거울과 렌즈의 결상 (렌즈 제작자 공식) (r1)

렌즈 제작자 공식의 기본 형태는 얇은 렌즈의 초점 거리, 렌즈 양면의 곡률 반경, 그리고 렌즈 재료의 굴절률 사이의 관계를 나타낸다. 이 공식은 렌즈의 초점 거리를 설계 변수들로부터 계산할 수 있게 해주며, 다음과 같이 표현된다.

1/f = (n - 1) * (1/R₁ - 1/R₂)

여기서,

• f는 렌즈의 초점 거리이다.

• n은 렌즈 재료의 굴절률 (주변 매질에 대한 상대 굴절률)이다.

• R₁은 빛이 입사하는 첫 번째 렌즈 표면의 곡률 반경이다.

• R₂는 빛이 통과하는 두 번째 렌즈 표면의 곡률 반경이다.

이 공식은 렌즈의 두께가 무시될 수 있을 만큼 얇다는 얇은 렌즈 근사를 전제로 한다. 또한, 공식에서 사용하는 부호 규약에 따라 곡률 반경의 값은 양수 또는 음수로 결정된다. 일반적으로, 표면의 곡률 중심이 빛의 진행 방향에서 볼 때 렌즈의 오른쪽에 있으면 양의 반경, 왼쪽에 있으면 음의 반경 값을 가진다[1].

이 기본 형태는 렌즈가 공기 중에 놓여 있을 때 가장 일반적으로 사용된다. 렌즈가 다른 매질에 잠겨 있다면, 공식은 주변 매질의 굴절률을 고려하여 수정된다. 이 공식을 통해 주어진 굴절률과 곡률 반경을 가진 렌즈가 얼마나 강하게 빛을 모으거나 퍼뜨리는지, 즉 초점 거리가 어떻게 결정되는지를 정량적으로 파악할 수 있다.

렌즈 제작자 공식의 계산 결과가 물리적 현상과 일치하도록 하기 위해, 공식에 사용되는 거리 변수들에 대한 일관된 부호 규약이 필수적이다. 주로 사용되는 규약은 실축 광선 방향 규약 또는 카르테시안 부호 규약으로, 광학계의 주광축을 기준으로 방향과 위치를 정의한다.

일반적인 규약은 다음과 같다. 먼저, 빛의 진행 방향(보통 왼쪽에서 오른쪽으로)을 양의 방향으로 정한다. 렌즈의 중심(주점)을 기준으로, 물체가 위치한 쪽(빛이 들어오는 쪽)을 음의 영역, 반대쪽을 양의 영역으로 설정한다. 따라서, 물체 거리(s)는 항상 음의 값을 가진다. 렌즈의 오른쪽에 형성된 실상의 상 거리(s')는 양의 값, 렌즈의 왼쪽에 형성된 허상의 상 거리(s')는 음의 값을 갖는다. 초점 거리(f)의 경우, 빛을 모으는 볼록 렌즈(수렴 렌즈)는 양의 값, 빛을 퍼뜨리는 오목 렌즈(발산 렌즈)는 음의 값을 부여한다.

이 규약을 적용하면, 렌즈 제작자 공식 (1/f = 1/s' - 1/s)은 모든 종류의 얇은 렌즈에 대해 일관되게 성립한다. 올바른 부호를 대입하여 계산한 상 거리(s')의 부호는 상의 종류(실상인지 허상인지)와 위치를, 배율의 부호는 상의 방향(정립인지 도립인지)을 알려준다. 서로 다른 교재나 문헌에서 서로 반대되는 부호 규약을 사용하는 경우가 있으므로, 특정 공식을 적용할 때는 어떤 규약을 따르는지 먼저 확인하는 것이 중요하다.

