거리 공간

거리 함수는 거리 공간을 정의하는 핵심 개념이다. 집합 X의 임의의 두 원소 사이의 거리를 측정하는 함수로, 실수 값을 반환한다. 이 함수는 거리 공간의 공리를 만족해야 하며, 이를 통해 집합에 위상적 구조를 부여한다.

거리 함수는 일반적으로 d: X × X → R로 표기한다. 이 함수는 두 점 사이의 거리를 측정하는 규칙을 제공하며, 유클리드 공간에서의 직선 거리부터 다양한 추상적 공간에서 정의될 수 있는 거리 개념까지 포함한다. 거리 함수의 선택에 따라 같은 집합 위에 서로 다른 위상이 정의될 수 있다.

거리 함수가 만족해야 하는 세 가지 공리는 양의 정부호성, 대칭성, 그리고 삼각 부등식이다. 양의 정부호성은 서로 다른 두 점 사이의 거리는 항상 양수이며, 같은 점 사이의 거리는 0임을 의미한다. 대칭성은 한 점에서 다른 점까지의 거리가 그 반대 방향의 거리와 같음을 보장한다. 삼각 부등식은 어떤 세 점을 고려하더라도, 한 점에서 다른 점으로 직접 가는 거리가 다른 점을 경유하는 거리의 합보다 크지 않음을 나타낸다.

이러한 공리 체계는 직관적인 물리적 거리의 개념을 추상화한 것으로, 해석학과 위상수학의 기초를 이룬다. 거리 함수를 통해 수열의 수렴, 함수의 연속성, 콤팩트성 등 다양한 위상적 성질을 엄밀하게 논의할 수 있다.

거리 공간을 정의하는 핵심은 거리 함수이다. 집합 X의 임의의 두 점 x, y에 대해, 이들 사이의 거리라고 할 수 있는 실수 d(x, y)를 대응시키는 함수 d: X × X → [0, ∞)가 특정 조건을 만족할 때, 이를 거리 함수라 하고, 순서쌍 (X, d)를 거리 공간이라 한다.

거리 함수가 반드시 만족해야 하는 조건은 다음과 같은 세 가지 공리로 요약된다. 첫째, 양의 정부호 성질로, 두 점 사이의 거리는 항상 0 이상이며, 거리가 0이 되는 경우는 두 점이 완전히 같은 경우뿐이다. 즉, d(x, y) = 0일 필요충분조건은 x = y이다. 둘째, 대칭성으로, 한 점에서 다른 점까지의 거리는 방향에 의존하지 않는다. 즉, d(x, y) = d(y, x)가 항상 성립한다. 셋째, 삼각 부등식으로, 세 점 x, y, z에 대해, 한 점에서 다른 점으로 직접 가는 거리는 다른 점을 경유하는 거리의 합보다 클 수 없다. 즉, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)가 성립한다.

이 세 가지 공리는 직관적인 거리 개념을 수학적으로 정확히 포착한다. 양의 정부호는 서로 다른 점은 항상 일정한 간격이 있음을, 대칭성은 거리의 방향 무관성을, 삼각 부등식은 "직선이 가장 짧다"는 기하학적 사실을 반영한다. 이 공리들을 만족하는 함수가 주어지기만 하면, 해당 집합은 거리 공간이 되어 수열의 수렴이나 연속 함수와 같은 다양한 위상적 개념을 논할 수 있는 기반이 마련된다.

유클리드 거리는 가장 친숙하고 직관적인 거리 함수의 예시이다. 이는 우리가 일상적으로 사용하는 직선 거리, 즉 두 점 사이의 최단 거리를 의미한다. 2차원 평면 위의 두 점 (x1, y1)과 (x2, y2) 사이의 유클리드 거리는 피타고라스 정리에 의해 계산되며, 이를 n차원 유클리드 공간으로 일반화할 수 있다. n차원 공간에서 두 점 사이의 거리는 각 좌표 차이의 제곱합의 제곱근으로 정의된다.

이 거리 함수는 거리 공간의 모든 공리를 만족시킨다. 특히, 삼각 부등식이 성립하는데, 이는 어떤 삼각형에서도 두 변의 길이의 합이 나머지 한 변의 길이보다 항상 크거나 같다는 기하학적 사실에 해당한다. 유클리드 거리가 주어진 공간은 유클리드 공간이라고 하며, 해석학과 기하학의 기본적인 연구 대상이 된다.

