근원사건

근원사건은 표본공간을 구성하는 가장 기본적이고 더 이상 분해할 수 없는 단일 결과에 해당하는 사건이다. 수학적으로는 원소가 하나뿐인 집합, 즉 단일원소 집합으로 정의된다. 이는 확률론에서 사건을 표본공간의 부분집합으로 보는 정의에 부합하며, 모든 다른 복합 사건은 이러한 근원사건들이 모여 구성된다고 할 수 있다.

예를 들어, 공정한 주사위 하나를 던지는 시행에서 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}이다. 여기서 '주사위를 던져 3이 나온다'는 사건은 집합 {3}으로 표현되며, 이는 하나의 근원사건이다. 마찬가지로 {1}, {2}, {4}, {5}, {6} 각각이 모두 근원사건이다. 반면, '짝수가 나온다'는 사건은 {2, 4, 6}이라는 집합으로, 여러 근원사건({2}, {4}, {6})의 합집합으로 이루어진 합사건에 해당한다.

근원사건의 개념은 확률 계산의 기초가 된다. 특히 표본공간이 유한하고 각 근원사건이 발생할 가능성이 동등할 때, 어떤 사건의 확률은 (그 사건에 포함된 근원사건의 수) / (표본공간의 모든 근원사건의 수)라는 고전적 확률 정의로 쉽게 구할 수 있다. 따라서 복잡한 사건의 확률을 이해하고 계산하려면 그것이 어떤 근원사건들로 구성되어 있는지를 분석하는 것이 첫걸음이다.

합사건은 두 개 이상의 사건 중 적어도 하나가 일어나는 사건을 가리킨다. 표본공간의 부분집합으로 정의되는 사건 A와 사건 B가 있을 때, 이들의 합사건은 기호로 A ∪ B로 표기하며, 합집합에 해당한다. 예를 들어, 주사위를 던지는 시행에서 사건 A를 '짝수의 눈이 나옴'이라고 하고, 사건 B를 '4 이상의 눈이 나옴'이라고 정의하면, 합사건 A ∪ B는 '짝수이거나 4 이상인 눈이 나옴'이 된다. 이는 눈금 2, 3, 4, 5, 6이 해당된다.

합사건의 개념은 확률론에서 사건의 발생 가능성을 논할 때 기본이 된다. 사건 A 또는 B가 일어날 확률 P(A ∪ B)는 일반적으로 각 사건의 확률의 합에서 두 사건이 동시에 일어날 확률, 즉 곱사건의 확률을 뺀 값과 같다. 이는 포함배제의 원리를 따른다. 만약 두 사건이 서로 배반사건이라면, 즉 동시에 일어날 수 없다면, 합사건의 확률은 단순히 각 확률의 합이 된다.

합사건은 통계학의 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 어떤 제품의 불량률을 조사할 때, 'A 공정에서의 불량' 또는 'B 공정에서의 불량'과 같이 여러 원인 중 하나라도 발생하면 결과가 나타나는 경우를 분석하는 데 유용하다. 또한, 여사건과의 관계에서, 합사건 A ∪ B의 여사건은 'A도 일어나지 않고 B도 일어나지 않음'이 되며, 이는 드 모르간의 법칙에 의해 설명된다.

곱사건은 둘 이상의 사건이 동시에 일어나는 사건을 가리킨다. 예를 들어, 주사위를 한 번 던지는 시행에서 "짝수가 나오는 사건"과 "4 이상의 수가 나오는 사건"이 있다고 하자. 이때 두 사건이 동시에 일어난다는 것은 던진 주사위의 눈이 짝수이면서 동시에 4 이상인 경우, 즉 눈금이 4 또는 6인 결과를 의미한다. 이렇게 두 사건이 함께 일어나는 상황을 수학적으로는 두 사건에 해당하는 집합의 교집합으로 표현한다.

사건 A와 사건 B의 곱사건은 기호로 A ∩ B로 표기하며, 'A 교 B' 또는 'A 캡 B'라고 읽는다. 이는 표본공간이라는 전체 집합 안에서 정의된 두 부분집합 A와 B의 공통된 원소들로 구성된 새로운 사건에 해당한다. 따라서 곱사건의 발생은 시행의 결과가 사건 A에 속하는 동시에 사건 B에도 속함을 의미한다. 이 개념은 확률의 곱셈정리나 조건부확률을 논할 때 중요한 기초가 된다.

곱사건은 다른 사건의 종류와 밀접한 관계가 있다. 예를 들어, 두 사건의 곱사건이 공사건(공집합)이라면, 이 두 사건은 동시에 일어날 수 없는 배반사건이 된다. 반대로, 두 사건의 곱사건이 두 사건 중 하나와 정확히 일치한다면, 한 사건이 다른 사건의 부분집합이 되는 관계를 나타낸다. 또한 독립사건 여부를 판단할 때는 사건 A와 B의 곱사건이 일어날 확률이 각 사건이 일어날 확률의 곱과 같은지 확인하는 방식으로 이용된다.

곱사건의 개념은 단순한 주사위 던지기나 동전 던지기 같은 예시를 넘어, 복잡한 통계 모델링이나 기계학습 알고리즘에서 여러 조건이 동시에 충족되는 상황을 분석하는 데 폭넓게 적용된다. 이를 통해 여러 요인이 결합되어 나타나는 현상의 확률을 계산하고 이해하는 데 핵심적인 도구로 사용된다.