얇은 렌즈 근사는 렌즈의 두께가 초점 거리나 곡률 반경에 비해 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정하는 단순화 모델이다. 이 근사를 통해 렌즈의 두께를 고려하지 않고, 렌즈의 중심을 하나의 평면(주평면)으로 간주하여 기하광학적 분석을 크게 단순화할 수 있다. 결과적으로, 굴절은 렌즈의 전면과 후면에서 순간적으로 일어난다고 취급하며, 광축 상의 두께는 0으로 본다.

이 근사 하에서 렌즈 제작자 공식의 유도는 훨씬 간편해진다. 렌즈의 전면과 후면을 각각 독립적인 굴절면으로 보고, 두 번의 굴절을 연속적으로 적용한다. 첫 번째 굴절면에서 물체가 생기는 허상을 두 번째 굴절면의 물체로 간주하는 방법을 사용한다. 이 과정에서 렌즈의 두께 항이 사라지며, 최종적으로 렌즈의 초점 거리(f)가 렌즈의 굴절률(n)과 두 곡률 반경(R1, R2)만으로 표현되는 간결한 공식이 도출된다.

얇은 렌즈 근사는 대부분의 기본적인 결상 계산과 설계에 널리 사용되며, 그 유효성은 잘 알려져 있다. 그러나 렌즈의 두께가 커지거나 고정밀 설계가 필요한 경우에는 이 근사로 인한 오차가 무시할 수 없게 된다. 이러한 경우에는 두꺼운 렌즈 이론이나 실제 광선 추적법을 사용하여 더 정확한 분석을 수행해야 한다.

이 유도는 스넬의 법칙과 기하학적 관계를 결합하여 렌즈 제작자 공식을 도출하는 과정을 보여준다. 기본적인 접근법은 렌즈의 첫 번째 곡면에서 굴절된 빛이 두 번째 곡면에서 다시 굴절되어 결상하는 경로를 추적하는 것이다.

먼저, 굴절률이 n인 렌즈가 공기 중(굴절률 ≈ 1)에 놓여 있고, 렌즈의 두 곡률 반경을 각각 R₁, R₂, 중심 두께를 무시할 수 있다고 가정한다([2]). 렌즈의 첫 번째 곡면에 평행광 대신 물체에서 나온 한 광선이 입사한다고 생각한다. 근축 광선 근사(paraxial ray approximation) 하에서, 즉 광선이 주광축과 이루는 각이 매우 작아 sin θ ≈ tan θ ≈ θ로 근사할 수 있을 때, 스넬의 법칙(n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂)은 n₁ θ₁ = n₂ θ₂의 선형 관계로 단순화된다.

이 선형화된 굴절 법칙을 적용하여, 물체 거리 s, 상 거리 s', 곡률 반경 R₁과 R₂ 사이의 관계식을 세운다. 구체적으로는 렌즈의 첫 번째 구면에서의 굴절과 두 번째 구면에서의 굴절을 각각 기술하는 두 개의 방정식을 얻으며, 이 두 방정식에서 렌즈 내부에서의 광선 경로에 관한 중간 변수를 소거하면 최종적으로 s, s', R₁, R₂, n을 연결하는 하나의 공식이 나온다. 이 과정에서 삼각형의 각도 관계와 호의 길이, 현의 길이 사이의 기하학적 근사 관계가 핵심적으로 사용된다.

유도 결과 얻어지는 공식은 다음과 같다.

1/s' + 1/s = (n-1)(1/R₁ - 1/R₂)

이때, 공식의 우변은 렌즈의 초점 거리 f의 역수, 즉 굴절능(optical power)에 해당한다. 따라서 이 유도는 렌즈 제작자 공식 1/f = (n-1)(1/R₁ - 1/R₂)와 얇은 렌즈 공식 1/s' + 1/s = 1/f가 동시에 성립함을 보여준다. 이 기하학적 유도는 공식이 단순한 경험식이 아니라 광학의 기본 법칙으로부터 논리적으로 도출될 수 있음을 입증한다.

