 해의 형태는 초기 조건, 즉 시간 t=0에서의 초기 변위와 초기 속도에 의해 결정되는 진폭 A와 위상 φ의 값이 구체화된다.
기호 | 물리량 | 설명 |
|---|---|---|
x(t) | 변위 | 평형 위치로부터의 거리 |
A | 진폭 | 변위의 최대 크기 |
ω | 각진동수 | ω = √(k/m) |
φ | 위상 상수 | 진동의 시작 위상을 결정 |
T | 주기 | 한 번 진동하는 데 걸리는 시간, T = 2π/ω |
이 해는 시간에 따른 물체의 위치를 완전히 기술하며, 이를 시간에 대해 한 번 미분하면 속도 v(t) = -Aω sin(ωt + φ), 두 번 미분하면 가속도 a(t) = -Aω² cos(ωt + φ) = -ω² x(t)를 얻어 운동을 완벽하게 분석할 수 있다.
단진동을 기술하는 미분 방정식은 뉴턴의 운동 법칙을 적용하여 유도할 수 있다. 가장 대표적인 예인 용수철 진자를 고려할 때, 질량 m인 물체가 용수철 상수 k인 용수철에 연결되어 마찰이 없는 수평면에서 운동한다고 가정한다. 평형 위치에서의 변위를 x라고 하면, 용수철이 물체에 가하는 복원력 F는 후크의 법칙에 따라 F = -kx로 주어진다.
뉴턴의 제2법칙 F = ma를 적용하면, 물체의 가속도 a는 변위 x의 시간에 대한 두 번 미분인 d²x/dt²로 표현되므로, 다음의 2계 선형 상미분 방정식을 얻는다.
m (d²x/dt²) = -kx
이 방정식을 단진동의 기본 운동 방정식으로 정의한다. 이 식을 표준형으로 정리하면 다음과 같다.
d²x/dt² + (k/m) x = 0
여기서 (k/m) 항은 양의 상수이며, 이를 각진동수 ω의 제곱, 즉 ω² = k/m 으로 정의한다[2]. 따라서 단진동을 기술하는 미분 방정식의 최종 형태는 다음과 같다.
d²x/dt² + ω² x = 0
이 방정식은 시간에 따른 변위 x(t)를 구하는 문제로, 2계 선형 동차 미분방정식이다.
단진동의 미분 방정식 mx'' + kx = 0 또는 x'' + ω₀²x = 0의 일반해는 두 개의 독립적인 해의 선형 결합으로 표현된다. 여기서 ω₀는 고유 각진동수이다. 이 선형미분방정식의 특성 방정식은 r² + ω₀² = 0이며, 그 해는 r = ± iω₀이다. 따라서 일반해는 복소지수함수의 선형 결합으로 쓸 수 있다.
이 일반해는 실수 영역에서 두 가지 주요한 삼각함수 표현으로 나타낼 수 있다. 첫 번째는 사인 함수와 코사인 함수의 선형 결합 형태이다.
*x(t) = A cos(ω₀ t) + B sin(ω₀ t)*
여기서 A와 B는 초기 조건(초기 위치와 초기 속도)에 의해 결정되는 적분 상수이다.
두 번째는 단일 코사인 함수(또는 사인 함수)에 위상각을 포함한 형태이다. 이는 위의 선형 결합을 하나의 진동으로 묶어 표현한 것이다.
*x(t) = C cos(ω₀ t - φ)*
이 표현에서 C는 진폭이며, φ는 위상 상수 또는 위상차이다. 두 표현 사이의 관계는 다음과 같다.
물리량 | 관계식 |
|---|---|
진폭 (C) | *C = √(A² + B²)* |
위상 상수 (φ) | *tan φ = B/A* |
상수 A, B와 C, φ는 서로 변환 가능하며, 동일한 운동을 기술한다. 위상각이 포함된 표현은 진동의 크기와 시점에 따른 상태를 직관적으로 보여준다는 장점이 있다.