유클리드 거리에 의해 유도되는 위상은 표준 위상이라고 불리며, 이 위상에서의 열린 집합은 우리가 생각하는 일반적인 '구멍이 뚫리지 않은 영역'의 개념과 일치한다. 예를 들어, 원의 내부나 사각형의 내부는 이 위상에서 열린 집합이 된다. 또한, 수열의 수렴 개념도 이 거리를 통해 정의된 극한과 일치하여, 점들이 특정 점으로 모이는 직관적인 현상을 정확히 포착한다.

이산 거리는 주어진 집합 위에 정의할 수 있는 가장 단순한 형태의 거리 함수 중 하나이다. 이 거리 공간을 이산 공간이라고도 부른다.

집합 X가 주어졌을 때, 이산 거리 함수 d는 다음과 같이 정의된다. X의 임의의 두 점 x와 y에 대해, x와 y가 서로 같으면 d(x, y) = 0이고, x와 y가 서로 다르면 d(x, y) = 1이다. 이 정의는 거리 함수의 세 가지 공리(비음성, 대칭성, 삼각 부등식)를 모두 만족시킨다. 특히 삼각 부등식은 거리가 항상 0 또는 1의 값만을 가지므로 자명하게 성립한다.

이산 거리가 부여된 공간은 매우 특이한 위상적 성질을 가진다. 이 공간에서 모든 점은 자신만을 원소로 하는 열린 공을 형성하는 열린 집합이 된다. 구체적으로, 반지름이 1보다 작은 (예: 0.5) 열린 공 B(x; 0.5)는 점 x 자신만을 포함한다. 결과적으로, 이산 공간의 모든 부분집합은 열린 집합이자 동시에 닫힌 집합이 되어, 이 공간은 이산 위상을 갖는 위상 공간의 대표적인 예가 된다.

이러한 구조 때문에 이산 공간에서의 수열 수렴은 매우 엄격하다. 수열 {x_n}이 점 x로 수렴하기 위해서는 유한 개의 항을 제외한 모든 항이 정확히 x와 같아야 한다. 즉, 거의 대부분의 항이 x가 아닌 다른 값에 머무른다면, 그 수열은 어떤 점으로도 수렴하지 않는다. 또한 이산 공간은 완비 거리 공간이자 콤팩트 공간이며, 모든 함수가 연속 함수가 되는 등 해석학과 위상수학에서 중요한 반례와 기본 예시를 제공한다.

최대 거리는 거리 공간을 정의하는 여러 거리 함수 중 하나로, 두 점 사이의 각 좌표 차이의 절댓값 중 가장 큰 값을 거리로 삼는다. 이 거리는 유클리드 거리나 맨해튼 거리와 함께 Lp 공간에서 p가 무한대로 갈 때의 극한에 해당하는 거리로 볼 수 있으며, 때로는 체비쇼프 거리라고도 불린다.

구체적으로, n차원 실수 공간 R^n 위에서 두 점 x = (x1, x2, ..., xn)와 y = (y1, y2, ..., yn) 사이의 최대 거리 d∞(x, y)는 max{|x1 - y1|, |x2 - y2|, ..., |xn - yn|}으로 정의된다. 이 거리는 모든 좌표 방향의 차이를 동등하게 고려하되, 가장 큰 차이 하나만을 거리의 척도로 사용한다는 특징이 있다.

최대 거리가 부여된 공간에서, 한 점을 중심으로 하는 열린 공은 정사각형(2차원) 또는 정육면체(3차원)의 모양을 가지게 된다. 이는 유클리드 거리에서의 원형이나 구형의 열린 공과는 다른 위상적 모습을 보여준다. 이러한 기하학적 특성에도 불구하고, 최대 거리는 거리 공간의 공리를 완전히 만족시키며, 이를 통해 유도되는 위상 공간의 구조는 유클리드 거리에서 유도되는 위상과 동일함이 알려져 있다.

이 거리는 컴퓨터 과학과 응용 수학 분야, 특히 픽셀 기반의 이미지 처리나 체스 보드와 같은 격자 공간에서의 거리 측정에 유용하게 활용된다. 예를 들어, 체스에서 킹이 한 칸에서 다른 칸으로 이동할 때 필요한 최소 횟수는 바로 이 최대 거리로 계산할 수 있다.