렌즈 제작자 공식에서 가장 핵심적인 세 가지 변수는 초점 거리 (f), 물체 거리 (s), 그리고 상 거리 (s')이다. 이 세 거리는 공식 1/f = 1/s + 1/s'을 통해 서로 밀접하게 연결되어 있으며, 각각 렌즈의 광학적 성능과 결상 위치를 결정짓는 요소이다.

초점 거리 f는 렌즈의 굴절 능력을 나타내는 고유한 값이다. 이 값은 렌즈의 굴절률과 두 표면의 곡률 반경에 의해 결정된다. 초점 거리가 짧을수록 빛을 더 강하게 굴절시켜 초점을 짧은 거리에 맺으며, 이는 렌즈의 배율이 높아짐을 의미한다. 반대로 초점 거리가 길수록 빛의 굴절이 약해져 초점이 멀리 형성된다. 일반적으로 볼록 렌즈의 초점 거리는 양(+)의 값을, 오목 렌즈의 초점 거리는 음(-)의 값을 가진다[3].

물체 거리 s는 렌즈의 중심(또는 주점)부터 물체까지의 거리를 의미한다. 상 거리 s'은 렌즈의 중심부터 형성된 상까지의 거리를 의미한다. 이 두 변수의 관계는 렌즈 제작자 공식에 의해 규정된다. 예를 들어, 물체가 렌즈의 초점 거리보다 훨씬 먼 거리(무한대에 가까운 s)에 위치하면, 1/s 항은 0에 가까워지므로 상 거리 s'은 초점 거리 f와 거의 같아진다. 즉, 무한대의 물체는 렌즈의 초점면에 선명한 상을 맺는다. 물체 거리가 변하면 상 거리도 그에 따라 변화하여, 공식을 만족시키는 새로운 위치에 상이 맺힌다.

이 세 변수의 관계를 통해 상의 특성을 예측할 수 있다. s와 s'의 부호를 비교하면 상이 실상인지 허상인지를 알 수 있으며, s'의 절대값과 s의 절대값의 비율은 배율의 크기를 결정한다. 따라서 초점 거리 f를 알고 물체의 위치 s를 알면, 상이 어디에 어떤 크기로 생길지 정확히 계산할 수 있다. 이는 현미경, 망원경, 카메라 등 모든 광학 기기의 설계와 사용의 기본 원리가 된다.

굴절률은 매질이 빛을 굴절시키는 정도를 나타내는 물질 고유의 상수이다. 렌즈 제작자 공식에서 굴절률은 초점 거리를 결정하는 핵심 인자로 작용한다. 공식의 분모에 (n-1) 항이 존재하기 때문에, 렌즈 재료의 굴절률 n이 클수록 분모의 값이 커지고, 결과적으로 초점 거리 f의 절대값은 작아진다. 즉, 같은 곡률 반경을 가진 렌즈라도 플린트 유리처럼 굴절률이 높은 재료로 만들면 초점 거리가 짧아져 더 강한 집광 능력을 가지게 된다.

곡률 반경 R1과 R2는 렌즈의 두 표면의 곡률을 정량화한다. 렌즈 제작자 공식에서 이 값들은 공식의 괄호 안 (1/R1 - 1/R2) 항에 영향을 미친다. 일반적으로 곡률 반경의 절대값이 작을수록, 즉 렌즈 표면이 더 급격하게 휘어져 있을수록 초점 거리의 절대값은 짧아진다. 볼록 렌즈의 경우 R은 양의 값을, 오목 렌즈의 경우 R은 음의 값을 가지며, 이 부호 규약에 따라 (1/R1 - 1/R2) 항의 값이 결정되어 렌즈가 수렴하는지 발산하는지가 정해진다.

굴절률과 곡률 반경의 영향은 다음 표를 통해 요약할 수 있다.