단진동을 기술하는 주요 물리량으로는 주기, 진동수, 진폭, 위상, 그리고 시스템의 역학적 에너지가 있다. 이 물리량들은 단진동의 특성을 정량적으로 나타내며, 서로 밀접한 관계를 가진다.
주기(T)는 물체가 한 번의 완전한 진동(예: A → 0 → -A → 0 → A)을 하는 데 걸리는 시간이다. 진동수(f)는 단위 시간(초)당 완전한 진동의 횟수로, 주기의 역수 관계(f = 1/T)에 있다. 각진동수(ω)는 2π초 동안의 진동 횟수를 의미하며, ω = 2πf = 2π/T의 관계를 만족한다. 이 각진동수는 운동 방정식의 해에서 직접적으로 등장하는 물리량이다. 진폭(A)은 평형 위치로부터의 최대 변위로, 시스템에 주어진 초기 에너지의 크기에 의해 결정된다. 위상(φ)은 특정 순간에서의 진동 상태(예: 변위가 최대인지, 0인지, 어느 방향으로 움직이는지)를 나타내는 각도 값이며, 초기 조건에 따라 정해지는 위상 상수에 의해 조절된다.
단진동 시스템의 총 역학적 에너지는 위치 에너지와 운동 에너지의 합으로, 시간에 따라 상수로 보존된다. 이 에너지는 진폭의 제곱에 비례한다(E ∝ A²). 운동 과정에서 에너지는 위치 에너지와 운동 에너지 사이를 주기적으로 변환한다. 물체가 진폭 위치에 있을 때 속도는 0이 되어 모든 에너지는 위치 에너지 형태로 저장된다. 반대로 평형 위치를 통과할 때는 위치 에너지가 0이 되고 속도가 최대가 되어 모든 에너지는 운동 에너지 형태로 존재한다. 이 에너지 보존 관계는 마찰이나 저항이 없는 이상적인 단진동의 핵심 특징이다.
물리량 | 기호 | 정의 | 주요 관계식 |
|---|---|---|---|
주기 | T | 한 번의 완전한 진동에 걸리는 시간 | T = 2π√(m/k) (용수철) |
진동수 | f | 단위 시간당 진동 횟수 | f = 1/T = ω/2π |
각진동수 | ω | 2π초 동안의 진동 횟수 | ω = 2πf = √(k/m) |
진폭 | A | 평형 위치로부터의 최대 변위 | 에너지 E ∝ A² |
위상 상수 | φ | 초기 조건에 의해 결정되는 위상 | 변위 식 x(t)=A cos(ωt+φ)에서 |
총 에너지 | E | 위치 에너지와 운동 에너지의 합 | E = (1/2)kA² = (1/2)mω²A² |
단진동 운동에서 주기는 진동체가 한 번의 완전한 진동(예: 최대 변위점에서 출발하여 같은 방향의 최대 변위점으로 돌아오는 과정)을 하는 데 걸리는 시간이다. 기호로는 보통 T를 사용하며, 단위는 초(s)이다. 진동수는 단위 시간(보통 1초) 동안 완전한 진동이 일어나는 횟수를 의미한다. 기호로는 f 또는 ν(뉴)를 사용하며, 단위는 헤르츠(Hz)이다. 주기와 진동수는 서로 역수의 관계에 있다. 즉, f = 1/T 또는 T = 1/f라는 관계식이 성립한다.
주기는 시스템의 고유한 물성에 의해 결정된다. 예를 들어, 질량 m인 물체가 용수철 상수 k인 용수철 진자에 매달려 있을 때, 그 주기 T는 T = 2π√(m/k)로 주어진다. 단진자의 경우, 길이 L과 중력 가속도 g에 의해 주기 T = 2π√(L/g)가 결정된다[3]. 이 공식들에서 알 수 있듯이, 주기는 진폭의 크기와 무관하며, 이는 단진동의 중요한 특징 중 하나이다.