거리 공간에서 수열의 수렴과 극한은 거리 함수를 통해 엄밀하게 정의된다. 거리 공간 (X, d)에서 점열 {x_n}이 점 a ∈ X로 수렴한다는 것은, 임의의 양수 ε > 0에 대해 자연수 N이 존재하여, 모든 n ≥ N에 대해 거리 d(x_n, a) < ε이 성립함을 의미한다. 이때 점 a를 수열 {x_n}의 극한이라고 하며, lim_{n→∞} x_n = a 또는 x_n → a로 표기한다. 이 정의는 실수에서의 ε-N 논법을 일반 거리 공간으로 확장한 것이다.

수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 즉, 한 수열이 두 점 a와 b로 동시에 수렴한다면, 거리 함수의 성질에 의해 a와 b는 반드시 같다. 또한, 거리 공간에서 수렴하는 수열은 유계이다. 수열의 수렴성은 거리 공간의 위상적 구조와 밀접하게 연결되어 있으며, 이를 통해 연속 함수를 정의할 수 있다. 두 거리 공간 (X, d_X)와 (Y, d_Y) 사이의 함수 f: X → Y가 점 a ∈ X에서 연속이라는 것은, X에서 a로 수렴하는 임의의 점열 {x_n}에 대해, 그 함숫값의 점열 {f(x_n)}이 Y에서 f(a)로 수렴하는 것과 동치이다.

수렴성은 완비 거리 공간의 핵심 개념을 이루는 코시 수열의 정의에도 사용된다. 코시 수열은 충분히 큰 첨수를 가지는 항들 사이의 거리가 임의로 작아지는 수열로 정의되며, 모든 코시 수열이 수렴하는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다. 실수의 집합은 유클리드 거리에 대해 완비 거리 공간의 대표적인 예이다.

거리 공간에서 열린 집합과 닫힌 집합은 거리 함수를 통해 정의되는 기본적인 위상적 개념이다. 이들은 거리 공간의 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

열린 집합은 그 안의 모든 점을 완전히 포함하는 작은 열린 공이 존재하는 집합으로 정의된다. 구체적으로, 거리 공간 (X, d)의 부분집합 U가 열린 집합이라는 것은, U의 임의의 점 x에 대해, 중심이 x이고 반지름이 r인 열린 공 B(x; r)가 U의 부분집합이 되도록 하는 양수 r > 0가 존재함을 의미한다. 이 정의에 따라, 전체 집합 X와 공집합은 항상 열린 집합이다. 또한, 임의의 열린 공은 그 자체로 열린 집합이며, 열린 집합들의 합집합은 항상 열린 집합이고, 유한 개의 열린 집합들의 교집합도 열린 집합이다. 이러한 성질들은 거리 공간이 위상 공간의 특별한 예임을 보여준다.

닫힌 집합은 그 여집합이 열린 집합인 집합으로 정의된다. 이는 극한점의 개념을 통해 동치적으로 설명될 수 있다. 거리 공간 X의 부분집합 F가 닫힌 집합이라는 것은, F 안의 점들로 이루어진 모든 수열이 수렴한다면 그 극한이 항상 F에 속한다는 성질을 가진다. 예를 들어, 한 점을 중심으로 하고 특정 반지름을 가지는 닫힌 공, 즉 경계를 포함하는 공은 닫힌 집합의 대표적인 예이다. 닫힌 집합들의 교집합은 닫힌 집합이며, 유한 개의 닫힌 집합들의 합집합도 닫힌 집합이다.

열린 집합과 닫힌 집합은 서로 보완적인 관계에 있지만, 한 집합이 열리면서 동시에 닫힐 수도 있고(예: 전체 집합과 공집합), 둘 다 아닐 수도 있다. 이러한 개념들은 수렴과 연속성, 그리고 콤팩트성을 논의하는 기초가 되며, 해석학과 위상수학의 핵심 도구로 활용된다.

거리 공간에서 완비성은 그 공간 내의 모든 코시 수열이 수렴하는 성질을 가리킨다. 코시 수열이란 항의 번호가 커질수록 항들 사이의 거리가 0에 가까워지는 수열을 의미한다. 모든 코시 수열이 그 공간 안의 한 점으로 수렴할 때, 그 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다. 완비성은 해석학의 여러 기본 정리들이 성립하기 위한 핵심 조건 중 하나이다.