이 관계는 광학 설계의 기초를 이룬다. 예를 들어, 카메라용 고배율 망원 렌즈는 짧은 초점 거리를 필요로 하므로, 높은 굴절률을 가진 특수 유리를 사용하거나 표면의 곡률을 매우 크게(곡률 반경을 작게) 만들어 제작한다. 반대로, 안경용 돋보기 렌즈는 상대적으로 낮은 굴절률의 재료와 완만한 곡률로 만들어 초점 거리를 길게 유지하여 넓은 시야를 제공한다.

렌즈 제작자 공식은 볼록 렌즈와 오목 렌즈 모두에 적용되며, 각 렌즈의 특성에 따라 물체 거리 s, 상 거리 s', 초점 거리 f의 부호가 달라진다. 이 부호 규약에 따라 계산된 상의 위치와 종류(실상 또는 허상)를 결정할 수 있다.

볼록 렌즈(수렴 렌즈)의 경우, 초점 거리 f는 양의 값을 가진다. 물체가 렌즈의 주초점(F) 바깥(s > f)에 위치하면, 렌즈 반대쪽에 도립된 실상이 맺힌다. 물체가 주초점 안쪽(s < f)에 위치하면, 렌즈의 물체 쪽에 정립된 허상이 생긴다. 오목 렌즈(발산 렌즈)의 초점 거리 f는 음의 값을 가진다. 오목 렌즈는 어떤 위치에 물체를 놓아도 항상 렌즈의 물체 쪽에 정립된 허상을 만든다.

다음 표는 렌즈 제작자 공식을 적용한 몇 가지 대표적인 계산 예시를 보여준다.

예를 들어, 초점 거리가 10cm인 볼록 렌즈로부터 30cm 떨어진 곳에 물체를 두면, 공식 1/30 + 1/s' = 1/10을 풀어 상 거리 s' = 15cm를 얻는다. 이는 렌즈 반대쪽 15cm 지점에 실상이 맺힌다는 것을 의미한다. 같은 렌즈로 물체를 5cm 지점에 두면, 공식 1/5 + 1/s' = 1/10을 풀어 s' = -10cm가 나온다. 음의 부호는 상이 렌즈의 물체 쪽에 생기는 허상임을 나타낸다.

렌즈 제작자 공식은 단일 렌즈의 기본적인 결상 특성을 넘어 복잡한 광학 시스템 설계의 토대를 제공한다. 대표적인 예로 카메라의 렌즈군 설계를 들 수 있다. 표준 단초점 카메라 렌즈는 여러 장의 볼록 및 오목 렌즈를 조합하여 수차를 보정하고 선명한 상을 얻는다. 설계자는 각 렌즈 요소의 굴절률, 곡률 반경, 두께를 정의한 후, 렌즈 제작자 공식을 각 요소와 공기 간의 각 굴절면에 순차적으로 적용한다. 이를 통해 전체 시스템의 유효 초점 거리와 상의 위치, 배율을 정확히 계산하고, 색수차나 구면 수차 같은 문제를 최소화하는 구조를 찾아낸다.

또 다른 주요 적용 분야는 현미경과 망원경이다. 현미경은 대물렌즈와 대안렌즈로 구성되며, 렌즈 제작자 공식은 대물렌즈에 의해 형성된 실상을 대안렌즈가 어떻게 다시 확대하여 관찰하는지 설명한다. 예를 들어, 대물렌즈의 상 거리를 계산하여 그 위치에 대안렌즈의 물체를 정확히 배치함으로써 최적의 배율과 선명도를 확보한다. 천체 망원경의 경우, 주로 굴절 망원경 설계에 이 공식이 핵심적으로 사용되어 먼 천체로부터 온 평행광을 초점면에 모으는 방식을 결정한다.