주기와 진동수는 다양한 물리 시스템에서 동일한 개념으로 적용된다. 전기 공학에서 LC 회로의 전기적 진동 주기는 T = 2π√(LC)로 표현되며, 여기서 L은 인덕턴스, C는 커패시턴스를 나타낸다. 이는 기계적 진동의 공식과 수학적으로 동일한 형태를 가진다.
진폭은 평형 위치로부터 최대 변위의 크기를 나타내는 물리량이다. 단위는 길이의 단위(미터 등)를 사용하며, 기호로는 주로 A를 쓴다. 진폭은 시스템에 저장된 총 에너지와 직접적인 관계가 있다. 에너지가 클수록 진폭도 커진다. 초기 조건, 즉 물체를 당긴 거리나 초기 속도에 의해 진폭의 값이 결정된다.
위상은 진동하는 물체가 주기 내에서 어느 지점에 있는지를 나타내는 각도 값이다. 일반적으로 라디안 단위를 사용하며, 기호로는 φ나 θ를 쓴다. 위상은 시간 t=0에서의 초기 위치와 속도를 통해 결정되는 상수인 위상 상수와 시간에 따라 선형으로 증가하는 항의 합으로 표현된다. 위상 상수의 값은 진동의 시작점을 정의한다.
진폭과 위상은 단진동의 일반해를 완전히 기술하는 데 필요한 두 개의 독립적인 상수이다. 운동 방정식의 일반해는 다음과 같은 형태를 가진다.
x(t) = A cos(ωt + φ)
여기서 A는 진폭, φ는 위상 상수, ω는 각진동수이다. 같은 각진동수를 가진 두 진동이라도 진폭과 위상이 다르면 운동의 모양과 시점이 달라진다.
물리량 | 기호 | 설명 | 결정 요인 |
|---|---|---|---|
진폭 | A | 최대 변위의 크기 | 시스템의 총 에너지, 초기 조건 |
위상 | ωt + φ | 주기 내에서의 위치 | 시간(t)과 위상 상수(φ) |
위상 상수 | φ | t=0에서의 위상 | 초기 위치와 초기 속도 |
단진동 시스템에서 총 기계적 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로, 시간에 따라 보존된다. 이는 시스템에 마찰이나 저항과 같은 비보존력이 작용하지 않을 때 성립하는 보편적인 원리이다.
운동 에너지(K)는 물체의 속도에 의해 결정되며, 1/2 * m * v²의 공식으로 계산된다. 위치 에너지(U)는 복원력에 의해 결정되며, 가장 대표적인 예인 용수철 진자의 경우 1/2 * k * x²의 형태를 가진다. 따라서 총 에너지 E는 E = 1/2 m v² + 1/2 k x² 이다. 변위(x)와 속도(v)가 사인파와 코사인파 형태로 주기적으로 변화함에 따라 운동 에너지와 위치 에너지는 서로 상쇄되며 변환되지만, 그 합은 일정하게 유지된다.
에너지 보존은 진동의 특성을 설명하는 데 유용하다. 예를 들어, 진폭(A)이 최대일 때 변위는 최대이지만 속도는 0이므로, 모든 에너지는 위치 에너지 형태로 존재한다. 평형 위치를 통과할 때는 변위가 0이지만 속도가 최대이므로, 모든 에너지는 운동 에너지 형태로 존재한다. 이를 통해 총 에너지와 진폭 사이의 관계식 E = 1/2 k A² 을 유도할 수 있다. 이 관계는 진폭이 시스템에 저장된 총 에너지의 척도가 됨을 보여준다.
에너지 형태 | 평형 위치 (x=0) | 최대 변위 위치 (x=±A) |
|---|---|---|
위치 에너지 (U) | 0 | 최대값 (1/2 k A²) |
운동 에너지 (K) | 최대값 (1/2 m ω² A²) | 0 |
총 기계적 에너지 (E) | 일정 (1/2 k A²) | 일정 (1/2 k A²) |

단진동 운동의 가장 대표적이고 기본적인 예시는 용수철 진자와 단진자이다. 이 두 시스템은 이상적인 조건에서 완벽한 단진동을 보이며, 그 운동 방정식이 동일한 형태를 가진다.