대표적인 완비 거리 공간의 예로는 실수 집합이 있다. 실수에서의 코시 수렴 기준은 실수의 완비성 공리와 동치이다. 반면, 유리수 집합은 완비 거리 공간이 아니다. 예를 들어, 2의 제곱근으로 수렴하는 유리수 코시 수열은 유리수 집합 안에서는 극한을 갖지 않는다. 이러한 불완전한 공간은 그 완비화를 통해 완비 거리 공간으로 확장될 수 있다.

완비성은 함수 공간을 연구하는 해석학 분야에서 특히 중요하게 활용된다. 바나흐 공간은 완비 노름 공간으로 정의되며, 이는 완비 거리 공간의 한 종류이다. 바나흐 공간에서 성립하는 바나흐 고정점 정리는 미분 방정식의 해의 존재성과 유일성을 증명하는 데 강력한 도구로 사용된다. 또한, 완비성은 균등 수렴과 깊은 연관이 있어, 함수열의 극한 함수가 연속성을 보존하는지 판단하는 데 영향을 미친다.

거리 공간에서의 콤팩트성은 해석학과 위상수학에서 매우 중요한 성질이다. 거리 공간의 콤팩트성은 유클리드 공간에서의 하이네-보렐 정리와 밀접하게 연관되어 있으며, 수열의 수렴과 연속 함수의 성질을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.

거리 공간에서 콤팩트성은 여러 가지 동등한 조건으로 정의될 수 있다. 가장 일반적인 정의는 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가진다는 것이다. 또한 거리 공간의 경우, 이는 점렬 콤팩트성(모든 수열이 수렴하는 부분 수열을 가짐) 및 완전 유계이고 완비인 것과 동치이다. 이 동치 관계는 거리 공간에서만 성립하는 강력한 성질이다.

콤팩트 거리 공간은 여러 유용한 성질을 가진다. 예를 들어, 콤팩트 거리 공간 위에서 정의된 연속 함수는 최대최소 정리에 의해 최댓값과 최솟값을 반드시 가지며, 균등 연속이 된다. 또한 콤팩트성은 닫힌 집합과의 관계도 깊어, 콤팩트 거리 공간의 닫힌 부분 집합은 항상 콤팩트하다.

이러한 콤팩트성은 실해석학에서 폐구간의 성질을 일반화한 개념으로, 볼차노-바이어슈트라스 정리와 같은 기본 정리의 확장을 가능하게 한다. 또한 미분기하학과 함수해석학 등 다양한 수학 분야에서 공간의 구조를 이해하는 데 필수적인 도구로 활용된다.

모든 거리 공간은 자연스럽게 하나의 위상 공간이 된다. 거리 공간 (X, d)가 주어지면, 각 점 x를 중심으로 하는 열린 공들의 모임을 기저로 하는 위상을 정의할 수 있다. 이렇게 거리 함수로부터 유도된 위상을 거리 위상이라고 부른다. 따라서 거리 공간은 위상 공간의 중요한 예시이며, 위상수학의 많은 개념이 거리 공간의 직관적인 성질을 일반화한 것이다.

그러나 모든 위상 공간이 거리 공간은 아니다. 즉, 어떤 위상 공간의 위상이 거리 함수로부터 유도될 수 있을 때, 그 공간을 거리화 가능 공간이라고 한다. 거리화 가능성을 판별하는 것은 위상수학의 주요 주제 중 하나이며, 우리손 거리화 정리나 나가타-스미르노프 거리화 정리와 같은 정리들이 그 필요충분조건을 제공한다. 이러한 정리들은 공간이 제2 가산 공간이면서 정칙 공간일 때 등 특정 위상적 조건을 만족해야 거리화 가능함을 보여준다.

거리 공간의 개념은 위상 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있어, 수열의 수렴이나 균등 수렴, 완비성과 같은 해석학적 성질을 논의하는 데 유용하다. 반면 위상 공간은 점들 사이의 '가까움'을 거리라는 수치 없이, 열린 집합이라는 더 기본적인 개념만으로 다루므로 적용 범위가 더 넓다. 이처럼 거리 공간은 위상 공간의 특수한 경우이면서도, 해석학과 기하학을 연결하는 풍부한 구조를 제공하는 수학적 대상이다.

노름 공간은 벡터 공간에 노름이라는 구조가 주어진 공간이다. 노름은 벡터의 길이 또는 크기를 측정하는 함수로, 임의의 벡터 x, y와 스칼라 a에 대해 특정 공리를 만족한다. 이 공리에는 양의 정부호성, 양의 동차성, 삼각 부등식이 포함된다. 모든 노름 공간은 자연스럽게 거리 공간이 되는데, 두 벡터 x와 y 사이의 거리를 d(x, y) = ||x - y||로 정의할 수 있기 때문이다. 이렇게 유도된 거리를 노름 거리라고 부른다.