여사건은 특정 사건이 발생하지 않는 경우를 가리키는 개념이다. 확률론에서 사건은 표본공간의 부분집합으로 정의되므로, 어떤 사건 A의 여사건은 표본공간에서 사건 A에 속하지 않는 모든 결과들의 집합이다. 이는 집합론에서의 여집합에 해당하며, 기호로는 A^c, ∁A, 또는 A̅ 등으로 표기한다.

예를 들어, 정육면체 주사위를 한 번 던지는 시행에서 표본공간 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}이라고 하자. 사건 A를 "짝수의 눈이 나옴", 즉 A = {2, 4, 6}으로 정의하면, 이 사건의 여사건 A^c는 "짝수의 눈이 나오지 않음", 즉 "홀수의 눈이 나옴"이 되며, 이는 집합 {1, 3, 5}에 해당한다. 어떤 사건과 그 여사건은 서로 배반사건이며, 둘 중 하나는 반드시 발생한다.

여사건의 개념은 확률 계산에서 유용하게 활용된다. 사건 A가 일어날 확률 P(A)를 알고 있을 때, 사건 A가 일어나지 않을 확률, 즉 여사건 A^c가 일어날 확률은 1 - P(A)로 쉽게 구할 수 있다. 이 관계는 전사건의 확률이 1이라는 사실과 합사건의 확률 법칙에서 비롯된다.

배반사건은 확률론에서 두 개 이상의 사건이 동시에 일어날 수 없는 관계를 의미한다. 즉, 한 사건이 발생하면 다른 사건은 절대 발생하지 않는 사건들이다. 이는 집합론의 관점에서 볼 때, 두 사건을 나타내는 표본공간의 부분집합이 서로 공통된 원소를 하나도 갖지 않는 서로소 관계에 있음을 의미한다. 예를 들어, 정육면체 주사위를 한 번 던질 때, '1의 눈이 나옴'이라는 사건과 '2의 눈이 나옴'이라는 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 서로 배반사건이다.

배반사건의 중요한 성질은 사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률을 구할 때, 두 사건의 확률을 단순히 더하기만 하면 된다는 점이다. 이는 두 사건이 동시에 일어날 가능성이 전혀 없기 때문이다. 또한, 배반사건은 독립사건과는 완전히 다른 개념이며, 오히려 극단적인 종속사건의 형태로 볼 수 있다. 한 사건이 발생했다는 사실이 다른 사건의 발생 가능성을 완전히 배제하기 때문이다.

배반사건의 특수한 경우로 여사건 관계를 들 수 있다. 어떤 사건과 그 사건의 여사건은 반드시 서로 배반사건이다. 그러나 모든 배반사건이 여사건 관계인 것은 아니다. 예를 들어, 주사위를 던질 때 '1이 나옴'과 '짝수가 나옴'은 동시에 일어날 수 없어 배반사건이지만, '1이 나옴'의 여사건은 '1이 나오지 않음'이므로 둘은 다른 관계이다.

독립사건은 확률론에서 중요한 개념 중 하나로, 두 개 이상의 사건이 서로의 발생 여부에 영향을 주지 않는 관계를 의미한다. 구체적으로, 사건 A의 발생이 사건 B의 발생 확률에 아무런 변화를 주지 않을 때, 그리고 그 역도 성립할 때, 두 사건은 독립이라고 정의된다. 이는 수학적으로 조건부확률을 통해 P(B|A) = P(B)가 성립함으로 표현되며, 이는 곱사건의 확률이 각 사건 확률의 곱과 같다는 식, P(A ∩ B) = P(A)P(B)로도 동치이다.

독립사건의 전형적인 예는 동일한 주사위를 반복하여 던지는 실험이다. 첫 번째 던지기에서 특정 눈이 나오는 사건은 두 번째 던지기의 결과에 전혀 영향을 미치지 않는다. 이는 각 시행의 결과가 무작위적이며 이전 결과와 무관하기 때문이다. 마찬가지로, 서로 다른 동전을 던지는 경우나, 무작위 추출을 통해 복원하면서 카드를 뽑는 경우도 독립사건에 해당한다.

독립사건은 종속사건과 대비되는 개념이며, 특히 배반사건과 혼동해서는 안 된다. 배반사건은 두 사건이 동시에 발생할 수 없는 관계로, 이는 한 사건이 발생하면 다른 사건의 발생 확률이 0이 되어 서로 강한 영향을 미치게 되므로, 독립이 될 수 없다. 즉, 배반사건은 모두 종속사건이다. 다만, 확률이 0인 공사건이나 확률이 1인 전사건과 같은 특수한 경우에는 일반적으로 독립 여부를 논의하지 않는다.

독립성의 개념은 베이즈 정리나 마르코프 과정과 같은 더 복잡한 확률 모형의 기초를 이루며, 통계적 추론에서 표본의 무작위성과 같은 가정을 뒷받침한다. 여러 사건의 독립성을 판단할 때는 쌍별 독립보다 더 강한 조건인 상호 독립을 고려해야 하는 경우도 있다.