질량이 무시되는 용수철에 질량 \( m \)인 물체를 매달고, 마찰이 없는 수평면 위에서 운동시키는 시스템이다. 용수철이 후크의 법칙을 따른다고 가정할 때, 복원력은 변위 \( x \)에 비례하고 반대 방향으로 작용한다 (\( F = -kx \), 여기서 \( k \)는 용수철 상수). 이 힘을 뉴턴의 제2법칙에 대입하면 단진동의 기본 미분 방정식 \( m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \)이 유도된다. 이 시스템의 각진동수는 \( \omega = \sqrt{k/m} \)으로 주어지며, 주기는 \( T = 2\pi\sqrt{m/k} \)이다.
길이 \( L \)인 줄의 한 끝을 고정하고 다른 끝에 질량 \( m \)인 추를 매단 시스템이다. 공기 저항과 줄의 질량, 줄의 늘어짐은 무시한다. 추를 평형 위치에서 작은 각도 \( \theta \)만큼 벗어나게 하면, 복원력은 중력의 접선 성분인 \( mg\sin\theta \)가 된다. 각도가 충분히 작을 때(약 10° 이내[4]), \(\sin\theta \approx \theta\) 근사를 적용하면 복원력은 각변위에 비례하게 되어 단진동 운동을 한다. 이때 운동 방정식은 \( \frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\theta \)의 형태가 되며, 각진동수는 \( \omega = \sqrt{g/L} \), 주기는 \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \)이다. 단진자의 주기는 추의 질량이나 진폭(작은 각도 내에서)에 무관하고 오직 줄의 길이와 중력가속도에만 의존한다는 점이 특징이다.
예시 시스템 | 복원력 원천 | 각진동수 (\( \omega \)) | 주기 (\( T \)) |
|---|---|---|---|
용수철의 탄성력 | \( \sqrt{k/m} \) | \( 2\pi\sqrt{m/k} \) | |
중력의 접선 성분 | \( \sqrt{g/L} \) | \( 2\pi\sqrt{L/g} \) |
이 두 시스템 외에도, LC 회로에서 전하의 진동이나 작은 각도에서의 물리적 진자 운동 등도 단진동으로 모델링할 수 있다.
용수철 진자는 단진동 운동을 설명하는 가장 대표적이고 이상적인 예시이다. 질량이 무시되는 용수철의 한쪽 끝을 고정하고 다른 끝에 질량 m인 물체를 연결한 시스템을 가리킨다. 이때 용수철은 후크의 법칙을 따르며, 용수철 상수 k는 용수철의 강성을 나타낸다.
평형 위치에서 물체를 x만큼 변위시키면, 용수철은 복원력 F = -kx를 작용한다. 이 복원력은 변위에 비례하고 평형 위치를 향하기 때문에, 뉴턴의 제2법칙 F = ma를 적용하면 운동 방정식 m(d²x/dt²) = -kx를 얻는다. 이는 단진동의 기본 미분 방정식 d²x/dt² = -(k/m)x와 동일하다.
이 운동 방정식의 해는 진폭 A와 위상 상수 φ를 사용하여 x(t) = A cos(ωt + φ)로 표현된다. 여기서 각진동수 ω는 ω = √(k/m)이다. 따라서 시스템의 진동수 f와 주기 T는 다음과 같이 결정된다.
물리량 | 공식 |
|---|---|
각진동수 (ω) | √(k/m) |
주기 (T) | 2π√(m/k) |
진동수 (f) | (1/2π)√(k/m) |
용수철 진자의 운동 에너지와 탄성 위치 에너지는 시간에 따라 상호 변환되지만, 그 합인 총 기계 에너지 E = (1/2)kA²는 보존된다. 이 에너지는 진폭의 제곱에 비례한다. 이 간단한 모델은 복잡한 진동 시스템의 기본 단위로 널리 사용된다.