노름 공간의 대표적인 예로는 유클리드 공간 R^n이 있으며, 여기서는 벡터의 유클리드 노름(또는 L2-노름)이 주어진다. 이 외에도 연속 함수 공간 C([a, b])에 최대 노름을 주거나, 수열 공간 l^p에 p-노름을 주어 다양한 노름 공간을 구성할 수 있다. 각기 다른 노름은 동일한 벡터 공간 위에 서로 다른 거리 구조를 부여한다.

노름 공간은 거리 공간보다 더 많은 대수적 구조를 가지고 있다는 점에서 차이가 있다. 거리 공간은 단순히 집합과 거리 함수로 정의되지만, 노름 공간은 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈 연산이 가능한 벡터 공간이어야 한다. 따라서 모든 노름 공간은 거리 공간이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 이산 거리 공간은 벡터 공간 구조가 없을 수 있으므로 노름 공간이 아닐 수 있다.

노름 공간의 개념은 바나흐 공간으로 확장된다. 바나흐 공간은 노름에 대해 완비성을 갖춘 노름 공간을 말한다. 이는 해석학, 특히 함수해석학에서 매우 중요한 공간으로, 많은 정리와 응용의 기초가 된다. 노름 공간과 그로부터 유도된 거리 구조는 미분 방정식, 근사 이론, 수치해석 등 다양한 수학 분야에서 핵심적인 도구로 활용된다.

내적 공간은 벡터 공간에 특별한 구조를 부여한 수학적 공간이다. 이 공간에서는 두 벡터 사이에 내적이라는 연산이 정의되어 있으며, 이 내적을 통해 벡터의 길이와 각도를 측정할 수 있다. 내적 공간은 노름 공간과 거리 공간의 일반화된 개념으로 볼 수 있으며, 특히 기하학적 직관을 다루는 데 유용하다.

내적 공간의 핵심은 내적 함수로, 이는 두 벡터를 입력받아 하나의 스칼라 값을 출력하는 연산이다. 이 내적은 양의 정부호성, 대칭성, 그리고 선형성이라는 세 가지 공리를 만족해야 한다. 이러한 내적의 존재는 벡터에 노름을 자연스럽게 정의하게 해주며, 이 노름은 다시 두 점 사이의 거리를 정의하는 데 사용되어 결국 거리 공간을 이룬다. 따라서 모든 내적 공간은 노름 공간이자 거리 공간이 된다.

내적 공간의 대표적인 예로는 유클리드 공간이 있다. 2차원 또는 3차원 공간에서 두 벡터의 점곱이 바로 내적에 해당한다. 이 외에도 힐베르트 공간과 같은 무한차원 벡터 공간들도 내적 공간의 중요한 예시이다. 이러한 공간들은 함수해석학과 양자역학의 수학적 기초를 제공하는 핵심 구조다.

내적 공간은 거리 공간보다 더 풍부한 구조를 가지고 있어, 직교성과 같은 개념을 논할 수 있다. 두 벡터의 내적이 0일 때 두 벡터는 서로 직교한다고 말하며, 이는 피타고라스 정리와 같은 기하학적 성질을 일반화하는 데 기초가 된다. 이처럼 내적 공간은 거리 공간의 위상적 성질뿐만 아니라, 각도와 같은 순수한 기하학적 성질도 함께 연구할 수 있는 틀을 제공한다.

거리 공간은 해석학의 기본적인 연구 대상이다. 해석학은 실수와 복소수 체계 위에서 정의된 함수의 극한, 연속성, 미분, 적분 등을 다루는 수학 분야로, 이러한 개념들을 엄밀하게 정의하고 탐구하는 데 거리 공간의 구조가 핵심적 역할을 한다.

해석학에서 가장 중요한 공간은 실수 직선과 복소평면이며, 이들은 각각 유클리드 거리를 갖는 거리 공간의 전형적인 예시이다. 수열의 수렴이나 함수의 연속성과 같은 기본 개념은 모두 점들 사이의 '거리'를 바탕으로 정의된다. 예를 들어, 수열이 어떤 값에 수렴한다는 것은 수열의 항과 그 극한값 사이의 거리가 충분히 큰 항번호 이후로 임의로 작아진다는 것을 의미한다.