이 공식은 또한 일상적인 안경이나 돋보기 설계에도 적용된다. 안경 렌즈의 도수(디옵터)는 초점 거리의 역수로 정의되며, 이는 렌즈 제작자 공식에서 굴절률과 전후면의 곡률 반경으로 직접 계산된다. 근시용 오목 렌즈와 원시용 볼록 렌즈의 기본 성능은 이 공식을 통해 예측할 수 있다. 더 복잡한 자동초점 시스템에서는 물체 거리의 변화에 따라 렌즈군의 간격을 전자적으로 조절하여 초점을 맞추는데, 이 조절 알고리즘의 기초 물리 모델 역시 렌즈 제작자 공식에 뿌리를 두고 있다.

렌즈 제작자 공식과 구면 거울 공식은 형태가 매우 유사하며, 둘 다 초점 거리, 물체 거리, 상 거리라는 세 가지 주요 변수 간의 관계를 설명한다. 기본적인 공식의 형태 1/f = 1/s + 1/s'는 동일하게 적용된다. 여기서 f는 초점 거리, s는 렌즈 또는 거울의 정점(또는 중심)에서 물체까지의 거리, s'는 정점에서 상까지의 거리를 나타낸다. 이는 파스칼의 원리와 기하광학의 기본 법칙인 광선의 직진성과 반사의 법칙에서 비롯된 공통된 결과이다.

그러나 두 공식 사이에는 중요한 물리적 차이가 존재한다. 가장 근본적인 차이는 빛의 진행 방식에 있다. 렌즈 제작자 공식은 빛이 굴절을 통해 매질(렌즈)을 통과하는 현상을 다루는 반면, 구면 거울 공식은 빛이 거울 표면에서 반사되는 현상을 다룬다. 이로 인해 초점 거리 f를 결정하는 요소가 다르다. 렌즈의 경우 f는 렌즈의 굴절률과 양면의 곡률 반경에 의해 결정되지만, 구면 거울의 경우 f는 단순히 거울의 곡률 반경 R의 절반(f = R/2)으로 주어진다.

부호 규약 또한 미묘한 차이를 보인다. 두 시스템 모두 실물체와 실상을 양의 거리로, 허물체와 허상을 음의 거리로 규정하는 경우가 일반적이다. 그러나 구면 거울에서는 거울 앞쪽(빛이 입사하는 쪽)을 양의 공간으로, 뒤쪽을 음의 공간으로 정의하는 반면, 얇은 렌즈에서는 렌즈의 양쪽 공간이 대칭적으로 취급된다. 또한, 구면 거울은 오목 거울과 볼록 거울에 따라 초점 거리의 부호가 달라지며, 이는 렌즈의 볼록 렌즈와 오목 렌즈의 경우와 유사한 방식으로 처리된다.

구면 거울에서의 부호 규약은 렌즈 제작자 공식에서 사용되는 규약과 원리는 유사하지만, 빛의 반사라는 특성과 곡면의 방향에 따라 몇 가지 중요한 차이점이 존재합니다. 기본적으로 카르테시안 부호 규약을 따르며, 광축을 기준으로 거리와 곡률 반경의 부호를 결정합니다.

주요 규약은 다음과 같습니다. 첫째, 광축을 기준으로 물체가 거울의 앞쪽(반사면을 향해 빛이 입사하는 쪽)에 위치하면 물체 거리 (s)를 양수(+)로 정의합니다. 둘째, 실상이 형성될 경우 상 거리 (s')를 양수(+)로, 허상이 형성될 경우 음수(-)로 정의합니다. 셋째, 거울의 곡률 중심이 반사면과 반대쪽(빛이 입사하는 쪽)에 위치하면 곡률 반경 (R)을 양수(+)로, 반사면과 같은 쪽에 위치하면 음수(-)로 정의합니다. 이에 따라 초점 거리 (f)는 f = R/2 관계를 가지며, R의 부호에 따라 결정됩니다.