단진자는 질량이 무시될 수 있는 길이 L의 끈에 매달린 질점 m이 중력의 영향 아래 진동하는 이상화된 물리계이다. 단진자의 운동은 진폭이 충분히 작을 때 단진동으로 근사할 수 있다.
단진자의 복원력은 중력의 접선 성분이 제공한다. 진자의 변위 각도를 θ(라디안)라 할 때, 운동 방정식은 각가속도에 대한 비선형 미분 방정식으로 주어진다. 그러나 작은 각 근사(sin θ ≈ θ)를 적용하면, 이 방정식은 표준 단진동 방정식 형태로 단순화된다. 이로부터 각진동수 ω는 √(g/L)로 주어지며, 주기 T는 2π√(L/g)가 된다[5].
단진자의 주기는 질량 m과 무관하며, 오직 진자의 길이 L과 중력가속도 g에만 의존한다는 점이 특징이다. 이 성질은 등시성의 한 예로, 갈릴레오 갈릴레이에 의해 처음 관찰되었다. 또한, 단진자는 역사적으로 시간을 측정하는 추시계의 기본 원리로 활용되었으며, 지구의 중력가속도 g를 정밀하게 측정하는 데에도 사용된다.
물리량 | 기호 | 공식 (작은 각 근사) | 비고 |
|---|---|---|---|
각진동수 | ω | √(g / L) | |
주기 | T | 2π √(L / g) | 진폭에 무관(근사적) |
진동수 | f | 1 / (2π) * √(g / L) |

감쇠 단진동은 마찰이나 저항과 같은 소산력이 작용하여 진폭이 시간에 따라 점차 감소하는 진동을 말한다. 이상적인 단진동은 에너지 손실이 없어 영원히 지속되지만, 실제 세계의 모든 진동계는 공기 저항이나 내부 마찰 등에 의해 에너지를 잃게 된다. 이러한 에너지 손실을 고려한 모델이 감쇠 단진동이다.
감쇠 진동의 운동 방정식은 뉴턴의 운동 법칙에 따라 복원력과 감쇠력을 함께 고려하여 유도된다. 감쇠력은 일반적으로 속도에 비례한다고 가정하며, 이를 점성 감쇠라고 부른다. 이 경우 운동 방정식은 질량(m), 감쇠 계수(c), 용수철 상수(k)를 사용하여 다음과 같은 2계 선형 상미분 방정식으로 표현된다[6].
m * (d²x/dt²) + c * (dx/dt) + k * x = 0
이 방정식의 해는 감쇠의 강도에 따라 세 가지 형태로 구분된다. 감쇠의 정도를 나타내는 감쇠비 ζ(제타)를 기준으로 구분하는 것이 일반적이다.
감쇠 유형 | 감쇠비 (ζ) 조건 | 운동 특성 |
|---|---|---|
ζ > 1 | 진동 없이 평형 위치로 서서히 돌아온다. | |
ζ = 1 | 가능한 가장 빠른 시간 내에 진동 없이 평형 위치로 돌아온다. | |
0 < ζ < 1 | 진폭이 기하급수적으로 감소하면서 진동한다. |
가장 흔히 관찰되는 것은 저감쇠 상태이다. 이때 변위는 시간에 따른 진폭의 감쇠를 나타내는 지수 함수와 진동을 나타내는 삼각함수의 곱으로 표현된다. 진동의 각진동수는 감쇠가 없는 고유 각진동수보다 작아지며, 이를 감쇠 고유 진동수라고 부른다. 감쇠가 클수록 진동수는 더욱 낮아지고, 진폭은 더 빠르게 줄어든다.

강제 단진동은 감쇠 단진동 시스템에 외부에서 주기적인 구동력이 가해질 때 발생하는 운동이다. 이때 시스템의 운동 방정식은 감쇠항과 구동력 항이 추가되어, m(d²x/dt²) + b(dx/dt) + kx = F₀ cos(ωt) 와 같은 형태를 가진다. 여기서 F₀는 구동력의 진폭이고, ω는 구동력의 각진동수이다.