더 나아가, 완비 거리 공간의 개념은 해석학의 여러 핵심 정리들을 뒷받침한다. 대표적으로, 바나흐 고정점 정리는 완비 거리 공간 위에서 정의된 축약 사상이 유일한 고정점을 가짐을 보여주며, 이 정리는 미분방정식의 해의 존재성과 유일성을 증명하는 데 널리 활용된다. 또한, 함수 공간에 적절한 거리를 부여하여 거리 공간으로 만들면, 균등 수렴이나 푸리에 급수의 수렴 문제 등을 체계적으로 연구할 수 있는 토대가 마련된다.

거리 공간은 위상수학의 핵심적인 연구 대상 중 하나이다. 거리 함수가 주어진 집합인 거리 공간은, 위상 공간의 중요한 특수한 경우로 볼 수 있다. 모든 거리 공간은 그 거리 함수로부터 자연스럽게 위상을 유도할 수 있으며, 이를 통해 수열의 수렴, 함수의 연속성, 콤팩트성과 같은 위상적 성질들을 거리를 이용해 구체적으로 다룰 수 있다.

거리 공간에서 정의된 위상을 거리 위상이라고 부르며, 이는 열린 공을 기저로 하는 위상이다. 이렇게 유도된 위상 공간은 하우스도르프 공간이자 정규 공간이라는 좋은 분리 공리 성질을 만족한다. 따라서 거리 공간은 위상적 성질을 연구하는 데 있어 매우 편리하고 구체적인 모델을 제공한다.

반면, 모든 위상 공간이 거리화 가능한 것은 아니다. 즉, 어떤 위상 공간에 대응하는 거리 함수가 존재하지 않을 수 있다. 위상 공간이 거리화 가능하기 위한 필요충분 조건을 규명하는 것은 위상수학의 주요 과제 중 하나였으며, 이는 우리손 거리화 정리와 나가타-스미르노프 거리화 정리 등의 중요한 정리로 결실을 맺었다. 이러한 정리들은 위상 공간이 어떤 위상적 조건(예: 제2 가산 공간이면서 정규 공간일 것)을 만족하면 거리화 가능함을 보여준다.

결국 거리 공간은 위상적 개념에 대한 직관을 제공하고, 위상 공간 이론의 발전에 중요한 동기를 부여한 기초 구조이다. 위상수학의 많은 개념과 정리는 거리 공간에서의 직관을 일반화하여 탄생했으며, 거리 공간은 해석학과 기하학을 연결하는 다리 역할을 한다.

거리 공간은 기하학의 기본적인 연구 대상이자 도구로 사용된다. 고전적인 유클리드 기하학은 유클리드 거리를 갖는 유클리드 공간 위에서 전개되며, 이는 가장 친숙한 거리 공간의 예시이다. 거리 공간의 개념은 이러한 고전 기하학을 일반화하여, 거리 함수의 선택에 따라 다양한 기하학적 구조를 탐구할 수 있는 틀을 제공한다.

거리 공간의 개념을 통해 비유클리드 기하학을 엄밀하게 다룰 수 있다. 예를 들어, 구면 위의 두 점 사이의 최단 경로 길이를 거리로 정의하면, 이는 구면 기하학을 연구하는 거리 공간이 된다. 마찬가지로 쌍곡 기하학도 적절한 거리 함수를 도입하여 거리 공간으로 모델링할 수 있다. 이렇게 거리 공간은 다양한 곡면과 다양체 위의 기하학을 통합적으로 이해하는 기초가 된다.

거리 공간에서 정의되는 기본 기하학적 개념에는 점 사이의 거리, 삼각 부등식, 근방, 연속성 등이 포함된다. 이러한 개념들은 곡률, 각도, 길이 등 더 복잡한 기하학적 성질을 정의하는 토대를 이룬다. 또한, 거리 공간에서의 완비성과 콤팩트성은 기하학적 대상의 전체적 구조와 관련된 중요한 성질을 규정한다.

현대 기하학, 특히 미분기하학과 리만 기하학에서는 매끄러운 다양체에 추가 구조를 부여하여 거리 개념을 일반화한다. 리만 계량은 다양체의 각 점에서 접공간에 정의된 내적으로, 이를 통해 다양체 위의 곡선 길이와 거리를 정의한다. 이렇게 구성된 리만 다양체는 거리 공간의 중요한 확장이며, 현대 기하학의 핵심 연구 대상이다.