이 규약을 적용할 때 주의할 점은 볼록 거울과 오목 거울의 차이입니다. 오목 거울의 경우 곡률 중심이 반사면의 앞쪽(빛의 입사측)에 있으므로 R과 f가 일반적으로 양수입니다. 반면, 볼록 거울의 경우 곡률 중심이 반사면 뒤쪽에 있으므로 R과 f가 음수값을 가집니다. 이 부호 규약을 통해 구면 거울 공식 1/s + 1/s' = 1/f = 2/R은 볼록과 오목 거울 모두에 일관되게 적용될 수 있습니다.

얇은 렌즈 근사를 적용한 렌즈 제작자 공식은 단일 렌즈의 두께가 무시될 수 있을 만큼 얇다고 가정한다. 그러나 실제 광학 시스템, 특히 고성능 카메라나 현미경의 대물렌즈와 같이 정밀한 결상이 요구되는 경우에는 렌즈의 유한한 두께가 광로에 중요한 영향을 미친다. 이러한 두꺼운 렌즈를 분석할 때는 렌즈의 앞뒤 주평면과 주점의 개념을 도입해야 한다.

두꺼운 렌즈 또는 여러 개의 렌즈로 구성된 광학계에서는 각 표면의 굴절 효과와 렌즈 사이의 공간을 종합적으로 고려한다. 이때 시스템 전체를 하나의 등가 렌즈로 표현할 수 있으며, 그 특성은 초점 거리와 함께 두 쌍의 주평면 위치로 정의된다. 물체 거리와 상 거리는 각각 물체측 주평면과 상측 주평면으로부터 측정된다. 이러한 접근법을 통해 복잡한 렌즈 시스템도 얇은 렌즈 공식과 유사한 형태의 결상 공식으로 분석할 수 있다.

두꺼운 렌즈의 정량적 분석은 행렬 광학을 이용한 광선 행렬 방법이 효과적이다. 각 광학 요소(굴절면, 평행 공간)를 행렬로 표현하고, 이들을 순서대로 곱함으로써 전체 시스템의 행렬을 얻는다. 이 최종 행렬로부터 시스템의 등가 초점 거리와 주평면의 위치를 계산해낼 수 있다. 이 방법은 컴퓨터를 이용한 자동화된 광학 설계의 기초가 된다.

렌즈 제작자 공식은 얇은 렌즈 근사와 근축 광선 조건 하에서 완벽한 결상을 설명하는 이상적인 공식이다. 그러나 실제 렌즈는 이러한 조건에서 벗어날 때 수차가 발생하여 결상의 선명도와 정확도가 떨어진다. 렌즈 제작자 공식은 기본적으로 구면 수차, 코마 수차, 비점 수차, 만곡 수차, 왜곡 수차와 같은 여러 기하학적 수차의 존재를 고려하지 않는다[8].

렌즈 제작자 공식에서 초점 거리는 단일 값으로 주어지지만, 수차가 존재하는 실제 렌즈에서는 빛의 파장(색수차)이나 렌즈를 통과하는 위치에 따라 초점의 위치가 달라진다. 예를 들어, 구면 수차는 렌즈 가장자리를 통과하는 빛이 중심부를 통과하는 빛과 다른 점에 초점을 맺게 만든다. 이는 공식이 가정하는 '단일 초점면'이 왜곡됨을 의미한다. 또한, 색수차는 렌즈 제작자 공식에 포함된 굴절률 값이 파장에 따라 변한다는 점(즉, 분산 현상)을 무시하기 때문에 발생한다.

따라서 고정밀 광학 시스템을 설계할 때는 렌즈 제작자 공식을 기초로 하되, 수차를 최소화하기 위해 비구면 렌즈 사용, 서로 다른 분산 특성을 가진 유리로 만든 접합 렌즈 구성, 또는 여러 렌즈를 조합한 렌즈 시스템 설계가 필수적이다. 이는 기본 공식의 단순함과 실제 광학계의 복잡함 사이의 간극을 메우는 과정이다.