이 미분 방정식의 해는 과도 응답과 정상 상태 응답의 합으로 구성된다. 시간이 충분히 지나면 과도 응답은 사라지고, 시스템은 구동력과 같은 각진동수 ω로 진동하는 정상 상태에 도달한다. 이 정상 상태 해의 진폭 A는 구동력의 진폭 F₀, 시스템의 고유 각진동수 ω₀, 감쇠 계수 b, 그리고 구동력의 각진동수 ω에 의존한다. 특히 진폭 A는 다음 식으로 주어진다: A = F₀ / √( (m(ω₀² - ω²))² + (bω)² ).
구동력의 각진동수 ω가 시스템의 고유 각진동수 ω₀에 가까워질수록 진동의 진폭이 급격히 커지는 현상을 공명이라고 한다. 특히 감쇠가 매우 작은 경우, ω = ω₀에서 진폭은 최대가 된다. 감쇠의 크기는 공명 현상의 강도를 결정하는데, 감쇠가 클수록 공명 곡선은 낮고 넓어지며, 감쇠가 작을수록 곡선은 높고 뾰족해진다.
공명 현상은 유익하게 활용되기도 하고, 해로운 결과를 초래하기도 한다. 유익한 활용 예로는 라디오 수신기에서 원하는 주파수의 전파만을 선택적으로 증폭하는 것, 또는 현악기의 공명 상자가 소리를 증폭시키는 것 등이 있다. 반면, 해로운 예로는 특정 회전 속도에서 기계적 부품이 과도하게 진동하여 파손되는 현상이나, 일정한 풍속에서 다리가 공명으로 인해 붕괴하는 사고[7] 등이 있다.

단진동 운동은 그 예측 가능한 주기적 특성으로 인해 다양한 공학 분야에서 모델링과 시스템 설계의 기초가 된다.
기계 공학에서는 진동 제어와 구조물 설계에 핵심적으로 적용된다. 자동차의 서스펜션 시스템은 노면의 요철에 의해 발생하는 진동을 단진동 모델로 근사하여 승차감을 개선하고 차체를 보호한다[8]. 또한, 건축물이나 다리가 지진이나 강풍에 의해 받는 주기적 하중을 분석할 때, 구조물의 고유 진동수를 계산하는 데 단진동 개념이 사용된다. 이는 공명 현상을 피하고 구조적 안전성을 확보하는 데 필수적이다.
전기 공학에서는 교류 회로의 분석에 단진동과 동등한 수학적 형태가 나타난다. 인덕터와 커패시터가 포함된 LC 회로에서 전하나 전류의 변화는 용수철에 매달린 질점의 운동 방정식과 정확히 같은 미분 방정식을 따른다. 이 유사성을 통해 전기적 진동의 공진 주파수를 쉽게 계산하고, 필터나 발진 회로와 같은 전자 부품을 설계할 수 있다. 라디오 수신기의 튜닝 회로는 원하는 주파수의 전파만을 선택적으로 증폭하기 위해 이 원리를 이용한다.
응용 분야 | 주요 적용 예시 | 설명 |
|---|---|---|
기계 공학 | 서스펜션 시스템 | 충격 흡수 및 진동 감쇠를 위한 설계 |
기계 공학 | 구조물 내진 설계 | 건물의 고유 진동수 분석을 통한 공명 방지 |
전기 공학 | LC 발진 회로 | 특정 주파수의 전기적 신호 생성 |
전기 공학 | 대역 통과 필터 | 원하는 주파수 대역의 신호만 선택 |
이러한 광범위한 응용은 단진동이 복잡한 현상을 이해할 수 있는 단순하면서도 강력한 모델을 제공한다는 점에서 비롯된다.
단진동 운동은 기계 공학에서 구조물의 진동 해석, 기계 설계, 동역학적 안정성 평가 등 광범위한 분야에 응용된다. 가장 기본적인 응용은 진동 모드와 고유 진동수를 분석하여 구조물의 공진을 피하고 피로 파괴를 방지하는 것이다. 예를 들어, 교량, 고층 건물, 항공기 날개, 자동차 서스펜션 등은 설계 단계에서 단진동 모델을 근간으로 한 유한 요소 해석 등을 통해 동적 하중에 대한 거동을 예측한다.
구체적인 예시로, 회전 기계의 불균형에 의한 진동은 단진동 모델로 근사하여 분석할 수 있다. 회전자 동역학에서 중요한 크리티컬 스피드(Critical Speed)는 시스템의 고유 진동수와 회전 속도가 일치하여 공진이 발생하는 지점으로, 단진동 이론을 확장하여 구한다. 또한, 진동 절연 장치 설계에도 핵심 원리로 활용된다. 기계를 지지하는 방진 고무나 스프링의 강성을 조절하여 시스템의 고유 진동수를 외부 교란 진동수의 범위에서 벗어나게 함으로써 진동 전달을 최소화한다.
응용 분야 | 설명 | 관련 개념 |
|---|---|---|
구조 동역학 | 건물, 교량의 지진 또는 풍하중 응답 분석 | |
기계 설계 | 베어링, 기어, 크랭크샤프트 등의 동적 하중 설계 | |
진동 제어 | 방진대, 댐퍼를 이용한 진동 저감 시스템 설계 | |
정밀 기계 | 공작기계, 반도체 장비의 미세 진동 제어 |
이러한 분석을 통해 기계 시스템의 수명을 연장하고, 소음을 줄이며, 작동 정밀도와 안전성을 확보할 수 있다. 따라서 단진동은 복잡한 기계 시스템을 이해하고 최적화하기 위한 가장 기본적이면서도 강력한 도구이다.
단진동 운동은 전기 공학에서 교류 회로의 기본 동작 원리를 이해하는 데 핵심적인 모델을 제공한다. 특히 RLC 회로에서 전하, 전류, 전압의 변화는 기계적 단진동과 수학적으로 동일한 방정식으로 기술된다. 인덕터(L)와 커패시터(C)만으로 구성된 LC 회로는 마찰이 없는 용수철-질량 계와 유사하며, 커패시터에 저장된 전하가 인덕터를 통해 오가며 전기적 진동을 일으킨다. 여기에 저항(R)이 추가된 RLC 회로는 감쇠 진동을, 외부에서 가해지는 교류 전압원은 강제 진동을 모델링한다.
이러한 유사성 덕분에 단진동의 개념은 공진 회로의 설계와 분석에 널리 적용된다. 예를 들어, 라디오 수신기의 튜닝 회로는 특정 주파수의 전파만을 선택적으로 증폭하기 위해 RLC 회로의 공진 현상을 이용한다. 이때 공진 주파수는 인덕턴스와 커패시턴스에 의해 결정되며, 이는 용수철 상수와 질량으로 결정되는 기계적 진동자의 고유 주파수에 대응한다. 또한, 필터 회로나 발진 회로의 동작 원리를 이해하고 설계하는 데에도 단진동 이론이 필수적이다.
물리 시스템 | 전기 시스템 | 물리량 대응 관계 |
|---|---|---|
변위 (x) | 전하 (q) 또는 커패시터 전압 (V_C) | - |
속도 (v) | 전류 (i) | - |
질량 (m) | 인덕턴스 (L) | 관성에 대응 |
용수철 상수 (k) | 커패시턴스의 역수 (1/C) | 복원력에 대응 |
감쇠 계수 (b) | 저항 (R) | 에너지 손실에 대응 |
구동력 (F) | 구동 전압 (V) | 외부 입력에 대응 |
이 표와 같은 대응 관계를 통해 기계적 영역에서 잘 알려진 단진동의 해법과 직관을 그대로 전기 회로 분석에 적용할 수 있다. 따라서 단진동 운동은 전기 공학도를 위한 기초 물리학 교육에서 반드시 강조되는 주제이며, 복잡한 전자 시스템의 동적 거동을 이해하는 토대가 된다.